Правила квадратных уравнений – Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Корни квадратного уравнения | Формулы с примерами

Нахождение корней квадратного уравнения 8 класс

Формула
Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле: Корень квадратного уравнения, формула , где Корень квадратного уравнения, формуладискриминант

квадратного уравнения.

Возможны три правила:

Правило 1
1.  D > 0. Тогда уравнение имеет 2 различных корня:

Случаи нахождение корней квадратного уравнения, формула

Пример
2x2 + 7x — 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7

2 — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0,

x1 = -7 — ? 812 • 2 = — 4;

x2 = -7 + ? 812 • 2 = 12.

Правило 2
2.  D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень.

Уравнение имеет единственный корень, формула

Пример
x2 — 4x + 4 = 0.

D = (-4)2 — 4 • 1 • 4 = 0, x = —  -4 2 • 1 = 2.

Заметим, что x2 — 4x + 4 = 0 Уравнение имеет единственный корень, формула x = 2.

Правило 3
3. D . Тогда уравнение не имеет корней, так как не существует ? D.

Пример
3x2 — x + 7 = 0.

D = (-1)2 — 4 • 3 • 7 = -83

С четным вторым коэффициентом

Правило, формулы
Если b = 2k, то корни уравнения ax2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле:

Корень квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, формула

Где:

Корень квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, формула

Пример 1
1.  x2 + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D1 = D4 = ( 182)2 — 1 • 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:

x1

= -9 -? 491 = -16, x2 = -9 + 7 = -2.

Пример 2
2.  3x2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D1 = D4 = 12 — 1 • 3 = -2

Пример 3
3.  196x2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D1 = D4 = (- 14)2 — 196 = 0, значит уравнение имеет один корень.

x =  14 196 =  1 14.

Корень квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, формула

Формулы по алфавиту:

© 2019 Все права защищены
При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru

Способы решения квадратных уравнений | Статья в журнале «Юный ученый»



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободным членом.

А кто же первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи

. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Метод выделения полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример.x2

-5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x1=2, x2=3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример.3x2+2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна — 2. Эти числа — 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x1=-5/3, x2=1

6. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х2 = у2/а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у1 = 5, х1 = 5/2, х1=2,5 ;у2 = 6, x2 = 6/2, x2 = 3.

Ответ: х1=2,5; х2= 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = — 1.

Пример.345х2 — 137х — 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х1 = 1, х2 = -208/345.

Ответ: х1=1; х2 = -208/345 .

Пример.132х2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х1= — 1, х2= — 115/132

Ответ: х1= — 1; х2=- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

ОВ =AB =

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример.х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

1306486117_36

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим 1306486117_36

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. — М.: Просвещение, 1964.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, квадратное уравнение, свободный член, решение уравнений, число, корень, способ решения, квадрат, коэффициент, решение.

moluch.ru

Оптимальные способы решения квадратных уравнений



Проблема: Решение квадратных уравнений нерациональным способом. Изучив данную тему в 8 классе, учащиеся в старших классах забывают и порой не видят неполные квадратные уравнения и решают их как полные квадратные уравнения, а на это тратится гораздо больше времени. А это потеря времени существенна при сдаче экзамена по математике в форме ЕНТ.

Цель: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и отобрать среди них самые оптимальные и быстрые способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Еще в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н. э. умели решать квадратные уравнения. Необходимость решать их возникла, когда нужно было решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков. Правила решения вавилонян по существу совпадают с современными, только их решения даны в виде рецептов, без указания способов их нахождения.

В Древней Индии, в 7-ом веке индийский ученый Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bx = c, a >0; в этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Его правило совпадает с настоящим правилом решения квадратных уравнений. Уже в то время в Древней Индии решали задачи, приводимые к составлению квадратных уравнений, где использовали метод выделения полного квадрата.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Всем известная теорема Виета была сформулирована впервые в 1591 г., однако он не признавал отрицательных чисел и при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Однако символика Виета была далека от современного вида. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение. Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа.

Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения.

В школьном курсе математики изучаются следующие способы решения квадратных уравнений:

1. Решение с помощью формул корней квадратного уравнения. Таким способом можно решать любые квадратные уравнения.

2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

3. Решение с помощью теоремы Виета, с ее помощью решаются квадратные уравнения с целыми корнями (а = 1), эти корни без труда находятся подбором.

В настоящее время можно привести еще несколько способов решения квадратных уравнений:

4. Способ разложения левой части на множители.

Например: Решим уравнение:

Левую часть уравнения разложим на множители:

.

Таким образом уравнение запишется так:

. Произведение двух множителей равно нулю тогда только тогда, когда один из множителей равен нулю, т. е. или , отсюда x= -10 , или x = 2.

5. Способ выделения полного квадрата

Например: Решить уравнение:

.

x1=1, или x+3=-4, x2=-7.

6. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x1;0) и D(x2;0), где x1 и x2 – корни уравнения , и проходит через точки A(0;1) и C(0;c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD= OA • OC, откуда OC= OB • OD/OA= x1x2/ 1= c/a

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD

итак:

1) Построим точки (центр окружности) и A(0;1);

2) Проведем окружность с радиусом SА;

3) Абсцисс точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Этот старый и забытый способ решения квадратных уравнений.

Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам.

8. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

Решим уравнение х2+6х-16=0

х2+6х=16, или х2+6х+9=16+9.

Выражения х2+6х+9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение х2+6х-16+9-9=0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что х+3=±5, или х1=2, х2=-8

9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления озникшей трудности используется следующий прием: «перебросить» коэффициент а в свободный член (умножить свободный член на а). После этого найти корни нового уравнения и разделить их на а.

Приведем пример. Решить уравнение: 12х2 +13х +3 = 0; а= 12,

Таким образом: х2 + 13х + 3 · 12 = 0; Теперь свободный член равен 36, по теореме Виета сумма двух корней должна быть равна (-13). Эти числа (-4) и (-9). Тогда разделив их на 12, получим, что корни исходного уравнения:

10. Способ использования свойств коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 +bx +c =0 .

а) Если а+ b+с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

Например. Решить уравнение 345 х2 – 137х -208 =0. Т. к. 345-137-208=0, то

б) Если a — b+c=0 или b=a+c , то

Например. Решим уравнение: 11 х2 +27х +16 = 0, так как, 11+16 =27, то

При решении показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональтных, биквадратных и др. уравнений используются квадратные уравнения. Многие текстовые задачи решаются составлением квадратных уравнений. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Способов решения их очень немало. Приведенные же способы решения квадратных уравнений специального вида позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при тестировании и сдаче экзаменов. Знание способов быстрого решения квадратных уравнений может пригодиться нам на притяжении всей жизни. Эти методы решения квадратных уравнений просты в применении и они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Литература:

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.
  2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся, – М.: Просвещение, 1988.
  3. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства.
  4. Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике. – Алматы, 2010. – 716 с.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, квадратное уравнение, способ решения, свободный член, решение, корень, Древняя Индия, исходное уравнение, полный квадрат, современный вид.

moluch.ru

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры. TutoMath.ru

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax4+bx2+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at2+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
\(x^{4}-5x^{2}+6=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

\(\begin{align}
&t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\
&t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\
\end{align}\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^{2}=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

\(\begin{align}
&x_{1}=\sqrt{3}\\
&x_{2}=-\sqrt{3}\\\\\\
&x^{2}=2\\
&x_{3}=\sqrt{2}\\
&x_{4}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{2},\;x_{4}=-\sqrt{2}\)

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^{4}-4x^{2}+4=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-4t+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times1}=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

\(\begin{align}
&x^{2}=2\\
&x_{1}=\sqrt{2}\\
&x_{2}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{2},\;x_{2}=-\sqrt{2}\)

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

\(-4x^{4}+16x^{2}=0\)

Выносим переменную x2 за скобку,

\(x^{2}(-4x^{2}+16)=0\)

Приравниваем каждый множитель к нулю

\(\begin{align}
&x^{2}=0\\
&x_{1}=0\\\\
&-4x^{2}+16=0\\
&-4x^{2}=-16
\end{align}\)

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^{2}=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{2}=2\\
&x_{3}=-2\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=0,\;x_{2}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^{4}-16=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(\begin{align}
&t^{2}-16=0\\
&t^{2}=16\\
&t_{1}=4
\end{align}\)
\(t_{2}=-4\) не подходит условию \(t\geq0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{1}=2\\
&x_{2}=-2
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №5:
\(x^{4}+10=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^{2}+10=0\)
\(t^{2}=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Квадратное уравнение ℹ️ общий вид, формула дискриминанта, примеры и алгоритмы нахождения корней полных и неполных уравнений с объяснениями

Независимо от того, в каком классе проходят уроки алгебры – математическом или обычном – квадратное уравнение изучается почти сразу после освоения всех видов своего простого линейного аналога, будучи «следующим уровнем сложности». Вычисление и поиск верного ответа не представляют трудностей, достаточно запомнить алгоритм решения и следовать ему.

Наравне с выражениями с комплексными числами и функциями с двумя переменными, алгебра поначалу заставит ученика изрядно поломать голову вне зависимости от возраста и склада ума. 

Отчаявшиеся понять данный раздел науки могут использовать решебник и онлайн-калькулятор, выкладываемые в интернете от разных авторов в различном оформлении — на вкус читателя.

Примеры с переменной в квадрате – хорошие задания для тренировки навыков счета. В математических дисциплинах квадратное уравнение нередко выступает промежуточным шагом к доказательству теорем.

Дискриминант

Изучаемое выражение имеет стандартный вид:

ax2 + bx + c = 0

Все три слагаемых имеют коэффициенты, способные принимать любые значения, но при переменной в квадрате он не должен равняться 0, иначе уравнение перестает быть квадратным.

Например, уравнение 2x+ 2 = 0 идентично выражению 2x+ 0x + 2 = 0.

Части равенства справа от знака равенства переносятся влево с противоположным знаком:

6x= 8x — 4

6x— 8x + 4 = 0

Разобрать квадратное уравнение поможет дискриминант (D). Этот вспомогательный показатель через сложные расчеты позволит найти корни выражения или обнаружить невозможность решения. 

Вывод формулы выполняется благодаря манипуляции с числовыми показателями:

D = b2 — 4ac

Например, в выражении 5x— 7x + 2 = 0

D равен: (-7)— 4*5*2 = 49 — 40 = 9.

Определение дискриминанта подскажет количество корней:

Связано это с тем, что в процессе решения дискриминант придется возводить под квадратный корень — √(D) – а отрицательные числа из него не выводятся.


Корни квадратного уравнения

Квадратные уравнения

Завершающий шаг – вывод ответов путем вычислений. Как решить уравнение – зависит от количества корней.

1. Если ответа 2, их нахождение выполнится через формулы:

1

2. Когда корень один, дискриминант уже не нужен (ведь √(0) = 0), и решать головоломку проще:

2

3. В случае, когда решения нет, вычислять ничего не нужно.

Далеко не все способы требуют долгих расчетов. Ученым-математиком из Франции Франсуа Виетом была выведена закономерность, раскрывающая удивительные свойства (коэффициентов):

3

Уникальна теорема Виета тем, что под ее определение подходят уравнения — приведенные там, где множитель при x2 равен 1. 

Например:

 

Сумма корней равна –b, ведь сложение x1 и x2 приводит к такому ответу:

4

Произведение обоих ответов происходит по аналогичному принципу:

5

 

Способы решения заданий с переменными в квадрате не являются специфическими – даже неприведенные выражения можно решить данной теоремой.

Как пример: 2x— 6x + 9 = 0 при делении на коэффициент при x2 (а=2) примет вид x— 3x + 4,5 = 0 – и вполне годится для решения методикой французского ученого.

Другой метод того, как решать вариант с а≠1 – делить на a сумму и произведение корней:

2x2-5x+2=0

х1+ х2=5/2 =2,5

х1* х2=2/2 = 1

х1=2, х2=0,5.


Полное и неполное квадратное уравнение

Выражение ax+ bx + c = 0 считается полным, если содержит все три коэффициента. Если есть слагаемые, равные 0, оно становится неполным.

Полные и неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение решается гораздо легче своего полного аналога. Нахождение корней не вызывает трудностей и предполагает свои особенности в поиске ответа.

Самый простой способ – разложение на множители.

2x2 — 5 x = 0 — неполное, так как с = 0.

x*(2x — 5) = 0

х1 = 0

2x — 5 = 0

х2 = 2,5.

Когда отсутствует bx, отыскать ответ еще легче:

x2 — 9 = 0 (здесь b = 0)

(x+3)*(x-3) = 0

или: x2 = 9

х1 = 3, х2 = -3.


Решение квадратных уравнений

Способы решения разнообразны. Состав слагаемых определяет, как находить верный ответ.

Самые легкие – разложение на множители. 

Пример:

x2 + 3x — 28 = 0.

Достаточно решить, что 28 = (-4)*7, а 3х = 7х — 4х;

Многочлен x2 + 7x — 4x — 28 = 0 можно представить в виде (x + 7)(x — 4) = 0;

Только два значения способны выполнить условие равенства: -7 и 4.

Вариант сложнее – вывод формулы полного квадрата:

4x2 + 8x + 4 — 4 — 32 = 0

Из 4x2 + 8x возможен многочлен 4x2 + 8x + 4, способный превратиться в (2x + 2)2

Сформировать 4x2 + 8x — 32 = 0 в более компактный вид:

4x2 + 8x +4 — 4 — 32 = 0

(2x + 2)2 — 36 = 0

Cвободное число переходит в правую часть:

6

Но не все уравнения удается преобразовать в удобную версию. Самые распространенные способы:

Стандартный алгоритм решения через дискриминант

0008

2x2 + 5x — 3 = 0

Найти D:

D = 52 — 4∗2∗(-3) = 25 + 24 = 49

Вычислить корни

7

Теорема Виета

2x2 + 5x — 3 =0

Из суммы корней и произведения образовать пропорцию

8

Нахождение ответов подбором и подсчетом:

-3 + 0,5 = -2,5

-3∗0,5 = -1,5

Помимо рядовых вычислений, алгебра предусматривает графический путь – минимум расчетов и чертежи на геометрической плоскости (системе координат).

График квадратного уравнения

В отличие от рассмотренных выше вариантов, построение графика позволит наглядно решить уравнение. Здесь оно предстает в виде системы двух функций – выражений с двумя переменными.

Стандартная формула ax+ bx + c = 0 принимает иной вид:

9 

или ax= -bx  -c.

Общие точки параболы и линии станут ответами на задачу.

Квадратные уравнения – примеры и подробные решения

Нахождение ответа через стандартный алгоритм с дискриминантом и ее оформление в приведенное выражение уже рассмотрены, лишь графический метод нуждается в подробном рассмотрении – наглядном свидетельстве либо наличия корней, либо отсутствия оных.

Полное решение с двумя числами

Равенство x+ 2x — 3 = 0 аналогично удобному для графика аналогу x= -2x + 3

На плоскость наносится система двух функций:

10
11

Пересечения графиков на точках [1;1] и [-3;9] являются решением задачи. Если нужны были данные по переменной x, воспользоваться нужно ими.

Ответ: 1 и -3.

Единственный корень в уравнении

Подобно примеру выше, выражение 3x+ 6x + 3 = 0 преобразуется в систему:

12

 

14

Здесь только 1 точка касается обоих графиков – [-1;3]. Координата x – корень уравнения.

Ответ: х = 1.

Отсутствие целевых точек

Уравнение и система

15

на координатной плоскости не располагают общими отметками.

16

Как решать случай с несовпадением графиков? Это невозможно.

Ответ: нет корней.


Как решать систему уравнений с квадратами

Квадратные уравнения с двумя переменными нередко предстают в виде системы. Их решение потребует больше усилий и времени, но нахождение ответа все еще возможно.

Первый метод уже рассмотрен в разделе выше – графический. Процесс неизменен:

  1. Разбить уравнения на более простые.

  2. Составить функцию с каждым на общей системе координат.

  3. Точки пересечения станут корнями уравнения.

Второй способ – подстановка одного выражения в другое:

17

К системе подходит следующий алгоритм решения:

1. Представить одну переменную в составе другой:

18

2. Подставить выраженную переменную x в другое выражение:

19

3. Решить выражение как обычное квадратное уравнение:

20

Комбинация ответов занимает много места – дискриминант не всегда удается вывести из-под знака корня:

21

Третий способ – введение новых переменных. Актуален, когда подстановка займет много времени и поможет упросить вывод формулы.

 

22 

Обозначить новые переменные:

23

Использовать их в решении, заменив ими неудобные множители:

24  

Итог – два набора данных

25 

или

26  

Продолжить «расшифровку» с полученными парами чисел, создав и решив стандартное уравнение.

Первый вариант:

27 

Здесь на выходе две подсистемы.

Второй вариант:

28

Корни при данном раскладе отсутствуют. Решение – первая подборка.

Ответ: х= (1;3), х= (3;1).


nauka.club

10 способов решения квадратных уравнений (стр. 1 из 4)

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Автор: Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл.

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

Содержание

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1.История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X2 + X = ¾; X2 X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 — х) = 96

или же:

100 — х2 = 96

х2 — 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 — у) = 96,

у2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x/8)2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

х2 — 64х + 322 = -768 + 1024,

(х — 32)2 = 256,

х — 32 = ± 16,

х1 = 16, х2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIIIXVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на AA2, равно BD, то Aравно В и равноD».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х — х2 = ab,

т.е.

х2 — (а + b)х + аb = 0,

то

х1 = а, х2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

mirznanii.com

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах2 + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах2 + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах2 = 0.

  • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х2 ‒ 32 = 0.

Решение

2 = 32

х2 = 32/2

х2 = 16

х = ± 4

Ответ: х1 = ‒ 4, х2 = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х2 + 8 = 0.

Решение

2 = ‒ 8

х2 = ‒ 8/2

х2 = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

  • Разберемся как же решаются уравнения вида ах2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х1 = 0 и х2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х2 ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х1 = 0, х2 = 4.

  • Уравнения третьего вида ах2 = 0 решаются очень просто.

Если ах2 = 0, то х2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х1 = 0, х2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х2 = 0.

Решение

х2 = 0

х1,2 = 0

Ответ: х1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х2 + 9) – 6(4х2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х2 + 45 – 24х2 + 54 = 90.

Приведем подобные

х2 + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х2 = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *