Прогрессии как решать – Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Алгебра. Урок 6. Прогрессии — ЁП

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.

an=f(n),n∈ℕПримеры числовых последовательностей:

  1. Натуральные числа: 1;2;3;4;5;6;7;…
  1. Квадраты натуральных чисел: 1;4;9;16;25;36;49;…
  1. Все целые числа от -3 до 3:−3;−2;−1;0;1;2;3.

Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.

Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).

  1. Натуральные числа:

a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,…

  1. Квадраты натуральных чисел:

a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,a5=25,…

  1. Все целые числа от -3 до 3:

a1=−3,a2=−2,a3=−1,a4=0,a5=1,a6=2,a7=3.

Последовательности могут быть бесконечными (1и2) и конечными (3).

 

Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:

  1. Словесный. Последовательность описывается словами.

Примеры:

  • натуральные числа,
  • квадратуры натуральных чисел,
  • все целые числа от -3до 3.
  1. Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: an=f(n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Примеры:

  • an=n – последовательность натуральных чисел,
  • an=n2 – последовательность квадратов натуральных чисел,
  • an=n−4,n∈[1;7] – последовательность целых чисел от -3до 3.
  1. Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Примеры:

  • a1=1,an+1=an+1 – последовательность натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a1=1

n=1,an+1=an+1⇒a2=a1+1=1+1=2

n=2,an+1=an+1⇒a3=a2+1=2+1=3

n=3,an+1=an+1⇒a4=a3+1=3+1=4

n=4,an+1=an+1⇒a5=a4+1=4+1=5

и так далее…

  • a1=1,an+1=(an+1)2 – последовательность квадратов натуральных чисел.

Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.

a1=1;

n=1,an+1=(an+1)2⇒a2=(a1+1)2=(1+1)2=22=4

n=2,an+1=(an+1)2⇒a3=(a2+1)2=(4+1)2=32=9

n=3,an+1=(an+1)2⇒a4=(a3+1)2=(9+1)2=42=16

n=4,an+1=(an+1)2⇒a5=(a4+1)2=(16+1)2=52=25

и так далее…

  • a1=−3,an+1=an+1,an≤3 – последовательность целых чисел от -3до 3.

a1=−3;an≤3

an+1=an+1⇒a2=a1+1=−3+1=−2;−2≤3

an+1=an+1⇒a3=a2+1=−2+1=−1;−1≤3

an+1=an+1⇒a4=a3+1=−1+1=0;0≤3

an+1=an+1⇒a5=a4+1=0+1=1;1≤3

an+1=an+1⇒a6=a5+1=1+1=2;2≤3

an+1=an+1⇒a7=a6+1=2+1=3;3≤3

an+1=an+1⇒a8=a7+1=3+1=4;4≤3

Последний член последовательности будет a7 , так как a8 не удовлетворяет условию an≤3

 

Арифметической прогрессией {an} называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Разностью d арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.

d=an+1−an

Числовая последовательность a1,a2,a3,a4,… будет являться арифметической прогрессией, если:

a2=a1+da3=a2+d…an=an−1+d

Арифметическая прогрессия может быть

  • возрастающей, если d>0(0;2;4;6;8;…)
  • убывающей, если d<0(0;−2;−4;−6;−8;…)
  • стабильной (постоянной), если d=0(5;5;5;5;5;…)

Примеры арифметической прогрессии:

  1. 1;3;5;7;9;…a1=1,d=2
  2. 10;5;0;−5;−10;−15;…a1=10,d=−5
  3. 4;4;4;4;4;…a1=4,d=0

 

Определение:

(1)an+1=an+d

Разность:

(2)d=an+1−an

Формула n-го члена:

(3)an=a1+(n−1)d

Сумма n первых членов:

(4)Sn=a1+an2⋅n

Свойства:

(5)an=an−1+an+12

(6)an=an−k+an+k2

 

Геометрической прогрессией {bn} называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.

Знаменателем q геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.

q=bn+1bn

В геометрической прогрессии есть ограничения: b1≠0,q≠0.
Числовая последовательность b1,b2,b3,b4,… будет являться геометрической прогрессией, если: b2=b1⋅qb3=b2⋅q=b1⋅q2…bn=bn−1⋅q=b1⋅qn−1

Геометрическая прогрессия может быть

  • возрастающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя больше единицы, т.е. |q|>1;
  • убывающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя меньше единицы, т.е. |q|<1;
  • знакопеременной, если знаменатель меньше нуля, т.е. q<0.

Примеры геометрической прогрессии:

  1. 1;3;9;27;81;…b1=1,q=3
  2. 8;4;2;1;12;14;…b1=8,q=12
  3. 1;−2;4;−8;16;…b1=1,q=−2

 

Определение:

(1)bn+1=bn⋅q

Знаменатель:

(2)q=bn+1bn

Формула n-го члена:

(3)bn=b1⋅qn−1

Сумма n первых членов:

(4)Sn=b1⋅(qn−1)q−1

Свойства:

(5)bn=bn−1⋅bn+1

(6)bn=bn−k⋅bn+k

 

 

Скачать домашнее задание к уроку 6.

 

epmat.ru

Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии.


Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).

Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая – смотри тут.

В любой последовательности каждый элемент должен иметь “адрес”, по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот “адрес” – это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент a_1 – первый, а a_100 – “живет” в сотой “квартире”.

Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер “квартиры”, тем “толще” жилец, а если убывающая, то наоборот (все это – непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены – одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, …).

Задать последовательность можно по-разному.

Часто встречается такой способ задания: “Дана последовательность 30; 28; 26;…” – по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь – первый член последовательности, и можно сразу “увидеть” разность такой прогрессии – это “расстояние между соседями”.

Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: a_n=n+6. Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.

В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности,  необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы  позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: a_{n+1}=a_n+6

.

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается d

Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями “расстояние” будет d

, а “расстояние” между членами, которые стоят “через одного” – 2d. Отсюда свойство прогрессии:

a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2

Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от “центра” на одинаковое количество номеров:a_n={a_{n-m}+a_{n+m}}/2

Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?

a_n=a_1+(n-1)d

Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?

Сумму прогрессии можно найти по формулам:

S_n={{a_1+a_n}/2}n

S_n={{2a_1+(n-1)d}/2}n

Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.

1. Дана арифметическая прогрессия: -30;  -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.

Первый член a_1=-30. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2 (последующего члена) a_1 (предыдущий). (Или из a_3 – a_2

):

d=a_2-a_1=-24-(-30)=6.

Теперь воспользуемся формулой для суммы – берем вторую формулу:

S_10={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(-30)+(10-1)6}/2}10=-30

Ответ: -30

2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Первый член a_1=35. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2

(последующего члена) a_1 (предыдущий). (Или из a_3 – a_2):

d=a_3-a_3=21-28=-7.

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

S_18={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(35)+(18-1)(-7)}/2}18=-441

S_11={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(35)+(11-1)(-7)}/2}11=0

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

3. Арифметическая прогрессия задана условиями: a_1=5a_n=a_{n+1}+3

. Найти  a_12.

Так как между последующим и  предыдущим  членами (из условия) разность равна  3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем  a_12:

a_12=a_1+(n-1)d=5+(12-1)3=38

Ответ: 38

4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – арифметическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г)1/2; 1/3; 1/4; 1/5;...

.

Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не “на”, а “в” – каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.

Ответ: в)

5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

а) 85              б) 73                 в) 117             г) 254.

Конечно, задан первый член и можно определить разность – она равна 3 – но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного  члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3. И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится. Считаем: 8+5=13 – на три не делится; 7+3=10 – не делится; 1+1+7=9 – число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 – не подходит.

Ответ: в)

6. Арифметические прогрессии x_n, y_n, z_nзаданы формулами n-ного члена:x_n=3n+4, y_n=3n, z_n=4n+2. Укажите те из них, у которых разность равна 3.

Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:

x_1=3+4=7

x_2=3*2+4=10

x_2-x_1=3

Первая прогрессия отвечает требованию.

Вторая:

y_1=3

y_2=3*2=6

y_3=3*3=9

y_2-y_1=3

Вторая также подойдет.

Третья:

z_1=4+2=6

z_2=4*2+2=10

z_2-z_1=4 – очевидно, что такая разность нам не подходит.

Ответ: x_n, y_n

7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

Составим уравнения по условиям:

a_3+a_5=16

a_6-12=a_2

Перепишем второе уравнение:

a_1+5d-12=a_1+d

Теперь можем определить разность:

4d=12

d=3

Перепишем первое уравнение:

a_1+2d+a_1+4d=16

2a_1+6d=16

a_1=8-3d

a_1=8-3*3=-1

Ответ:  a_1=-1; d=3

8. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; 10; x; –14; –26; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

По свойству прогрессии неизвестный член равен полусумме своих соседей: x={10+(-14)}/2=-2. Также можно было найти разность прогрессии и прибавить ее к числу “до” х, или отнять от числа “после”.

9. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 50 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Если число мест в каждом ряду выписать в ряд, получим арифметическую прогрессию. Арифметическую – потому что число мест все время увеличивается на одно и то же число. Понятно, что разность этой прогрессии  2. И вот здесь-то и хочется сказать, что в ряду n число мест a_n=50+2n, но это неверно! Ведь тогда в первом ряду получается 52 места! Поэтому правильно a_n=48+2n.

10. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 35; 27; 19; … . Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Можно, конечно, найти, на сколько последующий член меньше предыдущего (прогрессия убывающая), то есть разность прогрессии, и затем вычитать последовательно это число до тех пор, пока результат не станет отрицательным.

11. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 13, 8, 3, … Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Первый член a_1=13. Разность прогрессии можно найти, вычтя из a_2 (последующего члена) a_1 (предыдущий):

d=a_3-a_3=3-8=-5.

Находим 81 член прогрессии:

a_81=a_1+(n-1)d=13+(81-1)(-5)=-387

Ответ: -387

12. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

“Начиная с 1” – значит, a_1=1. Натуральные числа – ряд последовательных чисел, отличающихся на 1 – значит, d=1.

Формула суммы прогрессии:  S_n={{2a_1+(n-1)d}/2}n – здесь нам неизвестно число членов прогрессии – n.

Подставим 528 и попробуем определить n:

S_n={{2+(n-1)}/2}n={2n+n^2-n}/2=528

n^2-n=1056

Получили квадратное уравнение:n^2+n-1056=0

D=b^2-4ac=1-4(-1056)=4225=65^2

n_1={-1+65}/2=32

Второй корень – отрицательный, его можно даже не считать.

Получается, что сумма 32 членов дает 528, а нам нужно, чтобы сумма была бы меньше – тогда берем 31 член прогрессии.

Ответ: 31.

13. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –17; –16; -15; …

Первый член прогрессии a_1=-17. Разность прогрессии d=1.

Формула n-ного члена: a_n=a_1+(n-1)d. Найдем, сколько таких отрицательных членов у нас получится:

a_n<0a_n<0

a_1+(n-1)d<0a_n<0

-17+n-1<0a_n<0

n<18a_n<0

Тогда отрицательных членов 17. Находим их сумму:

S_17={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(-17)+17-1}/2}17=-153

Ответ: -153.

14. Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Сначала разберемся, какие сведения содержит в себе условие. Похоже, фраза “на одно и то же количество задач больше” говорит о том, что мы имеем дело с прогрессией. Общий объем работы, предстоящий Руслану – это сумма прогрессии. 13 задач, решенных в первый день – это первый член нашей прогрессии. Ну и 12 дней, отведенных на это сложное дело – это количество членов прогрессии.

Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

a_n=a_1+(n-1)d – в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

S_12={{2a_1+(n-1)d}/2}n={{2(13)+11d}/2}12=420

(26+11d)6=420

26+11d=70

11d=44

d=4

Находим 12 член прогрессии:

a_n=a_1+(n-1)d=13+11*4=57

Ответ: 57

15. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

S_n={{a_1+a_n}/2}n=150

S_n={10n}/2=150

Откуда n=30

Ответ: 30

easy-physic.ru

Как решать прогрессию. Арифметическая прогрессия

Урок и презентация на тему: «Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса к учебникам
Макарычева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордковича А.Г. Муравина Г.К.

Так что же такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.

Давайте запишем рекуррентную форму: $a_{1}=a$; $a_{n}=a_{n-1}+d$, число d – разность прогрессии. а и d – определенные заданные числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой $а=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой $а=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Арифметическая прогрессия, у которой $а=5, d=0$.

Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля, то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля, то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность $a_{n}$, и она является арифметической прогрессией, то принято обозначать: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Арифметическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:
$a_{1}=a_{1}$.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$.
$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d$.
$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d$.
Мы легко замечаем закономерность: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Наша формула называется – формулой n-ого члена арифметической прогрессии.

Давайте вернемся к нашим примерам и запишем нашу формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой а=1, d=3. $a_{n}=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой а=3, d=-3. $a_{n}=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дана арифметическая прогрессия: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.
а) Известно, что $a_{1}=5$, $d=3$. Найти $a_{23}$.
б) Известно, что $a_{1}=4$, $d=5$, $a_{n}=109$. Найти n.
в) Известно, что $d=-1$, $a_{22}=15$. Найти $a_{1}$.
г) Известно, что $a_{1}=-3$, $a_{10}=24$. Найти d.
Решение.
а) $a_{23}=a_{1}+22d=5+66=71$.
б) $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_{22}=a_{1}+21d=a_{1}-21=15=> a_{}1=36$.
г) $a_{10}=a_{1}+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{5}=a_{1}+4d$.
$a_{9}=a_{1}+8d$.
Также из условия знаем:
$a_{9}=7a_{2}$.
$a_{9}=2a_{5}+5$.
Или:
$a_{1}+8d=7(a_{1}+d)$.
$a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}a_{1}+8d=7(a_{1}+d)\\a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5\end{cases}$.
$\begin{cases}d=6a_{1}\\d=a_{1}+5\end{cases}$.
Решив систему получаем: $d=6, a_{1}=1$.
Найдем $a_{30}$.
$a_{30}=a_{1}+29d=175$.

Сумма конечной арифметической прогрессии

Пусть у нас есть конечная арифметическая прогрессия. Возникает вопрос, а можно ли посчитать сумму всех ее членов?
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия: $a_{1},a_{2},…a_{n-1},a_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
Давайте рассмотрим, на конкретном примере, чему равна сумма.

Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100.
Сумма ее членов тогда представим вот так:
$S_{n}=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:
$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}$.
Давайте запишем нашу формулу в общем случае: $a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$, где $k Давайте выведем формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+⋯+a_{2}+a_{1}$.
Сложим между собой эти формулы:
$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+⋯+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$.
В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем, что каждый из них равен $a_{1}+a_{n}$.
Тогда:
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
Так же нашу формулу можно переписать в виде: так как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,
то $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$.
Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия.
Найти:
а) $s_{22},если a_{1}=7, d=2$.
б) d,если $a_{1}=9$, $s_{8}=144$.
Решение.
а) Воспользуемся второй формулой суммы $S_{22}=\frac{2a_{1}+d(22-1)}{2}*22=\frac{14+2(22-1)}{2}*22=616$.
б) В этом примере воспользуемся первой формулой: $S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{1})}{2}=4a_{1}+4a_{8}$.
$144=36+4a_{8}$.
$a_{8}=27$.
$a_{8}=a_{1}+7d=9+7d$.
$d=2\frac{4}{7}$.

Пример. Найти сумму всех нечетных двухзначных чисел.
Решение.
Члены нашей прогрессии представляют собой: $a_{1}=11$, $a_{2}=13$, …, $a_{n}=99$.
Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Теперь найдем сумму: $S_{45}=\frac{45(11+99)}{2}=2475$.

Пример. Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
$a_{1}=500$, $a_{2}=475$, $a_{3}=450…$.
Разность арифметической прогрессии равна $d=-25$.
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
$S_{n}=2975$, где n — часы потраченные на путь.
Тогда:
$S_{n}=\frac{1000-25(n-1)}{2}$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделим обе части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_{1}=7$, $n_{2}=34$.
Очевидно, что логичнее выбрать $n=7$.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Ребята, пусть дана арифметическая прогрессия, давайте рассмотрим произвольных три последовательных члена прогрессии: $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$.
Мы знаем что:
$a_{n-1}=a_{n}-d$.
$a_{n+1}=a_{n}+d$.
Давайте сложим наши выражения:
$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$.
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией, когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии (не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена прогрессии).

Пример. Найти такие х, что $3х+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой:
$x-1=\frac{3x+2+4x+3}{2}$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac{2}{5}=-1,4$.
Проверим, наши выражения примут вид: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно что, это члены арифметической прогрессии и $d=-0,2$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии 38;30;22…
2. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии 10,21,32…
3. Известно, что $a_{1}=7$, $d=8$. Найти $a_{31}$.
4. Известно, что $a_{1}=8$, $d=-2$, $a_{n}=-54$. Найти n.
5. Найдите сумму первых семнадцати членов арифметической прогрессии 3;12;21….
6. Найти такие х, что $2х-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n — 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 — 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

benderbar.ru

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

yukhym.com

Объясните пожалуйста, как решать арифметические прогрессии!

Инструкция 1 Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии — An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8. 2 Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Например, пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47. 3 Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12. 4 Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d&gt;0, то прогрессия называется возрастающей, если d&lt;0 — убывающей. 5 Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175. 6 Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

как найти разность арифметической прогрессии — удобный, на мой взгляд, метод. задание: дана арифметическая прогрессия (аn), в которой а9=20, а23=40. найти разность прогрессии. Решение: Сначала найти количество шагов в прогрессии — а23-а9=14. Т. е. между точками 23 и 9 находится 14 шагов (или интервалов). Находим теперь общее значение между 40 и 20, т. е. разность 40-20=20. Заключительная часть: делим 20 на количество шагов-14, получаем 1,43. Лучше нарисовать схему: 20 40 __.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.___ А9 А23 1. 23-9=14 2. 40-20=20 3. 20:14=1,43 Т. Е. разницу верхней части делим на разницу нижней и получаем разность прогрессии. Удачи!

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *