Построение сечений пирамиды (тетраэдра)

Этапы урока, виды деятельности	Действия учителя	Деятельность учащихся
0. Актуализация знаний Слайды 1, 2, 3	1).Называет тему урока. Слайд 1 3). Читает слова Эйнштейна — эпиграф к уроку. Слайд 2. 4). Знакомит учащихся с их рабочими листами. Слайд 3 Приложение 2. 6) Даёт установку ученикам на самооценку их Д.	2)В форме беседы выясняют применение умений строить сечения: изучение геометрии, ЕГЭ, начертательная геометрия в ВУЗе, инженерная графика, развитие пространственного воображения. 5) Подписывают рабочие листы
1. Целеполагание. Слайды 4, 5	1) Говорит о необходимости постановки цели урока. Слайд 4. 3) Обобщает несколько названных целей учениками. Слайд 5.	2) Исходя из всего сказанного, пишут свою цель урока, как желаемый конечный результат.
2. Теоретическая основа. Слайды 6, 7, 8, 9, 10	1) Организует повторение изученной теории, необходимой для построения сечений. На предыдущем уроке ученики отбирали необходимые теоретические факты. Слайды 6,7, 8,9,10.	Отвечают на вопросы учителя устно по слайдам.
3. Устная работа по готовым чертежам. Слайды 11, 12, 13, 14, 15.	1) Называет критерии самооценки: 1балл-понимаю, 2 балла — участвую в беседе. 2) Организует устную работу Слайды 11, 12, 13, 14,15.	3) Работают устно по слайдам. 4) Оценивают свою Д по критериям.
4. Тестирование. Слайды 16, 17, 18, 19.	1) Проводит тестирование. Слайды 16,17,18. 3) Организует проверку. Слайд 19. 5) Возвращается к сложным задачам по просьбе учащихся.	2) Пишут код-ответ в рабочий лист. Разрешается согласование в парах. 4) проверяют свои ответы. За каждый правильный ответ — 1 балл.
5. Практикум. Коллективная работа. Слайды 20, 21, 22, 23.	1) Называет критерии самооценки: 1 балл — умеет решать задачи 20,21, 2 балла — умеет решать все задачи, 3 балла — + участвует в объяснении. 2) Организует практикум. Сначала даёт возможность ученикам самим попробовать построить сечение. Следит за математической речью учащихся.	4) Строят сечения. Объясняют построение по шагам, опережая ход построения на слайде. 5) Делают оценку своей работы по критериям.
6. Самостоятельная работа по вариантам. Слайды 24, 25	1) Организует самостоятельную работу. 3) Называет критерии самооценки: 3 балла — за первую задачу, 5 баллов — за вторую задачу.	2) Работают самостоятельно. 4) проверяют свои решения по слайду 25 и оценивают их по критериям.
7. Творческое домашнее задание. Слайд 26.	Комментирует домашнее задание. Слайд 26.	Записывают домашнее задание в дневник.
8.Работа в группах «Составь задачу» Слайд 27	1) Объясняет задания группам. Слайд 27. 2) Называет критерии самооценки: 3-5 баллов в зависимости от своего вклада в решение.	3) Руководители организуют работу в группах. Задачу выполняют на листе А4 маркерами. 4) Проверяют задачи одна группа у другой. 5) Оценивают свою работу по критериям.
9. Подведение итогов урока. Рефлексия. Слайд 28, 29	1) Называет критерии оценки «4» и «5». Слайд 28. 3) Проводит рефлексию: в чём вы видите результат своей работы на уроке, что помогло вам его достичь. 5) Заканчивает урок китайской пословицей: не бойся, что не знаешь — бойся, что не учишься. Слайд 29.	2) Ставят себе оценку за урок в рабочий лист. Листы сдают учителю. 4) Ответы: стал лучше понимать задачи на построение сечений, научился строить сечения, особенно мне помогла на уроке презентация, групповая и коллективная работа и другие ответы.

Учебно-методическое пособие по геометрии (10 класс) по теме: Построение сечений

Тема урок:  ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

Материал ориентирован на учащихся, обучающихся в профильных классах по направлениям: информационно-технологическое, физико-математическое.

Цель урока: знакомство учащихся с основными методами построения сечений многогранников.

Задачи урока: развитие пространственных представлений учащихся, формирование единого математического мировоззрения, повышение математической культуры.

Тип урока: урок-лекция, рассчитанный на 2 часа

Техническое оснащение  урока: компьютер (стандартный пакет программ), мультимедийный проектор, экран.

Материал урока:

Прежде, чем познакомиться с одним из основных методов построения сечений, а именно: «методом следов», разберемся с собственно понятием следа.

Известно, что пересечением двух плоскостей является прямая. При пересечении многогранника плоскостью, эта плоскость пересекает грани многогранника по некоторым прямым, которые и носят название следов. Очевидно, что плоскость имеет столько следов, сколько граней многогранника она пересекает. Так при пересечении куба может быть от трех до шести следов (слайд 2).

        Рассмотрим  задачу построения сечения, используя линию следа, являющуюся результатом пересечения плоскости с нижним основанием.

        Задача 1: В наклонной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью РКМ, где точка М делит ребро D1D в отношении 4:1, считая от точки D1, точка Р лежит на ребре А1В1, а точка К – середина ребра СС1. (Слайд 3)

        Решение: Спроецируем точку Р на прямую АВ (точка Р1) параллельно боковому ребру. Проекцией точки М на плоскость основания является точка D. Прямая РМ, принадлежащая плоскости сечения, пересекает прямую Р1D, принадлежащую плоскости основания, в точке О1. Аналогично, прямая РК, лежащая в плоскости сечения пересекает плоскость основания (и проекцию прямой РК на плоскость основания) в точке О2. Через две точки плоскости проходит единственная прямая. В нашем случае это прямая О1О2, или линия следа плоскости сечения на плоскость основания.

        Правильность построения линии следа подтверждается и возможным построением еще одной точки – О3 – результатом пересечения с плоскостью основания прямой КМ, принадлежащей плоскости боковой грани призмы.

        Воспользуемся построенной линией следов для выполнения дальнейших построений. Прямая AD пересекает прямую О1О2 в точке О4. Прямая О4М пересекает ребро АА1 в точке Т, проекцией которой и является точка А. Аналогично, прямая ВО5, проходящая через вершину С, является проекцией искомой прямой NK. Искомое сечение – многоугольник ТРNKM.

        

        Задача 2: Постройте сечение единичного куба АВСDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер АА1, В1С1, А1В1. (слайд 4)

Решение: Для построения сечения плоскостью МРК проще всего  построить линии следа искомой плоскости с тремя плоскостями куба, с общей вершиной в точке D1. В результате мы получим треугольник О1О2О3, пересекающий все грани куба. Остается лишь последовательно соединить построенные точки.

Метод внутреннего проектирования.

        Рассматриваемый ниже метод используется в том случае, если построить линию следа проблематично.

        Задача 3: Постройте сечение параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 плос-костью VRS, где точки V и S лежат соответственно на гранях AA1D1D и DD1C1C, а точка R – в плоскости грани АА1В1В. (слайд 5)

        Решение: 1. Спроецируем заданные точки на плоскость нижнего основания.

2. Построим плоскости RR1SS1 и VV1CC1, определяемые параллель-ными прямыми. Они пересекаются по прямой ОО1.

3. Построим точку пересечения О2 прямых RS и ОО1.

4. В плоскости VV1C проведем прямую VO2 до пересечения с прямой СС1 – точка С2. Прямая С2S пересекает прямые С1D1 и DD1 соответственно в точках T и D2.

5. Прямая D2V – точка А2; прямая А2R – точка Р.

6. Искомое сечение плоскостью VRS проходит последовательно через точки РТD2A2.

Комбинированный метод.

        К данному методу построения сечений принято относить те, при построение которых используются оба рассмотренных ранее метода. Чаще всего это встречается в тех задачах, где необходимо построить сечение плоскостью параллельной некоторой прямой или некоторой плоскости. При этом сначала строится вспомогательное сечение, а затем искомое, параллельное данному.  

Напомним, что если некоторая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

Задача 4: Из прямоугольного параллелепипеда вырезали четверть, как показано на рисунке. Надо построить сечение получившейся призмы плоскостью VSC1. (слайд 6)

        Решение: Построение данного сечения целесообразно разбить на два этапа.

1. Воспользуемся линиями следов, получаемых в результате пересечения трех граней призмы с общей вершиной в точке В:

• Прямая SC1 лежит в плоскости грани ВВ1F1FC1C и пересекает прямые ВВ1 и ВС соответственно в точках О2 и О1 (линия следа О1О2).
• Прямая О2V, лежащая в плоскости АВВ1А1 пересекает прямую ВА в точке О3, что позволяет построить еще две линии следа: О2О3 и О3О1.
• Прямая АD является проекцией прямой VO4, где точка О4  лежит на линии следа О3О1, и пересекает ребро DD1 в точке Т. В этой же точке пересекаются прямая С1О5 и ее проекция на плоскость нижнего основания прямая СD.
• Последовательно соединяя точки, получаем незамкнутую ломаную линию С1ТVGSH, определяющую искомую плоскость.

2. Для построения оставшихся линий пересечения плоскости с гранями многогранника (HN и NC1), вспомним приведенную выше теорему о параллельности прямых, получаемых в результате пересечения двух параллельных плоскостей третьей. В нашем случае плоскость KFF1 параллельна АВВ1 и DCС1, поэтому прямая  HN будет параллельна построенным прямым VG и ТС1. Аналогично, прямая NC1 будет параллельна прямой GS.

Построение сечений в пирамидах.

        Построение сечений в пирамидах имеет одну особенность, а именно: отсутствие параллельных граней и, следовательно, используемая ранее теорема о параллельности линий пересечения прямых при пересечении двух параллельных плоскостей третьей, не работает. Зато в этом случае может быть применена  другая теорема: если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и всей плоскости.

        Задача 5: В треугольной пирамиде DABC точки H, M и P соответственно середины ребер DA, DB и AC. Постройте сечение пирамиды плоскостью НМР        Решение: (слайд 7) Т.к. заданные точки являются серединами соответствующих сторон, то отрезки НМ и НР – средние линии треугольников DAB и DAC. Поэтому прямая НМ параллельна прямой АВ, и плоскость НМР также параллельна прямой АВ, раз так, то прямая, проходящая через точку Р в плоскости АВС также должна быть параллельна прямой АВ.

        Чаще всего встречаются задачи, не требующие большого числа промежуточных построений. Линии следов определяются уже заданными точками на ребрах или гранях пирамиды, что значительно облегчает задачу.

        Задача 6: Постройте сечение  треугольной пирамиды DABC плоскостью НМР, где точка Н лежит на стороне DA, точка М – на грани DAB, а точка Р – на грани АВС.

        Решение: Т.к. точки Н и М лежат в одной плоскости, то прямая НМ и есть линия следа, пересека-

ющая прямую АВ в некоторой точке К, через которую и проходит линия следа КР в плоскости АВС. Остается только соединить точки в плоскости ADC.

        Задача 7: В трехгранной правильной пирамиде DABC постройте сечение плоскостью РКМ, где К – середина высоты к плоскости основания, точка Р лежит на стороне DA и DР:РА=1:2 и М лежит на стороне DB и DМ:МВ=3:1. (слайд 8)

        Решение: Воспользуемся построением линии следа, получающейся в результате пересечения искомого сечения и плоскости нижнего основания. Проекцией прямой КМ на плоскость АВС является прямая ОВ. Результат пересечения прямых – точка О1. Аналогичным образом, прямая АО – проекция прямой РК, в результате пересечения данных прямых получаем точку О2. Прямая О1О2 и есть искомая линия следа.

         Для построения линии следа можно было воспользоваться и пересечением прямой РМ, лежащей в плоскости DAB, и прямой АВ (в нижнем основании). Результат пересечения – точка О3.

        Прямая АС, пересекает линию следа в точке О4, соединив которую с точкой Р, мы и получает недостающую точку искомого сечения.

        

Задачи для самостоятельного решения. (слайды 9-10-11)

        Задача 1: Постройте сечение правильной четырехгранной пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты параллельно диагонали основания.

        Задача 2-3: Постройте сечения треугольной пирамиды плоскостями РКМ и ТВА, если точка А лежит в плоскости нижнего основания.

        Задача 4: Из прямоугольного параллелепипеда вырезали четверть. Постройте сечение получившейся призмы плоскостью АВС

Выполненное домашнее задание демонстрируется в классе в начале третьего урока. Т.к. все предлагаемые задачи выполнены с использованием анимации, то проверка работы занимает не более 5 минут.

Пошаговое построение сечения параллелепипеда через точки, лежащие в гранях.

Сегодня попробуем построить наиболее сложное сечение, когда точки, принадлежащие ему, лежат в гранях параллелепипеда, а не на его ребрах.

Задача. Дан параллелепипед и точки в его гранях. Точка принадлежит нижней грани , точка – грани , точка – грани . Построить сечение параллелепипеда, проходящее через эти точки.

Рисунок 1

 

Рисунок 2

Шаг 1. Проведем через данные точки прямые, параллельные прямой . Точки пересечения этих вертикалей с ребрами обозначим .

Рисунок 3

Шаг 2. Проводим прямую через точки и , принадлежащие сечению, и ее проекцию на нижнюю грань – прямую .

Рисунок 4.

Шаг 3. Находим точку , где прямая пересечет ребро . Через точку проводим вертикальную прямую и определяем точку, где эту вертикаль пересечет прямая . Эта точка пересечения во-первых, принадлежит сечению, во вторых, лежит в грани . Вообще все точки, принадлежащие сечению, будут иметь красный цвет, остальные – синий.

Рисунок 5.

Шаг 4. Проводим прямую , принадлежащую сечению, и ее проекцию на нижнюю грань  – прямую . Определяем точку пересечения с ребром – точку .

Рисунок 6.

Шаг 5. Через точку проводим перпендикуляр. Прямая пересечет его в точке . Эта точка принадлежит сечению. Также она принадлежит плоскости грани . Поэтому через точки и можно провести прямую, которая вся будет принадлежать плоскости сечения, а также и грани . Находим точки пересечения прямой с ребром () и с ребром – .

Рисунок 7.

Шаг 6.  Через точки и , лежащие в плоскости задней грани , проводим прямую. Определяем точку ее пересечения с продолжением ребра – , и с ребром – .

Рисунок 8.

Шаг 7. Через точки и , лежащие в одной плоскости грани , проводим прямую. Она пересечет ребро в точке (точек уже не хватает :)). Находим также, где прямая пересечет продолжение ребра – точку .(да можно было и не строить, обойтись точками и ) .

Рисунок 9.

Шаг 8. Через точки , , проводим прямую до пересечения с ребром . Все, все точки пересечения плоскости сечения с ребрами найдены.

Рисунок 10.

Шаг 9. Проводим через точки сечение:

Рисунок 11.

Сечения куба, призмы, пирамиды

Для решения большинства задач из раздела стереометрии необходимы знания и навыки в построении сечения объёмных тел. Именно об этом мы сейчас с вами и поговорим.

Итак, секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Теперь давайте вспомним, что нам необходимо знать для построения плоскости.

Итак, построить плоскость можно: с помощью трёх точек, не лежащих на одной прямой;

с помощью двух пересекающихся прямых;

с помощью прямой и точки, которая не лежит на прямой;

а также с помощью двух параллельных прямых.

Метод следов включает три важных пункта: сначала нужно построить линию пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника; затем найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а после этого построить и заштриховать сечение.

В основе построения сечения методом следов лежат две теоремы:

1) если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости;

2) если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна первой прямой.

Метод вспомогательных сечений применяется при построении сечений в тех случаях, когда неудобно находить след секущей плоскости. Например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов или методом вспомогательных сечений.

Обратите внимание: тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. А вот параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями, равными  см и  см, и боковой стороной, равной  см. Боковое ребро призмы равно  см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через большую сторону основания и середину противоположного бокового ребра призмы.

Решение.

Задача вторая. На ребре  правильного тетраэдра  с длиной ребра  взята точка  такая, что . Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей точку  и перпендикулярной ребру .

Решение.

Задача третья. В основании четырёхугольной пирамиды  лежит квадрат , а две боковые грани  и  представляют собой прямоугольные треугольники с прямым . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, содержащей точку пересечения диагоналей основания и параллельной грани , если .

Решение.