Понятие степени – Степень и ее свойства.

Обобщение понятия о показателе степени

Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.

 – степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;

                 n штук

Кроме того, напомним, что:

 и ;

Выражение  не существует.

Основные свойства степеней:

1.      ;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

2.      ;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

3.      ;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4.      ;

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

5.      ;

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Напомним основные числовые множества:

 – натуральные числа;

 – целые числа;

 – рациональные числа;

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел

 – действительные числа;

Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число

, то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.

Рис. 1. Числовая ось

Определение:

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число

Например:

 

Пример 1 – вычислить:

 

Пример 2 – вычислить:

 

Пример 3 – вычислить:

 

Пример 4 – представить в виде степени:

 

Пример 5 – представить в виде степени:

 

Пример 6 – представить в виде степени:

 

Пример 7 – представить в виде степени:

Определение:

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Например:

Пример 8 – вычислить:

Пример 9 – вычислить:

Пример 10 – вычислить:

Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:

Ответ: не существует

Пояснение:

 – выражение 1;

Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:

 – выражение 2;

Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.

Запомним:

 определено только при .

Пример 11 – построить графики функций:

График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения .

График второй функции по определению соответствует графику функции  при .

Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

Пример 12 – найти область определения выражения:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Matematika.mpt.ru (Источник).
  2. Nado5.ru (Источник).
  3. Terver.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

; е) ; ж) ; з)

3. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г)

 

interneturok.ru

СТЕПЕНЬ - это... Что такое СТЕПЕНЬ?

  • СТЕПЕНЬ — степени, мн. степени, степеней, жен. 1. Сравнительная величина, сравнительное количество, сравнительный размер, сравнительное качество чего н. Степень культурности. Высокая степень мастерства. Степень родства (количество рождений, связывающих… …   Толковый словарь Ушакова

  • СТЕПЕНЬ — жен. ступень, ряд, разряд, порядок, от дел по качеству, достоинству; место и самое собранье однородного, равного во всем, где полагается лествичный порядок, восходящий и нисходящий. Царство ископаемых, растений и животных, это три степени… …   Толковый словарь Даля

  • степень — Ступень, разряд, ряд, стадия, фазис, высота, точка, градус, уровень, ординар, достоинство, ранг, чин. Последовательность степеней лестница, иерархия. Образовательный, имущественный ценз. Дело вступило в новый фазис. Чахотка в последнем градусе …   Словарь синонимов

  • СТЕПЕНЬ — произведение нескольких равных сомножителей (напр., 24=2.2.2.2=16). число, повторяющееся сомножителем (в примере число2), называют основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется сомножитель (в примере число4), называют… …   Большой Энциклопедический словарь

  • степень — • степень диссоциации степень окисления степень поглощения …   Химические термины

  • СТЕПЕНЬ — (power) Показатель, указывающий определенное количество умножений числа самого на себя, n я степень х означает х; умноженное само на себя n раз; n является показателем степени. Степени могут быть положительными и отрицательными: х n означает, что …   Экономический словарь

  • СТЕПЕНЬ — СТЕПЕНЬ, в математике, результат умножения числа или ПЕРЕМЕННОЙ на себя определенное число раз. Так, а2 ( = а 3 а) является второй степенью а; а3 третьей степенью; а4 четвертой и т.д. Умножаемое число (в данном примере а) называется основанием… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • степень — степень, мн. степени, род. степеней (неправильно степеня) …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • СТЕПЕНЬ — (1) диссоциации величина, характеризующая состояние равновесия реакции (см.) в однородных (газообразных и жидких) системах; выражается отношением числа молекул, распавшихся (диссоциировавших) на своп составные части (атомы, молекулы, ноны), к… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Степень — Термин «степень» может означать: В математике Возведение в степень Декартова степень Корень n й степени Степень множества Степень многочлена Степень дифференциального уравнения Степень отображения Степень точки  в геометрии Степени тысячи… …   Википедия

  • dic.academic.ru

    степень - это... Что такое степень?

    Морфология: (нет) чего? сте́пени, чему? сте́пени, (вижу) что? сте́пень, чем? сте́пенью, о чём? о сте́пени; мн. что? сте́пени, (нет) чего? степене́й, чему? степеня́м, (вижу) что? сте́пени, чем? степеня́ми, о чём? о степеня́х

    1. Степенью называется сравнительная величина, которая характеризует меру интенсивности какого-либо процесса.

    Степень сжатия газа. | Степень продуктивности животноводства. | Степень точности вычислений. | Степень радиации. | Степень погрешностей измерения.

    2. Степенью родства называют родственную близость между людьми.

    3. Если что-либо происходит в, до какой-либо степени, то это означает, что какое-либо действие происходит, свойство проявляется с большей или меньшей интенсивностью.

    Отразиться в слабой степени. | В значительной степени превысить. | Исследовать в равной степени. | Знакомы в достаточной степени. | Антимонопольный закон до некоторой степени ограничивает деятельность крупных компаний.

    = отношение

    4. Степенью называется уровень, которого достигает кто-либо, что-либо.

    Дождь достиг степени шквала. | Низвести человека до степени животного. | Высокая степень доверия. | Высшая степень наслаждения. | Степень зимостойкости растений. | Степень комфортности мебели. | Документы разной степени конфиденциальности. | Программы отличаются по степени риска и по сроку вложений.

    5. Степенью называется официально утверждённая категория чего-либо.

    Диплом сельскохозяйственной выставки третьей степени. | Ожог первой степени. | Обморожение третьей степени. | Контузия первой степени. | Высший российский орден «За заслуги перед Отечеством» I, II, III, IV степени.

    = категория, класс

    6. Степенью называют присуждаемое кому-либо учёное звание.

    Академическая степень. | Магистерская степень. | Получить степень бакалавра. | Присудить степень кандидата наук. | Получать надбавку к зарплате за степень.

    7. В математике степенью называют произведение нескольких равных сомножителей.

    Возвести десять в пятую степень. | Число 2 в десятой степени равно 1024.

    8. В грамматике степенями сравнения называют формы качественных прилагательных и наречий, которые выражают интенсивность качества предмета.

    Положительная, сравнительная, превосходная степень.

    9. Если кто-либо в высшей степени рад чему-либо, то это означает, что этот человек испытывает очень большую радость по поводу чего-либо.

    = очень, крайне

    10. Если кто-либо ни в какой, ни в малейшей степени не заинтересован в чём-либо, то это означает, что этот человек не испытывает никакого интереса к чему-либо.

    = вовсе не, совсем не

    степенно́й

    Степенная функция. | Степенной ряд.

    dic.academic.ru

    степень - это... Что такое степень?

  • СТЕПЕНЬ — степени, мн. степени, степеней, жен. 1. Сравнительная величина, сравнительное количество, сравнительный размер, сравнительное качество чего н. Степень культурности. Высокая степень мастерства. Степень родства (количество рождений, связывающих… …   Толковый словарь Ушакова

  • СТЕПЕНЬ — жен. ступень, ряд, разряд, порядок, от дел по качеству, достоинству; место и самое собранье однородного, равного во всем, где полагается лествичный порядок, восходящий и нисходящий. Царство ископаемых, растений и животных, это три степени… …   Толковый словарь Даля

  • степень — Ступень, разряд, ряд, стадия, фазис, высота, точка, градус, уровень, ординар, достоинство, ранг, чин. Последовательность степеней лестница, иерархия. Образовательный, имущественный ценз. Дело вступило в новый фазис. Чахотка в последнем градусе …   Словарь синонимов

  • СТЕПЕНЬ — произведение нескольких равных сомножителей (напр., 24=2.2.2.2=16). число, повторяющееся сомножителем (в примере число2), называют основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется сомножитель (в примере число4), называют… …   Большой Энциклопедический словарь

  • СТЕПЕНЬ — СТЕПЕНЬ, и, мн. и, ей, жен. 1. Мера, сравнительная величина чего н. С. подготовленности. С. загрязнения. 2. То же, что звание (в 1 знач.), а также (устар.) ранг, чин. Учёная с. доктора наук. Достичь высоких степеней. 3. обычно с поряд. числ.… …   Толковый словарь Ожегова

  • степень — • степень диссоциации степень окисления степень поглощения …   Химические термины

  • СТЕПЕНЬ — (power) Показатель, указывающий определенное количество умножений числа самого на себя, n я степень х означает х; умноженное само на себя n раз; n является показателем степени. Степени могут быть положительными и отрицательными: х n означает, что …   Экономический словарь

  • СТЕПЕНЬ — СТЕПЕНЬ, в математике, результат умножения числа или ПЕРЕМЕННОЙ на себя определенное число раз. Так, а2 ( = а 3 а) является второй степенью а; а3 третьей степенью; а4 четвертой и т.д. Умножаемое число (в данном примере а) называется основанием… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • степень — степень, мн. степени, род. степеней (неправильно степеня) …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • СТЕПЕНЬ — (1) диссоциации величина, характеризующая состояние равновесия реакции (см.) в однородных (газообразных и жидких) системах; выражается отношением числа молекул, распавшихся (диссоциировавших) на своп составные части (атомы, молекулы, ноны), к… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Степень — Термин «степень» может означать: В математике Возведение в степень Декартова степень Корень n й степени Степень множества Степень многочлена Степень дифференциального уравнения Степень отображения Степень точки  в геометрии Степени тысячи… …   Википедия

  • popular.academic.ru

    Значение слова СТЕПЕНЬ. Что такое СТЕПЕНЬ?

    СТЕ́ПЕНЬ, -и, род. мн. -е́й, ж.

    1. Сравнительная величина, характеризующая что-л., мера чего-л. Степень сжатия газа. Степень продуктивности животноводства. Степень точности вычислений.Степень развития производительных сил определяет меру власти человека над природой. Плеханов, К вопросу о развитии монистического взгляда на историю.

    2. только ед. ч. (с определением и предлогами „в“, „до“). Мера, предел; отношение. В слабой степени. В значительной степени. В равной степени. В достаточной степени. До известной степени.Городишко был скверный до последней степени. Мамин-Сибиряк, Без особенных прав. — Я не могу тебе выразить, до какой степени я дорожу его дружбой. Тургенев, Отцы и дети.

    3. (в сочетании с числительным). Разряд, категория, класс. Матрос порвал историю болезни и справку врачей, дававшую ему вторую степень ограничения военной годности. Борзенко, Повинуясь законам Отечества. | О наградах, орденах. Орден Отечественной войны второй степени. Диплом сельскохозяйственной выставки третьей степени.Кто-то умер: на красной подушке Первой степени Анна лежит. Н. Некрасов, Утро. || Стадия (об ожоге, обморожении). Ожог первой степени. Обморожение третьей степени.

    4. Уровень, ступень, на которой находится, которой достигает кто-, что-л. [Наша литература] находится уже на той степени, когда изящная форма почитается не достоинством, а условием необходимым. Н. Некрасов, <Из статьи «Русские второстепенные поэты»>. Трудно пересчитать все ее [женщины] «домашние обязанности», которые низводят ее, человека, на степень домашнего животного. М. Горький, О женщине. Комнатные переживания, мир только литературных ассоциаций, споры о книгах, заседания, редакции ---, — все это сводит поэзию на степень упражнения, где обыгрывается слово ради слова. Тихонов, О ленинградских поэтах.

    262

    5. Устар. Служебный ранг, чин. Радищев должен был достигнуть одной из первых степеней государственных. Но судьба готовила ему иное. Пушкин, Александр Радищев. Соломонов не сомневался, что --- он быстро достигнет высших степеней, доступных военному человеку. Славин, Дело под Картамышевом.

    6. Ученое звание. Магистерская степень. Присудить степень кандидата наук.

    7. Мат. Произведение нескольких равных сомножителей, результат повторного умножения числа на самого себя. Возвести десять в пятую степень.

    Степени сравнения ( грамм.) — формы качественных прилагательных и наречий, выражающие качество предмета безотносительно к его мере (положительная степень) или сравнительно бо́льшую или самую высокую меру качества (сравнительная и превосходная степень).
    В высшей степени — 1) очень, крайне. Он чувствовал себя в высшей степени несчастным человеком. Чехов, Степь; 2) совершенно, совсем. Наплевать мне, товарищи, в высшей степени на деньги, на славу и на прочую муру! Маяковский, Послание пролетарским поэтам.
    Ни в какой степени и ни в малейшей степени — вовсе, совсем.

    kartaslov.ru

    СТЕПЕНЬ - это... Что такое СТЕПЕНЬ?

  • СТЕПЕНЬ — степени, мн. степени, степеней, жен. 1. Сравнительная величина, сравнительное количество, сравнительный размер, сравнительное качество чего н. Степень культурности. Высокая степень мастерства. Степень родства (количество рождений, связывающих… …   Толковый словарь Ушакова

  • СТЕПЕНЬ — жен. ступень, ряд, разряд, порядок, от дел по качеству, достоинству; место и самое собранье однородного, равного во всем, где полагается лествичный порядок, восходящий и нисходящий. Царство ископаемых, растений и животных, это три степени… …   Толковый словарь Даля

  • степень — Ступень, разряд, ряд, стадия, фазис, высота, точка, градус, уровень, ординар, достоинство, ранг, чин. Последовательность степеней лестница, иерархия. Образовательный, имущественный ценз. Дело вступило в новый фазис. Чахотка в последнем градусе …   Словарь синонимов

  • СТЕПЕНЬ — СТЕПЕНЬ, и, мн. и, ей, жен. 1. Мера, сравнительная величина чего н. С. подготовленности. С. загрязнения. 2. То же, что звание (в 1 знач.), а также (устар.) ранг, чин. Учёная с. доктора наук. Достичь высоких степеней. 3. обычно с поряд. числ.… …   Толковый словарь Ожегова

  • степень — • степень диссоциации степень окисления степень поглощения …   Химические термины

  • СТЕПЕНЬ — (power) Показатель, указывающий определенное количество умножений числа самого на себя, n я степень х означает х; умноженное само на себя n раз; n является показателем степени. Степени могут быть положительными и отрицательными: х n означает, что …   Экономический словарь

  • СТЕПЕНЬ — СТЕПЕНЬ, в математике, результат умножения числа или ПЕРЕМЕННОЙ на себя определенное число раз. Так, а2 ( = а 3 а) является второй степенью а; а3 третьей степенью; а4 четвертой и т.д. Умножаемое число (в данном примере а) называется основанием… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • степень — степень, мн. степени, род. степеней (неправильно степеня) …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • СТЕПЕНЬ — (1) диссоциации величина, характеризующая состояние равновесия реакции (см.) в однородных (газообразных и жидких) системах; выражается отношением числа молекул, распавшихся (диссоциировавших) на своп составные части (атомы, молекулы, ноны), к… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Степень — Термин «степень» может означать: В математике Возведение в степень Декартова степень Корень n й степени Степень множества Степень многочлена Степень дифференциального уравнения Степень отображения Степень точки  в геометрии Степени тысячи… …   Википедия

  • dic.academic.ru

    Понятие степени с иррациональным показателем.

    Пусть – иррациональное число, а .

    Определение. Степенью числа с иррациональным показателем называется действительное число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство , если , и , если . Если же , то полагаем .

    Обозначение: .

    Теорема существования и единственности. Каково бы ни было число и , и каково бы ни было иррациональное число существует число , являющееся степенью числа с показателем и оно единственно.

    Доказательство существования. Докажем для случая .

    Пусть – иррациональное число. Докажем, что существует число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство .

    Рассмотрим возрастающую последовательность десятичных приближений числа с недостатком

    (1)

    И убывающую последовательность десятичных приближений числа с избытком

    (2)

    В силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел из неравенства (1) следует

    , (3)

    а из неравенства (2)

    . (4)

    Любой член последовательности (1) удовлетворяет неравенству для любого натурального . Поэтому для любого натурального . Это неравенство говорит о том, что возрастающая последовательность (3) ограничена сверху числом . Тогда по теореме о существовании предела монотонной ограниченной последовательности получаем, что последовательность (3) имеет конечный предел. Обозначим его через , то есть .

    Докажем, что последовательность (4) имеет такой же предел. Так как , то

    (5)

    Следовательно, по свойству (5) показательной функции с рациональным показателем получаем, что . Найдём :

    Итак

    (6)

    Известно, что если последовательность стремится к своему пределу, возрастая (убывая), то любой член последовательности () своего предела. Поэтому для любого натурального

    , (7)

    где (8)

    Докажем, что – это степень числа с показателем . Для этого надо показать, что неравенство вида (7) верно не только для десятичных приближений числа , но и для любых рациональных чисел и , таких что

    . (9)

    Возьмём два произвольных рациональных числа и из неравенства (9) и зафиксируем их на момент рассуждений. Рассмотрим последовательность отрезков, концы которых берутся из последовательностей (1) и (2): .

    Из равенства (%) получаем, что длина -го отрезка стремится к нулю при . Значит среди этих отрезков найдётся хотя бы один, длина которого меньше расстояния от до ближайшего конца отрезка . Обозначим этот отрезок .

    Так как оба отрезка и содержат внутри себя точку , то учитывая длину последнего отрезка получаем, что весь отрезок , то есть выполняются неравенства

    (10)

    Из неравенства (10) в силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел получаем

    . (11)

    Так как неравенство (7) справедливо для любых десятичных приближений десятичных приближений числа , то оно верно и для и , то есть . Тогда учитывая неравенство (11) получаем, что

    . (*)

    Итак, каковы бы ни были рациональные числа и из неравенства (9), число удовлетворяет неравенству , а это означает по определению степени, что – степень числа с иррациональным показателем . Таким образом, существование доказано.

    Доказательство единственности. Докажем для случая .

    Пусть наряду с , которое получено как предел последовательностей (3) и (4), существует другое число , удовлетворяющее неравенствам (12) для любых , таких что .

    Так как неравенство (*) верно для любых рациональных чисел, то оно верно и для любых десятичных приближений числа , то есть . Перейдём в этом неравенстве к пределу при :

    С учётом (6) получаем , отсюда , то есть число единственное.

    В случае доказательство аналогично. Ч.Т.Д.

    Замечание 1. В процессе доказательства существования степени с иррациональным показателем в силу (6) мы показали, что , где и – две последовательности десятичных приближений числа с недостатком и избытком. Покажем, что

    (12)

    Доказательство. Из возрастания последовательности (1) и ограниченности последовательности сверху, а также из убывания последовательности (2) и ограниченности последовательности снизу, следует существование пределов этих последовательностей. Так как в силу (5) , то . Учитывая, что для любого натурального , после перехода к пределу в последнем неравенстве получаем равенство (12).

    Следствие. Для того чтобы число было степенью числа с иррациональным показателем необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к , то есть если , где для любых , то .

    Так как данное условие является необходимым и достаточным, то его можно принять за определение степени числа с иррациональным показателем .

    Замечание 2. Определение степени с иррациональным показателем можно применить и для случая рационального показателя.

    studfile.net

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *