Свойства функций. Базовые функции. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Математика создает инструменты, которые используются в различных сферах жизни. Одним из таких инструментов является функция. Вспомним, что функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственный элемент другого множества (). Так, каждому человеку можно поставить в соответствие размер обуви, каждому дню в данной местности – среднесуточную температуру, стороне квадрата – его площадь и т. д. (см. рис. 1). Все это примеры функций.

Рис. 1. Пример функции

В курсе математики мы в основном будем говорить о числовых функциях – функциях, в которых одному числу мы ставим в соответствие другое:

где

,  – числовые множества

Первое из них называют аргументом функции, а число, которое ставится ему в соответствие, – значением функции:

где  – аргумент,  – значение функции.

Другое название функции – функциональная зависимость (мы находим зависимость одной величины от другой: значения функции от ее аргумента).

С помощью числовых функций можно построить модели множества физических процессов, например:

1. Для равномерного движения можно записать зависимость пути от времени движения:

2. Для тока, протекающего на участке цепи, можно записать зависимость силы тока от напряжения:

3. Для количества теплоты, которое требуется для нагревания, можно записать зависимость от разности температур:

В экономике, биологии, логистике – везде найдется применение функциям: ими можно описать и зависимость прибыли компании от цены на товар, и рост популяции организмов с течением времени, и распределение транспортных потоков в зависимости от спроса на товар, и т. д. (см. рис. 2).

Рис. 2. Зависимость прибыли компании от цены на товар

Стоит отметить, что в определении функции мы указали, что одному аргументу ставится в соответствие некоторое значение (см. рис. 3).

Рис. 3. Одному аргументу ставится в соответствие некоторое значение

В реальных же ситуациях чаще всего целому набору переменных ставится в соответствие значение функции (см. рис. 4). Такие функции называют функциями нескольких переменных.

Рис. 4. Целому набору переменных ставится в соответствие значение функции

Но каждую функцию с несколькими переменными можно рассматривать как набор функций с одной переменной (фиксируя поочередно все остальные). Поэтому мы потренируемся работать именно с функциями одной переменной. С краткой информацией о функциях нескольких переменных вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Функции нескольких переменных

Ситуации, когда мы можем сделать такое приближение и выбрать модель так, чтобы величина зависела только от одного параметра, встречаются крайне редко.

В идеальных математических объектах такое возможно, например: площадь квадрата  зависит только от стороны квадрата . Но уже площадь прямоугольника

 зависит от двух переменных – двух сторон, площадь параллелограмма  – от трех (двух сторон и угла между ними).

В описании реальных процессах функцию одной переменной найти еще сложнее. Посмотрите на следующие формулы:

Везде мы видим зависимость от двух и более величин. Пройденный путь зависит не только от времени, но и от скорости движения. Сила тока определяется не только приложенным напряжением, но и сопротивлением участка цепи.

В экономике налог тоже, по сути, функция многих переменных. Например, НДС (налог на добавленную стоимость) составляет обычно  от цены, но для некоторых групп товаров он может быть  и даже . Т. е. для расчета НДС нужно знать два аргумента: цену товара и тип товара. Другие налоги учитывают еще большее количество факторов и могут являться функциями  и даже более переменных.

Так зачем же мы изучаем функцию одной переменной, если в реальных задачах она практически не встречается? Во-первых, это удобный объект для тренировки и отработки навыков работы с функциями вообще. Во-вторых, изучение функции нескольких переменных можно свести к анализу набора функций одной переменной (фиксируя по очереди значения всех переменных, кроме одной). Соответственно, изучив поведение каждой такой «проекции» функции, можно получить данные о поведении функции нескольких переменных в целом.

Рассмотрим закон Ома для участка цепи:

Берем участок цепи с определенным значением сопротивления – фиксируем . Получаем зависимость силы тока от напряжения. Сила тока будет прямо пропорциональна приложенному напряжению (см. рис. 5). Если вы забыли, что такое прямая пропорциональность, посмотрите следующий урок: Что такое функция?.

Рис. 5. Сила тока прямо пропорциональна приложенному напряжению

Можно сделать и по-другому: зафиксировать значение  (подключаем к источнику постоянного напряжения) и меняем  (например, при помощи реостата). Получим зависимость силы тока от сопротивления (см. рис. 6.) Снова функция одной переменной.

Рис. 6. Зависимость силы тока от сопротивления

Переходя от функции нескольких переменных к функции одной переменной, нужно не упустить следующий важный момент: остальные переменные должны быть неизменными. Например, доход от товара – это функция двух переменных: цены товара и количества проданного товара (см. рис. 7):

Рис. 7. Функция двух переменных

Но нельзя сделать из этого вывод, что доход прямо пропорционален цене. Ведь мы не можем зафиксировать количество проданного товара и изменять только цену: в рыночных условиях количество проданного товара зависит от цены. Т. е., вообще говоря, если мы рассматриваем в качестве переменной цену товара

, то эту формулу правильнее записать так:

где  – это еще одна функция, которая показывает зависимость количества проданного товара от цены. Эту зависимость нужно учесть, и только тогда при прочих неизменных условиях можно будет рассматривать доход от продаж товара как функцию одного аргумента – его цены.

---

 

Аргумент функции чаще всего обозначают , но можно использовать и любую другую букву. Каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Записывают это обычно так:

Чтобы указать, как именно ставится это соответствие, записывают формулу для вычисления, например:

Если хотят показать, что каждому значению  ставится в соответствие число , то это записывают так:

Или так:

Такой способ задания функции, как мы уже знаем, называется аналитическим.

Задание 1. Зависимость перемещения тела от времени движения имеет вид:

,

где  задано в секундах,  – в метрах. Определить перемещение тела через 2 секунды.

Решение

По сути, нам нужно вычислить значение функции  при . Записывают это так:

Т. е. мы просто подставляем в формулу конкретное числовое значение аргумента  и вычисляем значение функции при этом значении аргумента.

Ответ:

interneturok.ru

Преобразование графиков функций. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Перед вами набор данных (см. рис. 1).

Рис. 1. Табличный способ представления информации

Попробуйте по нему понять демографическую ситуацию – растет население, падает, как сильно, есть ли какие-то закономерности.

А вот та же информация, представленная с помощью набора точек в системе координат (год – численность населения) (см. рис. 2). Сразу можно сделать определенные выводы, понять динамику и т. д.

Рис. 2. Графический способ представления информации

Графический способ представления информации часто является одним из наиболее удобных для ее анализа. Поэтому для исследования функций нам нужно научиться строить их графики (в тех случаях, когда это можно сделать).

---

 

Пример функции, график которой изобразить не получится

Оказывается, есть функции, график которых изобразить в привычном нам смысле не получится. Рассмотрим пример такой функции – функцию Дирихле (см. рис. 3). Эта функция определяется следующим образом:

Рис. 3. Функция Дирихле

То есть эта функция при всех рациональных значениях переменной принимает значение , а во всех иррациональных – . Поскольку между любыми двумя рациональными числами бесконечно много иррациональных и наоборот, то такая функция будет разрывна в каждой точке. Поэтому нарисовать прямые или отрезки в качестве ее графика не получится. Таким образом, график функции Дирихле нам изобразить не удастся.

Но для функций, которые мы будем изучать в школе, такой ситуации не возникнет.

---

 

Графики базовых функций, которые мы изучили (линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции, квадратного корня) (см. рис. 4) и которые еще будем изучать, – это «кирпичики», которые мы будем использовать для того, чтобы строить графики более сложных функций.

Рис. 4. Графики базовых функций

Кроме того, мы можем использовать графики известных нам функций для анализа проведенного эксперимента или исследования. Если нанести на график точки, соответствующие результатам исследования, можно по виду полученной кривой оценить, какой зависимости она наиболее соответствует – линейной, квадратичной, обратно пропорциональной и т. д. (см. рис. 5).

Рис. 5. Приближение графиков функций к базовым

Например, можно провести опрос: сколько готовы платить родители за онлайн-обучение своего ребенка? Поставим по одной оси цену, по другой – количество согласившихся на занятия по такой цене. Отметив точки и соединив их, получим следующую кривую, которая очень похожа на график обратной пропорциональности (см. рис. 6). Что вполне логично: чем больше цена, тем меньше людей, которые готовы покупать продукт. В экономике эта кривая носит название «кривая спроса».

Рис. 6. Кривая спроса

График функции определяется не только типом зависимости величин, но и системой координат, в которой он построен. А она может быть разной.

Мы будем рассматривать графики функций в привычной нам декартовой прямоугольной системе координат (см. рис. 7). Но и она будет зависеть от расположения своего начала – точки отсчета.

Рис. 7. Декартова прямоугольная система координат

---

 

Виды координат

Системы координат могут отличаться не только точкой отсчета, но и способом выбора самих координат. К примеру, можно использовать не прямоугольную систему координат, а такую, в которой угол между осями отличен от  (см. рис. 8). Естественно, график функции в ней будет иметь другой вид.

Рис. 8. Прямоугольная и косоугольная системы координат

---

Можно использовать и принципиально отличающиеся системы координат, например такую, в которой точка задается расстоянием до начала отсчета и углом отклонения от оси. Такая система координат называется полярной. Но мы будем работать только в декартовой (прямоугольной) системе координат.

Вспомните курс физики: система отсчета всегда связана с некоторым телом. Возьмем разные тела – получим разные системы отсчета. Виды зависимости в них будут одинаковы, а вот системы координат, а иногда и графики функций – различны.

Рассмотрим график параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета, связанной с телом, которое расположено в точке  (см. рис. 9).

Рис. 9. График параболы , проходящий через точку  в другой системе отсчета

Поскольку точки отсчета у нас неподвижны, то тип зависимости не может измениться – она как была квадратичной, так и должна такой остаться. Но как именно она будет выглядеть в новых координатах?

Точка  в старой системе имела координаты . Точка  – координаты  и т. д. Можно сделать вывод: точка  в «старой» системе координат имела бы координаты .

То есть:

Значит, зависимость  в новой системе координат будет иметь вид:

Или:

Действительно, если теперь убрать старую систему координат и построить график функции , он будет выглядеть именно так: парабола, которую сдвинули на  единицы влево и на  – вниз (см. рис. 10).

Рис. 10. График функции

Но рассмотренный нами алгоритм можно применять и в обратную сторону – использовать его, чтобы строить график сложной функции, преобразовывая график соответствующей ей базовой функции.

Действительно, используя обратные действия, несложно построить график функции , используя график базовой функции . Для этого параболу нужно перенести на  единицы влево и на  единицы вниз (см. рис. 11).

Рис. 11. График функции , полученный при помощи преобразований графика

Обратите внимание: мы перенесли график влево и вниз, а начало системы координат переносили вправо и вверх. То есть эти действия эквивалентны с точностью до направления. Именно построением графиков сложных функций с использованием графиков базовых мы сегодня и займемся.

Что можно сделать с графиком, чтобы не изменился характер зависимости? Можно его сдвинуть, изменить размер, зеркально отразить, повернуть. Перемещение графика всегда можно представить как комбинацию перемещений вдоль оси  и оси . Изменение размера и зеркальное отображение также возможно относительно каждой из осей.

Про поворот мы говорить не будем, так как формулы для перехода к новой функции в случае поворота будут довольно сложными и выходят за рамки обычной школьной программы. Теперь наша задача состоит в том, чтобы изучить, как изменяются координаты точек графика при каждом из описанных преобразований и как это влияет на аналитический вид функции.

Пусть задана некоторая функция , аналитический вид и ее график (см. рис. 12).

Рис. 12. График функции

Вспомним, что запись  означает, что каждому аргументу  ставится в соответствие значение функции  по некоторому правилу. Будем изменять график функции и смотреть, как меняется ее аналитический вид. Сначала рассмотрим преобразования вдоль оси .

1. Сдвинем график функции вверх на некоторое расстояние . При этом для каждого аргумента  значение функции увеличится на: было , станет

interneturok.ru

Вводный урок по теме «Функции» в 8 классе

1. Требования ФГОС

В настоящее время принят ФГОС II поколения, согласно которому главной задачей становится развитие личности. Конечно, всестороннее развитие личности в рамках одного урока, или даже серии уроков одного предмета, невозможно. Поэтому следует на уроке уделять внимание развитию лишь нескольких черт, из которых самостоятельность и дисциплинированность являются предпочтительными.

Часто учащиеся не понимают смысла в решении отвлеченных математических задач, уравнений. Многие, овладев алгоритмом решения определенного класса задач, не видят их, если условия заданы не привычным способом, а нестандартно. Поэтому становится необходимым формирование универсальных учебных действий, помогающих разобраться в любой незнакомой задаче, разложить ее на известные составляющие.

Сегодня ученики должны обучаться умению мыслить самостоятельно. Этому способствуют занятия математикой, где на конкретных задачах они учатся работать с текстами, рисунками, графиками, таблицами и схемами с целью отбора источников, поиска и извлечения информации для ответов на вопросы, аргументации своей точки зрения.

Перед учителем на уроке стоит многогранная задача, поэтому для ее решения удобно создавать технологические карты, подобно тем, которые используют как в точном машиностроении, так и в общественном питании. В данной работе сделана разработка технологической карты вводного урока по теме «Функции».

2. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

«Функции: определение понятия и способы задания»

1. Тип учебного занятия: Урок изучения нового материала.

2. Цели занятия:

2.1. Личностные:

— пробуждение интереса к математике;

— развитие умений

1. устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом;

2. осознавать проблемы, вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения;

3. излагать свои мысли в устной и письменной математической речи;

— развитие творческой деятельности учащихся;

— развитие интеллектуальных способностей, логического мышления;

— развитие навыков самостоятельной работы.

2.2. Метапредметные

2.2.1. Познавательные умения:

— устанавливать причинно-следственные связи;

— сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

— работать с предлагаемой информацией в необычной ситуации;

— работать с книгой, отбирать необходимый материал из текста;

— переносить новые знания в новые условия;

— формирование информационной, коммуникативной компетенции учащихся.

2.2.2. Коммуникативные умения:

— участвовать в коллективном обсуждении;

— планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками;

— учитывать разные мнения, формулировать собственное мнение, аргументировать и координировать её с позициями партнеров;

— работать в коллективе, уважительно относиться к точке зрения других, нести ответственность за успехи коллектива и свои лично;

2.2.3. Регулятивные умения:

— концентрировать внимание;

— организовать рабочее место;

— ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;

— преодолевать трудности и препятствия на пути достижения цели;

— отвечать на вопросы по плану, анализировать свои достижения, самостоятельно контролировать свое время и управлять им;

— выполнять задания в соответствии с заданными правилами, контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности;

— выделять и осознавать того, что уже известно и понятно, и то, что ещё нужно узнать и понять, осознавать качество и уровень усвоения;

— оценивать результат работы, уметь контролировать своё время и управлять им.

2.3 Предметные

— формировать интерес к теме;

— давать определение понятиям;

— устанавливать причинно-следственные связи, выделять главное;

— структурировать свои знания;

— характеризовать отличительные черты, узнавать функцию, заданную различными способами.

3. Формы организации познавательной деятельности:

— фронтальная;

— индивидуальная.

4. Структура урока:

— организационный момент;

— целеполагание и мотивация;

— актуализация знаний и умений;

— изучение нового материала;

— закрепление учебной информации;

— проверка уровня усвоения учебного материала;

— информация о домашнем задании;

— подведение итогов.

— изучение способов задания функций.

6. Средства обучения:

ИКТ: компьютер, проектор, экран, презентация.

Традиционные: учебник, доска

Этапы урока

Деятельность

учителя

Деятельность ученика

Планируемый результат

Организационный момент

Приветствие,

проверка готовности к уроку учащихся, выявление отсутствующих.

Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место,

демонстрируют готовность к уроку.

Регулятивные:

уметь организовать рабочее место,

концентрировать внимание.

Целеполагание и мотивация

В мире происходит множество взаимосвязанных явлений: холодает, облетают с деревьев листья — значит, наступила осень. Уже древние люди замечали, что чем сильнее натянута тетива, тем дальше полетит стрела. Они понимали, что в пещере будет тепло, пока горит костер. Сегодня мы рассмотрим некоторые закономерности.

Слайд №1 «Мы – функции»

Какие закономерности называют себя функциями? В чем их особенность?

Слайд №2 «Видимо – невидимо»

Что же это за невидимки, как научиться их находить и в чем они нам помогают? Попробуем разобраться.

Определяют, чему будет посвящен урок и чему предстоит на нем научиться.

Коммуникативные:

уметь участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

Познавательные:

умение видеть математические задачи в окружающем нас мире,

уметь видеть цель урока.

Личностные:

уметь устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом.

Коммуникативные:

уметь планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Актуализация знаний и умений

Рассмотрим внимательно предложенные изображения. Что их всех обобщает?

Слайд №3 «Что общего?»

Что характеризует любое движение?

Движение присуще только физическим телам?

После высказываний ребят, появляется следующие слайды. Они или подтверждают их слова, или направляют их мысли в нужном направлении.

Слайд №4 «Примеры движения 1»

Слайд №5 «Примеры движения 2»

Обсуждение изображений на слайде, до тех пор, пока не придут к выводу, что изображения обобщает движение: движение автомобилей, спортсменов, движение планет, воды.

Дискуссия, ведущая к выводу, что при движении происходит изменение положение тела в пространстве.

Продолжение обсуждения.

Приходят к выводу, что движение присуще не только материальным телам, приводят свои примеры и разбирают примеры, данные на слайдах.

Личностные:

уметь осознавать проблемы, вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения, конструктивно разрешать конфликты.

Коммуникативные:

уметь учитывать разные мнения, стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве, формулировать собственное мнение, аргументировать и координировать её с позициями партнеров.

Познавательные:

уметь строить понятия.

Предметные:

уметь структурировать свои знания.

Изучение нового материала

Оказывается, мы живем в очень изменчивом мире. И многие изменения взаимосвязаны.

В математике рассматривают те взаимосвязи, которые подчиняются определенному правилу, закону: каждому элементу из одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Слайд №6 «Два множества»

На слайде разобрана зависимость, где аргументом является число из множества D(x), называемым областью определения. А Y из множества значений Е(Y) называется значением функции или просто функцией.

Слайд №7 «Пример функции»

Так как Х выбирается произвольно, то он называется независимой переменной. Значение функции, Y, зависит от Х, поэтому она и называется зависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом, зависимую — просто функцией.

Слайд №8 «Определения аргумента и значения функции»

Запись y=f(x) означает, что между у и х существует зависимость, причем х — аргумент, а у- значение функции при этом аргументе.

Слайд №9 «Разбор примера функции»

На слайде изображено несколько множеств, которые отображаются на другие множества. Следует найти ту пару множеств, которые связаны функциональной зависимостью.

Слайд №10 «Найти функцию»

Если функция — это закон отображения элементов одного множества в элементы другого множества, то закон должен быть каким-либо образом обозначен. Можно закон описать словами (словесное описание), можно закон изобразить, нарисовать (графическое изображение), можно прямо указать, что этому Х соответствует этот Y (задание функции таблицей), а можно задать формулу этого соответствия (аналитическое задание).

Слайд № 11 «Способы задания функций»

Если элементов множества независимой переменной непредсказуемо много, то удобно пользоваться аналитическим способом задания функции. Это означает, что существует формула, устанавливающая правило, по которому, зная аргумент, можем найти значение функции.

Слайд №12 «Аналитический способ задания функций»

Слайд №13 «Примеры задания функций аналитически»

Но, если функция задана в неявном виде F(x,y)=0, то есть в виде некоторого уравнения, то, как найти значение функции в этом случае?

Попробуйте выразить предложенные на слайде функции в явном виде.

Слайд №14 «Разобрать на явные и неявные функции»

Запишите представленные на слайде функции в два столбика: в одном — функции заданные явно, в другом — неявно.

Приведите по два примера.

При проведении различных опытов, экспериментов устанавливают связь одной переменной от другой.

Слайд №15 «Табличный способ задания функции»

При этом формула этой зависимости еще не известна, и записывают установленное соответствие в виде таблицы.

Слайд №16 «Пример табличного задания функции»

У вас на партах лежит набор правильных многоугольников.

Составьте таблицу, где в верхней строке (в роли независимой переменной Х) будет записано количество сторон многоугольника, а во второй строке (в роли зависимой переменной, значения функции) запишите сумму углов соответствующего многоугольника. В результате получится таблица, которая задает значение суммы углов правильного многоугольника в зависимости от количества его сторон.

Слайд №17 «Графический способ задания функции»

При изучении реальных явлений часто используют для фиксации зависимости различные «самопишущие» приборы: сейсмограф, электрокардиограф, осциллограф и т. п. Эти приборы предоставляют для изучения информацию в виде графиков.

Слайд №18 «Пример графического задания функции»

По результатам ваших измерений и полученной таблицы, постройте график зависимости суммы углов многоугольника от количества его сторон.

Слайд №19 «Найти график функции»

Среди представленных графиков найти графики функций.

Не все зависимости в жизни еще выражаются в числовых значениях.

Слайд №20 «Описательное задание функции»

Русская пословица «Как аукнется, так и откликнется» тоже выражает зависимость. Какую?

Слайд №21 «Примеры описательного задания функций»

Приведите пример описательного задания функций из других областей знаний (или придумайте свой пример).

Давайте запишем пример описательного задания функции, который, по вашему мнению, лучший.

Находят в учебнике и фиксируют в тетради основные понятия:

область определения, область значения.

Заносят в тетрадь схему со слайда.

Выполняют задание, представленное на слайде, ищут ответ на вопрос.

Записывают в тетрадь определения.

Разбирают примеры на слайдах.

Разбирают предложенные изображения, объясняя свои выводы.

Записывают в тетрадь способы задания функций.

Записывают в тетрадь виды аналитического задания функций.

Разбирают примеры на слайде.

Приходят к выводу, что надо выразить Y через X.

Записывают функции в явном виде.

Выполняют задание в тетради.

Несколько человек выписывают на доске свои примеры.

Разбирают принцип составления таблицы.

Берут наборы правильных многоугольников, транспортиры.

Составляют таблицу.

Строят координатную плоскость для построения графика

Строят требуемый график.

Обсуждают графики и находят графики функции.

После обсуждения приходят к выводу, что пословица описывает функцию: делая что-то из множества добрых дел, получаешь что-то доброе в ответ. И чем больше добрых дел совершаешь, тем больше добрых людей встречаешь.

Приводят примеры из других школьных предметов, придумывают свое.

Выбираем лучший пример из всех предложенных, формулируем его на литературном языке.

Личностные:

уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной математической речи.

Познавательные:

уметь аналитически мыслить, устанавливать причинно-следственные связи.

Коммуникативные:

уметь слушать учителя и других учащихся,

уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владеть монологической и диалогической формами речи

Предметные:

узнать такое понятие как функция.

Закрепление учебной информации

Открыть учебник на странице 247 и ответить на вопросы №1 – 3.

Выполнить №741, 742.

Время выполнения ограничено (в зависимости от прохождения дискуссий время на выполнение заданий от 10 до 15 мин.)

Работают с учебником:

читают, анализируют, выделяют главное, дают ответы на вопросы.

Познавательные:

уметь работать с книгой, отбирать необходимый материал из текста, делать выводы.

Регулятивные:

уметь отвечать на вопросы по плану,

контролировать свое время.

Применение новой информации (в знакомой и новой ситуации)

Предлагает выполнить следующие задания:

№ 748, 754

Выполняют предложенные задания.

Личностные:

развитие интеллектуальных способностей,

развитие логического мышления.

Познавательные:

уметь переносить новые знания в новые условия.

Предметные:

уметь строить график, сравнивать,

выявлять закономерности, обобщать.

Проверка уровня усвоения учебного материала

Предлагает выполнить математический диктант (приложение ).

Проверка диктанта с учетом критериев, записанных на доске.

 Выполняют математический диктант.

Меняются листочками и проверяют работу друг друга и оценивают ее.

Личностные:

уметь работать самостоятельно.

Регулятивные:

уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами,

контролировать своё время.

Информация о домашнем задании

Знакомство с функциями только в самом начале. Мы встретимся с ними еще не один раз. А сейчас запишем домашнее задание…

Дается комментарий к домашнему заданию:

— читать §5.1 – 5.3 главы 5;

— выучить определения из §5.1 – 5.2 главы 5;

— выполнить № 740(а, б), 745, 746(в, г)

Записывают в дневники домашнее задание. 

Регулятивная:

уметь записывать Д/з в дневник.

Подведение итогов

Что каждый из вас сегодня узнал, понял, открыл? Что понравилось особенно, что не понравилось? Что осталось неясным? непонятным?

Слайд №22 «Продолжение следует…»

Учитель оценивает работу учащихся на уроке.

С места отвечают на эти вопросы.

Дают оценку своей работы.

Регулятивная:

уметь оценивать результаты своей деятельности.

3. Слайды презентации.

1. Слайд №1. «Тема урока»

2. Слайд №2. «Видимо – невидимо»

3. Слайд №3 «Что здесь общего?»

4. Слайд №4 «Примеры движения 1»

5. Слайд №5 «Примеры движения 2»

6. Слайд №6 «Два множества»

7. Слайд №7 «Пример функции»

8. Слайд №8 «Определения аргумента и значения функции»

9. Слайд №9 «Разбор примера функции»

10. Слайд №10 «Найти функцию»

11. Слайд №11 «Способы заданий функций»

12. Слайд №12 «Аналитический способ задания функции»

13. Слайд №13 «Примеры задания функций аналитически»

14. Слайд №14 «Разобрать на явные и неявные функции»

15. Слайд №15 «Табличный способ задания функции»

16. Слайд №16 «Пример табличного задания функции»

17. Слайд №17 «Графический способ задания функции»

18. Слайд № 18 «Пример графического задания функции».

19. Слайд №19 «Найти график функции»

20. Слайд №20 «Описательное задание функции»

21. Слайд №21 «Примеры описательного задания функций»

22. Слайд №22 «Продолжение следует…»

4. Приложение. Математический диктант

Вариант 1

Вариант 2

1

Какую переменную называют аргументом?

1

Как называется независимая переменная?

2

Как называется зависимая переменная?

2

Чем является значение функции?

3

Найти значение аргумента, если функция Y(X)=-1.5X принимает значение, равное 9.

3

Найти значение аргумента, если функция Y(X)= — 5X принимает значение, равное 15

4

Дана функция f(x)=-1/x + 5. Найти f(1/4).

4

Дана функция f(x)=-1/x + 5. Найти f(-0.1).

5

Сколько способов задания функции существует?

5

Какой способ задания функции наиболее нагляден?

5. Список литературы.

1. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева, 5 – е издание, Москва, «Просвещение», 2010г.

2. www.ped—kopilka.ru Дидактические материалы к конструированию урока.

3. www.spelec.hostedu.ru Я иду на метапредметный урок. Что я должен учесть?

4. www.cxemo.ru График возникновения и развития общественно –политических организаций и движений.

5. www.grushar.ru Изображения шариков.

infourok.ru

Урок алгебры в 8-м классе «Функция у=k/х и ее график»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательные

: сформулировать определение обратной пропорциональности, ее области определения; научить строить график функции y= k/x опираясь на свойства функции; сформировать чёткое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k; научить находить значение функции и аргумента по формуле У= k/x.

Развивающие: совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух; стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением; способствовать развитию находчивости, сообразительности.

Воспитательные

: воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний; воспитывать интерес к предмету.

Оборудование:

• проектор, компьютер; раздаточный материал для устного счета.
• Презентация к уроку.

ХОД УРОКА

План урока.

1. Вступительное слово учителя.
2. Повторение ранее изученного материала.
3. Изучение нового материала.
4. Историческая справка.
5. Исследование функции. Свойства графиков (работа в парах).
6. Обсуждение графиков (фронтальная работа).
7. Самостоятельная работа на построение графиков функции.
8. Закрепление изученного материала.

I. Актуализация опорных знаний.

Приветствие учителя.

(На столах учеников лежат картинки. Учитель просит показать своё настроение в начале урока)

Учитель: На уроках мы с Вами говорили о том, что весь реальный мир состоит из множества тел. Эти тела в любой момент времени взаимодействуют друг с другом на различных уровнях: химическом, физическом, информационном и т.д. (демонстрируется слайд5)  Например, на уроках физики Вы изучаете “зависимость силы тока от сопротивления”, “зависимость давления газа от объема”; из жизни мы знаем о “ зависимости радиуса колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути” и с этой зависимостью мы встречаемся на уроках математики и т.д. Умение анализировать эти взаимодействия или зависимости сделает Вас успешными в своей деятельности!

Вы знаете, что эти величины пропорциональны

Пропорциональность — такая зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой величины.

Зависимость одной переменной от другой называется функцией. До сих пор Вы изучили функции y = kx + b; y = , y = x². Сегодня мы продолжим изучение функций. Запишите тему урока (демонстрируется слайд 2).

 2. Повторение изученного материала.

1. Как называются функции, задаваемые формулами:

а) у=2х+3; б) у = -1/2х+4; в) у=2х; г) у =-3х; д) у = х?

2. Что представляет собой их график? Как он расположен? Укажите область определения и область значения каждой из этих функций.

3. На рисунке изображен график функции у = f(x) на отрезке [- 3; 2].

• Укажите наибольшее значение функции.
• Укажите промежуток, в котором функция возрастает.
• Найдите промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения.

3. Изучение нового материала.

Учитель: Итак, сегодня мы изучаем функцию у =k/x .

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида у=k/x.

где у – зависимая переменная,

х – независимая переменная,

k – не равное нулю число.

— Областью определения функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

— Областью значений функции является множество всех чисел, отличных от нуля.

Вопрос: Как вы считаете, глядя на аналитическую запись функции, можно сказать о том, какие значения х  допустимы? (Да, х0 )

Так как выражение у =k/x имеет смысл при всех х не равных 0.

Решение задач на обратную зависимость.

Вопрос:

1. Как связаны между собой х и у?
2. Как записать каждую зависимость в виде функции?
3. Что общего и в чем различие этих формул?
4. Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей. (Учащиеся с помощью учителя составляют формулу)

Учитель: В явлениях природы, в человеческой деятельности часто встречаются обратно пропорциональные зависимости между двумя величинами.

Как графиком можно представить эту зависимость?

График обратно пропорциональной функции называется гипербола.

4. Историческая справка (демонстрируется слайд 10).

5. Исследование функции на примере зависимости у=12/х.

(Cоставление памятки построения графика функции)

Построение графика функции ( все учащиеся строят в своих тетрадях, один на доске).

Учитель:

• определите область определения функции;
• определите область значения функции;
• определите промежутки убывания (возрастания) функции;
• определите наибольшее (наименьшее) значение функции;
• определите точку разрыва функции

Схема исследования функций.

1) Область определения функции (множество значений переменной х, при которой функция существует) или (проекция функции на ось ОХ).

2) Значения переменной х, при которой у > 0; у < 0.

3) Промежутки возрастания и убывания функции.

4) у_{наименьшее} (при каких х функция принимает наименьшее значение).

у_{наибольшее} (при каких х функция принимает наибольшее значение).

5) Прерывная или непрерывная функция.

6) Область значения функции (множество значений у, при которых функция существует) или (проекция функции на ось ОУ).

Учитель: Проведем анализ графика (демонстрируется слайд 14).

Графиком функции является гипербола.

Гипербола состоит из двух веток.

Вопрос: Скажите, вы встречали где-нибудь это слово раньше? (Да, в русском языке: гипербола – слово или выражение, заключающее в себе преувеличение для создания художественного образа, например “…я сказал тебе сто раз…” (демонстрируются слайды 18,19, 20).

Посмотрите на график и скажите, пересекает ли он прямую ОХ? (Нет) ОУ? (Нет). Эти прямые называются асимптоты графика.

Посмотрите на график и скажите, имеет ли гипербола центр  симметрии? (Точка (0;0))   Ось симметрии? (Прямые у = х ; у = — х)

Учитель: Исследовательская работа в парах.

Задание. Построить график функции и описать свойства.

(Учащиеся выполняют задания в парах, после выполнения самопроверка (слайд 13)).

Учитель: Что произошло с графиком функции, при изменении коэффициента?

Учитель: Вернёмся к графикам, которые вы получили.

— На какие две группы можно разделить эти графики, чем отличаются эти группы? (Эти группы располагаются в разных четвертях)

— От чего зависит расположение графиков? (Расположение графика зависит от знака коэффициента обратной пропорциональности)

Первичное закрепление: самостоятельная работа обучающего характера (демонстрируется слайд 15).

Проверка по окончанию урока.

Итог урока.

• Что является графиком функции у = к/х?

• В каких координатных четвертях расположен график функции?

• Какова область определения функции?
• Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости?
• Как называется график обратно пропорциональной функции?
• Из чего состоит гипербола?

(Устно). Слайд 18.

Перечислите свойства функции.

 Задание на дом.

• Изучить п.8.
• Решить №172, №179, №183.
• Подготовить сообщения на тему “Применение функции в различных областях науки и в литературе”.

Рефлексия.

• Покажите свое настроение с помощью картинок на вашем столе.
• Сегодня урок мне.
• Мне понравилось.
• Мне не понравилось.
• Материал урока я (понял, не понял).
• Мне хотелось бы.

urok.1sept.ru

План-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему: ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Тема урока: ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Цель: формировать умение читать и строить график функции, заданной аналитически.

Задачи:

• образовательные:

— сформировать понятие «график функции»;

— обучить читать и строить график  функции,  заданной  аналитически;

— познакомить учащихся с различными графиками и отраслями знаний, в которых они могут быть использованы;

• воспитательные:

— воспитывать у учащихся аккуратность, наблюдательность, любознательность и положительную мотивацию к учению;

— расширять познавательный интерес и кругозор учащихся;

— развивать речь, графические навыки, умение анализировать полученные результаты;

—  развивать межпредметные связи между математикой и другими науками.

Тип урока: комбинированный урок с использованием мультимедиа технологий.

Список используемого программного обеспечения и готовых электронных образовательных ресурсов: компьютер (ноутбук) с выходом в сеть Интернет, кроссворд «Функция» , тест «Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле» , программа для построения графиков функций, доклад «Применение графиков функций» на сервере:  http://youtu.be/lFuH-ERc0bw, творческая работа «Функции в  пословицах и поговорках» http://en.calameo.com/read/0016676558c9b2b218acb.

Ход урока



1. Организационный момент

2. Постановка цели и мотивация

Как заметил Г. Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы — математические знаки и геометрические фигуры — невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе. [4]

Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия» (1637 г.). С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось.

3. Актуализация опорных знаний

Кроссворд «Функция». Фронтальная работа с классом. Проверка знаний формулировок, определений, правил по теме «Функция».

1Ф

У

Н

К

Ц

И

Я

2А

Р

Г

У

М

Е

Н

Т

3Н

Е

З

А

В

И

С

И

М

А

Я

4Г

Р

А

Ф

И

Ч

Е

С

К

И

Й

5А

Б

С

Ц

И

С

С

А

6О

Р

Д

И

Н

А

Т

А

7О

П

Р

Е

Д

Е

Л

Е

Н

И

Я

По горизонтали: 1. Зависимая переменная.   2. Независимая переменная.  3. Переменная, значение которой выбирают произвольно.   4. Способ задания функции.   5. Название координаты х на координатной плоскости.   6. Название координаты у на координатной плоскости.  7. Как называется область функции, которую образуют все значения независимой переменной.  

По вертикали: 1. Зависимость одной переменной от другой.  

4. Проверочная работа

С помощью теста «Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле» проверяется на сколько усвоен учебный материал. Учащиеся самостоятельно выполняют задания теста, затем происходит взаимопроверка, учащиеся обмениваются с соседом тетрадями.

Тест «Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле»
А1. Если стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 5, то зависимость его высоты h  от объема V можно задать формулой  h = 15:V. Укажите область определения этой функции.
1) h > 0;	2) h ≠ 0;	3)V ≠ 0;	4) V > 0.
А2. Функция задана формулой у = х2 – 23. Найдите значение функции при х = 4.
1) – 7;	2) – 15;	3) 16;	4) 4.
А3. Расстояние между городами равно 900 км. Машина едет из одного города в другой со скоростью U км/ч и преодолевает это расстояние за t часов. Задайте формулой зависимость времени  t от скорости машины U.
1) U = 900 : t ;	2) t = 900 : U;	3) t = 900U;	4) Ut =900.
А4. Дана функция . Найдите значение аргумента, при котором значение этой функции равно 12.
1) 1;	2) 9;	3) – 1;	4) 15,5.
А5. В область определения функции, заданной формулой , не входит число.
1) 5;	2) – 5;	3) – 2;	4) 2.

5. Объяснение нового материала

1) Формирование представления о графике функции на основе связи аналитического, табличного и графического способов задания функции.

Учитель: На предыдущих уроках мы уже познакомились с основными способами задания функции. Особое внимание было уделено связи аналитического и табличного способов. На этом уроке наша задача – показать, что эти два способа тесно связаны с графическим, причем его особенность в том, что с помощью графика мы можем наглядно представлять функциональную зависимость не только для точечной, но и бесконечной области определения функции:

задание функциональной зависимости

2) Построение графика функции по точкам.

Учитель: Функция задана формулой  у = х(х – 3),  где – 2 ≤ х ≤ 2. Заполните таблицу.

х	– 2	– 1,5	– 1	– 0,5	0	0,5	1	1,5	2
у

Построить график, соединив эти точки плавной линией. (см. № 283)

Необходимо  сделать  вывод:  по  точкам  можно  построить  график любой  функции,  заданной  таблично  или  аналитически  (с  помощью формулы).

3) Введение определения понятия графика функции

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Физкультминутка (Упражнения для глаз .)

1. Закрыть глаза. Отдых 10—15 с. Открыть глаза. Повторить 2-3 раза.

2. Закрывать и открывать глаза, крепко сжимая веки. Повторить 5-6 раз.Закрыть глаза, расслабить веки, 10—15 с.

3. Быстро поморгать глазами. Закрыть глаза. Отдых 10—15 с. Открыть глаза.

4) Работа по изображенному графику функции.

Пример 2 с. 60 учебника изучаем работу по изображенному графику на нахождение значения функции по заданному значению аргумента и обратное задание.

Работа по графику из № 283, вопросы:

а) Сколько точек пересечения с осью х имеет график? Каково значение у в этих точках?

б) Сколько точек пересечения с осью у имеет график? Каково значение х в этой точке?

в) Сравните значения функции в точках –2 и 1.

г) Назовите координаты какой-нибудь точки графика, у которой значения аргумента и функции положительны; значение аргумента положительно, а функции – отрицательно и т. д.

5) Презентация творческой работы «Применение графиков функций».

Учащийся (группа учащихся) представляют презентацию «В каких же отраслях знаний могут быть использованы графики?»

6. Формирование умений и навыков

1. № 284

2. № 285 (1 вариант — рис. 15, 2 вариант — рис. 16), двое учащихся работают у доски.

7. Итоги урока

Вопросы для учащихся:

– Что называется графиком функции?

– Как построить график функции, заданной формулой?

– Как по графику найти значение функции, соответствующее данному значению аргумента?

– Как по графику функции найти значение аргумента, которому соответствует данное значение функции?

— Как по графику зависимости определить, является ли она функцией?

8. Рефлексия

Закончи предложение:

Что узнали, изучив тему…

Чему научились, изучив тему…

Какие испытали трудности…

9. Домашнее задание:

1. п. 14, определение, № 286 – 288

2. Творческое задание: проект «Функции в пословицах и поговорках». (Показать примеры).

Литература:

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев и др; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: «Просвещение», 2014г.
2. Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева и др. (компакт-диск) – издательство «Учитель», 2011.
3. Глазков Ю.А. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре: 7 класс: к учебнику Ю.Н. Макарычева и др.   – М.: Издательство «Экзамен», 2011.

nsportal.ru

Урок 8 класс «Как построить график функции y=f(x+l), зная график функции y=f(x)

Технологическая карта урока математики в 8 классе

по теме «Как построить график функции

y=f(x+l), если известен график функции y=f(x)»

Цель урока: отработать умение строить график функции y=f(x+l), если известен график функции y=f(x).

Задачи:

Образовательные: обеспечить осознанное понимание построения графика функции y=f(x+l), если известен график функции y=f(x).

Развивающие: развитие у учащихся умения проводить обобщения, поводить анализ;

Воспитывающие: воспитание у учащихся умения контролировать, проводить коррекцию и оценивать уровень усвоения учебного материала.

Тип урока:

Урок закрепления знаний

Познавательная

Коммуникативная

Регулятивная

I. Организационный

момент

Приветствие класса. Информация об отсутствующих. Проверка готовности учащихся. Сообщение темы урока, цели.

Приветствие учителя. Дежурные докладывают об отсутствующих.

В тетрадях записывают число, тему.

Рефлексия

Проверка, как была усвоена информация прошлого урока

Заполняют таблицу

контроль, коррекция, в течении урока

II.

Актуализация знаний учащихся.

Устная работа.

1Повторение алгоритма построения графика функции y=f(x+l)

2. Определить уравнение функции по графику, в виде теста

1. читают алгоритм, заканчивают предложения

2. Поднимают карточки с правильным вариантом ответа. Ответ объясняют опираясь на алгоритм.

Умение структурировать знания,

анализ, синтез

Взаимодействуют с учителем во время опроса , осуществляемого во фронтальном режиме.

контроль, коррекция

III. Решение задач

Построить график функции и прочитать некоторые своиства графика

1. Рассказывают алгоритм построения графика функции y=f(x+l). Используя, алгоритм строят графики. Один ученик у доски.

Применение полученной информации.

Умение выражать свои мысли

Усвоить алгоритм построения графиков

IV. Физминутка

Возрастание, убывание функции

Если функция возрастает тянутся вверх, функция убывает-садятся

V. Решение задач

1.Решить графически уравнение

2. Построение графика функции

1.Вспоминают алгоритм графического решения уравнения.

2. Предлагают решения этой задачи. Решают применяя формулы сокращенного умножения

VI.

Самостоятельная работа

Решить графически уравнение

Решают уравнения, строя графики функции, используя алгоритм

Применение полученной информации самостоятельно.

контроль, коррекция своей работы

Рефлексия

Проверка, как была усвоена информация урока

Заполняют таблицу

оценка процесса и результатов деятельности

контроль, коррекция

infourok.ru

» Построение графиков функции» алгебра , 8 класс

№ 68. Дата: 26.02.14. Зам. директора: __________________

Класс: 8 класс. Предмет: алгебра.

Тема: «Построение графиков функции».

Цели:

1. Изучение, формирование построение графиков квадратичной функции и первичное закрепление знаний, умений строения с помощью шаблонов параболы графики функций.

2. Развитие умения анализировать, сравнивать, выделять главное, применять знания на практике.

3. Воспитание культуры умственного труда, дисциплинированности, пунктуальности, аккуратности и ответственности, воли и упорства в достижении цели.

Тип урока – урок изучения нового материала.

Вид урока – комбинированный.

Прогнозируемый результат.

1. Знать основные понятия и определения по указанной теме.

2. Уметь применять полученные знания на практике.

Оборудование урока-таблицы, дидактический материал, раздаточный материал, тесты.

План урока.

1. Организация начала урока. Подготовка учащихся к работе на уроке. Постановка целей урока.

2. Проверка выполнения домашнего задания. Установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция. № 248, 249, 250(2,4)

3. Подготовка к основному этапу урока, к активному усвоению нового учебного материала. Актуализация опорных знаний и умений. Вопросно-ответная беседа.

Устная работа.

• Дайте определение функции.

• Какая функция называется квадратичной? Приведите примеры.

• Что представляет собой график функции y = ax²?

• В каких четвертях расположен график функции y = ax² при а>0 и при а< 0?

• Как можно получить график функции y = ax² + n, используя график функции y = ax²?

• Как можно получить график функции y = a(x — m)², используя график функции y = ax²?

4. Объяснение нового материала. Усвоение новых знаний и способов действий.

График функции у = а(х – m)² + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если m > 0, или на – т единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n >0, или на – n единиц вниз, если n < 0. .(слайд № 5)

Пример 1.

Построим график функции y = .

Решение:

Построим шаблон графика функции y =.

Параллельно перенесем график функции y = на 2 единицу влево. Получим график функции y = .

Параллельно перенесем график функции на 4 единицы вверх. Получим график функции y = . .(слайд № 6)

Пример 2.

Построим график функции y = 2.

Решение:

Построим шаблон графика функции y =.

Параллельно перенесем график функции y = на 3 единицу влево. Получим график функции y = .

Параллельно перенесем график функции на 4 единицы вниз. Получим график функции y = .(слайд № 7)

Пример 3.

Построим график функции y = (x -1)² +3.

Решение:

Построим шаблон графика функции y = x².

Параллельно перенесем график функции y=x² на 1 единицу вправо. Получим график функции y = (x-1)².

Параллельно перенесем график функции y= (x-1)² на 3 единицы вверх. Получим график функции y = (x-1)² +3 .

Пример 4.

Построить график функции у = (х – 3)² +1.

Ее график можно получить из графика функции у = х² с помощью двух параллельных переносов – сдвига параболы на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. 

Пример 5.

Построить график функции у = (х + 3)² – 2.

Ее график можно получить из графика функции у = х² с помощью двух параллельных переносов – сдвига параболы на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

5. Первичная проверка знаний понимания учащимися нового материала. Установление правильности и осознанности усвоения нового материала, выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Тренировочные упражнения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

6. Закрепление знаний и способов действий на уровне применения в знакомой ситуации.

1. Используя шаблон параболы  постройте график функции:

2. Задайте формулами вида функции, графики которых изображены на рисунках: 

   

7. Подведение итогов урока. Анализ и оценка успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы. Рефлексия.

Рефлексия: заполните таблицу, лежащую на столе.

1. На уроке я работал

активно / пассивно

2. Своей работой на уроке я

доволен / не доволен

3. Урок для меня показался

коротким / длинным

4. За урок я

не устал / устал

5. Материал урока мне был

1. понятен / не понятен

2. полезен / бесполезен

3. интересен / скучен

6. Домашнее задание мне кажется

1. лёгким / трудным

2. интересно / не интересно

8. Домашнее задание. Используя шаблон параболы  постройте график функции:

infourok.ru