Дифференциальные уравнения первого порядка

Нормальная и дифференциальная формы записи ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением, записанным в нормальной форме, если оно разрешено относительно производной:

   

или

   

Дифференциальной формой уравнение (1) называется следующее его представление:

   

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции .

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1).

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные однородные и неоднородные ДУ первого порядка

Функции и , входящие в уравнение, являются непрерывными на некотором интервале , на котором ищется решение рассматриваемого уравнения.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка

1. Метод Бернулли. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищется в виде

   

Отсюда

   

После подстановки в уравнение (1), будем иметь:

   

   

Функции и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках второго слагаемого, равнялось нулю. То есть уравнение (3) распадается на два уравнения:

   

Первое из уравнений системы является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

   

   

Второе уравнение системы принимает вид:

   

Отсюда

   

А тогда

   

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале ищется общее решение однородного дифференциального уравнения (2):

   

2) Далее C считается не константой, а некоторой функцией от переменной x:

   

Находим производную и в заданное неоднородное дифференциальное уравнение подставляем полученное выражение для и . Из полученного уравнения находим функцию .

3) В общее решение (4) однородного уравнения вместо C подставляем найденное выражение .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .

Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

   

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

   

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

   

Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

   

1. Метод Бернулли или метод подстановки

Делаем замену

   

а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

   

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

   

Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

   

Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

   

Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

   

Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

   

Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

   

А тогда, находим и искомую функцию

   

2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

   

которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

   

Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

   

И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

   

Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

ru.solverbook.com

Приводящиеся к однородным дифференциальные уравнения первого порядка

К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:
(1)   ,
где f – функция.

Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному

Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:
a₁x + b₁y + c₁,   a₂x + b₂y + c₂,
и выполнить замену:

a₁x + b₁y + c₁ → t (a₁x + b₁y + c₁);
a₂x + b₂y + c₂ → t (a₂x + b₂y + c₂).
Если, после преобразований, t сократится, то это уравнение приводится к однородному.

Пример

Определить, приводится ли данное дифференциальное уравнение к однородному:
.

Решение

Выделяем две линейные формы:
x + 2y + 1 и x + 4y + 3.
Первую заменим на t (x + 2y + 1), вторую – на t (x + 4y + 3):
.
По свойству логарифма:

.
t сокращается:
.
Следовательно, это уравнение приводится к однородному.

Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению

Решаем систему уравнений:
(2)  

Здесь возможны три случая.

1)   Система (2) имеет бесконечное множество решений (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 совпадают). В этом случае
;
.
Тогда
.
Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными:
.
Его решение:

y = Ax + C .

2)   Система (2) не имеет решений (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 параллельны). В этом случае a₁b₂ = a₂b₁.
Применим это соотношение.

.

Это означает, что a₂x + b₂y + c₂ является функцией от a₁x + b₁y + c₁. Поэтому     является функцией от a₁x + b₁y + c₁. То есть f является функцией от a₁x + b₁y + c₁. Обозначим такую функциею как g. Тогда исходное уравнение (1) имеет вид:
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z = a₁x + b₁y + c₁.

3)   Система (2) имеет одно решение (прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 пересекаются в одной точке). Обозначим это решение как x₀, y₀. Тогда
(3)  
Делаем подстановку x = t + x₀, y = u + y₀, где u – это функция от t. Тогда

dx = dt,   dy = du;

.
Или
.
Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается подстановкой u = z t, где z – это функция от t.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению первого порядка

Решить уравнение
(П.1)   .

Решение

1)   Проверим, приводится ли это дифференциальное уравнение к однородному. Для этого выделяем две линейные формы:
2x – y + 4 и x – 2y + 5.
Первую заменим на t (2x – y + 4), вторую – на t (x – 2y + 5):
.
Делим на t:
.
t сократилось, поэтому это уравнение приводится к однородному.

2)   Решаем систему

Из первого уравнения y = 2x + 4. Подставляем во второе:
x – 2(2x + 4) + 5 = 0;
x – 4x – 8 + 5 = 0;
– 3x = 3;
x = –1;
y = 2x + 4 = 2·(–1) + 4 = 2.
Итак, мы нашли решение системы:
x₀ = –1,   y₀ = 2.

3)   Делаем подстановку:
x = t + x₀ = t – 1;
y = u + y₀ = u + 2,
где u – функция от t. dx = dt,   dy = du,   ;
;
.
Подставляем в (П.1):
(П.2)

  .
Это – однородное уравнение.

4)   Решаем однородное уравнение (П.2). Делаем подстановку:
u = z · t, где z – функция от t.
u′ = (z · t)′ = z′t + z t′ = z′t + z.
Подставляем в (П.2):
.
Сокращаем на t и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dt и делим на t (z² – 1). При z² ≠ 1 получаем:
.
Интегрируем:
(П.3)   .
Вычисляем интегралы:
;

.
Подставляем в (П.3):
.
Умножим на 2 и потенцируем:
;
.
Заменим постоянную e^2C → C. Раскроем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C. Умножим на (z + 1)² и применим формулу: z² – 1 = (z – 1)(z + 1).
.
Сократим на (z – 1):
.
Возвращаемся к переменным u и t, используя формулу: u = z t. Для этого умножим на t:
;
;
.
Возвращаемся к переменным x и y, используя формулы: t = x + 1, u = y – 2.
;
(П.4)   .

Теперь рассмотрим случай z² = 1 или z = ±1.
;
.
Для верхнего знака «+» имеем:
;
.
Это решение входит в общий интеграл

(П.4) при значении постоянной C = 0.
Для нижнего знака «–»:
;
.
Эта зависимость также является решением исходного дифференциального уравнения, но не входит в общий интеграл (П.4). Поэтому к общему интегралу добавим решение
.

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-07-2012   Изменено: 22-06-2015

1cov-edu.ru