Площадь трапеции и площадь треугольника – Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Видеоурок 1: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 1

Видеоурок 2: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 2

Лекция: Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Площадь треугольника

Как уже говорилось при изучении треугольников, при решении геометрических задач на произвольные фигуры, чаще всего приходят к решению треугольников. Именно поэтому формулы для нахождения площадей треугольников занимают особенное место.

Итак, начнем с самого распространенного треугольника – прямоугольный треугольник. Так как прямоугольный треугольник – это половина прямоугольника, то и его площадь находится, как половина произведения катетов:

Данная формула была получена из основной формулы для треугольников:

В формуле имеется значение синуса угла между сторонами a и b.

Зная высоту и одну сторону треугольник, к которой проведена высота, можно воспользоваться следующей формулой:

Для определения площади можно воспользоваться популярной формулой Герона. Для нахождения площади потребуется знать все три стороны и величину полупериметра:

Если вокруг треугольника описана окружность, то для нахождения площади можно воспользоваться следующей формулой:

Если же окружность наоборот вписана, то для нахождения площади необходимо найти произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь квадрата

С квадратом все предельно ясно, ведь у него все стороны равны и диагонали так же между собой равны.

Площадь квадрата находится, как квадрат его стороны или полуквадрат длины диагонали:

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон:

Площадь параллелограмма

Площадь любого параллелограмма можно найти по известной стороне и высоте или же по двум сторонам и углу между ними:

Площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой Герона для трапеций:

Но есть и более простая формула для нахождения площади трапеции – по известным длинам оснований и высоте:

Площадь круга

Для нахождения площади круга следует знать либо значение радиуса, либо диаметра круга:

Площадь сектора

Для нахождения площади сектора, следует умножить радиус соответствующей окружности на длину дуги сектора. Напомним, что длина дуги находится произведением радиуса на соответствующую радианную меру дуги:

cknow.ru

11. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь параллелограмма

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

 

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

 

Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

 

Pgrama_augst.png

 

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

 

Romba_augst.png 

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Pgrama_lauk1.png

 

Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

 

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

 

Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

 

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

 

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

 

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

 

Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

 

Sп−гр=a⋅h.

 

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

 

Romba_lauk.png

 

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

 

Формула определения площади ромба:

 

Sромба=d1⋅d22.

 

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

 

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

 

Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

 

Trijst_lauk1.png

 

 

Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

 

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

 

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

 

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

 

— формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

 

S=a⋅b2, где \(a\) и \(b\) — катеты.

 

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

 

Решение:

 

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

 

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

 

Решение:

используем две формулы вычисления площади: SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

 

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

 

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.


Составляем уравнение:

                        

15⋅h3=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.

 

Решение:

 

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

 

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

 

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

 

Trapeces_augst.png

 

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 

Trapeces_lauk.png

 

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

 

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

 

Sтрап=a+b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

 

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

 

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

 

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

www.yaklass.ru

math-public:ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

Докажем, что его площадь $S=ab$.

Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ за точку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок $BK=b$.

Тогда $BCHK$ и $CFED$ – это квадраты, и их площади равны соответственно $b^2$ и $a^2$.

Кроме того, $CFGH$ – это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, его площадь равна площади $ABCD$.

Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.

Тогда $S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.

С другой стороны $S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.

Откуда получаем, что $2ab=2S$, то есть $S=ab$.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $BC=a, AC=b$ и $\a C=90^\circ$.

Докажем, что $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.

Достроим треугольник $\triangle ABC$ до прямоугольника $ADBC$.

Тогда $S_{ADBC}=ab=2S_{\triangle ABC}$.

Следовательно, $S_{\triangle ABC}=\dfrac{ab}{2}$.

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ – это высота.

Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$

Возможны три случая:

  1. точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;

  2. точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;

  3. точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.

Первый случай

Пусть высота из точки $B$ падает в один из концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.

Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ – прямоугольный, следовательно, по теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Второй случай

Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.

Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$, следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Третий случай

Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.

Тогда

$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot (AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором сторона $AD=a$ и высота $BH=h$.

Докажем, что $S_{ABCD}=ah$.

Проведем диагональ $AC$.

По свойствам параллелограмма, диагональ делит его на два равных треугольника.

Следовательно, $S_{\triangle ABC}=S_{ADC}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$.

Тогда $S_{ABCD}=2S_{ACD}=ah$.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $BH=h$ – высота, и основания $AD=a, BC=b$.

Докажем, что $S_{ABCD}=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.

Проведем диагональ $AC$.

Тогда $S_{\triangle ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot ah$, $S_{\triangle BCD}=\dfrac{1}{2} ah$, поскольку высоты этих треугольников, проведенные к сторонам $AD$ и $BC$ соответственно, равны высоте трапеции.

Тогда $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac{1}{2}(ah+bh)=h\cdot\dfrac{a+b}{2}$.

Площадь ромба

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC=d_1$ и $BD=d_2$.

Докажем, что $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника $\triangle ABO, \triangle BCO, \triangle CDO, \triangle DAO$.

Следовательно, $S_{ABCD}=4S_{ABO}=4\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{d_1}{2}\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot d_1d_2$.

Теорема (о площади четырехугольника с перпендикулярными диагоналями)

Площадь выпуклого четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна полупроизведению его диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ в котором $AC\perp BD$.

Пусть $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$.

Обозначим $BO=a, CO=b, DO=c, AO=d$.

Тогда

$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}ad+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{2}cd=\dfrac{1}{2}(a(b+d)+c(b+d))=\dfrac{1}{2}(a+c)(b+d)=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD$

Теорема (о площадях боковых треугольников в трапеции)

Два треугольника, образованные боковыми сторонами трапеции и отрезками ее диагоналей, равны по площади.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

У этих треугольников общее основание $AD$, кроме того их высоты, проведенные к стороне $AD$ из точек $B$ и $C$ соответственно, тоже равны.

Следовательно, $S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$.

Но тогда $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}$.

math-public/ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov.txt · Последние изменения: 2016/04/14 00:12 — labreslav

wiki.sch239.net

Площадь трапеции через основания и диагонали

Как  найти площадь трапеции через ее основания и диагонали?

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поскольку основания известны, задача может быть сведена к нахождению высоты трапеции.

На самом деле, зная основания и диагонали, можно найти площадь трапеции и без высоты.

Дано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AD=a, BC=b,

AC=d1, BD=d2

Найти:

   

Решение:

1) Проведём

   

Через точку C проведем прямую, параллельную диагонали BD. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой, содержащей основание AD трапеции через F:

   

2) В четырехугольнике BCFD AF || BC (как прямые, содержащие основания трапеции), BD || CF (по построению). Значит, BCFD — параллелограмм (по определению). Следовательно, его противоположные стороны равны: DF=BC=a, CF=BD=d2.

3) Рассмотрим треугольник ACF. AF=AD+DF=a+b.

Площадь треугольника ACF равна 

   

Так как AF=AD+DF,

   

Все три стороны треугольника ACF известны, поэтому его площадь можно найти по формуле Герона

   

   

Вместо a, b и c подставляем a+b, d1 и d2. Получаем:

   

   

   

   

   

   

   

   

Таким образом, площадь трапеции через основания и диагонали может быть найдена по формуле

   

Запоминать её не нужно, достаточно провести аналогичные рассуждения для своей задачи и по формуле Герона вычислить площадь треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме её оснований.

Задача.

Основания трапеции равны 10 см и 90 см, а диагонали равны 75 см и 35 см. Найти площадь трапеции.

Проводим дополнительные построения и доказываем, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACF. Затем находим его площадь по формуле Герона:

   

   

   

Ответ: 1050 см².

В следующий раз рассмотрим, как по основаниям и диагонали найти площадь равнобедренной трапеции.

www.treugolniki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *