Подобие треугольников по трем углам – Подобие треугольников. Учебник по ЕГЭ и ОГЭ

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию

AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{NB}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: \(\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’}\) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

razdupli.ru

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$. (рис. 1).

Иллюстрация теоремы 1

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$.

По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

По теореме 0, получим

Из этих равенств, получим

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 3

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1$ и$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ (рис. 2).

Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).

Дополнительное построение

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}$. По условию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$, а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 4

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$.

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).

Дополнительное построение

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}=\frac{CB_2}{C_1B_1}$. Принимая во внимание равенства$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование признаков подобия

Пример 1

Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

\[\angle B=\angle C=\frac{180-\angle A}{2}\]

Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac{180-A_1}{2}=\frac{180-\angle A}{2}=\angle B=\angle C\]

То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

ч. т. д.

spravochnick.ru

Третий признак подобия треугольников. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Треугольники называются подобными, если углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Имеем два треугольника ,  (см. Рис. 1).

Сходственные стороны – те стороны, которые лежат против равных углов.

Рис. 1. Подобные треугольники

Определение:

:

Проверять все равенства не нужно, существуют признаки подобия.

Первый признак подобия

Если хотя бы по два соответствующих угла треугольников равны, то эти треугольники подобны.

Второй признак подобия

По углу и пропорциональности прилежащих сторон.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано:

Доказать:

Доказательство

Чтобы доказать третий признак, мы можем использовать второй признак, так как там есть пропорциональность сторон и нам останется доказать равенство угла, например, что . То есть мы докажем, что эти углы равны, сошлемся на второй признак, и третий признак будет доказан.

Вспомогательное построение: (см. Рис. 2).

Построим треугольник :

 – по первому признаку подобия.

Рис. 2. Доказательство третьего признака

Раз эти треугольники подобны, то можно выписать пропорциональность их сторон, сравнить с данной пропорциональностью и получить важные выводы.

Сравним с пропорциональностью сторон исходных треугольников.

Значит,  и .

Из сравнения двух равенств следует, что треугольник  равен треугольнику  по трем сторонам.

Из равенства треугольников вытекает:

Итак, в двух исходных треугольниках имеем равные углы  и  и прилежащие стороны пропорциональны, значит, эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников.

Что и требовалось доказать.

Специфика третьего признака подобия треугольников заключается в том, что в нем не фигурируют углы. Есть пропорциональность сходственных сторон. А как найти равные углы?

Перейдем к задачам.

По данным рисунка определите подобие треугольников, отметьте равные углы (см. Рис. 3).

Рис. 3. Условие задачи 1

Решение

Заметим пропорциональность сторон

 – по третьему признаку

Отметим равные углы (см. Рис. 4).

Рис. 4. Подобные углы треугольников

Ответ:  и  подобны.

По данным рисунка определить подобие треугольников (см. Рис. 5).

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Эти треугольники существуют, т. к. их самые большие стороны меньше, чем сумма двух других сторон:

Пропорциональности сторон не наблюдаем.

.

Ответ:  и  не подобны.

Стороны  равны 1; 3; 5. Стороны  равны 2; 6; 10. Определить подобие треугольников.

Решение

 – эти пары отрезков пропорциональны.

Однако треугольники с такими сторонами не существуют.

Ответ:  и  не существуют.

Дано: , ,  (см. Рис. 6).

Найти: ; .

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 4

1.                   – по третьему признаку

Стороны одного треугольника выражены через стороны другого треугольника.

Отсюда важное свойство периметров подобных треугольников – их отношение равно коэффициенту подобия.

2.         Чтобы найти площадь, нужно найти высоту, поэтому проведем  – высоту в первом треугольнике: (см. Рис. 7).

Также проведем высоту во втором треугольнике:

Рис.7. Иллюстрация к задаче 4

Тогда имеем прямоугольные треугольники, которые подобны по первому признаку:

Найдем коэффициент их подобия :

Теперь мы готовы сравнить площади:

Итак, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту их подобия.

Ответ: 1. ; 2. .

Дано: ; ; ; ; ; .

По данным рисунка 8 докажите, что .

Рис. 8. Условие задачи 5

Доказательство

Есть два треугольника с известными сторонами:  и .

Проверим пропорциональность или непропорциональность этих сторон.

Для подобия нужно, чтобы выполнялось равенство: .

 (по третьему признаку)

Мы видим, что сторона  лежит против угла , сторона  лежит против угла , значит, угол  равен углу , а значит, .

Что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали третий признак подобия треугольников, обсудили его, решили типовые задачи.

 

Список литературы

1. Геометрия, 7–9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Я Класс» (Источник)

2. Интернет портал «Уроки математики» (Источник)

3. Интернет портал «Учебно – методический кабинет» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Дано:  – биссектриса угла ,  и .

а. По какому признаку подобны данные треугольники ?

б. Вычислите , если , , .

2. Определите, подобны ли треугольники со сторонами: 15, 12, 13 и 26, 24, 30.

3. На рисунке найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

interneturok.ru

Третий признак подобия треугольников | Треугольники

Теорема

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,

   

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB.

2) Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1.

3) В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1:

Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

4) Поскольку A1B2=AB, то

   

Так как по условию

   

то A1C2=AC и B2C2=BC.

5) В треугольниках ABC и A1B2C2:

  • A1B2=AB (по построению)
  • B2C2=BC (по доказанному)
  • A1C2=AC (по доказанному).

Значит, ΔABC=ΔA1B2C2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

  • ∠A=∠A1
  • ∠ABC=∠A1B2C2.

6) В треугольниках ABC и A1B1C1:

  • ∠A=∠A1 (по условию)
  • Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1.

Отсюда ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.

www.treugolniki.ru

Признаки подобия треугольников

Прежде чем разобрать задачи, повторим признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия произвольных треугольников в школьном курсе используют три признака.

I. Признак подобия треугольников по двум углам.

 

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

III. Признак подобия треугольников по трем сторонам.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников

Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон:

Периметры подобных треугольников пропорциональны:

   

k — коэффициент подобия.

Все линейные размеры подобных треугольников также пропорциональны, то есть отношение соответствующих биссектрис, высот, медиан также равно k.

Углы между соответствующими линиями подобных треугольников равны.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

   

 

 

 

 

www.uznateshe.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Подобие треугольников коэффициент подобия признаки подобия треугольников признаки подобия прямоугольных треугольников

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Подобные треугольникиПодобные треугольники

Рис.1

      Обозначим

a1 ,   b1 ,   c1

длины сторон треугольника   KLM,   расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a2 ,   b2 ,   c2

длины сторон треугольника   TRP,   расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников   KLM   и   TRP   так, как показано на рисунке 2.

Подобные треугольникиПодобные треугольники

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник   KLM   обозначается как треугольник   A1B1C1,   а треугольник   TRP   обозначается как треугольник   A2B2C2.

      Определение 1. В треугольниках   A1B1C1   и   A2B2C2,   изображённых на рисунке 2,

  • вершины   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными вершинами,
  • стороны   A1B1   и   A2B2,   A1C1   и   A2C2,   B1C1   и   B2C2   называют сходственными сторонами,
  • углы   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными углами

      Определение 2. Треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, если, во-первых,

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 ,   b1 = k b2 ,   c1 = k c2 .(1)

      Определение 3. В случае, когда треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников   A1B1C1   и   A2B2C2 .

Признаки подобия треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Признаки подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Признаки подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников
Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников
Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия треугольниковПризнаки подобия треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников
Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников
Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПризнаки подобия прямоугольных треугольников

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Подобные треугольники

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Подобные треугольники отношение площадейПодобные треугольники отношение площадей

Рис.4

     

Признаки подобия треугольников

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Первый признак подобия | Треугольники

Теорема

(Первый признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,

∠A=∠A1, ∠B=∠B1,

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) По теореме о сумме углов треугольника

∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1).

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.

2) На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB.

3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1.

4) ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1).

Значит, ∠A1B2C2=∠B.

5) В треугольниках A1B2C2 и ABC:

  • ∠A1 =∠A,
  • ∠A1B2C2=∠B,
  • A1B2 =AB.

Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC.

6) По теореме о пропорциональных отрезках,

   

Так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то

   

7) Аналогично доказывается, что

   

8) Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1:

∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1,

   

Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников).

Что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

www.treugolniki.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о