Построение графиков сдвигами – / —

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции y=sqrt{x} получить график функции y=delim{

Линейным преобразованием функции y=f(x) называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду y= Af(kx+b)+D, а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

  1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
  2. Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

y=delim{

В ее основе лежит функция f(x)=sqrt{x}. Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции y=delim{ мы совершаем преобразования графика базовой функции  f(x)=sqrt{x}

.

Если бы  мы совершали преобразования функции y=delim{  в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) right f(x+b)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Сдвигаем график фунции y=f(x) вдоль оси ОХ на  |b| единиц

  •   влево, если b>0
  •   вправо, если b<0

Построим график функции  y=sqrt{x-2}

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

y=sqrt{x}

2. f(x) right f(kx)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Абсциссы точек графика y=f(x) делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции  y=sqrt{2x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Все абсциссы точек графика y=sqrt{2x} делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

y=sqrt{2x}

3. f(x) right f(-x)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

 

Построим график функции  y=sqrt{-x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

y=sqrt{x}

4.  f(x) right f(|x|)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции  y=sqrt{delim{

выглядит так:

y=sqrt{delim{

Построим график функции y=sqrt{delim{

1. Строим график функции y=sqrt{x+2} (это график функции y=sqrt{x}, смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

y=sqrt{x}

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

y=sqrt{x}

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

y=sqrt{x}

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".

Например, в функции y=sqrt{delim{  последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")

Затем выполнили преобразование f(x) right

f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

right

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)rightf(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

  • вверх, если D>0
  • вниз, если D<0

 

Построим график функции y=sqrt{x}+2

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

y=sqrt{x}

 

2. f(x)rightAf(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

 

Построим график функции y=2sqrt{x}

1. Построим график функции y=sqrt{x}

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

y=sqrt{x}

3. f(x)right

-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

 

Построим график функции y=-sqrt{x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}.

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

y=sqrt{x}

 

4. f(x)right|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

 

Построим график функции  y=delim{

1. Строим график функции y=sqrt{x}-2. Он получается смещением графика функции   y=sqrt{x} вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

y=sqrt{x}

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

y=sqrt{x}

 

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) right |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график  уравнения  delim{

1. Строим график функции   y=sqrt{x}-2:

y=sqrt{x}-2

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

y=sqrt{x}-2

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

y=sqrt{x}-2

 

И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

y=delim{

График этой функции выглядит так:

y=delim{

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Тестирование онлайн

  • Преобразование графиков

Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при A.

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Примеры

fizmat.by

Преобразование графиков функций - подготовка к ЕГЭ по Математике

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема - полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

y = f(x + a)

 

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

y = f(x) - C

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2.  Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

k \textgreater 1.

3.  Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

0 \textless M \textless 1.

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

y = f(x)

y = f(x)

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

y = f(x)

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, - срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

y= f(

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

y= f(

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

y= f(

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

y=

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, - преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции 

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

(-3; -1).

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График - квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

(0; -1).

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Преобразование графиков

Параллельный перенос.

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b0 или вверх при bДля построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a

Примеры:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Отражение.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Примеры:

1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)

Деформация.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k•f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k•f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при kДля построения графика функции y = k•f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k

k > 1 - растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX


ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(k•x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k

k > 1 - сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY




Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

tofmal.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = f (x) + c,  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c |

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = – f (x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = f ( – x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в Элементарные преобразования графиков функций раз от оси   Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   Элементарные преобразования графиков функций   раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   Элементарные преобразования графиков функций   раз к оси   Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   Элементарные преобразования графиков функций   раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

Описание:

В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = | f (x)|

Описание:

Часть графика функции y = f (x),   расположенная в области Элементарные преобразования графиков функций, остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций
Преобразование   y = f (| x|)

Описание:

Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области Элементарные преобразования графиков функцийостаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области Элементарные преобразования графиков функций при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Рисунок:

Элементарные преобразования графиков функцийЭлементарные преобразования графиков функций

www.resolventa.ru

Смещение графиков функций. Изменение графиков функций.

Смещение графика \(f(x)=|x|\) по вертикали 

График  функции \(f(x)=|x|\) и \(-f(x)=-|x|\):

Смещение графиков функций

Графики функций \(f(x)=x^3\) и \(f(-x)=(-x^3)\). Графики \(f(x)=\sqrt{x}\) и \(f(-x)=\sqrt{-x}\)

 

Смещение графиков функций

 

Изменение графика параболы по мере увеличения и уменьшения  числового коэффициента:

Смещение графиков функций

 

Если мы прибаляем к функции \(f(x)=|x|\)  число \(f(x)=|x|+3\) , то график смещается по оси \(0Y\) на \(+3\) еденицы вверх, а если мы вычитаем число \(-4\)

\(f(x)=|x|-4\), то график сместиться вниз на 4 вниз:

Смещение графиков функций Смещение графиков функций

То же самое с графиком  \(f(x)=\sqrt{x}\):

Смещение графиков функций

\(f(-x)-\)отражение относительно  \(OY\):

Смещение графиков функций

 

\(-f(x)- \)отражение относительно \(OX\) :

Смещение графиков функций

Изменение графиков функций 

​\(f(x)+c-\) сдвиг  \(f(x)\) вверх относительно \(OY\)

\(f(x)-c-\) сдвиг \(f(x)\) вниз относительно  \(OY\)

\(f(x+c)-\)сдвиг \(f(x)\)  влево относительно \(OX\)

\(f(x-c)-\)сдвин \(f(x)\) вправо относительно \(OX\)

\(f(-x)-\) отражение относительно \(OY\)

\(-f(x)- \)отражение относительно \(OX\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Пишкова Наталья Евгеньевна Основные методы построения графиков функций

11

Статьи по математике из журнала МИФ-2 за 2002-2003 годы

Математика, 11 класс

График функцииэто множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

Если буквально следовать определению, то для построения графика некоторой функции нужно найти в с е пары соответствующих значений аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В большинстве случаев это сделать практически невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому обычно исследуют функцию, что даёт возможность найти область определения и область изменения функции, области её убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и т.д.; находят несколько точек, принадлежащих графику, и соединяют их плавной кривой. Однако при построении графиков многих функций часто можно избежать проведение подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов и посвящается эта статья, которая может служить практическим руководством при построении графиков многих функций.

1.Параллельный перенос

    1. Перенос (сдвиг) вдоль оси ординат

Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений аргумента на b единиц больше соответствующих ординат графика y=f(x) при b>0 и на b единиц меньше при b<0. Следовательно, график функции y=f(x)+b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вверх при b>0 или вниз при b<0.

Рассмотрим это на примере построения графика функцииy= x2 +1. Воспользуемся уже хорошо известным нам графиком функции y=x2 (рис.1), назвав его исходным графиком. Сравнивая функцию y=x2 +1 с функцией y=x2 , видим, что ординаты y графика заданной функции на 1 больше ординат исходного графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх, как это и показано на рисунке 2.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Однако перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на b единиц вверх или вниз вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему, противоположному переносу оси абсцисс на столько же единиц.

Вернёмся к нашему примеру и покажем, что график функции y=x2+1 можно построить ещё проще, если воспользоваться тем же исходным графиком y=x2, но вместо перенесения всей кривой вверх на 1 перенести ось x-ов на ту же единицу вниз, как показано на рисунке 3. Тем самым относительно новой оси x-ов все ординаты кривой увеличиваются на 1, и получается график заданной функции.

Именно этим способом и следует пользоваться, поэтому сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y=f(x)+b (где y=f(x) - простейшая функция, график которой нам известен) следует построить график функции y=f(x), причём горизонтальную ось начертить штриховой линией и затем сдвинуть её на b единиц вниз, если b>0 и на b единиц вверх, если b<0. Это и будет истинная ось х-ов; полученный в новой системе координат график является графиком функции y=f(x)+b.

Пример 1. Построить график функции y=2x+3.

Р е ш е н и е:

Строим график функцииy=2x и переносим ось абсцисс на 3 единицы вниз. Получаем график функции y=2x+3 ( рис.4 ). Прямая y=3 является горизонтальной асимптотой. График пересекает ось ординат в точке ( 0;4 ).

Рис.4 Рис.5

Пример 2. Построить график функции

Р е ш е н и е :

Строим график функции и переносим ось абсцисс наединиц вверх. Получаем график функции( рис.5 ). Прямаяявляется горизонтальной асимптотой. График пересекает ось абсцисс в точке (;0 ).

studfile.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *