Площади простых фигур: Тема: «Площади простых фигур» — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 14.02.197613.02.2022 by alexxlab

Содержание

Конспект и презентация к уроку математики «Площади простых фигур»; 9 — 11 классы — К уроку — Математика, алгебра, геометрия

Учитель Марченко М.А.

МКОУ СОШ№6

Г. Минеральные воды

; ■

Цели и задачи урока: Учебные:

> проверить и систематизировать знания учащихся по данной
теме.

> закрепить умения учащихся применять формулы нахождения площадей фигур при решении задач.

готовность учащихся к успешной сдаче ГИА.
установить межпредметные связи с алгеброй, географией,
физикой.
научить применять полученные знания в жизни и на
практике.

Развивающие и способности:

развитие у учащихся самостоятельности и способности к
самоорганизации.
повышение уровня математической культуры учащихся.

Воспитательные:

способствовать воспитанию эстетических качеств личности.

I. Вступительное слово учителя. ,

На сегодняшнем уроке я жду от вас активной работы, блестящих ответов, максимального усвоения учебного материала для успешной сдачи ГИА и для дальнейшего обучения в старших классах потому, что сегодня на уроке мы будем вместе систематизировать , обобщать материал по теме: «Площади плоских фигур», а также узнаем, в каких областях науки используются знания в вычислении площадей, а также покажем, что знания по этой теме имеют практическое значение. Задача моего урока, чтобы приобретенные знания и умения на сегодняшнем уроке использовались вами в практической деятельности и повседневной жизни.

II.Актуализация опорных знаний и умений

Задание. Принимая площадь клетки за 1 ед

2, используя формулу площади, вычислите площадь каждой фигуры

III. Репортаж с хозяйственного магазина. Мотивация обучения.

(слайд3)

Далее детям предлагается решить такую задачу:

Строителям нужно выложить плиткой потолок в комнате прямоугольной формы. Её длина 5 м, ширина 4м. Плитка имеет форму квадрата со стороной 0,5 м. Сколько штук плитки нужно купить?

Задача решается на доске, а затем показывается решение на слайде.

1. Работа с тестами (слайд7).

2. Каждому ученику выдаётся «шпаргалка»

4.Поэтическая минутка. Вниманию учеников предлагаются стихи направленные на лучшее усвоение формул площадей плоских фигур.

а) Друзья мои, легко найти S параллелограмма. Вы помножьте а на

в и на синус гамма.

(S=absiny).

б) Площадь трапеции ты знаешь, посчитай я подожду. Полусумму
оснований ты умножь на высоту.

в) Площадь треугольника, знать конечно надо: мы умножим а на h
и разделим на 2.

3. Показ слайда «Из истории геометрии.»

4. Показ слайда. Где применяются знания в вычислении площадей.

5. Связь уроков геометрии с географией. Учащимся предлагается решить задачу такого содержания.

Опытный земельный участок, прилегающий к пойме реки Урал на плане изображен в виде многоугольника в,масштабе 1:10000. Выполнить необходимые измерения и вычислить: а) длину границы участка б) площадь участка в) валовой сбор зерна со всего участка, если средняя урожайность пшеницы 45 ц с 1га.

6. Физкультминутка.

7. Решение задачи.

Сборник задач под редакцией Лысенко для подготовки к ГИА вариант 19 № 16. Найдите площадь прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 130.

8. Класс решает задачу (условие показывают на слайде), а в это время один ученик выводит формулу площади равностороннего треугольника.

9. Показ слайда «Использование площадей в пирамидах».

10. Выставление оценок.

11. Подведение итогов урока.

12. Выставление оценок.

13. Подведение итогов урока.

Список литературы.

Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»,

М.М. Лиман « Школьникам о математике и математиках»,

А.П. Доморяд « Математические игры и развлечения»

Издательский дом «ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ» ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ГАЗЕТА «Математика» 2002 год

Интернет-ресурсы http://motivators.ru/node/15153

Площади простых фигур. Автор учебника: Атанасян Л.С. 8 класс

1. Площади простых фигур Автор учебника: Атанасян Л.С. Учитель: Е.Н.Молодых

8 класс
Площади
простых
фигур
Атанасян Л.С.
Учитель: Е.Н.Молодых
Автор учебника:

2. Цель:обобщение и систематизация знаний

Задачи:
○ закрепить умения применять формулы
вычисления площадей фигур при решении
задач;
○ закрепить практические умения при
вычислении площади ;
○ развивать логическое мышление,
математическую речь, вычислительные
навыки.

3. Формулы для вычисления площади простых фигур

1.
Квадрат
S = a²
S= ab
2. Прямоугольник
3. Трапеция
S
a b
h
2
4. Параллелограмм
S = ah
5. Прямоугольный
треугольник
1
S ab
2
6. Произвольный

треугольник
7. Ромб
d1d 2
S
2
S = ah
1
S ah
2

4. Игра — конкурс

команды
1. Разминка
Вариант № 1
1) Как изменится площадь квадрата, если его
сторону уменьшить в 5 раз?
Уменьшится в 5 раз
Уменьшится в 20 раз
Уменьшится в 25 раз
2) Площадь этого треугольника
равна …
2
7
15 см
2
14 см
2
13 см
4
3) ABCD – параллелограмм. Равные
площади имеют треугольники….
ABD и AОD
Нет ответа
ABO и OCD
4) Сравните площади заштрихованных — S1 и
незаштрихованных -S2 частей квадрата.
Точки K, L – середины сторон.
S1 > S2
L
S1
S1 = S2
К
Нельзя сравнить
Вариант № 1
1)Как изменится площадь квадрата, если его
сторону увеличить в 5 раз?
Увеличится в 5 раз
Увеличится в 20 раз
Увеличится в 25 раз
2) Площадь этого равностороннего треугольника
равна…
4
2
12 см

2
2
см
4
2
8 см
3) ABCD – трапеция.

Равные площади имеют
треугольники …….
ABD и ACD
Нет ответа
ABO и BOC
4) Сравните площади заштрихованных — S1 и
незаштрихованных -S2 частей квадрата.
Точки K, L – середины сторон.
L
S1 > S2
S1
S1 = S2
S1
Нельзя сравнить
К
2. Самый быстрый
Решить задачу и записать
ответ на доске
B
8см
C
Дано:ABCD-трапеция
AD=12 см; BC=8см
AB=6 см
A=30°
6см
A
30º
D
Найти: S трапеции ABCD

8. Решение:

B
8см
C
6см
A
30º
D
SABCD= BK×(AD+BC)÷2
SABCD= 3×(12+8) ÷2
=60÷2=30(см²)
Найти площадь
5
3

10. Найти площадь

В
45°
А
8
Д
С
6

11. 3. Решение задач с помощью конструктора

Дан равнобедренный
прямоугольный треугольник,
катет которого равен 4см

Построить:
1) Ромб,
S ромба 32см2
2) Прямоугольник,
3) Квадрат,
4)
Трапецию,
Sпр 32см2
S кв 64см 2
Sтр 32см 2

12.

4. Вопрос — ответ Продолжить предложение:
1.Площадь прямоугольника равна …
2.Площадь ромба равна половине
произведения…
3.По формуле S a ha можно вычислить
площадь …
4. Площадь трапеции ABCD с основаниями
AB и CD и высотой BH вычисляется по
формуле …
Вопрос — ответ
5. Площадь прямоугольного
треугольника равна …
6. Площадь квадрата равна …
7. Площадь параллелограмма равна
произведению…
8. По формуле S d1 d 2
2
можно вычислить площадь …

14. Вопрос – ответ

9. Площадь трапеции ABCD с
основаниями BC и AD и высотой CH
вычисляется по формуле …
10. Площадь треугольника равна …

15. Чемодан знаний – наш багаж

Решить задачи:
№ 480 (а)
№ 482

16. № 480 (а) Дано: ABCD – трапеция AB = 21 см; CD = 17 см; BH = 7см – высота. Найти: S трапеции ABDC.

№ 480 (а)
Дано:
ABCD – трапеция
AB = 21 см;
CD = 17 см;
BH = 7см – высота.
Найти: S трапеции ABDC.

17. № 480 (а) Решение:

SABCD = BH (AB + CD) 2
SABCD = 7 (21 + 17) 2 = 38 7 2 =
19 7 = 133(см2)
Ответ:133 см2

18. № 482

Дано:
ABCD – трапеция;
AB = CD,
B = 135° KD = 3,4 см;
AK = 1,4 см BK – высота.
Найти: S трапеции ABCD.

19. № 482 Решение:

Решение:
1) В ABK K = 90о ABK = 135о – KBC = 45о A =
90о – ABK = 45о
2) Проведём высоту СE, тогда KBCE –
прямоугольник и BC = KE, а DCE –
прямоугольный, D = 45о
3) ABK = DCE по гипотенузе и острому углу (AB =
CD, A = D)
DE = AK = 1,4 см, значит KE = 2 см, BC = 2 см
4) AD = AK + KD = 1,4 + 3,4 = 4,8 см
SABCD = BK (BC + AD) 2
SABCD = 1,4 (2 + 4,8) 2 = 4,76(см2)
Ответ: 4,76см2
6.КРОССВОРД
Т
В ЫС О Т А
Р
У
Р
Г
Е
О
М
У
П А Р А Л Л Е Л О Г Р А ММ
П
Д
О
Е
И

Л
Ц
А
Ь
И
Н
Н
Я
А
Г И П О Т Е Н У З А
К

22.

Домашнее задание: № 466, 469

23. Подведение итогов

СПАСИБО ЗА УРОК !

24. Подведение итогов:

Определение победителя
Разм Сам. Конс Вопр Бага Кросинка быстр -ор
— отв ж
рд

Равенство геометрических фигур и площадь фигуры

Определение. Фигуры, которые можно наложить одна на другую так, чтобы они совместились, называются равными фигурами.

Для обозначения равенства фигур используется знак равенства в кратком наименовании фигур.

Пример. Два треугольника равны, но один по отношению к другому смещен но плоскости листа и повернут на 180°. ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Тогда ΔABC = ΔA₁B₁C₁ если:

1) AB = A₁B₁ BC = B₁C₁ AC = A₁C₁
2)∠A = ∠A₁ ∠B = ∠B₁ ∠C = ∠C₁

Равные фигуры имеют равные площади.

Существуют формулы площади для всех простейших многоугольников и круга. Для составных фигур площадь определяется как сумма площадей простых фигур. Так, шестиугольник можно разбить па 2 треугольника и четырехугольник, определить площади каждого из них, а потом сложить.

Единицами площади служат единицы измерения длинны (мм, дм, см, м, км) в квадрате (перемноженные дважды: мм², см², дм², м², км²) или специальные единицы площади (ар, или «сотка»; гектар).

Единицы площади — величины взаимосвязанные:
1 см² = 100 мм²
1 дм² = 100 см²
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²

1 км² = 1 000 000 м²
1а = 100 м²
1 га = 100 а = 10 000 м².

Формулы для вычисления площади простых геометрических фигур

S = a ²

Площадь квадрата, где а — сторона квадрата.

S = a * b

Площадь прямоугольника, где а — длина; Ь — ширина прямоугольника.

S = ½ * a * h

Площадь треугольника, где а — сторона треугольника; Н — высота треугольника, проведенная к этой стороне.

Если фигура сложной конфигурации состоит из нескольких простых фигур, то необходимо посчитать по формулам площади простых фигур, а потом эти площади сложить.

Примеры.

Вычислить площадь квадрата со стороной 5 см.
Решение: Формула площади квадрата:S=a2. Подставим значение его стороны в формулу: S = 5 * 5 = 25 (см²).
Ответ: 25см².
Вычислить площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 30 мм.
Решение: Формула площади прямоугольника: S = a * b. Так как длины сторон заданы в разных единицах измерения, то приведем обе стороны к измерению в сантиметрах: 30 мм = 3 см.
Подставим значения сторон в формулу:
S = 5 * 3 = 15 (см²)
Ответ: 15 см²

Площади геометрических фигур — Справочник химика 21

Живое сечение двуугольного канала определяется из рассмотрения площадей геометрических фигур (рис.

1-19) [c.25]
Для определения числа проходов и массы наплавленного мет алла требуется узнать площадь сечения швов, которая представляет собой сумму площадей элементарных геометрических фигур их составляющих. [c.182]

При изучении внешнего трения твердых тел важно правильно оценивать площадь фактического контакта 5ф, зависящую от механических свойств фрикционной пары, шероховатости поверхностей и силы нормального давления. Первые методы расчета были основаны на моделировании макронеоднородностей поверхности каким-либо одним видом геометрической фигуры (шар, конус, эллипсоид и др.) и на предположении, что деформация совокупности локальных контактов при выбранной модели является либо чисто упругой, либо пластической, либо упругопластической [13.3]. [c.359]

II вариант. Форму свища нельзя отнести ни к одной типовой геометрической фигуре. Измерения на месте показали, что площадь отверстия составляет 1,95 Ю-з м , периметр отверстия — 5,9 Ю-з м. [c.147]

При проведении анализа с обратной. продувкой колоики суммарная площадь углеводородов Св+выше может фиксироваться а хроматограмме в виде неполностью разделенных пиков. В этом случае общая площадь, соответствующая содержанию углеводородов Сб+выше, разбивается на ряд правильных геометрических фигур, площадь которых вычисляется раздельно, а затем суммируется (черт. 8, 9). [c.148]

Разбивка суммарной площади пика углеводородов на ряд правильных геометрических фигур [c.149]

Различие в химических потенциалах молекул на поверхности и молекул в объеме капли жидкости наглядно проявляется в. стремлении жидкостей, не ограниченных стенками сосуда, принимать форму шара. Одно из свойств шара заключается в том что он является геометрической фигурой с наименьшим отношением площади поверхности к объему. Следовательно, на поверхности сферической капли находится меньший процент общего числа молекул, чем на поверхности любой другой фигуры. Это говорит не только о том, что химический потенциал поверхностных молекул отличается от химического потенциала молекул в объеме жидкости, но и о том, что химический потенциал поверхностных молекул выше, чем молекул в объеме жидкости. Молекулы предпочитают упаковку в объеме. [c.53]

Нумерацию расчетных точек главного коллектора начинаем от очистных сооружений. Затем приступаем к определению площадей я расчетных расходов, тяготеющих к проектируемым линиям. Жилые кварталы после их нумерации делим биссектрисами углов на геометрические фигуры — треугольники и трапеции. [c.83]

Из всех геометрических фигур шар, как известно, отличается наименьшим отношением площади поверхности 5 К объему V. Чем больше поверхность электрода, тем больше сила тока, обусловленного электролитическим накоплением при данной концентрации деполяризатора в растворе, и сила тока окисления амальгамы при данной ее концентрации.

При большем объеме электрода при данной его поверхности концентрация амальгамы, образовавшейся за время [c.116]

Площадь здания — произведение длины на его ширину длину и ширину здания принимают по внешнему очертанию стен на уровне выше цоколя, включая слой штукатурки и облицовки. Если здание в плане представляет сложную геометрическую фигуру, то ее при измерении разбивают на простые (прямоугольники, треугольники и т. д.) общую площадь определяют по сумме площадей простых фигур. [c.213]

Площади несимметрических пиков определены комбинированием площади ника из различных геометрических фигур (трапеция, прямоугольник). Некоторые хроматограммы были вырезаны по пикам и пики взвешивались. Максимальное расхождение результатов достигало 20 %, что в данном случае можно считать удовлетворительным. [c.145]

Помимо графического метода вычисления интегралов, существуют и другие приближенные способы нахождения интегралов, весьма употребительные на практике. Так как определенный интеграл геометрически выражает собою некоторую площадь, то его вычисление можно заменить вычислением площади соответствующей фигуры. Если график интегрируемой функции нанесен на клетчатую бумагу, причем площадь каждой к-тетки известна, то вычисление интеграла сводится к подсчету числа клеток и их частей. [c.73]

Площадь боковой поверхности винта можно определить по следующей схеме найти длину винтовой линии, образованной центрами сечений винта, и умножить ее на периметр геометрической фигуры, полученной нри проектировании окружности на плоскость, перпендикулярную к направлению элемента винтовой линии. [c.50]

Площади и некоторые данные о важнейших геометрических фигурах [c.21]

Определение площади заготовки, ограниченной сложным геометрическим контуром. Заготовка задается координатами опорных точек с указанием линий между ними. Площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутым контуром, может быть вычислена по формуле [c. 86]

Указанные выше трудности связаны с неравномерностью в скоростях продвижения реакционной поверхности раздела. Некоторые дополнительные трудности появляются, когда форма поверхности твердого реагента сильно отличается от формы простой геометрической фигуры с самого начала и до конца процесса форма поверхности часто слишком сложна, чтобы можно было просто оценить площадь поверхности. Тогда, как и выше, попытаемся использовать графики или макеты. Однако оказывается, что чаще всего образец можно уподобить некоторому телу или же совокупности тел такой геометрической формы, которая легко поддается расчету. Так, реальный кристалл без большой ошибки можно представить параллелепипедом, призмой, опирающейся на многоугольник, или даже эллипсоидом. То же относится и к частицам порошка, если только они не обладают заметной пористостью. В частности, когда порошок приготовлен при высокой температуре, как правило, можно считать, что зерна, из которых он состоит, близки по форме к эллипсоиду. [c.226]

Площади, поверхности и объемы основных геометрических фигур и тел [c.15]

Для выявления площадей, тяготеющих к каждому расчетному участку, площади кварталов делятся биссектрисами углов на геометрические фигуры — треугольники и трапеции. [c.51]

Находят также сумму интенсивностей кристаллических пиков— К + К2 + Кз + Ка. Площади под кривыми можно определять планиметром или взвешиванием вырезанных из ленты пиков , однако проще всего (и не менее точно) аппроксимировать их треугольниками или другими простыми геометрическими фигурами, следя только за тем, чтобы при проведении прямых [c.15]

На рис. 57 изображены геометрические фигуры и написаны формулы, пользуясь которыми, подсчитывают площадь поверхности. [c.87]

Определение площади листа по его параметрам. Метод основан иа сопоставлении фигуры листа с некоторой простой геометрической фигурой, достаточно хорошо совпадающей с конфигурацией данного листа. [c.118]

По данным измерений можно построить поперечный профиль русла реки и посчитать площадь водного сечения, т.е. сечение потока реки воображаемой плоскостью в месте промерного створа (рис. 7). Площадь этого сечения можно найти как сумму площадей простых геометрических фигур, образованных промерными вертикалями. Этими фигурами могут быть повернутые под 90о прямоугольные трапеции ( 2, Зз и 85), прямоугольники (84) или прямоугольные треугольники (31), площадь которых определяется по известным правилам — площадь прямоугольной трапеции равняется произведению полусуммы оснований (в примере — Ь1 и Ьг) на высоту, площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов, а площадь прямоугольника произведению двух его сторон. В нашем случае основаниями, катетами и сторонами фигур будут измеренные глубины и расстояния между промерными точками. Полученную площадь сечения необходимо записать в журнал в таблицу 7. [c.23]

Из всего разнообразия идеальных тахограмм можно выделить три принципиально различные по виду треугольную, прямоугольную и трапецеидальную (рис. 2.10). Геометрической общностью приведенных фигур должно быть равенство их площадей. Этим отображается общее для всех законов движения выходного звена условие полного перемещения на расстояние за требуемое время /п- Связь между этими величинами устанавливается геометрическим истолкованием интеграла функции м =Ф (/) [c.87]

Геометрически для неотрицательной при х а функции /(ж) несобственный интеграл (1) (по аналогии с собственным интегралом — 23, п. 2) представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции у = /(ж), слева отрезком прямой ж = а, снизу осью Ох (рис. 63). [c.120]

Площади поверхности детален, имеющих фор.му прямых геометрических тел (призмы, конуса, цилиндра), определяются по известным из геометрии формулам расчета поверхности. Площадь поверхности деталей, имеющих сложную конфигурацию, условно разделяют на более простые элементы, площади которых можно легко вычислить отдельно. При этом участки площади поверхности, имеющие неправильную форму, приближенно приравнивают к более простым фигурам — треугольнику, прямоугольнику, кругу, пренебрегая такими малыми участками деталей, как фаски, радиусы, закругления, шлицы. [c.25]

Условия упаковки накладывают определенные ограничения на форму мицеллы и, пользуясь ими, можно попытаться угадать форму мицеллы того или иного ПАВ [185]. Примерный подход с использованием уравнения упаковки (39.2) выглядит следующим образом. Придумываются различные геометрические формы тела (эллипсоид, тороид и т. д.) и для них вычисляется фактор g. Составляется таблица значений g для разных форм. Затем, обращаясь к конкретному ПАВ, оценивается посадочная площадь его полярной группы, площадь сечения его углеводородной (фторуглеродной) части и соответствующее значение g по формуле (39.2). Обращаясь к таблице, определяют, какой фигуре отвечает это значение, и тем самым предсказывают форму мицеллы. Для неионных ПАВ, например, сферическим мицеллам соответствует интервал а 0,70 н. м , цилиндрическим 0,70 > а > 0,47 нм и пластинчатым а между этими интервалами как-то распределяются и мицеллы других умозрительных форм. Такой чисто геометрический подход сразу позволяет выявить случаи, когда та или иная форма не реализуется из-за невозможности упаковки полярных групп (скажем, если минимальная возможная площадь полярной группы ап больше 2v/L то преимущество получает сферическая упаковка), но не решает полностью проблему полиморфизма мицелл. Чтобы охватить ее с нужной глубиной, необходимо обратиться к энергетике превращений и к общим термодинамическим принципам. [c.194]

Из рис. 3 следует, что когда l/W-j = W i, увеличение энтропии системы отображается площадью геометрической фигуры 2г-1г-2х-1х. Уменьшение площади этой фигуры означает уменьшение А S процесса теплообмена, следовательно, уменьшение потерь П г. Как следует из уравнений (5, 6, 7) и рис. 3, для уменьшения необходимо стремиться к выравниванию Wr-j и, т.е. во всех УТ системы и снижать до оптимального уровня значение ЛТтСп. во всем диапазоне температур, в которых осуществляется теплообмен. [c.43]

Площадь сечения стыкового шва с V- образной разделкой и с по,цваркой (рис.5.15) определяется как сумма геометрических фигур [c.182]

Геометрия реакционного объема шахтных печей. Профиль шахтных печей может иметь цилиндрическую, коническую, прямоугольную форму или быть совокупностью ряда геометрических фигур. Для определения геометрии задается часовая производительность д, у — насыпная масса, время каждого термотехнологического процесса т , т , Тд,. .. и суммарное время процесса Тобщ. Задаются формой поперечного сечения шахты и определяют ее площадь F. Далее рассчитывают скорость движения исходного материала в печи [c.187]

В результате анализа графического построения, показанного на рис. 14-3, можно вывести аналитические выражения для угл 0вого коэффициента многих геометрических форм без всякого интегрирования. Это подтверждается следующим примером. Угловой коэффициент, с которым элемент площади dA излучает на прямоугольник А, можно определить, когда dA расположен (параллельно прямоугольнику А и ниже его угла. Это показано на рис. 14-6, где площадь А разделена на два треугольника линией АС. Там же показано геометрическое построение треуголь-йика AB . Фигура ОВ»С», которая определяет угловой коэффициент, является проекцией сектора ОВХ большого круга. Площадь сектора ОВ С равна величине рг/2я, умноженной на площадь круга, или Pi/2 (радиус сферы выбран равным 1). Отсюда площадь сектора О В» С» равна (Pi/2k) sin О]. Таким же способом находим, что угловой коэффициент треугольника A D равен (Рг/2я) sin 02. Угловой коэффициент прямоугольника равен сумме угловых коэффициентов двух треугольников, или 488 [c.488]

Если распределение некоторого компонента в системе представить графически (рис. 3.4) как функцию координаты X, то объемы У, Кг и К будут соответствовать длине отрезков Охо, х В и 05. Геометрическим образом распределения компонента в гипотетической системе являются площади прямоугольников с основаниями по линиям С1 и Сг, а в реальной системе — площадь фигуры под кривой с,(д ). Эти образы наглядно демонстрируют, что суммарная площадь двух прямоугольников и площадь под кривой могут не совпадать по величине и что количество компонента в гипотетической системе (площадь двух прямоугольников) зависит от положения межфазной границы хд и поэтому не может быть объективной величиной, в то время как в реальной системе количество ком1Юнента является объективным параметром системы, не зависящим от выбора положения границы. Несмотря на произвольность одной величины и объективность другой, нельзя отдать предпочтение только последней, так как невозможно отказаться от понятия гипотетической межфазной поверхности с нулевой толщиной. [c.550]

Полученный результат, близкий к универсальному, подтверждается соответствующими геометрическими оценками. Так, из рис. 2.12, б видно, что одна из половин профиля зоны захвата, лежащая выше очки контакта шаров К, состоит из четырех приблизительно одинаковых треугольных фигур, условно разделенных осью У и перпендикулярной ей осью, проходящей через точку М. Поэтому объем зоны захвата можно определить как сумму объемов тел вращения (рис. 2.12, б) сдвоенной центральной фигуры (расположена ниже уровня точки М) я фигуры, состоящей из двух хвостовых частей (выше уровня точки М). Что касается фигуры, расположенной ниже точки М (между точками М и К), то объем тела вращения этой фигуры по аналогии с (2.23) п(г У 12К, а площадь самой этой фигуры ЗR (если использовать приближенную формулу для расчета площади сегмента) при этом радиус центра тяжести этой фигуры, сходной с хвостовыми фигурами Зг,74. Объем тела вращения двутс опрокинутых хвостовых фигур определяется как произведение почти той же площади на длину окружности, имеющей радиус, равный радиусу центра тяжести 5 /4 5п(г у/6Л. Тогда суммарный объем зоны захвата 0,о=4тг(к ) ЗR. Приравнивая это выражение и выражение (2.23), приходим к полученной ранее зависимости (2.25). [c.64]

Однако в практике такого случая быть не может, так как погонная нагрузка на 1 м ленты колеблется от i/min до q ax и масса р прошедшего через весы материала геометрически интерпретируется площадью фигуры (рис. 187, в), причем кривая кг,… Лп , kn является функцией, характеризующей изменение погонной нагрузки достаточной степенью точности площадь, ограниченная осью абсцисс, прямыми aki и кпЬу и кривой к],.. ., к , может быть представлена как сумма площадей заштрихованных прямоугольников (рис. 187, в). [c.291]

Площади фигур. Геометрия, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Вход Вход Регистрация Начало Новости ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Обновления Переменка Поиск по сайту Отправить отзыв
org/BreadcrumbList»>
Предметы

Геометрия

8 класс

Площадь многоугольника. Свойства площадей

Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции

Теорема Пифагора.
Доказательство

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2022 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение
Узнаем как найти геометрические площади фигур
Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью. Площади фигур – это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.
Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:
1. Площади простых фигур – скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:
– у равных фигур – равные величины площадей;
– если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь – сумма площадей данных фигур;
– квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.
2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) – положительные величины, имеющие свойства:
– у равных многоугольников – одинаковые величины площадей;
– в случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.
В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) – положительные величины.
Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность данного круга – при том, что число его сторон стремится к бесконечности.
Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.
Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет до нашей эры были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них – те же, что и в настоящее время. Площади геометрических фигур, имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.
Вычисление площадей простых фигур (треугольника, прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:
1. Чтобы рассчитать площадь квадрата, нужно длину его стороны умножить саму на себя (или возвести во вторую степень).
2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.
3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.
4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.
5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.
6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «π».
7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.
8. Площадь ромба – ½ результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.
9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции – перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.
Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.
Формулы площадей
На завтрак были круглая яичница, параллелепипедная булочка
и кофе в цилиндрической кружке.
Геометрия мне очень даже пригодилась в жизни, да.
       В стать «Есть ли у треугольника площадь» мы рассмотрели основные формулы для нахождения площади простейших геометрических фигур. Для решения большинства задач по нахождению площади плоских фигур эти формул вполне достаточно. Их обычно используют при решении типовых задач на контрольных или при сдаче ЕГЭ. Но вы должны понимать, это далеко не полный список формул для нахождения площади геометрических фигур. Более того, это лишь вершина айсберга. Взгляните что там, в глубине.

Формулы площади квадрата
      Всем хорошо известны формулы для нахождения площади квадрата с известной стороной или диагональю. Но как быть, если эти величины нам неизвестны? Все очень просто! Нам помогут формулы для нахождения площади квадрата через:

радиус вписанной окружности

радиус описанной окружности
линию выходящую из угла на
середину стороны квадрата
через периметр
Формулы площади прямоугольника
      Для прямоугольника помимо общеизвестной формулы нахождения площади перемножением длин двух его сторон существуют формулы для нахождения площади через:
известные диагонали и угол между ними
известную длину стороны и угол между этой стороной и диагональю
известный периметр и длину одной стороны
Формулы площади треугольника
    Все хорошо знают три основные формулы нахождения площади треугольника. Добавлю еще парочку:
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
здесь p=(a+b+c) — полупериметр
по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формулы площади параллелограмма
    Для нахождения площади параллелограмма также существует несколько дополнительных формул:
по известным диагоналям и углу между ними
по двум известным высотам и углу между ними
        Как вы могли заметить, некоторые формулы для нахождения площадей очень похоже. Строго говоря, квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция и параллелепипед являются частными случаями другой геометрической фигуры — выпуклого четырехугольника. Поэтому, зная формулы для нахождения площади четырехугольника, всегда можно найти площадь любой другой фигуры.
Формулы площади четырехугольника
формула площади выпуклого четырехугольника по известным длинам диагоналей и углу между ними
формула площади выпуклого четырехугольника по длине периметра и радиусу вписанной окружности
здесь p= (a+b+c+d)/2 — полупериметр
формула площади выпуклого четырехугольника по известным длинам сторон и значениям противоположных углов
здесь p=(a+b+c+d)/2 — полупериметр
Θ=(f1+f2)/2 — полусумма углов
формула площади выпуклого четырехугольника вокруг которого можно описать окружность
здесь p=(a+b+c+d)/2 — полупериметр
      Теперь вы знаете достаточно формул для нахождения площадей плоских фигур. Этого вполне достаточно для того спокойно чувствовать себя на экзамене и чтобы спокойно решать простейшие задачки по ЕГЭ. Но не надо думать, что способы нахождения площади ограничиваются этими формулами. Ведь помимо уже известных вам треугольников и квадратов существует огромное множество самых разнообразных геометрических фигур, таких как вогнутые четырехугольники, выпуклые и вогнутые многоугольники, а также фигуры , вообще не имеющие какой-либо определенной формы. Кроме того, существуют способы нахождение площади по формулам аналитической геометрии (когда известны координаты вершин или вектора сторон), или с помощью интегрального исчисления.
Ну а в заключение хочу вам представить еще одну универсальную формулу − формулу для нахождения площади эллипса: площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число ∏
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Площадь простых фигур | Мир математики Пасси

Источник изображения: http://rackcdn.com
Периметр — это расстояние вокруг внешней стороны объекта, а Площадь — это количество пространства внутри двумерного плоского объекта.
В этом посте мы рассмотрим площади геометрических фигур. Однако мы не рассматриваем составные области или круги, так как они будут рассмотрены в других статьях.
Области важны для геодезистов, градостроителей и советов.

Источник изображения: http://clcreport.files.wordpress.com

Авиационные инженеры определяют площади крыльев самолетов при исследовании аэродинамических свойств и конструкций.

Источник изображения: http://www.grc.nasa.gov
Площадь
также очень важна для строителей при расчете стоимости материалов.

Источник изображения: http://www.ebricksolutions.com
Людям, работающим с осветительными и медиапроекторами, необходимо понимать математику, связанную с рассеиванием и интенсивностью света.

Источник изображения: http://www.sciencebuddies.org
Теперь, когда мы знаем, насколько важна площадь в нашей повседневной жизни, давайте начнем изучать математику вычисления площадей.
Вот отличное музыкальное видео, чтобы посмотреть все о Периметре и площади.
[youtube http://www.youtube.com/watch?v=D5jTP-q9TgI]
Различные формы имеют разные формулы площади.
Площадь прямоугольника
Очень простая форма — «Прямоугольник».
Прямоугольник имеет площадь основания x высоту, которую иногда называют длина x ширина или длина x высота.

Источник изображения: http://www.k6-geometric-shapes.com
Мы можем доказать эту формулу, нарисовав целую кучу прямоугольников и посчитав, сколько квадратов находится внутри них.

Источник изображения: http://www.geom.uiuc.edu
Однако не все фигуры так просты, как прямоугольник. Если мы сдвинем прямоугольник в сторону, мы получим параллелограмм.
Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна площади = основание x высота
Вот видео о площади параллелограмма.
[youtube http://www.youtube.com/watch?v=dLZd1MD9kaw]
Как вам такой параллелограмм в реальной жизни!

Источник изображения: http://www.elec-intro.com
Площадь треугольника

Мы могли бы вычислить площадь треугольника, нарисовав его в масштабе на сетке и посчитав квадраты.

Источник изображения: http://www.geom.uiuc.edu

Но гораздо проще измерить основание и высоту треугольника и использовать математическую формулу для вычисления площади.
Эту формулу очень легко вычислить, потому что треугольник — это половина параллелограмма.
Площадь любого параллелограмма равна площади = основание х высота.
Итак, площадь любого треугольника равна: Площадь = 1/2 х основание х высота.
Вот видео, объясняющее, как это работает.
[youtube http://www. youtube.com/watch?v=2avSR3Izbss]
Вот пример того, как мы вычисляем площадь треугольника.

Источник изображения: http://www.loisterms.com
Обратите внимание, что в приведенном выше примере использовались этапы разработки «FISC».
Формула
Информационная диаграмма
Подстановка значений в формулу
Рассчитайте окончательный ответ и убедитесь, что в нем есть квадратные единицы. Например. кв см, кв дюйм, кв км и так далее.
Крайне важно всегда показывать эти шаги при расчете площади любой формы.
Площадь трапеции (или трапеции).

Эта фигура немного похожа на параллелограмм, за исключением того, что у нее только две параллельные стороны.
Австралийцы называют его «трапецией», а американцы – «трапецией».

Источник изображения: http://www.mathwarehouse.com
Вот короткое видео, которое поможет запомнить, как вычислить площадь трапеции.
[youtube http://www.youtube.com/watch?v=qlxawNewXiY]
Площадь ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Мы можем вычислить его площадь, используя основание x высоту, но мы также можем вычислить ту же площадь, перемножив две внутренние диагонали вместе и разделив на 2.

Источник изображения: http://www.thefreemathtutor.com
Ответы на вопросы по ромбу:
Q1. 418 кв.см, 41600 кв.мм, 0,0006 кв.м.
Q2. 91 кв см
Q3. (1000×2) / 10 = 200 мм.
Q4. (120×2)/30=8м.
Площадь воздушного змея
Воздушный змей похож на ромб, и его площадь получается путем умножения его диагоналей.

Источник изображения: http://www.coolmath.com
Сводка формул площади

Вот набор формул, которые используются в математике для нахождения площадей.

Источник изображения: http://www.math-videos-online.com

Источник изображения: http://www.grc.nasa.gov
Онлайн-занятия

Вот онлайн-учебное задание, посвященное периметру и площади
http://www.bgfl.org/bgfl/custom/resources_ftp/client_ftp/ks2/maths/perimeter_and_area/index. HTML
Вот задание по площадям прямоугольников, треугольников и параллелограммов.
(Для загрузки требуется некоторое время).
Щелкните знак вопроса, чтобы ввести свой ответ, затем щелкните ОК, чтобы проверить свой ответ.
http://www.bbc.co.uk/schools/ks3bitesize/maths/measures/area/activity.shtml
Онлайн-игры «Площадь и периметр»

Сыграйте в эту веселую игру, в которой мы используем базовые навыки площади и периметра для проектирования ограждений зоопарка для экспонатов животных:
http://www.mrnussbaum.com/zoo/index.html
Сыграйте в эту интересную игру, чтобы найти взаимосвязь между периметром и площадью.
http://pbskids.org/cyberchase/games/perimeterarea/index.html
Повеселитесь, изучая области неправильной формы в этой игре Tangrams.
http://pbskids.org/cyberchase/games/area/index.html
Сложная игра с областью и периметром
Необходимо попасть прямо в углы исходных символов, получить символ руки, а затем перетащить элементы по сетке, чтобы они соответствовали заданным правилам периметра и площади.
Обратите внимание, что конечные области элементов не могут перекрываться. Тем не менее, может возникнуть необходимость сделать некоторое перекрытие при создании фигур.
http://www.mathplayground.com/PartyDesigner/PartyDesigner.html
Проверьте себя онлайн
Нажмите на ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади треугольников, и прокрутите страницу вниз, чтобы выполнить онлайн-тест из пяти вопросов.
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_triangle.html
Нажмите на ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади параллелограммов и онлайн-тесту из пяти вопросов.
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_parallelogram.html
Нажмите на ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади трапеций и онлайн-тесту из пяти вопросов.
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_trapezoid.html
Вот онлайн-викторина по площадям прямоугольников и параллелограммов, которая включает в себя поиск неизвестных сторон, если площадь известна.
http://au.ixl.com/math/year-7/площадь-прямоугольников-и-параллелограммов
Попробуйте эти смешанные практические вопросы по периметру и площади.
http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/practice_unit1.html
Вот последний набор смешанных задач.
http://www.bbc.co.uk/scotland/learning/bitesize/standard/maths_i/measure/quiz/area_general/
Надеюсь, это охватило все области!
Связанные предметы
Периметр
Окружность
Площадь круга
Интересные круги
Составные площади
Формулы измерения
Высокие здания и огромная плотина
Мой виртуальный дом
Если вам понравился этот пост, почему бы не получить бесплатную подписку на наш сайт.
После этого вы сможете получать уведомления о новых страницах прямо на свой адрес электронной почты.
Просто найдите область подписки на правой боковой панели, введите свой адрес электронной почты и нажмите кнопку «Подписаться».
Чтобы точно узнать, как работает бесплатная подписка, нажмите на следующую ссылку:
Как работает бесплатная подписка
Наслаждайся,
Пасси
Иллюстративная математика
Задача
Ниже приведены изображения равностороннего треугольника, квадрата, правильного шестиугольника и круга, каждый из которых имеет тот же периметр:
Найдите площадь равностороннего треугольника, периметр которого равен $1$ единице.
Найдите площадь квадрата, периметр которого равен $1$ единице.
Найдите площадь правильного шестиугольника, периметр которого равен единице.
Найдите площадь круга, периметр которого равен $1$ единице.
Перечислите ответы на вопросы (а), (б), (в) и (г) в порядке возрастания. Как вы думаете, как площадь правильного восьмиугольника с периметром в $1$ сравнима с площадью треугольник, квадрат, шестиугольник и круг?
Комментарий IM
Эта задача является частью очень богатой традиции задач, направленных на максимизацию площадь, ограниченная фигурой с фиксированным периметром.Здесь рассматриваются только три формы, потому что задача более сложная для более неправильных форм. За например, из всех треугольников тот с фиксированным периметром $P$ и наибольшей площадью равносторонний треугольник, все стороны которого равны $\frac{P}{3}$, но этот трудно показать, потому что нелегко найти площадь треугольника в терминах длин трех сторон (хотя формула Герона выполняет это). Ни легко ли сравнить площади двух треугольников с равным периметром без зная их отдельные области.Для четырехугольников возникает аналогичная задача: показывая, что из всех прямоугольников с периметром $P$ тот, у которого самый большой площадь представляет собой квадрат, длина стороны которого равна $\frac{P}{4}$, является хорошей задачей, над которой должны подумать учащиеся. Но сравнить квадрат с четырехугольником неправильной формы с равным периметром будет сложно.
Для этой задачи были выбраны очень явные формы с целью обеспечения возможность для студентов практиковать свои знания в различных геометрические формулы площади и периметра.Учитель, чтобы закрепить часть (d), возможно, пожелает нарисовать примеры шестиугольника и восьмиугольника (оба имеют общие тот же периметр, что и другие фигуры). Основная идея заключается в том, что по мере увеличения количества сторон многоугольника он все больше и больше становится похож на круг, и, в частности, его площадь приближается к площади круга.
Обратите внимание, что последняя часть части (e), в которой учащимся предлагается подумать о правильном пятиугольнике, предназначена для того, чтобы помочь им заметить, что количество сторон правильный многоугольник увеличивается, многоугольник становится все более похожим на круг.То результаты (a), (b), (c) и (d) также могут привести к предположению, что по мере роста числа сторон многоугольника (с фиксированным периметром) площадь увеличивается. Хотя учащиеся не в состоянии проверить эту гипотезу, им полезно подумать о проблеме. Учитель может также поделиться интересным историческим контекстом этой проблемы, который описан здесь:
Проблема Дидоны
Наконец, в решении делается попытка развить численный смысл при сравнении размеров областей, найденных в частях (a), (b), (c) и (d).Если учитель заинтересован в акцентировании внимания на этом аспекте задания, то было бы уместно поручить учащимся не пользоваться калькулятором при выполнении части (д) задания. Если этот аспект не важен, то ответы на вопросы (а), (б), (в) и (г) можно просто сравнить с помощью калькулятора.
Математика на каждый день 2 — OpenLearn
Взгляните на фигуру ниже; это пример сложной формы. Хотя вы не можете найти площадь этой фигуры, используя формулу, как вы это делали ранее, вы можете разделить ее на две основные фигуры (прямоугольники), а затем использовать имеющиеся у вас знания для определения площади каждой из этих фигур.
Рисунок _unit5.2.11 Рисунок 23. Нахождение площади составной фигуры
Вы должны увидеть, что эту фигуру можно разделить на два прямоугольника. Неважно, как вы его разделите (по горизонтали или по вертикали), в конце вы получите один и тот же ответ.
Разбиение по горизонтали:
Рисунок _unit5.2.12 Рисунок 24 Разбиение составной фигуры по горизонтали для определения площади
Теперь у вас есть два прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника ①, вы делаете A = 9 × 5 = 45 см ² .
Чтобы вычислить площадь прямоугольника ②, выполните A = 10 × 4 = 40 см ² .
Теперь, когда у вас есть площадь обоих прямоугольников, просто сложите их вместе, чтобы найти площадь всей фигуры:
Вы должны быть осторожны, чтобы использовать правильные измерения для основания и высоты каждого прямоугольника (измерения в красный). В этом примере длины 15 см и 5 см (в черном цвете) не требуются.
Если вы решили разделить фигуру по вертикали:
Рисунок _unit5.2.13 Рис. 25 Разделение составной фигуры по вертикали для определения площади
Опять же, теперь у вас есть два прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника ①, нужно сделать A = 5 × 5 = 25 см ² .
Чтобы вычислить площадь прямоугольника ②, выполните A = 15 × 4 = 60 см ² .
Теперь, когда у вас есть площадь обоих прямоугольников, просто сложите их вместе, чтобы найти площадь всей фигуры:
Опять же, вы должны быть осторожны, чтобы использовать правильные измерения для основания и высоты каждого прямоугольника ( измерения выделены красным). В этом примере длины 9 см и 10 см (в черном цвете) не требуются.
Вы заметите, что независимо от того, как вы разделите фигуру, вы получите один и тот же ответ: 85 см ² .
Лучший способ попрактиковаться в этом навыке — попробовать несколько примеров для себя. Попробуйте задание ниже, а затем проверьте свои ответы.
Упражнение _unit5.2.2 Упражнение 5: Нахождение площади сложных фигур
Вычислите площадь фигур ниже.
Рисунок _unit5.2.14 Рисунок 26 Нахождение площади сложных фигур – Вопрос 1
Ответить
Разделение вертикально:
6 × 8 = 48 см ²
15 × 4 = 60 см ²
48 + 60251
48 + 60290

Разделение горизонтально:
12 × 6 = 72 см ²

9 × 4 = 36 см ²
72 + 36 = 108 см ²
Рисунок _unit5. 2.15 Рисунок 27. Нахождение площади сложных фигур – вопрос 2
Ответить
Недостающие длины: 13 см (длина по вертикали) и 8 см (длина по горизонтали).
Разделение вертикально:
13 × 8 = 104 см ²

12 × 9 = 108 см ²
104 + 108 = 212 см ²

Разделение горизонтально :
20 × 9 = 180 см ²
4 × 8 = 32 см ²
180252
180 + 32 = 212 см ²
Теперь, когда вы можете рассчитать площадь основных и составных фигур, есть только одна последняя форма, для которой вам нужно найти площадь: круги.Как и для нахождения периметра круга, вам нужно использовать формулу, включающую греческую букву π.
Понимание составных фигур в геометрии

Ключевые термины
o Составная фигура

Очевидно, что не все геометрические фигуры представляют собой простые многоугольники или окружности. Во многих случаях геометрическая фигура состоит из множества различных фигур, таких как треугольники, четырехугольники, окружности и т. д.Такая фигура называется составной фигурой . Хотя такие фигуры имеют произвольную форму, а это означает, что мы не можем вывести простые формулы для их площадей, периметров или других характеристик, мы часто можем использовать то, что мы узнали о более простых геометрических фигурах, для вычисления этих величин для более сложных составных фигур. Ключом к решению таких задач является разделение составной фигуры на набор более простых фигур, характеристики которых мы знаем, как получить или вычислить. Поэтому мы сосредоточимся на применении того, что мы узнали о различных простых геометрических фигурах, для анализа составных фигур.Ряд практических задач иллюстрирует базовый подход.
Составные фигурки
Как упоминалось выше, составные фигуры лучше всего анализировать, разделив их на более мелкие фигуры, характеристики которых мы можем легко определить. Крайне важно вспомнить характеристики более простых фигур, таких как квадраты и круги. Рассмотрим, например, следующую фигуру, площадь и периметр которой мы хотим вычислить.
Фигура представляет собой трапецию, но предположим, что вы не помните формулу площади трапеции.Напомним, что прямоугольник содержит четыре прямых угла; таким образом, если мы разделим фигуру вертикальной линией, как показано ниже, мы создадим прямоугольник и прямоугольный треугольник.
Теперь, поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, мы можем заполнить некоторые пробелы в том, что знаем о фигуре. Применяя простую арифметику, мы находим, что основание треугольника равно 2 дюймам.
Наконец, давайте применим теорему Пифагора, чтобы найти длину единственной оставшейся неизвестной стороны, x .

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления площади A и периметра P этой фигуры.

Практическая задача : Найдите площадь и периметр фигуры ниже.
77
7
Решение : При осмотре мы видим, что эта фигура состоит из двух прямоугольников и треугольника.Разделим фигуру соответствующим образом и, используя свойства прямоугольников, заполним как можно больше «пробелов».
Это дает нам достаточно информации, чтобы найти площадь фигуры, но мы также должны найти гипотенузу h треугольника, если мы хотим вычислить периметр. Опять же, мы можем использовать теорему Пифагора.

Площадь A (используя формулы для прямоугольников и треугольников) и периметр P фигуры будут следующими.

Практическая задача : Найдите длину отрезка пунктирной линии на рисунке ниже.
Решение : Эта задача немного отличается от примеров, которые мы видели до сих пор. Снова разделим фигуру на треугольник и прямоугольник. Сейчас мы удалим неизвестный сегмент линии.
Теперь мы должны применить то, что мы знаем о треугольниках.Треугольник в верхней части рисунка равнобедренный, поэтому мы знаем, что два угла при основании равны. Давайте также добавим неизвестный отрезок обратно на картинку.
Вспоминая то, что мы знаем о параллельных прямых, неизвестный отрезок делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Поскольку два угла при основании конгруэнтны (как и два прямых угла), два новых угла, образованных при вершине треугольника, также должны быть конгруэнтны.
Таким образом, по условию ASA мы знаем, что два треугольника конгруэнтны.Каждое из оснований должно иметь длину 2 единицы. Используя эту информацию (как показано ниже), мы применяем теорему Пифагора для вычисления высоты треугольника. Мы уже знаем, что «высота» прямоугольника равна 6 единицам.

Таким образом, длина отрезка (вертикальной) пунктирной линии составляет 9,46 единицы.
Фигуры могут также включать круги или их части. В таких случаях может потребоваться вычисление площади сектора или длины дуги при определении площади или периметра (соответственно) фигуры.Однако те же самые принципы, которые использовались выше, применимы и в этих случаях. Следующие практические задачи дают вам возможность проверить свои навыки в этой области.
Практическая задача : Найдите выражение для площади заштрихованной области.
Решение : Все, что нам дано для этой фигуры, это то, что каждый из белых кругов имеет радиус r . Таким образом, мы знаем, что белая площадь в четыре раза больше площади одного из белых кругов.

Фигура уже показана как полукруг (половина круга) и прямоугольник. Поскольку каждый из белых кругов имеет диаметр 2 х , мы знаем, что каждая сторона прямоугольника равна 4 х (таким образом, прямоугольник является квадратом).
Таким образом, площадь квадрата равна 16 r ² . Кроме того, радиус полукруга равен 2 r , так что его площадь следующая.

Теперь мы можем объединить всю эту информацию, чтобы вычислить площадь заштрихованной области.

Практическая задача : Каков диаметр круга, содержащего прямоугольник, показанный ниже?
Решение : У этой проблемы есть некоторые сложности, но мы можем ее решить. Наиболее важным моментом в этом случае является то, что вершины прямоугольника лежат на окружности; таким образом, мы можем провести радиусы от центра круга до каждого угла прямоугольника.
Здесь мы разделили прямоугольник на четыре треугольника. По условию SSS мы видим, что фигура содержит две пары конгруэнтных треугольников: два треугольника со сторонами 90 472 r, 90 473 90 472 r, 90 473 и 4 и два треугольника со сторонами 90 472 r 90 473 , 90 472 r 90 473 и 2. Что теперь нам нужно показать, что два радиуса на самом деле образуют диагональ прямоугольника — это условие не задано. Для этого вспомним, что мы знаем о параллельных прямых. Две параллельные прямые, пересеченные поперечной прямой, будут иметь равные соответствующие углы. Поскольку пары треугольников на диаграмме конгруэнтны и равнобедренны, мы можем определить следующие конгруэнтные углы.
Мы знаем, что стороны длины 2 параллельны в силу свойств прямоугольника. Поскольку оба радиуса образуют конгруэнтные углы, как показано выше, они лежат на одном и том же поперечном отрезке. Таким образом, эти два радиуса образуют диаметр окружности. (Другими словами, два радиуса образуют прямой угол в центре круга.) Таким образом, диагональ прямоугольника равна 2 r . Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти радиус.

Таким образом, мы определили радиус прямоугольника примерно равным 2.24 единицы.
Что такое площадь в математике? | Определение и формула
Определение площади в математике
В геометрии площадь — это количество места, которое плоская форма — такие фигуры, как многоугольник, круг или эллипс — занимает на плоскости.
Площадь сбивает с толку многих людей, потому что площадь измеряется в квадратных единицах независимо от формы. Где находится количество квадратных единиц в круге? Как только вы узнаете, как квадратные единицы связаны с площадью, вы сможете найти площадь практически любой двумерной фигуры.
Содержание
Определение площади в математике
Как найти площадь фигуры
Формула площади
Как найти площадь фигуры
Плоские формы имеют два размера:
Ширина
Длина
Квадрат, например, имеет ширину, равную его длине, потому что все длины сторон одинаковы. Эллипс также имеет ширину и длину.
Мы можем легко увидеть, как квадрат можно разделить на маленькие квадратные единицы, как на координатной плоскости.Вы не можете легко увидеть, как эллипс может быть составлен из маленьких квадратов, но это возможно.
Поскольку он имеет ширину и длину, он покрывает пространство, и это пространство, даже с изогнутыми сторонами эллипса, может быть разделено на квадраты:
Считать квадратные единицы в квадрате легко: один, два, три и т. д. .
Но как посчитать все квадраты эллипса? Как определить, какая часть квадрата находится под верхней кривой? Как насчет кривых на левом и правом концах?
К счастью, у математиков есть быстрый способ сложить все квадратные единицы, не считая их.
Квадратные единицы являются единицами измерения площади, потому что плоские фигуры или плоские формы всегда можно разделить на квадраты известных размеров, например:
мм2
см2
футов2
ярдов2
ярдов2
км2
миль2
Находите ли вы площадь четырехугольника, такого как трапеция и ромб, или любой другой замкнутой фигуры, площадь всегда будет возведена в квадрат.
Формула площади
Используемая вами формула площади зависит от того, для какой фигуры вы пытаетесь найти площадь.
Площадь квадратов и прямоугольников
Чтобы найти площадь простых фигур, таких как квадрат или площадь прямоугольника, вам нужны только их ширина, w, и длина, l (или основание, b). Площадь равна длине, умноженной на ширину:
Площадь всегда в квадрате. Вы всегда будете выражать площадь в квадратных единицах, полученных из линейных единиц.
Вот прямоугольник шириной 90 м и длиной 120 м (самый большой размер футбольного поля ФИФА). Чему равна площадь этого прямоугольника?
А = l × w
А = 120 м × 90 м
А = 10 800 м2
Поскольку футбольное поле измеряется в погонных метрах, его площадь равна квадратным метрам.Площадь прямоугольника составляет 10 800 квадратных метров.
Формула площади квадрата на самом деле даже проще, чем выписать длину × ширину, потому что все стороны равны:
Вот квадрат со сторонами 15 дюймов в длину, такого же размера, как основания на бейсбольном поле MLB. Вычисление площади для этого квадрата выглядит так:
А = с2
А = 152
A = 225 дюйм2
Площадь других форм
Все остальные полигоны нелегко разделить на квадраты.Взгляните на параллелограмм :
.
Две стороны пересекают многие квадратные единицы. Конечно, параллелограмм — это просто опрокинутый прямоугольник.
Итак, математически, если бы мы могли отрезать один конец и присоединить его к другому, мы бы получили площадь в квадратных единицах. Мы можем сделать именно это, так как площадь параллелограмма с основанием b и шириной или высотой h находится по следующей формуле:
Это та же формула, что и для квадрата или прямоугольника!
Если разделить параллелограмм по диагонали, что получится? Два треугольника.Это означает, что площадь любого треугольника равна половине площади параллелограмма с такой же длиной основания и высотой. Помните, что параллелограмм использует ту же формулу, что и прямоугольник.
Площадь треугольника равна половине основания, b, умноженной на высоту, h:
Вот прямоугольный треугольник, парус 45-футовой парусной лодки Моргана с основанием 20 14 футов и высотой 44 12 футов. Какова его площадь?
Для удобства умножения можно заменить дроби на десятичные:
А = 12bh
А = 12 (20.25 футов × 44,5 фута)
А = 12 (901,125 фута2)
А = 450,5625 фут2
Площадь треугольного паруса составляет примерно 450,6 квадратных футов.
Как насчет домашней пластины бейсбольного поля Главной лиги бейсбола? Мы можем вычислить площадь пятиугольника домашней пластины , рассматривая его как две формы:
Прямоугольник 17 дюймов × 8,5 дюймов
Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 12 дюймов
Во-первых, мы будем использовать формулу, чтобы найти площадь прямоугольника:
А = l × w
A = 17 дюймов × 8. 5 дюймов
А = 144,5 дюйма2
Теперь вычислим площадь оставшегося треугольника, используя формулу площади треугольника:
А = 12bh
А = 12 (12 дюймов × 12 дюймов)
А = 12 (144 дюйм2)
A = 72 дюйм2
Сложите эти две площади, чтобы найти общую площадь в квадратных дюймах:
144,5 дюйма2 + 72 дюйма2 = 216,5 дюйма2
Найдите площадь круга
Некоторые двумерные фигуры даже не являются многоугольниками, как наш эллипс или круг.Площадь круга радиуса r находится по этой формуле:
Если у вас есть круг с радиусом 4 сантиметра, вы можете легко вычислить площадь круга с помощью приведенной выше формулы:
А = πr2
А = π(4)2
А = π(16)
А = 3,14 × 16
А ≈ 50,24
Площадь круга составляет примерно 50,24 квадратных сантиметра.
Найдите площадь эллипса
Площадь эллипса находится с использованием двух его осей, большой оси (длина от центра), обычно обозначаемой как а, и малой оси (ширина от центра), обычно обозначаемой как b, по следующей формуле:
Независимо от того, имеете ли вы дело с правильным многоугольником или неправильной плоской фигурой, вы можете найти площадь!
Следующий урок:
Площадь поверхности прямоугольной призмы
Площадь неправильных форм — расчеты, примеры и часто задаваемые вопросы
Неправильные формы — это многоугольники с пятью или более сторонами различной длины. Эти формы или фигуры могут быть далее разложены на известные формы, такие как треугольники, квадраты и четырехугольники, для оценки площади.
Вот некоторые примеры предметов неправильной формы:
Предметы повседневной жизни неправильной формы

Как рассчитать площадь неправильной формы?
Определение площади неправильных форм
Различные методы оценки площади неправильных форм:
Оценка площади с использованием квадратов.
Разделение неправильной формы на две или более правильных фигур.
Разделение неправильной формы с помощью кривых на две или более правильных фигур.
Как найти площадь неровной фигуры?
Оценка площади с использованием единичных квадратов
Этот метод можно использовать для фигур с кривыми, кроме идеального круга или полукруга, а также для неправильных четырехугольников. В этом методе мы сначала делим фигуру на единичные квадраты. Общее количество единичных квадратов, попадающих в фигуру, используется для определения общей площади.
Например: Вычислите площадь путем подсчета квадратов на приведенном ниже рисунке
Ответ: Если мы обозначим каждую единицу площади в сантиметрах, площадь будет равна 6 см2.
Вычисление площади неправильной формы с изогнутыми краями
Разделение неправильной формы на две или более правильных фигур
Используйте этот метод для расчета площади неправильных фигур, представляющих собой комбинацию треугольников и многоугольников.Используя предопределенные формулы, вычислите площадь таких фигур и сложите их вместе, чтобы получить общую площадь.
Например, в приведенной ниже неправильной форме мы разделим несколько ребер на треугольник и три многоугольника.
Общая площадь фигуры может быть рассчитана путем сложения отдельных площадей:
Общая площадь = площадь (ABIM) + площадь (BCGH) + площадь (CDEF) + площадь (JKL)
⇒ Общая площадь = (AB × BI ) + (BC × CG) + (CD × DE) + (12 × LJ × KO)
⇒Общая площадь = (10 × 5) + (3 × 3) + (2 × 2) + (1⁄2× 4 × 4)
⇒ Общая площадь = 50 + 9 + 4 + 8
⇒ Общая площадь = 71 см2
Вычисление площади неправильной формы
две или более правильных фигур.
В этом методе разделите неправильную форму на несколько квадратов, треугольников или других четырехугольников. В зависимости от формы или кривых часть фигуры может быть также кругом, полукругом или квадрантом.
Найдите площадь заданной неправильной формы с 8 сторонами, включая одну кривую.
Сол: Определим неизвестные величины по заданным размерам сторон. Сначала нам нужно разделить фигуру на два прямоугольника и полукруг.
Площадь фигуры ABCDEF равна:
Общая площадь (ABCDEF) = Площадь (ABCG) + Площадь (GDEF) + Площадь (aob)
Общая площадь = (AB × AG) + (GD × DE) + ( 1⁄2 × π × ob2)
Общая площадь = (3 × 4) + (10 × 4) + (1/2 × 3.14 × 12)
Общая площадь = 12 + 40 + 1,57
Следовательно, общая площадь = 53,57 см2
Как найти площадь неправильных фигур с помощью миллиметровой бумаги?
Какова площадь неровной поверхности?
Найдите площадь данного листа.
Решение: Чтобы найти площадь неправильной поверхности в приведенном выше случае листа, мы должны положить лист на миллиметровую бумагу и провести его границу.
Форма листа неправильная.Итак, мы предположим, что более половины квадрата, покрытого листом, будет считаться 1, а меньше этого будет считаться 0.
Теперь подсчитайте количество полностью закрытых фигур. Полностью покрыты 64 квадрата.
Кроме того, подсчитайте частично более чем наполовину закрытые квадраты, и каждый будет считать qs 1 квадрат. Есть 17 площади больше, чем половина площади.
Кроме того, подсчитайте частично менее чем наполовину закрытые квадраты, и каждый из них будет считаться равным 0.На 16 Квадратов меньше половины Квадрата.
Теперь сложите все квадраты, чтобы найти площадь листа = 64 + 17 x 1 + 16 x 0 = 64 + 17 = 81 кв. единиц.
Отсюда Площадь листа будет 81 кв.ед.
Формула площади неправильных фигур
Чтобы найти площадь неправильных фигур, во-первых, нам нужно разделить неправильную форму на правильные фигуры, которые вы можете распознать, такие как треугольники, прямоугольники, круги, квадраты и так далее.
Затем найдите площадь этих отдельных фигур и сложите их, чтобы получить площадь неправильных фигур.
Решенный пример
В. Найдите площадь заданной фигуры?
Sol: На рисунке выше три правильные фигуры. Начинайте делить сверху, у него есть треугольник, прямоугольник и трапеция.
Мы найдем площадь каждой из этих трех фигур и суммируем результаты, чтобы получить окончательную площадь фигуры.
Треугольник
Площадь треугольника = (основание × высота)/2
= (3 × 4)/2
= 12/2
= 6 = 3 × 10
= 30
Трапеция
Площадь трапеции = ((b1 + b2) × h)/2
= ((3 + 5) × 2)/2
= (8) × 2 /2
= 16/2
= 8
Следовательно, площадь данной фигуры = 6 + 30 + 8 = 44.
Неправильные формы
Пространство, занимаемое формой, известно как область неправильной формы; измеряется в квадратных единицах. Размер и длина фигур неправильной формы могут быть любыми. Существуют различные Неправильные Формы, которые мы можем видеть вокруг себя, такие как воздушные змеи, листья, алмазы и т. д. Следовательно, Неправильные Формы — это любые Формы, углы и длины которых не равны. Студенты могут изучать области неправильных форм с экспертами-предметниками Vedantu, которые помогают учащимся понять каждую тему, чтобы было легче учиться и получать хорошие оценки.
Подробнее о неправильных формах
Область, покрываемая этой формой, известна как площадь неправильных форм. Стороны и углы неправильных фигур различны. чтобы найти площадь неправильной формы, мы должны разложить ее или разделить на несколько известных фигур, а затем будет добавлена площадь этих фигур, чтобы получить общую площадь неправильной формы. Неправильные формы можно увидеть повсюду вокруг нас в нашей повседневной жизни, например:
Лестница здания состоит из многоугольников, таких как прямоугольники и квадраты, площадь поверхности лестницы имеет неправильную форму.
Школьная игровая площадка с беговой дорожкой имеет неправильную форму, которая представляет собой комбинацию правильных форм.
Лист дерева или растения неправильной формы. И т. д.
Единица площади неправильной формы может быть выражена в м2, см2, дюйм2 или фут2.
Шаги по нахождению площади неправильных фигур
Шаг 1. Площадь неправильной формы нужно найти путем разложения неправильных фигур на знакомые фигуры.
Шаг 2. Учащиеся должны знать, как разложить неправильные фигуры.
Шаг 3- Разделение неправильной формы на разные знакомые фигуры и определение площади знакомых фигур
Шаг 4- Теперь сложите все площади знакомых фигур, чтобы узнать площадь неправильной формы.
Портал онлайн-обучения № 1 Vedantu предоставляет учащимся полное руководство по изучению таких тем, как «Площадь неправильных форм — расчеты, примеры и т. д.». Студенты могут легко загрузить бесплатный PDF-файл и подготовиться к экзаменам. 100% точны и соответствуют последним рекомендациям и программе.
Что такое площадь? | TheSchoolRun
Мы объясним, что означает термин площадь и как детей учат вычислять площадь фигуры.
или Зарегистрируйтесь, чтобы добавить к своим сохраненным ресурсам
Что такое площадь?
Площадь — это термин, используемый для определения объема пространства, занимаемого двухмерной формой или поверхностью. Мы измеряем площадь в квадратных единицах : см² или м².
Площадь рассчитывается путем умножения длины фигуры на ее ширину . В этом случае мы могли бы вычислить площадь этого прямоугольника, даже если бы он был не на бумаге в клетку, просто рассчитав 5 см x 5 см = 25 см² (форма нарисована не в масштабе).
Знакомство с площадью в начальной школе
Дети знакомятся с площадью в 4 классе , где им будет предложено найти площадь различных фигур, просто подсчитав квадраты площадью 1 см², которые они занимают на бумаге:
Ожидается, что в 5-м классе детей будут использовать формулу (длина x ширина) для вычисления площади прямоугольника. Им часто будут давать прямоугольники, нарисованные не в масштабе, поэтому нужно будет запомнить эту формулу.Им также необходимо оценить площадь неправильных форм.
В 6-й год детям нужно будет решить, как найти площадь неправильной формы , как показано ниже. Часто не все размеры каждой стороны будут даны, чтобы усложнить задачу.
Хороший способ найти площадь фигуры, подобной этой, состоит в том, чтобы разбить фигуру на более мелкие фигуры, а затем вычислить площадь каждой из них. Затем можно сложить площади меньших фигур, чтобы найти ответ.
Дети 6 класса также учатся вычислять площади параллелограммов (основание x высота) и треугольников (основание x высота ÷ 2).
Детей иногда просят решить словесные головоломки или исследовать области, где нет изображения, например:
Периметр прямоугольника 36 см. Чему может быть равна площадь этой фигуры?
На этот вопрос можно дать несколько ответов. Один из способов найти возможный ответ — нарисовать прямоугольник, а затем выяснить, какими могут быть его стороны, если периметр равен 36 см.
Вероятно, потребуется много проб и ошибок. Ребенок может, наконец, прийти к размерам: 10см и 8см. Чтобы найти площадь, им нужно будет запомнить формулу площади (длина х ширина), поэтому, умножив 10 х 8, получится 80 см².