20 Построение графиков функций
20 Построение графиков функций
Задача № 1
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 2
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 3
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 4
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 5
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 6
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 7
Решение:
Ответ:
Задача № 8
Ответ:
Ответ:
Задача № 9
Ответ:
Решение:
Задача № 10
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 11
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 12
Решение:
Ответ:
Задача № 13
Ответ:
Ответ:
Задача № 14
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 15
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 16
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 17
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 18
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 20
Ответ:
Решение:
Ответ:
Задача № 21
Ответ:
Решение:
Ответ:
© 2017-2019 Математушка
matematushka.ru
Примеры функций и их графиков — Функции — Математика — Алгебра
Примеры функций и их графиков
Линейная функция
Линейной называется функция, которую можно задать формулой , где х — аргумент, а k и b — данные числа.График линейной функции — прямая. k называется угловым коэффициентом прямой, которая является графиком линейной функции. Каждая прямая на координатной плоскости, которая является перпендикулярной к оси абсцисс,- график некоторой линейной функции.
Через две точки можно провести одну и только одну прямую, поэтому для построения графика линейной функции достаточно знать координаты двух точек (очень хорошо, если это будут точки пересечения графика с осями). Точка пересечения графика с осью абсцисс имеет ординату 0, а точка пересечения графика с осью ординат имеет абсцису 0.
Пример
Постройте график функции .
, ; , , , .
Построим график (см. рисунок).
Если в линейной функции , то график функции пересекает ось абсцисс;
если , то график функции — прямая, параллельная оси абсцисс;
если , , график функции совпадает с осью абсцисс.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
Можно найти координаты точки пересечения прямых, не выполняя построения графиков функций. Так, если прямые заданы уравнениями и , то достаточно решить систему уравнений:
Линейную функцию, которая задается формулой , где , называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Если , график лежит в I и III координатных четвертях, а если — то во II и IV координатных четвертях.
Примеры
1) , , .
2) , , .
Построим в одной системе координат графики функций и (см. рисунок).
Обратная пропорциональность
Функцию, заданную формулой , где х — независимая переменная, — данное число, называют обратной пропорциональностью.Область определения функции — множество всех чисел, кроме 0.
График функции — гипербола, симметричная относительно начала координат. Когда , ветки такой гиперболы расположены в I и III координатных углах, когда — в II и IV.
В качестве примера построим график функции . Заполним таблицу (значение x задаем, y — вычисляем по формуле :
Нанесем полученные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки плавной линией, получим график (см. рисунок):
Обратите внимание на поведение графика вблизи осей координат. График до них бесконечно приближается, но не пересекает. Действительно, не входит в область определения, следовательно, точки пересечения с осью Oy нет. ни при каком значении х, значит, если , точки пересечения с осью Ox нет.
Функция
Заполним таблицу (значение x задаем, y — вычисляем по формуле y = x2).Нанесем найденные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки, получим график функции (см. рисунок ниже).
Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.
. График проходит через начало координат .
при всех значениях х. Все точки графика расположены ниже оси Ох.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, то есть график симметричен относительно оси ординат.
Функция
Область определения — множество всех неотрицательных действительных чисел.График — одна ветвь параболы, которая расположена в I координатном углу (см. рисунок).
na-uroke.in.ua
Примеры построения графиков функций
1.Построить график функции
Такая функция, задаваемая явно, но несколькими формулами, называетсякусочно заданной функцией.
Решение
Чтобы построить график этой кусочно заданной функции, нужно
построить графики известных функций
,,;выделить сужение каждой из этих функций на указанное множество;
объединить сужения в общий график.
,
,
;Таким образом, график кусочно заданной функции получается компиляцией (объединением, склеиванием) «кусков» графиков известных функций.
2.Перейти от неявно заданной функцииy(x)уравнением
к явному заданию и построить график.
Решение
Решаем данное уравнение относительно y:
,
где
.
Получили равенство, которое каждому
значению 
ставит в соответствие два значенияy.
Можно было бы его истолковать как
двузначную функцию. Но функциональная
зависимость по определению однозначная,
т. к. этим определением каждому
значениюxставится
в соответствие единственное значениеy. Поэтому нужно перейти
от якобы двузначной функции к совокупности
двух однозначных функций:
3.Построить график функции
.
Решение
По определению модулей имеем, что
Преобразуем данную функцию, раскрыв оба модуля на каждом из промежутков знакопостоянства подмодульных выражений:
.
Строим график получившейся кусочно-заданной функции:
| |
график функции
4.Построить график функции, заданной
параметрически
Линия, описываемая этими уравнениями, называетсяциклоидой.
Решение
Построение графика любой функции, заданной параметрически, проводится поточечно с помощью таблицы соответствующих значений параметра, аргумента и функции.
t | 0 | | | | 2 |
| 0 | | R | | 2R |
| 0 | | 2R | R | 0 |
Точки графика | (0; 0) | | | | |
Нетрудно видеть, что эта функция является
периодической с наименьшим периодом 
.
Известно геометрическое определение циклоиды как линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R, если окружность катится без скольжения по прямой:
фиксированная точка окружности в начальный момент времени.
5.Построить график функции
в полярной системе координат.
Решение
Построение линии в полярной системе
координат выполняется по точкам с
помощью таблицы соответствующих друг
другу значений аргумента и функции. При
построении таблицы учтем, что функция 
является четной, поэтому
.
| 0 | | | | |
| 2a | | a | | 0 |
Точка на графике | T1 | T2, T3 | T4, T5 | T6, T7 | О |
Линия, описываемая уравнением
,
называетсякардиоидой.
studfile.net
Где построить график функции?
| Раньше, когда все работы выполнялись в тетрадках, такого вопроса, где построить график функции (в каком редакторе) не возникало. Сейчас нам больше нравится тыкать на кнопки клавиатуры, нежели писать ручками. Оформленная на компьютере работа выглядит аккуратно, а если немного приноровиться, то скорость выполнения будет выше рукописной.
Каждый из нас знает в каком редакторе набрать текст, но вот с графиками дело обстоит чуть хуже. Я использую для этих целей Geogebra. Определение с Википедии: GeoGebra — свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Скачать ее можно тут совершенно бесплатно: http://www.geogebra.org/cms/ru/ |
Это очень простая в использовании программа, не требующая каких либо дополнительных знаний.
Для того, чтобы скачать ее и понять как построить график функции на плоскости, вам достаточно будет пяти минут.
Если она вас заинтересует, то можно заняться ей более плотно, так как она обладает огромными возможностями.
Пример построения:
Разберем по шагам как это сделать.
| После скачивания и установки программы на рабочем столе появится вот такой ярлык: |
Кликаем по нему. Запускается Geogebra. Открывается вот такое окно программы:
Закрываем ненужное окно таблиц, оно не понадобиться для нашего построения.
Добавляем нужные объекты: панель объектов и строку ввода. Находятся данные пункты на вкладке Вид.
Рабочее окно программы теперь выглядит так:
Чтобы каждый раз при запуске программы не производить вышеописанные действия, необходимо сохранить настройки.
Пункт меню Настройки → Сохранить настройки.
В строке ввода пишем функцию, которую хотим построить.
Например: y=x3 . Степень вводим значком ^. Для этого на клавиатуре одновременно нажимаем [Shift] и [6].
Имеем в строке y=x^3. Жмем Enter. График функции построен.
Немного подкорректируем график: добавим подпись, линию графика сделаем чуть толще.
Перемещая бегунок регулируем толщину линии. При желании можно выбрать другой тип линии.
Если толщина линии по умолчанию вас не устраивает, то лучше изменить ее в настройках программы один раз, а не править для каждого графика функций.
Пункт меню Настройки → Дополнительно → Настройки по умолчанию
Не забываем после изменения, сохранить настройки.
В раскрывающимся списке выбираем «Имя и значение» для добавления подписи к построенному графику. Подпись можем перемещать мышкой вдоль графика по своему усмотрению.
Если удерживать клавишу [Ctrl] и левую кнопку мыши, то можно перемещать рабочую область построения.
Можно изменить масштаб построения одновременно удерживая [Ctrl] и крутя колесико мыши.
Операции перемещения и изменения масштаба можно найти и в раскрывающимся списке панели инструментов:
Построим еще один график функции, приведенный как пример в начале статьи.
В новом окне в строке ввода пишем: y=(x^2-1)/(x^2+1)
Незабываем, что «крышечка» ^ означает степень числа.
Допустим необходимо добавить на график горизонтальную асимптоту: y=1
Вводим это уравнение в строке ввода. Подкорректируем тип, толщину и цвет линии. Добавим подпись к графику.
Пока на этом все. Возникли вопросы? Пишите.
matecos.ru