правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого
Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.
В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.
Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы
Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.
Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.
Что такое степень числа
Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?
Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.
Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.
Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.
Например:
- 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
- 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
- 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
- 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
- 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.
Таблица степеней от 1 до 10
Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».
Ч-ло | 2-ая ст-нь | 3-я ст-нь |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 279 |
10 | 100 | 1000 |
Свойства степеней
Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.
Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:
- an * am = (a)(n+m),
- an : am = (a)(n-m),
- (ab ) m=(a)(b*m).
Проверим на примерах:
- 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Аналогично:
- 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
- (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Как видим, правила работают.
А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.
Посмотрим на примерах:
- 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
- 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
- А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.
Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:
- при наличии скобок – начинать нужно с них,
- затем возведение в степень,
- потом выполнять действия умножения, деления,
- после сложение, вычитание.
Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:
- Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
- При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
- При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
- При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
- Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
- Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.
Степень с отрицательным показателем
Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?
Исходя из свойств 4 и 5
- A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.
И наоборот:
- 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.
А если дробь?
- (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.
Степень с натуральным показателем
Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.
Что нужно запомнить:
- A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
- A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.
Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.
Дробная степень
Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.
С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.
Степень с иррациональным показателем
Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.
Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:
- А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
- А˃1.
- Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.
В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.
Например, показатель степени число π. Оно рациональное.
- r1 – в этом случае равно 3,
- r2 – будет равно 4.
- Тогда, при А = 1, 1π = 1.
- А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
- А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.
Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.
Заключение
Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.
Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi
Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование
Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.
Что представляют собой степенные выражения?
В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.
Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.
Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.
- Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
- А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
- Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
- В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.
С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.
Основные виды преобразований степенных выражений
В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.
Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).
Решение
Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.
Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.
Ответ: 23·(42−12)=32.
Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.
Решение
Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.
Ответ:
3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/
Возведение в степень
Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.
Основные действия со степенями
В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.
Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:
Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:
- (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).
Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).
Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).
Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.
Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.
Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.
Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.
При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.
(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).
Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:
При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:
И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.
Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.
Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.
Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.
Примеры из реальной жизни
Депозит в банке
Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:
Рост = a × e(kt),
- где a – начальное значение,
- e – константа, равная 2,718;
- k – коэффициент роста;
- t – время.
Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.
Школьная задача
Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.
Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.
Источник: https://BBF.ru/calculators/73/
Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи. Видеоурок. Алгебра 11 Класс
На данном уроке мы рассмотрим основные свойства степени с рациональным показателем и решим простейшие типовые задачи.
Напомним, что такое множество рациональных чисел.
– рациональные числа.
Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например :
Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.
Напомним определение: для выполняется равенство:
Например: ;
;
(нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).
Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь s и r – рациональные числа:
1. .
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.
2. .
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.
3. .
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. .
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.
5. .
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.
Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей. Докажем первое свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, ,
,
.
Приведем корни к одинаковому показателю:
.
Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:
.
По определению степени с рациональным показателем:
.
Согласно свойствам степени:
.
Итак, получили:
.
Докажем третье свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, ,
,
.
Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Перейдем к решению типовых задач.
Пример 1 – имеет ли смысл выражение:
а)
Ответ: нет.
б)
Ответ: да ().
в)
Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().
г)
Ответ: нет.
Пример 2 – вычислить:
Рассмотрим слагаемые отдельно:
.
Получаем:
.
Пример 3 – упростить выражение:
Упростим знаменатель:
.
Получаем:
.
Отметим, что обязательно в данном случае .
Пример 4 – упростить выражение:
Возводим в квадрат двучлен:
.
Получили выражение:
.
В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.
Пример 5 – упростить выражение:
Комментарий: ограничение на х наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.
Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем. В дальнейшем мы перейдем к решению более сложных задач со степенями и радикалами.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
- Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 432-435.
- Вычислить:
- Упростить выражение:
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
- Интернет-портал Terver.ru (Источник).
Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (10, 11 класс) на тему: действия со степенями 10-11 класс
Действия со степенями
1. Задание 2 № 26738
Найдите значение выражения .
2. Задание 2 № 62113
Найдите значение выражения .
3. Задание 2 № 62429
Найдите значение выражения .
4. Задание 2 № 71883
Найдите значение выражения .
5. Задание 2 № 508383
Найдите значение выражения
6. Задание 2 № 508403
Найдите значение выражения
7. Задание 2 № 509209
Найдите значение выражения
8. Задание 2 № 509587
Найдите значение выражения
9. Задание 2 № 509607
Найдите значение выражения
10. Задание 2 № 509627
Найдите значение выражения
11. Задание 2 № 509647
Найдите значение выражения 4 · 72 + 6 · 72.
12. Задание 2 № 509667
Найдите значение выражения 4 · 10-3 + 8 · 10-2 + 5 · 10-1.
13. Задание 2 № 509687
Найдите значение выражения 7,9 · 10-2 + 4,5 · 10-1.
14. Задание 2 № 509707
Найдите значение выражения (0,01)2 · 105 : 4−2
15. Задание 2 № 509727
Найдите значение выражения
16. Задание 2 № 509747
Найдите значение выражения
17. Задание 2 № 509767
Найдите значение выражения 3,4 · 102 + 1,8 · 103.
18. Задание 2 № 509787
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения
19. Задание 2 № 510193
Найдите значение выражения
20. Задание 2 № 510213
Найдите значение выражения
21. Задание 2 № 510233
Найдите значение выражения
22. Задание 2 № 510253
Найдите значение выражения
23. Задание 2 № 26739
Найдите значение выражения .
24. Задание 2 № 26740
Найдите значение выражения .
25. Задание 2 № 26741
Найдите значение выражения .
26. Задание 2 № 26742
Найдите значение выражения .
27. Задание 2 № 26747
Найдите значение выражения .
28. Задание 2 № 26748
Найдите значение выражения .
29. Задание 2 № 26749
Найдите значение выражения .
30. Задание 2 № 26754
Найдите значение выражения .
31. Задание 2 № 26897
Найдите значение выражения .
32. Задание 2 № 26899
Найдите значение выражения .
33. Задание 2 № 77394
Найдите значение выражения .
34. Задание 2 № 77398
Найдите значение выражения .
35. Задание 2 № 77406
Найдите значение выражения .
36. Задание 2 № 77407
Найдите значение выражения .
37. Задание 2 № 77408
Найдите значение выражения .
38. Задание 2 № 77410
Найдите значение выражения .
39. Задание 2 № 506425
Найдите сумму чисел и
40. Задание 2 № 506246
Найдите значение выражения
41. Задание 2 № 506274
Найдите частное от деления 1,6 · 102 на 4 · 10−2.
42. Задание 2 № 506857
Найдите значение выражения .
43. Задание 2 № 506465
Найдите произведение чисел и .
44. Задание 2 № 506405
Найдите значение выражения .
45. Задание 2 № 506670
Найдите значение выражения .
46. Задание 2 № 506995
Найдите значение выражения
47. Задание 2 № 506755
Найдите сумму чисел и .
48. Задание 2 № 510678
Найдите значение выражения
49. Задание 2 № 510698
Найдите значение выражения
50. Задание 2 № 510718
Найдите значение выражения
51. Задание 2 № 510738
Найдите значение выражения
52. Задание 2 № 510955
Найдите значение выражения
53. Задание 2 № 510975
Найдите значение выражения
54. Задание 2 № 510998
Найдите значение выражения
55. Задание 2 № 511412
Найдите значение выражения
Материал по математике на тему «Действия со степенями»
Действия со степенями
1. Найдите значение выражения .
2.
Найдите значение выражения .
3. Найдите значение выражения .
4.
Найдите значение выражения .
5. Найдите значение выражения
6. Найдите значение выражения
7. Найдите значение выражения
8. Найдите значение выражения
9. Найдите значение выражения
10. Найдите значение выражения
11. Найдите значение выражения 4 · 72 + 6 · 72.
12. Найдите значение выражения 4 · 10-3 + 8 · 10-2 + 5 · 10-1.
13. Найдите значение выражения 7,9 · 10-2 + 4,5 · 10-1.
14. Найдите значение выражения (0,01)2 · 105 : 4−2
15. Найдите значение выражения
16. Найдите значение выражения
17. Найдите значение выражения 3,4 · 102 + 1,8 · 103.
18. Найдите значение выражения .
19. Найдите значение выражения .
20. Найдите значение выражения .
21. Найдите значение выражения .
22. Найдите значение выражения .
23. Найдите значение выражения .
24. Найдите значение выражения .
25. Найдите значение выражения .
26. Найдите значение выражения .
27. Найдите значение выражения .
28. Найдите значение выражения .
29. Найдите значение выражения .
30. Найдите значение выражения .
31. Найдите значение выражения .
32. Найдите значение выражения .
33. Найдите значение выражения .
34. Найдите сумму чисел и
35. Найдите значение выражения
36. Найдите частное от деления 1,6 · 102 на 4 · 10−2.
37.Найдите значение выражения .
38. Найдите произведение чисел и .
39. Найдите значение выражения .
40. Найдите значение выражения .
41. Найдите значение выражения
42. Найдите сумму чисел и .