Площадь трапеции разносторонней – Площадь трапеции | Мозган калькулятор онлайн

Содержание

Площадь трапеции по сторонам | Треугольники

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

I способ.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Задача 1.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

Дано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

CD=26 см, AD=28 см

Найти:

   

Решение:

1) Проведем через вершину C прямую CL,  CL∥AB.

Четырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

   

   

   

   

   

С другой стороны, 

   

   

3) По формуле

   

найдём площадь трапеции ABCD:

   

   

Ответ: 468 см².

II способ.

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Задача 2.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см  и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

рисунок 1

Дано:ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

CD=15 см, AD=14 см

Найти:

   

Решение:

Проведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

   

   

Аналогично, из треугольника ABK

   

   

Приравниваем правые части:

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 144 см².

рисунок 2

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

 

 

Для  трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением —  в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

www.treugolniki.ru

Быстро найти нужную формулу для расчета онлайн. Геометрия. Алгебра.


Рисунок площади эллипса

 

Rбольшая полуось

r — малая полуось

π ≈ 3.14

 

Формула площади эллипса, через полуоси:

Рисунок площади эллипса

 

Калькулятор, вычислить площадь элипса:


1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

 

 

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

а — нижнее основание

b — верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

 

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию


 

 

Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R — радиус вписанной окружности

m — средняя линия

O — центр вписанной окружности

c — боковые стороны

а — нижнее основание

b — верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

 

Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

Площадь равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность



3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними



 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию

 

c — боковая сторона

m — средняя линия трапеции

α, β — углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании



 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.


Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

Площадь треугольника

h — высота треугольника

a — основание

 

Формула площади треугольника (S):

Формула расчета площади треугольника

 

 

2. Площадь треугольника с тупым углом

треугольник с тупым углом

h — высота треугольника

a — основание

 

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

Формула расчета площади треугольника

 

Формулы для треугольника:

 


Зная у треугольника

две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь

Найти площадь треугольника, угол и две стороны

 

 

a, b, c — стороны треугольника

α, β, γ — углы

 

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

 

 

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:


 

Формулы для треугольника:

Сторона произвольного треугольника

Стороны равнобедренного треугольника

Стороны прямоугольного треугольника

Высота произвольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника

Высота, медиана, биссектриса равнобедренного треугольника

Высота=медиана=биссектриса равностороннего треугольника

Биссектриса произвольного треугольника

Биссектриса прямоугольного треугольника

Медиана произвольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника

Все разделы по геометрии

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза


1. Если известны только катеты

Прямоугольный треугольник

ab — катеты треугольника

 

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

Формула площади через катеты

 

 

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

Треугольник через сторону и угол

c — гипотенуза

a, b — катеты

αβ — острые углы

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формула площади через гипотенузу и угол

Формула площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Формула площади  через катет a и угол

площади прямоугольного треугольника через катет b и угол

 


Для справкиКак известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов

то справедливы следующие тождества:

синус косинус

синус косинус

 


 

 

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

Треугольник  радиус вписанной окружности и угол

c — гипотенуза

c1c2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r — радиус вписанной окружности

О — центр вписанной окружности

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

Формула площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

 


Если вы знаете сторону или высоту

вы можете найти площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника

 

 

a — сторона треугольника

h — высота

 

Площадь треугольника через сторону a и высоту h, (S):

Формула площади треугольника

 


Площадь треугольника только через сторону a, (S):

Формула площади равностороннего треугольника

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

 

 

Площадь треугольника только через высоту h, (S):

Формула площади равностороннего треугольника

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

 

Площадь равностороннего треугольника

 

 

a — сторона треугольника

h — высота

 



Формулы для треугольника:

 

 

Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга — отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса


Зная диаметр

или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.

Формула площади круга, диаметр

 

r — радиус круга

D — диаметр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга, (S):

Формула площади круга

 

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через радиус

 

Калькулятор для расчета площади круга через диаметр

 

Формула площади круга через длину

 

L — длина окружности

О — центр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга если известна длина окружности, (S):

площадь круга через длину

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через длину


Площадь кольца равна — число π, умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности

Площадь кольца

 

R — радиус внешней окружности

r — радиус внутренней окружности

π ≈ 3.14

 

Формула площади кольца (S):

Формула площади кольца

 

 

Калькулятор — вычислить, найти площадь кольца

 


Площадь сектора кольца

R — радиус внешней окружности

r — радиус внутренней окружности

α — угол сектора AOB, в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сектора кольца (S):

Формула площади сектора кольца

 


Площадь сегмента круга

 

R — радиус круга

α — угол сегмента в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC:

Формула площади сегмента круга

 

 

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

 

Формулы для окружности и круга:


Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол

Площадь сектора круга

r — радиус круга

L — длина дуги AB

α — угол сектора круга AOB в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сектора круга (S), через длину дуги (L):

Формула площади сектора круга

 

 

Формула площади сектора круга (S), через угол (α):

Формула площади сектора круга

 

Формулы для окружности и круга:


Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)

Ромб площадь диагонали

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

 

Формулы  площади  ромба  через диагонали  и  углы  между  сторонами ( S ):

Формулы площади ромба

Формулы площади ромба

Формулы площади ромба

 

 

Площадь через радиус вписанной окружности

 

a — сторона ромба

h — высота

r — радиус вписанной окружности

 

Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):

Формула площади ромба

 


1. Формула площади трапеции через основания и высоту

Площадь неравнобедренной трапеции

aнижнее основание

bверхнее основание

mсредняя линия

hвысота трапеции

 

Формула площади трапеции, (S ):

Формула площади трапеции

 

 

 

2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через диагонали

 

 

d1, d2 — диагонали трапеции

α, β — углы между диагоналями

 

Формула площади трапеции, (S ):

Формула трапеции через диагонали


 

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

Площадь трапеции через четыре стороны

 

aнижнее основание

bверхнее основание

c , d — боковые стороны

 

Формула площади трапеции, (S ):

Формула площади трапеции через четыре стороны

 


Зная сторону

или диагональ квадрата, можно найти его площадь

Как рассчитать площадь квадрата через диагональ

 

 

a — сторона квадрата

c — диагональ

 

Формула площади квадрата через сторону a, (S):

Формула площади квадрата

 

Калькулятор — вычислить, найти площадь квадрата:


 

Формула площади квадрата через диагональ c, (S):

Формула площади квадрата




Зная длину

и ширину прямоугольника, можно вычислить его площадь

Прямоугольник

 

 

b — длина прямоугольника

a — ширина прямоугольника

 

Формула площади прямоугольника, (S):

Формула площади прямоугольника

 

Калькулятор — вычислить, найти площадь прямоугольника:


Формула площади правильного многоугольника

 

 

— сторона многоугольника

n — количество сторон

 

Формула площади правильного многоугольника, (S):

Формула площади правильного многоугольника

 

 

Калькулятор — вычислить, найти площадь правильного многоугольника

www-formula.ru

Площадь трапеции / Площадь / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Площадь
  5. Площадь трапеции

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 480, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 495, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 512*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 518, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 527, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 621, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 625, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 725, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1070, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2019

Пользовательское соглашение

Copyright

budu5.com

Все варианты того, как найти площадь трапеции :: SYL.ru

Многоликая трапеция… Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

как найти площадь трапеции

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

  • высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
  • средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

высота трапеции

Если обозначить основания буквами а1 и а2, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

S = ((а1 + а2)/2)*н.

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

S = l * н.

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д1 и д2, а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

S = ((д1 * д2 )/2) * sin α.

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

средняя линия трапеции

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в1 и в2, основание а1 больше, чем а2. Тогда формула площади примет такой вид:

S = ((а1 + а2) / 2) * √ {в12 — [(а1 — а2)2 + в1 2 — в2 2) / (2 * (а1 — а2))]2}.

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

S = (4 * r2) / sin γ.

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

S = ((а1 + а2) / 2) * √ {в 2 — [(а1 — а2)2 / (2 * (а1 — а2))]2}.

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

как найти площадь прямоугольной трапеции

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

длина отрезка = √{(разность первых координат точек)2 + (разность вторых координат точек)2}.

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5)2 + (7-7)2} = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1)2 + (1-1)2} = √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5)2 + (7-1)2} = √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

как найти площадь трапеции по координатам

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм2). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм2.

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см2.

Ответ: S = 20 см2.

координаты вершин трапеции

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см2).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см2.

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н1, большей АОЕД — н2.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

(х + а2) * н1 = 1/5 (х + а1) * н2

или

н12 = (х + а1) / (5(х + а2)).

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

н12 = (х — а2) / (а1 — х).

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а1) / (5(х + а2)) равно (х — а2) / (а1 — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Ответ: х = √ {(а1 2 + 5 а2 2 ) / 6}.

www.syl.ru

Площадь трапеции: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Трапеция — специфический вид четырехугольника, две стороны которого параллельны друг другу, а две другие — нет. Несмотря на свой оригинальный вид, трапеция находит широкое распространение в реальности, поэтому расчет площади фигуры становится актуальной задачей не только в школьных упражнениях, но и в повседневности.

Геометрия трапеции

Трапеция и трапеза — однокоренные слова, ведь название фигуры произошло от греческого слова «трапезион», которое в переводе означает «стол». В геометрическом определении трапеция — четырехугольник, у которого две стороны лежат на параллельных прямых (основания фигуры), а две другие — на непараллельных (боковые стороны). Так как у данной фигуры есть две параллельных стороны, прямоугольник и параллелограмм можно считать частными случаями трапеции. Существует несколько видов трапеций:

  • разносторонняя — «классическая» трапеция с двумя непараллельными сторонами;
  • равнобокая (равнобедренная) — фигура, у которой боковые стороны равны, следовательно, равны и углы основания;
  • прямоугольная — четырехугольник, одна боковая сторона которого образует с основанием прямой угол.

Грубо говоря, трапецию можно представить как усеченный треугольник, вершина которого отсечена прямой, параллельной основанию. Именно поэтому разнообразие трапеций напоминает разнообразие треугольников.

Трапеция в реальности

Данная фигура встречается не только в геометрии, но и в реальности. Форму трапеции принимают такие реальные объекты, как автомобильные и обычные окна, скаты крыш, столешницы, паруса и даже юбки. Кроме того, название «трапеция» носят спортивный и цирковой снаряды, широкая мышца на спине, упражнение в конном спорте и многое другое. Такое распространение четырехугольника в реальности делает вопрос определения его площади актуальной задачей.

Площадь трапеции

Площадь геометрической фигуры — это числовая характеристика, показывающая, какая часть плоскости ограничена сторонами четырехугольника. Площадь трапеции определяется по простой формуле:

S = 0,5 (a + b) × h,

где a и b – основания фигуры, h – ее высота.

Площадь трапеции можно определить пятью способами разной степени сложности, однако в нашем онлайн-калькуляторе используется только два из них, которые оперируют:

  • двумя основаниями и высотой;
  • четырьмя сторонами трапеции и высотой.

Вы можете использовать любой способ в зависимости от того, какую форму имеет трапеция. Для равнобедренной вам понадобится замерить только основания и высоту, а для разносторонней или прямоугольной — все сторону и высоту. Таким образом, для определения площади фигуры вам понадобится измерить 3 или 5 параметров. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Автомобильное окно

Сегодня в автопроме правят бал обтекаемые формы, однако в советских автомобилях в почете были строгие геометрические фигуры. Дверные окна «Жигулей» имели форму прямоугольной трапеции, поэтому инженеры вычисляли площадь стекла по стандартной формуле. Давайте определим, сколько материала понадобилось бы для застекления одного дверного окна. Стандартное окно имеет приблизительно такие размеры: a = 90 см, b = 40 см, c = 60 см, а d = 50 см. Высота окна при этом составляетh = 50 см. Введем эти данные в форму и получим результат в виде:

S = 3 250

Таким образом, приблизительная площадь дверного окна «Жигулей» составляет 3 250 квадратных сантиметров или 0,325 квадратных метров.

Лисель

Лисель — это дополнительный парус в форме трапеции, который ставится с внешней стороны прямого паруса. Несмотря на то, что на современных судах лиселя уже не устанавливаются, мы можем подсчитать размер ткани, который понадобится нам для изготовления такого паруса. Допустим, размеры лиселя составляют a = 120 см, b = 100 см, h = 80 см. Используем эта данные для расчетов и получим

S = 8 800

Следовательно, площадь лиселя составляет 8 800 квадратных сантиметров или 0,880 квадратных метров.

Заключение

Трапеция — специфический четырехугольник, тем не менее, он широко распространен в повседневной жизни. Чаще всего с трапециями имеют дело инженеры и проектировщики, которые рассчитывают площади трапециевидных фигур при создании тех или иных изделий. Используйте наш сборник онлайн-калькуляторов для вычисления параметров любых плоских фигур или объемных тел.

bbf.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.