Площади объемных фигур: Формулы площадей и объёмов геометрических фигур — Шпаргалки ЕГЭ по математике – Формулы площадей и объемов геометрических фигур

Площадь поверхности и объем геометрических тел. Прямые призмы. Правильные пирамиды. Круговые цилиндры. Круговые конусы. Шар и его части. Примерно 8 класс (14 лет)

Прямые призмы (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)

Куб
Прямоугольный параллелепипед
Правильная треугольная призма
Правильная шестиугольная призма

Правильные пирамиды (Sполн=Sосн+Sбок; V=1/3•Sосн•H)

Тертраэдр
Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида
Sбок- площадь боковой поверхности многогранника, Sполн - площадь полной поверхности многогранника, Sосн - площадь основания многогранника, V - объем многогранника.

Круговые цилиндры (Sполн=2Sосн+Sбок; V=Sосн•H)

Прямой цилиндр
Прямой полый цилиндр

Круговые конусы

Прямой конус

Объем, Площадь поверхности, формулы объема

Стандартное обозначение объема есть V. Этим мы измеряем количество (наример, воды), которая может заполнить фигуру.
Только пространственные фигуры имеют объем. Например, треугольники, квадраты не имеют объема, но шар имеет объем (потому что он может быть заполнен чем-то, например водой).

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед это фигура, все стороны которой - прямоугольники.
Если длины стороны прямоугольника в основе есть a и b и третье ребро c
тогда формула объема есть:

$V = a \cdot b \cdot c$

Площадь поверхности:

S = $2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Куб

Куб есть параллелепипедом, все ребра (стороны) которого равны.

Если длина стороны куба равна a, тогда формула объема:

$V = a.a.a = a^3$

Площадь поверхности:

$S = 6a \cdot a = 6a^2$

Параллелепипед

Параллелепипед это фигура, все стороны которой - параллелограммы. Если площадь основы равна S и высота параллелепипеда равны h,
то формула объема есть:

$V = S \cdot h$

Пирамида

Пирамида это фигура, основа которой есть треугольник, параллелограмм (квадрат, прямоугольник) или другая фигура с n-углами и треугольными сторонами.
Если площадь основы есть S и высота пирамиды есть h,
тогда формула ее объема есть:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

Правильный тетраэдр

$V = \frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}$

Площадь поверхности:

$S = \sqrt{3}\cdot a^2$

Прямой круговой конус

Конус это фигура с основанием в виде окружности и имеющая одну вершину, как у пирамиды.
Если площадь основы есть S и длиныа стороны конуса равна h,
то формула объема есть:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$

Формула площади боковой поверхности конуса:

$S=\pi\cdot r \cdot l$

Формула площади полной поверхности конуса (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания):

$S=\pi\cdot r(r + l)$

Сфера

Сфера есть шар.
Она имеет радиус - расстояние от центральной точки сферы к поверхности. Если длина радиуса есть R, то формула объема есть:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

Площадь поверхности:

$S = 4\cdot\pi\cdot r^2$

Цилиндр

Цилиндр это фигура с двумя параллельными окружностями.
Если ралиус основы равен r и высота (расстояние между основами) цилиндра есть h,
то его объем вычисляется по формуле:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Прямой круговой цилиндр
Объём

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Площадь боковой поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Площадь полной поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$


Тест: объём и площадь поверхности

Расчет объёмов и площадей поверхностей простых фигур онлайн

Куб

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Прямоугольный параллелепипед

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Правильная пирамида

Усеченная правильная пирамида

Клин (основание - прямоугольник, боковые грани - равнобедренные треугольники и трапеции)

Усеченный клин (основания - прямоугльники, боковые грани не пересекаются в одной точке)

Цилиндр

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Кососрезанный цилиндр

Площадь полной поверхности, м2

Площадь кривой поверхности, м2

Раcчет

Полый цилиндр

Конус

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Усечённый конус

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Шар

Площадь поверхности, м2

Раcчет

Площади и объемы

Площади

История нахождения площадей фигур начинается еще с древнего Вавилона. Уже тогда вычисляли площади прямоугольника, а древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

В своих книгах «Начала» известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. Первые рукописи на Руси, в которых содержатся геометрические сведения, были написаны в $XVI$ веке. В них описаны правила нахождения площадей фигур различных форм.

Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.

Рассмотрим одну из простейших фигур -- прямоугольник -- и формулу нахождения его площади.

Формула площади прямоугольника

Рассмотрим фигуру (рис. 1), которая состоит из $8$ квадратов со сторонами по $1$ см. Площадь одного квадрата со стороной $1$ см называют сантиметром квадратным и записывают $1\ см^2$.

Площадь данной фигуры (рис. 1) будет равна $8\ см^2$.

Площадь фигуры, которую можно разбить на несколько квадратов со стороной $1\ см$ (например, $p$), будет равна $p\ см^2$.

Другими словами, площадь фигуры будет равна стольким $см^2$, на сколько квадратов со стороной $1\ см$ можно разбить эту фигуру.

Рассмотрим прямоугольник (рис. 2), который состоит из $3$ полос, каждая из которых разбита на $5$ квадратов со стороной $1\ см$. весь прямоугольник состоит из $5\cdot 3=15$ таких квадратов, и его площадь равна $15\ см^2$.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Площадь фигур принято обозначать буквой $S$.

Для нахождения площади прямоугольника нужно его длину умножить на ширину.

Если обозначить буквой $a$ его длину, а буквой $b$ - ширину, то формула площади прямоугольника будет иметь вид:

Определение 1

Фигуры называют равными, если при наложении их одна на другую фигуры совпадут. Равные фигуры имеют равные площади и равные периметры.

Площадь фигуры можно найти как сумму площадей ее частей.

Пример 1

Например, на рисунке $3$ прямоугольник $ABCD$ разбит на две части линией $KLMN$. Площадь одной части равна $12\ см^2$, а другой - $9\ см^2$. Тогда площадь прямоугольника $ABCD$ будет равна $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$. Найдем площадь прямоугольника по формуле:

\[S=a\cdot b=3\cdot 7=21\ см^2.\]

Как видим, площади, найденные обоими способами, равны.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Отрезок $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника: $ABC$ и $ADC$. Значит площадь каждого из треугольников равна половине площади всего прямоугольника.

Определение 2

Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом.

Если обозначить сторону квадрата буквой $a$, то площадь квадрата будет находится по формуле:

\[S=a\cdot a=a^2.\]

Отсюда и название квадрат числа $a$.

Пример 2

Например, если сторона квадрата равна $5$ см, то его площадь:

\[S=a^2=5^2\ см^2=25\ см^2.\]

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур -- куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Рисунок 5.

Сравнить объемы двух сосудов можно, наполнив один водой и перелив ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется полностью заполненным, то сосуды имеют равные объемы. Если при этом в первой вода останется, то объем первого сосуда больше объема второго. Если при переливании воды из первого сосуда не удается полностью заполнить второй сосуд, значит объем первого сосуда меньше объема второго.

Объем измеряется с помощью следующих единиц:

$мм^3$ -- миллиметр кубический,

$см^3$ -- сантиметр кубический,

$дм^3$ -- дециметр кубический,

$м^3$ -- метр кубический,

$км^3$ -- километр кубический.

Пример 3

Например, сантиметр кубический -- это объем куба с ребром $1\ см$ (рис.~6).

Замечание 1

Дециметр кубический еще называют литром.

\[1\ л=1\ дм^3.\]

На рисунке $7$ фигура состоит из $4$ кубиков с ребром $1\ см$. объем такой фигуры равен $4\ см^3$.

Рисунок 6.

Рисунок 7.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед длиной $4$ см, шириной $3$ см и высотой $2$ см (рис. 8, а). Разделим его на $2$ слоя толщиной $1$ см (рис. 8, б).

Разделим каждый из слоев на $3$ столбика длиной $4$ см (рис. 8, в), а каждый столбик -- на $4$ кубика с ребром $1$ см (рис. 8, г).

Рисунок 8.

Объем каждого кубика равен $1\ см^3$, объем каждого столбика -- $4\cdot 1\ см^3=4\ см^3$, объем каждого слоя -- $3\cdot 4\ см^3$. Тогда объем всего прямоугольного параллелепипеда -- $2\cdot \left(4\cdot 3\right)\ см^3=24\ см^3$.

Таким образом, для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда нужно его длину умножить на ширину и на высоту.

Объем фигуры принято обозначать буквой $V$.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Определение 3

Куб -- прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Если ребро куба равно $a$, то формула объема куба будет иметь вид:

\[V=a\cdot a\cdot a=a^3.\]

Отсюда и название куб числа $a$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *