Методическая разработка урока «Построение сечений в многогранниках»(10 класс)

Тема урока: «Построение сечений в многогранниках»

Урок формирования и совершенствования знаний для учащихся 10 класса.

Ханиева Залина Леонидовна, учитель математики МОУ СОШ СП Ново-Хамидие Терского района.

Цели урока:

Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений в многогранниках.

Обучающая цель:

• Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки при построении сечений многогранников методом следов.

• Закрепление умений и навыков построения сечений различными методами в ходе решения позиционных задач;

• Контроль усвоения учащимися знаний, и отработка у них умений и навыков в области изучаемой темы.

Развивающая цель: формировать и развивать у учащихся логическое мышление, пространственное воображение, графическую культуру и математическую речь.

Воспитательная цель: воспитывать познавательный интерес к предмету воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, интерактивная доска, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

Структура урока:

1. Повторение опорных моментов.

2. Установление темы урока и постановка целей на урок.

3. Актуализация опорных знаний в виде игры.

4. Изучение нового материала и формирование умений.

5. Закрепление изученного материала при решении индивидуальных заданий.

6. Подведение итогов урока.

7. Постановка домашнего задания.

Конспект урока

Ход урока

Комментарии

1. Повторение опорных моментов.

Ребята, на предыдущих уроках мы с вами изучили аксиоматику стереометрии, познакомились с понятием многогранника, и рассмотрели подробнее некоторые многогранники. Давайте вспомним, с какими многогранниками мы уже познакомились? Из каких элементов состоят многогранники?

Учащиеся комментируют слайды №1-2 презентации.

2. Установление темы урока и постановка целей на урок.

А сейчас я предлагаю вам разгадать кроссворд. (Слайд №3) Посмотрите, ребята, у нас в выделенной строчке появилось слово СЕЧЕНИЯ. Давайте попробуем предположить, что мы будем изучать на сегодняшнем уроке. Ваши варианты?

Учащиеся предлагают различные варианты, преподаватель обобщая сказанное, формулирует тему урока.

Совершенно верно. На сегодняшнем уроке мы познакомимся с сечениями многогранников, и научимся их строить. Тема нашего урока «Построение сечений многогранников». Для успешно изучения темы нам нужно повторить геометрические понятия и утверждения. Познакомившись с понятием сечения, мы рассмотрим, как строятся сечения многогранников, сформулируем правила для построения, а также научимся строить сечения тетраэдра и параллелепипеда. (

Слайды №4-5)

Учащиеся записывают тему урока в тетрадь. Знакомятся с планом работы на урок.

3.Актуализация опорных знаний в виде игры.

Игра.

Учащиеся отвечают на вопросы игры-теста, одновременно повторяя необходимый материал. Слайды №6-41

4.Изучение нового материала и формирование умений.

Мы с раннего детства сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу, картофель, масло, обстругаем полочку ножом. Секущей плоскостью является нож. Плоскости сечения оказываются различными. На практике мы рассекаем данный предмет на две части, которые можем рассмотреть отдельно друг от друга. (Слайд № 42)

Другое дело — сечение геометрических фигур, изображенных на плоскости. Для построения сечения нам нужно использовать аксиомы стереометрии и их следствия, признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости и двух плоскостей. Существует несколько методов построения сечений многогранника плоскостью: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. Мы изучим метод следов.

Построить сечение – это значит построить пересечение многогранника и плоскости. Тут возможны 4 варианта. (Слайд №43)

Давайте рассмотрим понятие сечения на примере тетраэдра. На рисунке изображен тетраэдр, через него проходит секущая плоскость, которая делит тетраэдр на 2 части. Эта секущая плоскость пересекает тетраэдр по отрезкам. Образованный этими отрезками треугольник, и будет сечением тетраэдра плоскостью. (Слайды № 43-44)

Таким образом, сечение многогранника — многоугольник, вершины точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны — линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. (Слайд №45)

В сечении тетраэдра может быть либо треугольник, либо четырехугольник. (Слайд № 47) Давайте посмотрим на примере того, как строится сечения тетраэдра. (Слайды №48-49)

Ребята, давайте вместе попробуем сформулировать план построения сечения? (Слайд № 50)

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линии пересечения двух плоскостей, построение прямой, параллельной плоскости, перпендикулярной плоскости.

Метод следов включает следующие моменты:

• Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.

• Используя полученные (и заданные) точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.

• Затем используя след секущей плоскости, находят точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью.

• Соединяем отрезки и заштриховываем сечение.

Задачу по определению линии пересечения поверхности многогранника плоскостью можно свести к многократному решению задачи по нахождению:

• а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости)

• б) точки пересечения прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью

Ну а теперь вам, наверное, натерпится попробовать применить полученные знания на практике? Предлагаю попробовать построить сечения тетраэдра самым смелым у доски, остальные попробуют построить сечения в тетради, сверяясь с доской. (Слайд №51)

Ребята, дайте посмотрим, как же могут выглядеть сечения параллелепипеда. Это могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и даже шестиугольники. (Слайд № 52-55)

Давайте рассмотрим пример, когда для построения сечения нужно применить метод следов. (Слайд № 56)

Пришло время попробовать самим построить сечения параллелепипеда. (Слайд № 58)

Ребята, давайте теперь попробуем вывести общий план и основные правила для построения сечений. (Слайд №59)

Правила построения сечений

• Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами фигуры.

• Через полученные точки, лежащие в одной грани, провести отрезки.

• Если невозможно соединить точки, строим след секущей плоскости и получаем недостающие точки.

• Многогранник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

• Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким – то отрезкам, то эти отрезки – параллельны.

Объяснение нового материала начинается с понятных для учащихся примеров из жизни.

В тетрадь записываются определение сечения.

Демонстрируются слайды, на которых в автоматическом режиме происходит построение сечения тетраэдра. Преподаватель акцентирует внимание на важных моментах, поясняя.

В процессе демонстрации слайда в ходе фронтальной беседы определяются основные этапы построения сечения тетраэдра, рассматривается метод следов.

На данном этапе учащимся предлагается выполнить три задания на построение сечений тетраэдра. Один делает это у доски, остальные в тетради. Проверять правильность построения можно с помощью верно построенного сечения. Ответ скрыт под слоем черни в правом нижнем углу. Открыть его можно, стерев чернила ластиком. Построения сечений выполняются на интерактивной доске с помощью инструментария программы SMART Notebook.

Закрепив умения строить сечения тетраэдра, детально рассматривается построение сечения параллелепипеда.

В ходе фронтальной беседы в процессе демонстрации слайдов определяются основные этапы построения сечения параллелепипеда.

Затем опять обговариваются основные этапы построения сечения в параллелепипеде. Далее опять предлагается работа по построению сечений параллелепипеда, один учащийся у доски, остальные в тетради.

Как итог, снова обобщаются все правила для построения сечений многогранников. (Слайд №59).

5.Закрепление изученного материала при решении индивидуальных заданий.

Перейдем к практикуму. Предлагаю вам выполнить практическую работу. Перед вами лежат листочки. В каждом варианте 4 задания. Нужно построить сечения многогранников плоскостью, проходящей через выделенные точки. Время выполнения 25 минут.

Ребята, давайте проверим, как вы поняли, что такое сечения. Перед вами изображены различные сечения многогранников. Попробуйте выяснить, какие из них построены верно, а какие нет. (Слайд № 60)

Учащиеся выполняют индивидуальные задания по вариантам (в каждом варианте по 4 задания). Работу учащиеся проверяют самостоятельно с помощью наложения кальки с верно построенными сечениями. Оценивают свою работу.

6. Подведение итогов урока.

Ребята, вы отлично справились с заданием, многие поставили себе хорошие оценки. Скажите, что сегодня на уроке оказалось для вас открытием, что вы знали ранее. Чему научились? Что осталось непонятным?

Преподаватель выставляет оценки за практическую работу и работу на уроке.

Проводится рефлексия. Учащимся задаются вопросы: Что на сегодняшнем уроке стало для вас новым. Чему вы научились? Что не поняли?

7. Постановка домашнего задания.

Дома учащимся предлагается придумать задание на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда и выполнить эти задания.

Приложения

1. Кроссворд

2. Игра

1. Если 2 плоскости имеют общую точку, то

А) они называются пересекающимися

Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

В) они параллельны

2. Через прямую и не лежащую на ней точку

А) проходит плоскость и притом только одна.

Б) проходит бесконечное количество плоскостей

В) нельзя провести плоскость

3. Если прямая пересекает две параллельные прямые, то

А) она пересекает плоскость, образованную этими прямыми

Б) она параллельна плоскости, образованной этими прямыми

В) она лежит в плоскости, определяемой этими параллельными прямыми

4. Две прямые называются скрещивающимися, если

А) они лежат в одной плоскости

Б) они не пересекаются

В) они не пересекаются и не параллельны

5. Если две прямые параллельны третей прямой, то

А) они параллельны

Б) они лежат в одной плоскости

В) они скрещиваются

6. Если две точки прямой лежат в плоскости, то

А) прямая параллельны плоскости

Б) прямая лежит в плоскости

В) прямая пересекает плоскость

7. Если две параллельные плоскости пересечены третей, то

А) линии их пересечения перпендикулярны

Б) линии их пересечении параллельны

В) линии их пересечения скрещиваются

8. Сколько плоскостей можно провести выделенные элементы?

А) одну

Б) много

В) нисколько

9. Сколько плоскостей можно провести выделенные элементы?

А) одну

Б) много

В) нисколько

3. Практическая работа

Вариант 1Построить сечение плоскостью MNP

4. 

5. 1

1

2

2

Вариант 2 Построить сечение плоскостью MNP

3

3

4

4

Вариант 3Построить сечение плоскостью MNP

5 NAMS, PMSB

6 MASB, PABS

5

6

Вариант 4Построить сечение плоскостью MNP

7 NAMB, PAMC

8

7

8

Вариант 5Построить сечение плоскостью MNP

9

10

9

10

Вариант 6Построить сечение плоскостью MNP

11

12

11

12

Вариант 7Построить сечение плоскостью MNP

13

14

13

4

infourok.ru

Проектно-исследовательская работа на тему: «Построение сечений»

Проектно-исследовательская работа

на тему:

«Построение сечений»

Подготовила:

учитель математики –

Кирилова Н.Ф.

Краснореченская средняя школа.

2015-16 уч.год.

Содержание

1. Теоретическая часть

2. Практическая часть

Введение

Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.

В работе рассматриваются различные виды задач на построение сечений многогранников(тетраэдра и параллелепипеда) и методы их решения. Задачи на построение сечений очень увлекательны и интересны, являются важным дополнением к тео­ретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократ­ное применение в процессе построе­ния аксиом и теорем способствует их усвоению.

Кроме того, простота в постановке задач делает их привлекательными для учащихся. Тем не менее, даже такая не­сложная задача, как построение сечения куба плоскостью, заданной тремя точками на гранях, нередко вызывает определенные трудности.

Цель проекта

• Исследовать и рассмотреть различные способы построения сечения в стереометрии.

• Классифицировать задачи с учетом задания точек сечения и методов построения сечения.

В ходе решения задач мне стало интересно узнать, а можно ли построить семиугольное сечение в параллелепипеде, ведь всего в параллелепипеде 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.

Гипотеза

Задачи проекта

• Изучить различные способы построения сечений.

• Применить изученный материал на практике.

• Проанализировать научно-популярную и занимательную литературу.

• Решить задачи, провести оценку полученных результатов.

Основная часть

Теоретическая часть

Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. Как правило, в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, даются для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение.

Понятие многогранников. Сечение.

• Многогранником называется — тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников

• Построение сечения многогранника

Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой пересекаемой грани многогранника указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

• Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

1. Многогранник и плоскость не имеют общих точек.

2. Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.

3. Многогранник и плоскость имеют общую грань.

4. Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Виды сечений:

• сечение параллельное плоскости основания,

• диагональное сечение,

• сечение, параллельное плоскости грани,

• произвольное сечение.

Виды сечений:

Методы построения сечений:

• Метод следа

• Метод вспомогательных сечений

• Метод внутреннего проектирования

• Комбинированный метод

Метод следа

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следа? При построении сечений многогранников в каче­стве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений на­зывается методом следов.

Задача №1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.1).

Решение.

Рис. 1

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

4. Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

6. PQRTU – искомое сечение.

Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются „скученными”. Рассмотрим вспомогательную плоскость BMK. В этой плоскости уже можно построить прямую KM – «след» сечения. Пусть P – точка пересечения прямых KM и EF. Точка P лежит в плоскости ADC и в плоскости сечения. Однако в этой же плоскости лежит и точка L. Проведем прямую LP – «след» сечения в плоскости ADC, получаем точку N и достраиваем сечение.

Рис. 2

Рассмотрим теперь общий случай, когда все три точки, задающие сечение, лежат на плоскостях граней, но не на ребрах пирамиды.  Проведем вспомогательную плоскость DKM, пересекающую ребра AB и BC в точках E и F. Теперь построим «след» KM плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости и найдем точку пересечения прямых KM и EF – точку P. Так как точки P и L лежат в плоскости ABC, то можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость ABC. Теперь можно достроить сечение.

Метод внутреннего проектирования.

Проиллюстрируем еще один метод построения сечений, который называется методом внутреннего проектирования. Его особенность заключается в том, что с его помощью можно строить сечения, «находясь внутри» многогранника.

Построим вспомогательную плоскость BLC и в ней отрезок LM . Построим еще одну вспомогательную плоскость DCK. BLDK = E. Точка E при этом принадлежит обеим вспомогательным плоскостям. Пусть LMEC = F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK. Теперь проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точку N, которая тоже принадлежит сечению. Тогда четырехугольник KLNM и будет искомым сечением.

Можно поступить по-другому и начать с конца. Допустим, что искомое сечение KLNM построено.

Пусть F – точка пересечения диагоналей четырехугольника KLNM. Проведем прямую DF и обозначим через F1 точку пересечения с гранью ABC. Точка F1 одновременно принадлежит плоскостям AMD и DCK и потому совпадает с точкой пересечения прямых AM и CK, эту точку легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF1 и LM. Затем находим точку N.

Комбинированный метод

При построении сечений этим методом на каких-то этапах решения применяются приёмы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».

Задача №3.

На ребрах ВС и АВ1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно прямой AP

Решение.

Рис. 3

Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую АР и какую-нибудь точку прямой CQ. Очевидно, что точка С прямой CQ будет для этой цели удобной, так как плоскость АВС, уже имеющаяся на чертеже, как раз проходит и через прямую АР, и через точку С.
Далее на плоскости АВС через точку С проводим прямую СК, параллельную прямой АР. Теперь можно построить искомое сечение. Оно определяется прямыми CQ и CK. (Это построение можно выполнить, находя, например, точку пересечения следа СК секущей плоскости QCK с прямой АВ. Полученная точка пересечения и точка Q лежат обе и в секущей плоскости, и в плоскости грани АА1В1В. Дальнейшее построение ясно.) Многоугольник KLQRC — искомое сечение.

Практическая часть

Задача №1(треугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1В1 , А1D 1, А1А соответственно.

• Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на выходящих из одной вершины рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, достаточно соединить указанные точки отрезками.

Задача №2(четырёхугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1А ,

D 1D, C1C соответственно.

• Четырехугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на параллельных рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP, необходимо соединить отрезками точки, принадлежащие одной грани.

• Затем провести параллельные отрезки на противоположных гранях.

• Получим MNKP–четырехугольное сечение.

Задача №3(пятиугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1В1, В1С 1, D1D соответственно.

• Точки M и N лежат в одной плоскости, строим прямую.

• Находим точки пересечения прямых MN и C₁D₁, MN и A₁D₁ лежащих в плоскости A₁C₁B₁.

• Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DAA₁.

• Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости DCC_1.

• Получим MNKPQ–пятиугольное сечение.

Задача №4(шестиугольное сечение)

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящее через точки M,N,P, которые лежат на ребрах А1А, AD, C1C соответственно.

• Рассмотрим следующее расположение точек M, N и P.

• M, N расположены в одной плоскости, соединяем их отрезком.

• Проводим прямую МN – «след» сечения в плоскости АDD₁. Проводим прямую A₁D₁ и находим точку пересечения МN и A₁D₁.

• Затем находим точку пересечения прямых DD₁ и MN, проводим прямую через данную точку и точку Р.

• Находим точку пересечения построенной прямой – «следа» сечения в плоскости DD₁C c прямой D₁C₁.

• Проводим прямую через точки X и Z, находим точки пересечения с рёбрами и строим сечение.

• Получим MNKPQH–шестиугольное сечение.

Заключение

Методы построения сечений, широко известные своей универсальностью, применяются в некоторых разделах физики, в теоретической механике, гидравлике, в некоторых разделах высшей математики и других естественных науках и технических дисциплинах высшего образования.

Задачи на построение сечений очень увлекательны и интересны.

У кого хорошо развито пространственное мышление,

решение задач на построение сечений не будет вызывать

затруднения. Как можно больше нужно уделять внимания решению задач, потому, что они развивают логику и пространственное мышление.

Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

В ходе знакомства учащихся с данным проектом, они смогут:

• приобрести навыки проектной, организаторской деятельности;

• развивать навыки самостоятельного поиска необходимого учебного материала с помощью информационных технологий;

• развивать коммуникативные, аналитические способности;

• получить дополнительные знания по математике;

• научиться находить и использовать на практике межпредметные связи.

В ходе подготовки проекта приобретаются умения:

• работа с различными источниками информации, целенаправленный поиск информации в Интернете;

• создание презентаций.

Изучив теоретический материал и решив, достаточное, на мой взгляд, количество задач, можно опровергнуть выдвинутую мной гипотезу. Вывод: при построении сечений тетраэдра и параллелепипеда семиугольное сечение получиться не может, так как наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Список используемых источников

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.

2. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1997.

3. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г, Пинский А.И./Под. редакцией В.И.Благодатских . – М.: Наука.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Справочник по математике. — 3-е изд., прераб. — М.: Просвещение.

5. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии / Под ред. В.А. Успенского. — М. Наука.

6. Математический энциклопедический словарь. А. М. Прохоров и др. — М.: Советская энциклопедия.

7. Перельман. Я. И.Занимательная арифметика. — М.: Гос. Изд. Дет. Лит. Мин. Просвещ. РСФСР.

8. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави.

9. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

10. http://slovo.and.ru/z-181099.htm Задачник

11. http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm История математики

infourok.ru

Сечение. Виды сечений. Построение сечений.

Сечение — изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями.
На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

Сечения обычно применяют для выявления поперечной формы предмета. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Штриховые линии наносят в соответствии с общими правилами.

Порядок формирования сечения:
1. Вводится секущая плоскость в том месте детали, где необходимо более полно выявить ее форму. 2. Мысленно отбрасывается часть детали, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. 3. Фигура сечения мысленно поворачивается до положения, параллельного основной плоскости проекций P. 4. Изображение сечения формируют в соответствии с общими правилами проецирования.

Сечения, не входящие в состав разреза, разделяют на:

— вынесенные;
— наложенные.

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.
Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями.

Наложенным называют сечение, которое располагают непосредственно на виде предмета. Контур наложенного сечения выполняют сплошной тонкой линией. Фигуру сечения располагают в том месте основного вида, где проходит секущая плоскость, и заштриховывают.

Наложение сечений: а) симметричное; б) несимметричное

Ось симметрии наложенного или вынесенного сечения указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят.

Сечения в разрыве. Такие сечения располагают в разрыве основного изображения и выполняют сплошной основной линией.
Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.

Сечение в разрыве: а) симметричное; б) несимметричное

Вынесенные сечения располагают:
— на любом месте поля чертежа;
— на месте основного вида;
— с поворотом с добавлением знака «повернуто»

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающие отверстие или углубления, то их контур в сечении показывают полностью, т.е. выполняют по правилу разреза.

Если сечение получается состоящим из двух и более отдельных частей, то следует применить разрез, вплоть до изменения направления взгляда.
Секущие плоскости выбирают так, чтобы получить нормальные поперечные сечения.
Для нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному предмета, линию сечения обозначают одной буквой и вычерчивают одно сечение.

Выносные элементы.
Выносной элемент — отдельное увеличенное изображение части предмета для представления подробностей, не указанных на соответствующем изображении; может отличаться от основного изображения по содержанию. Например, основное изображение является видом, а выносной элемент — разрезом.

На основном изображении часть предмета выделяют окружностью произвольного диаметра, выполненной тонкой линией, от нее идет линия-выноска с полочкой, над которой ставят прописную букву русского алфавита, высотой более, чем высота размерных чисел. Над выносным элементом пишут эту же букву и справа от нее в круглых скобках, без буквы М, указывают масштаб выносного элемента.

распечатать

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Google+

photogrammetria.ru

Задачи на построение сечений. 10-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Образовательные: формирование у учащихся умений построения сечений тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями; закрепление алгоритма построения сечений и отработка навыков построения сечений многогранников;
• Воспитательные: воспитание чувства взаимопомощи, умения работать индивидуально над поставленными задачами, воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний;
• Развивающие: развитие у учащихся пространственного воображения, развитие графической культуры и математической речи.

Задачи урока: научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, модели многогранников.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового  материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент

Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. Выяснить были ли трудности с выполнением домашней работы.

– На предыдущем уроке мы познакомились с двумя  видами многогранников: тетраэдром и параллелепипедом, а сегодня мы научимся  строить сечения этих многогранников различными плоскостями.

2. Актуализация опорных знаний

Устная фронтальная  работа по вопросам теории данной темы, с целью  актуализации знаний учащихся. Повторение изученного материала: аксиом стереометрии, следствий из аксиом, способов задания плоскостей, терминов и определений, связанных с тетраэдром и параллелепипедом.

Вопросы:

1) Какие многогранники вы знаете? Назовите, покажите их модели.
2) Дайте определение тетраэдра.
3) Назовите элементы тетраэдра, показывая их на модели.
4) Дайте определение параллелепипеда.
5) Назовите элементы параллелепипеда, показывая их на модели.
6) Сформулируйте свойства, которыми обладает параллелепипед.
7) Сколько необходимо точек, чтобы провести прямую на плоскости?
8) Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей?
8) Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
9) Сформулируйте свойство параллельных плоскостей.

Демонстрация иллюстраций аксиом стереометрии и свойств параллельных плоскостей в презентации к уроку. (Слайды 2, 3, 4)

3. Изучение нового материала

При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5)

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые;
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую;
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую;
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

5) Примеры построения сечений тетраэдра и параллелепипеда

Демонстрация презентации с решениями задач №1 и №2, где учитель подробно объясняет каждый пункт построения сечений. (Слайд  6. Слайд  7)

Задача №1. Построить сечение тетраэдра  SABC плоскостью, проходящей через точки D, E, К, где DAB, ESA,  KSС.

Задача №2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где PD₁C₁, KA₁D₁,  МВС.

4. Закрепление изученного материала

1) Устная работа

Учащимся предлагается фронтально решить задачу №3, представленную в презентации. На экране в каждом пункте построения сечения появляется несколько вариантов действий, только один из них правильный, если выбран неверный вариант – с помощью гиперссылки возврат назад. (Слайды 8-27).

Задача №3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки  Т, Н, М, где ТСС₁, НDD₁, МАВ.
2)  Решение задач на построение сечений

Для решения задач №4, №5, №6 и №7 чертежи  тетраэдра и параллелепипеда подготовлены  заранее на отдельных листах.
Один учащийся решает задачу №4 с помощью мультимедийного проектора, комментируя и объясняя последовательность построения сечения, а все остальные вместе с ним строят сечение на готовых чертежах. (Слайд 28)

Задача №4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки  Е, F, K, где ЕАА₁, FА₁B₁, KB₁C₁.
Задачи №5 и №6 учащиеся выполняют самостоятельно в парах на готовых чертежах, проверка построения сечений и обсуждение действий осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайды 29, 30)

Задача №5.Построить сечение тетраэдра  SABC плоскостью, проходящей через данные точки  К, М, Р, где КSС, МSА,  РАВС.

Задача №6. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки  К, L, М, где КB₁C₁, L АА₁, МAD .

3)  Самостоятельная работа на построение сечения

Учащиеся самостоятельно выполняют задачу №7, верно выполнившие задания получают оценки.

Задача №7. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки  F, K, L, где FAD, K D₁C₁, L СС₁. (Слайд 31)
Правильность построения сечения в задаче №7 осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайд 32)

5. Подведение итогов урока

Повторение алгоритма построения сечений. Оценивание работы учащихся.

— Итак, сегодня на уроке мы научились строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями по заданным точкам.
1) Какие многоугольники являются сечениями тетраэдра и параллелепипеда?
2) Какие правила необходимо соблюдать при построении сечений многогранников?
3) Сформулируйте алгоритм построения сечений многогранников.

Выставить и прокомментировать оценки учащихся. Отметить, с чем учащиеся справились, успешно,  а на что нужно еще обратить внимание.

6. Домашнее задание

п.14. №71(а, б), №72 (а), № 81(а, б)

Список литературы:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М: Просвещение, 2007.

urok.1sept.ru

Построение сечений

	Разрез, служащий для выяснения устройства предмета лишь в от-
	Рис. 24		Рис. 25
	дельном, ограниченном месте, называется местным (рис. 24, 25).
			Часть вида и часть соответствующего
			разреза допускается соединять, разделяя их
			сплошной волнистой линией или сплошной
			тонкой линией с изломом (рис. 24).Если при
			этом соединяются половина вида и полови-
			на разреза, каждый из которых является
			симметричной фигурой, то разделяющей
			линией служит ось симметрии. При этом
			рекомендуется разрез выполнять правее или
			ниже оси симметрии (рис. 2, рис. 25).
	а	б	Если с осью симметрии изображения
			совпадает какая – либо линия, например,
	Рис. 26
			проекция ребра (рис. 26), то вид от разреза
	отделяют сплошной волнистой линией, проводимой правее, если ребро изо-
	бражается на виде (рис. 26, а), или левее, если ребро изображается на разрезе
	(рис. 26, б).

Сечение — изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью. На сечении показывается только то, что находится непосредственно в секущей плоскости.

Сечения, не входящие в состав разреза, разделяют на: вынесенные (рис. 27) и наложенные (рис. 28).

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида (рис. 29).

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями, а контур наложенного сечения – сплошными тонкими линиями, причем контур изображения в месте расположения наложенного сечения не прерывают (рис. 28).

Ось симметрии вынесенного или наложенного сечения (рис. 28) указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками

илинию сечения не проводят.

Вслучаях, подобных указанному на рис. 29, при симметричной фигуре сечения, линию сечения не проводят.

Во всех остальных случаях для линии сечения применяют разомкнутую линию с указанием стрелками направления взгляда и обозначают ее одинаковыми прописными буквами русского алфавита. Сечение сопровождают надписью по типу «А – А» (рис. 27).

Рис. 30

Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных (рис. 30), линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают. Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающей отверстие или углубление, то контур отверстия или углубления в сечении показывают полностью (рис. 31).

	Рис. 31
	Если сечение получается со-
	стоящим из отдельных самостоятель-
	ных частей, то следует применять раз-	Рис. 32
	резы (рис. 32).

Выносные элементы

Выносной элемент — дополнительное отдельное изображение (обычно увеличенное) какой-либо части предмета, требующей графического и других пояснений в отношении формы, размеров и иных данных.

Выносной элемент может содержать подробности, не указанные на соответствующем изображении, и может отличаться от него по содержанию (например, изображение может быть видом, а выносной элемент – разрезом).

При применении выносного элемента соответствующее место отмечают на виде, разрезе или сечении замкнутой сплошной тонкой линией – окружностью, овалом и т.п. с обозначением выносного элемента прописной буквой русского алфавита на полке линии-выноски. Над изображением выносного элемента указывают обозначение и масштаб, в котором он выполнен

(рис. 33).

Рис. 33

Выносной элемент располагают на чертеже возможно ближе к соответствующему месту на изображении предмета.

Построение аксонометрической проекции

На аксонометрическом изображении деталь рекомендуется располагать так, чтобы на переднем плане были более низкие элементы.

В аксонометрии обычно выполняют вырез¼ части детали, при этом вырез не всегда повторяет разрез, выполненный на ортогональном изображении. Угол, образованный секущими плоскостями, должен быть раскрыт.

На рис. 34 – 37 показано поэтапное выполнение изометрии детали с

вырезом ¼ части. Для удобства построений будем считать, что нижняя плоскость детали совпадает с горизонтальной плоскостью проекций, а ось z – с осью конической и цилиндрической поверхностей.

Рис. 34 Рис. 35

Рис. 36 Рис. 37

Выполнение задания начинаем с построения аксонометрических осей и очертания плоских фигур, полученных при сечении детали вертикальными плоскостями, проведенными по осям симметрии детали (рис. 34).

Отмечаем центры окружностей усеченного конуса и цилиндров – точки О1, О2, О3, О4 и строим изометрические проекции тех частей окружностей, которые остались после выполнения выреза (рис. 35). Заканчиваем построение прямоугольных очертаний детали (рис. 36). Выполнив штриховку плоских фигур, образовавшихся при сечении детали вертикальными плоскостями (проводя линии штриховки параллельно направлениям, показанным на рисунке), обводим контур детали (рис. 37).

Построение наклонного сечения

Наклонное сечение получается от пересечения предмета плоскостью, составляющей с горизонтальной плоскостью проекций угол, отличный от прямого.

На чертеже наклонные сечения выполняют по типу вынесенных сечений и в соответствии с направлением, указанным стрелками на линии сечения. При построении сечения не является обязательным строгое соблюдение проекционной связи между изображением, где задан след секущей плоскости, и фигурой сечения. Фигуру сечения можно расположить в любом удобном месте поля чертежа, рис. 38, б, в. При этом, если ориентация сечения на чертеже не соответствует направлению взгляда, указанному стрелками на штрихах линии сечения, то обозначение сечения должно сопровождаться знаком повернуто , рис. 38, в.

б

Рис. 38

studfile.net

Некоторые правила построения сечений

На чертеже одной детали может быть столько различных сечений, сколько нужно для полного выявления её формы. Дня нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному и тому же предмету, следует линии сечения обозначать одной и той же буквой и вычерчивать одно сечение (рис. 17).

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающей отверстие или углубление, то контур отверстия или углубления показывают полностью (рис. 18).

Однако можно заметить, что это относится к изображениям отверстий и углублений цилиндрической, конической и шарообразной формы и не распространяется на изображение в сечении шпоночного паза.

3. По двум заданным видам постройте третий вид, применив необходимые разрезы. Выполните технический рисунок детали.

I вариант II вариант

ПОЛЗУН ПОЛЗУН

БИЛЕТ №7

1. Покажите приемы построения пятиугольника и десятиугольника 2. Назовите особенности выявления разреза на аксонометрическом изображении 3. По двум заданным видам постройте третий вид, применив необходимые разрезы. Выполните технический рисунок детали

ОТВЕТ:

1. Покажите приемы построения 5- и 10- угольника.

Чтобы разделить окружность на 5 равных частей, радиус OA делят пополам, получают точку К. Из точки К описывают дополнительную дугу, которая пересекает вертикальный радиус, в той точке, где вертикальный радиус пересекается с окружностью. Отрезок NM равен стороне правильного вписанного пятиугольника, а отрезок ОМ – десятиугольника. Откладывая на окружности отрезок NM, ее делят на 5 равных частей, а откладывая ОМ – на 10 равных частей.

2. Назовите особенности выявления разреза на аксонометрических изображениях.

На изображениях, выполненных в аксонометрии, так же, как и на чертеже, применяют разрезы, которые выявляют скрытые внутренние формы предмета.

Для выявления внутреннего устройства детали, которая вычерчена во фронтальной диметрии, в ней вырезана передняя левая часть (рис. 22).

Разрез на аксонометрических изображениях деталей, имеющих симметричную форму, выполняют, как правило, с помощью секущих плоскостей, проходящих вдоль плоскости симметрии детали (рис. 23).

Разрез на этом изображении построен с помощью фронтальной и профильной секущих плоскостей, вырезана передняя правая часть.

Построение разреза в аксонометрии заключается в следующем: сначала строят в аксонометрии полное изображение предмета. Затем наносят контур сечения, образуемый каждой секущей плоскостью. После этого убирают изображение отсечённой части, а затем обводят оставшуюся часть.

Части предметов, которые попадают в секущую плоскость, заштриховывают. Штриховку для различных секущих плоскостей выполняют в разные стороны. Направление штриховки наносят параллельно гипотенузе равнобедренных прямоугольных треугольников, лежащих в соответствующих координатных плоскостях.

На одном чертеже может быть несколько разрезов (рис. 21). Но каждый из них должен быть целесообразным. Разрез обычно располагают в проекционной связи: фронтальный — на месте главного вида; профильный -на месте вида слева; горизонтальный — на месте вида сверху.

Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии детали и разрез расположен в проекционной связи, его не обозначают, В остальных случаях разрез обозначают так же, как и сечений, разомкнутой линией. Стрелки с буквами показывают направление взгляда. Над разрезом пишут те же буквы через тире.

studfile.net

Сечения — Черчение

Производственные чертежи содержат различные типы изо­бражений — виды, разрезы, сечения.

Сечения и разрезы позволяют выявить внешнюю и внутрен­нюю (рис. 147, а, б) форму детали. Названные изображения по­лучают в результате мысленного рассечения детали секущей плоскостью, положение которой выбирают в зависимости от формы изображаемой детали. Сечения и разрезы дополняют и уточняют геометрическую информацию о предмете и тем самым увеличивают возможности выявления формы изображаемого объекта на чертеже. В некоторых случаях они имеют большую информационную емкость, чем виды. Разрезы и сечения являют­ся проекционными изображениями и выполняются по правилам прямоугольного проецирования.

Рис. 147. Сечение (а) и разрез (б)

 

Сечение — изображение фигуры, получающейся при мыслен­ном рассечении предмета секущей плоскостью. В сечении пока­зывается только то, что находится в секущей плоскости.

Деталь проецируют на плоскость проекций V (рис. 148, а). Затем ее мысленно рассекают секущей плоскостью в том месте, где необходимо уточнить форму изделия. В секущей плоскости получают фигуру сечения. После этого секущую плоскость (вме­сте с фигурой сечения) мысленно вынимают, поворачивают во­круг вертикальной оси, перемещают параллельно плоскости про­екций и совмещают с плоскостью V так, чтобы изображения вида спереди и фигуры сечения не заслоняли друг друга (рис. 148, б). Обратите внимание на то, что при таком перемеще­нии секущей плоскости вид спереди находится в проекционной связи с сечением. Полученное изображение фигуры сечения на­зывают сечением, выполненным в проекционной связи.

Секущую плоскость с фигурой сечения допускается переме­щать в произвольном направлении, совмещая ее с плоскостью проекций, без учета проекционной связи. Такое сечение называ­ется сечением, выполненным на свободном месте чертежа (рис. 148, в). Сечение можно располагать и на продолжении сле­да секущей плоскости (рис. 148, г). Оно называется сечением, выполненным на продолжении следа секущей плоскости.

Если сечение располагается на продолжении следа секущей плоскости, то сечение не обозначается (см. рис. 148, г). Если се­чение располагается на свободном месте чертежа, то его обозна­чают надписью типа «А — А» (см. рис. 148, б, в).

Если секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндрической или фонической поверхности, ограничивающих отверстие или уг­лубление, то их контур на сечении показывают полностью, на­пример изображение углубления конической формы (см. рис. 148).

Для выявления формы некоторых деталей иногда требуется выполнить несколько сечений, которые на чертеже обозначают буквами русского алфавита (рис. 149).

ГОСТ 2.305—68 устанавливает правила изображения и обозначения сечений.

Контуры фигуры сечения детали изображают сплошной ос­новной линией. Внутри этих контуров дают условное графическое обозначение материала детали (табл. 12).

Рис. 148. Сечения:

а — получение сечения; б — сечение, построенное в проекционной связи с видом; в — сечение, выполненное на свободном месте чертежа; г — се­чение, выполненное на продолжении следа секущей плоскости

Рис. 149. Обозначение сечений буквами русского алфавита

 

12. Графические обозначения некоторых материалов на чертежах

cherch.ru