Функция прямая пропорциональность | Алгебра

Определение

Функция вида y=kx, где k — число (k≠0), называется функцией прямой пропорциональности (или функция прямая пропорциональность).

Число k называется коэффициентом пропорциональности. О переменной y говорят, что она пропорциональна переменной x.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции y=kx+b (при b=0).

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат — точку O (0;0).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно взять одну точку, вторая — точка O.

Свойства функции прямой пропорциональности

1) Область определения — множество действительных чисел:

D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R).

2) Область значений — множество действительных чисел:

D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R).

3) Нуль функции (y=0) при x=0.

4) При k>0 функция y=kx возрастает, при k<0 — убывает.

5) При k>0 график функции проходит через I и III координатные четверти.

Функция принимает положительные значения при положительных значениях аргумента:

y>0 при x>0.

Функция принимает отрицательные значения при отрицательных значениях аргумента:

y<0 при x<0.

При k<0 график функции проходит через II и IV координатные четверти.

Функция принимает положительные значения при отрицательных значениях аргумента:

y>o при x<0.

Функция принимает отрицательные значения при положительных значениях аргумента:

y<0 при x>0.

 

Число k называется угловым коэффициентом прямой y=kx.

k=tg α, где α — угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ox.

Чтобы сравнить угловые коэффициенты прямых, сравниваем углы между прямыми и положительным направлением оси абсцисс.

 

При k₁>0, k₂>0

так как α₁>α

2, то k₁>k₂.

 

 

 

 

 

 

При k₃<0, k₄<0

так как α₃>α₄, то k₄>k₃.

 

 

 

 

 

В качестве иллюстрации рассмотрим графики четырёх функций прямой пропорциональности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики функций y=x и y= -x являются биссектрисами соответственно I и III, II и IV координатных четвертей. Эти графики легко построить на листе в клеточку: каждую клеточку делим по диагонали:

 

 

 

www.algebraclass.ru

Прямая пропорциональность и её график (В.А.Тарасов). Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Напомним, что мы изучаем линейное уравнение относительно двух переменных – х и у, уравнение вида

,

Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия, каждая точка которой характеризуется двумя числами – координатами х и у – абсциссой и ординатой, и каждая точка удовлетворяет заданному уравнению.

В одном из уроков мы выражали у через х:

Пользуясь тем, что  можем на него разделить обе части уравнения:

Для удобства приняли следующие обозначения:

 , получаем:

Таким образом, была получена линейная функция у от х в общем виде. Мы ввели некоторые новые обозначения: х называем независимой переменной, или аргументом, у называем зависимой переменной, или функцией. k и m – параметры, которые полностью и однозначно определяют конкретную линейную функцию.

Рассмотрим частный случай линейной функции, когда , в таком случае  

. Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром k. Нам следует изучить влияние данного параметра на график функции прямой пропорциональности и на саму функцию.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Пусть известно, что турист двигается со скоростью 2 км/ч от некоторого пункта А к другому пункту В. В таком случае пройденный им путь будет подчиняться закону:

 (1)

Если известно, что пассажир едет на поезде от некоторого пункта А к другому пункту В, а поезд движется со скоростью 60 км/ч, то в каждый момент времени можно определить удаление пассажира от начального пункта по формуле:

 (2)

В общем виде обе эти формулы можно представить как . Не важно, что подразумевают под собой переменные х и у, важно только, что одна из них независимая, например время, а вторая зависимая, например расстояние.

Вернемся к нашим примерам. В общем виде формулы 1 и 2 можно представить как

Отсюда  – это одна из физических интерпретаций углового коэффициента.

Если перейти к формуле прямой пропорциональности, то

Рассмотрим примеры:

Пример 2:

 (3) и  (4)  – обе функции это прямая пропорциональность. Построим графики этих функций, для этого составим таблицы:

Таблица для функции 3;

Таблица для функции 4;

Угловой коэффициент является аналогом скорости в равномерном прямолинейном движении.

Одна из основных задач – это уметь находить угловой коэффициент в различных выражениях.

Пример 3 – найти угловой коэффициент:

Отсюда очевидно, что

Отсюда очевидно, что

Отметим также, что если , то угол между графиком функции и положительным направлением оси х тупой и функция убывает, а если k>0 – угол острый и функция возрастает, это видно из графика в примере 2. Физический аналог этому такой: если турист ушел из дома и его скорость равна 2км/ч, то в каждый момент времени расстояние от него до дома увеличивается, а если сказать, что расстояние выражается как , это значит, что он возвращается домой и расстояние сокращается.

Сформулируем свойства прямой пропорциональности:

— График любой такой прямой проходит через начало координат, так как в уравнении

 при  независимо от значения  у будет равен нулю;

— Рассмотрим несколько функций:

 – прямая пропорциональность;

 – линейная функция;

 – линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них

. У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции;

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит:

Если  – график прямой пропорциональности, то график  будет ему параллелен, так как коэффициент k определяет угол наклона к оси х, и этот коэффициент у функций равный.

Пример 3 – построить графики функций:

Сразу отметим, что прямые не будут параллельны, так как их угловые коэффициенты не равны.

Для построения каждого графика нам достаточно выбрать одну точку, так как вторая уже известна – это точка (0; 0).

Итак, для первого графика возьмем точку (1; 1)

Для второго графика возьмем точку (1; 2)

Для третьего графика (1; -1)

Для четвертого (1; -2)

 

По графику очень хорошо видно, что прямая  пошла круче, чем прямая , угол прямой  менее острый, при одинаковых значениях аргумента значение функции больше чем , но в обоих случаях угол острый и функция возрастает.

Обе прямые  и  имеют тупой угол наклона, обе функции убывают, но у прямой  менее тупой и эта функция убывает быстрее.

Пример 4 – определить соотношение между угловыми коэффициентами:

 отсюда

Итак, роль углового коэффициента – это скорость роста функции.

Рассмотрим некоторые типовые задачи.

Пример 5:

Построить график прямой пропорциональности, если известно, что ему принадлежит точка с координатами (2; 8)

Для построения прямой нам нужно две точки, первая из них (0; 0), так как все графики прямой пропорциональности проходят через точку (0; 0), а вторая точка задана – это точка (2; 8).

Можно поступить иначе. Из заданной точки (2; 8) мы понимаем, что х=2 и у=8 удовлетворяет нашему уравнению вида , подставим эти значения и найдем k:

, отсюда . Итак, нам задано уравнение , которое мы легко можем построить.

Пример 6:

Построить график прямой пропорциональности  и по нему ответить на множество вопросов.

Начнем с построения графика. Первая точка нам известна – для любого графика прямой пропорциональности это точка (0; 0). Для второй точки возьмем , тогда :

По графику требуется определить значение функции при следующих значениях аргумента: , , , ;

Кроме того, по заданному значению функции определить значение аргумента:

, ,

Определить по графику решение неравенств:

 и

y<0 при x<0

y>0 при x>0

Пример 7 – найти наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

1)Задана функция , причем

2), 

Построим график функции :

Для первого случая х меняется в пределах , значит, у меняется в пределах , значит на этом интервале минимум функции равен нулю, а максимум трем.

Для второго случая х меняется в пределах , значит, функция меняется в пределах , значит, минимальное значение функции на этом интервале есть и оно равно трем, а максимального значения функция не достигает.

Последний тип задач – по заданному графику определить угловой коэффициент.

Пример 8 – определить угловой коэффициент:

Задан график прямой пропорциональности.

 

 

Мы видим, что график проходит через точку (1; 2), значит пара чисел х=1, у=2 удовлетворяет функции вида , значит, можем подставить значения в уравнение и найти k:

Итак, нам задан график функции

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы сформулировали свойства данной функции и основные типовые задачи, связанные с данной темой.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).

2. Старая школа (Источник).

3. Портал Естественных Наук (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 299, ст.68;

Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 300, ст.68;

Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 305, ст.68;

interneturok.ru

Внеклассный урок — Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность.

 

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

  Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b. 

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

 

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел. 2. Это нечетная функция. 3. Переменные изменяются прямо пропорционально на всей числовой прямой: при возрастании аргумента функция пропорционально возрастает, при убывании аргумента функция пропорционально убывает.

 

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

        k
 y = —
        x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

                                          k
Свойства функции y = —:
                                          x

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме нуля. 2. Это нечетная функция. 3. При возрастании аргумента функция пропорционально убывает, при убывании аргумента функция пропорционально возрастает.

 

 

raal100.narod.ru

Прямая пропорциональность и её график

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ при $b=0$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности.

Примером прямой пропорциональности может служить второй закон Ньютона: Ускорение тела прямо пропорционально приложенной к нему силе:

\[F=ma\]

Здесь масса — коэффициент пропорциональности.

Исследование функции прямой пропорциональности $f(x)=kx$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k > 0$.

1. Область определения — все числа.
2. Область значения — все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
4. Функция проходит через начало координат.
5. $f’\left(x\right)={\left(kx\right)}’=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
6. $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
7. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
8. График (рис. 1).

Рис. 1. График функции $y=kx$, при $k>0$

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

1. Область определения — все числа.
2. Область значения — все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функция прямой пропорциональности нечетна.
4. Функция проходит через начало координат.
5. $f’\left(x\right)={\left(kx\right)}’=k
6. $f^{»}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
7. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
8. График (рис. 2).

Рис. 2. График функции $y=kx$, при $k

Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти одну, отличную от начала координат точку $\left(x_0,\ y_0\right)$ и провести прямую через эту точку и начало координат.

Задачи на построение графиков функции прямой пропорциональности

spravochnick.ru

Прямая и обратная пропорциональность. Коэффициент и формулы

Пропорциональность – это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt

где s – это путь, v – скорость, а t – время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч)	1	2	4	8	16
Путь s (км)	5	10	20	40	80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

s	=  v,   следовательно,	5	=	10	=	20	=	40	=	80	= 5
t		1		2		4		8		16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время t = 2 ч
Скорость v (км/ч)	5	15	45	90
Расстояние s (км)	10	30	90	180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):

s	=  t,   следовательно,	10	=	30	=	90	=	180	= 2
v		5		15		45		90

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx

где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности – это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt

где s – это путь, v – скорость, а t – время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:

Путь s = 120 км
Скорость v (км/ч)	10	20	40	80
Время t (ч)	12	6	3	1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,  следовательно    10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности – это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k

naobumium.info

2. Прямая и обратная пропорциональности

Если t — время движения пешехода (в часах), s — пройденный путь ( километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t Так как каждому значению t соответствует единственное значение, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задан функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяю следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функции которая может быть задана при помощи формулы у = kx, где k не равное нулю действительное число.

Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае .

Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше.

Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, прохо­дящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = kх, достаточно иметь точку с координатами (1,2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 7).

3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения, при k < 0 — убывает на всей области определения.

4

Рис.7

. Если функцияf — прямая пропорциональность и (х₁, у₁), (х₂, у₂) -пары соответственных значений переменных х и у, причем х₂0, то

Действительно, если функция f — прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у₁ = kх₁, у₂ = kх₂ . Так как х₂  0 и k0, то у₂0. Поэтому и значит

Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные целые числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины — время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы — величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторо­му числу, не равному нулю, а именно — числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначит буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 =2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2=24(ч) 2) 83=24(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение х при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t — время движения пешехода (в часах), v— его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v  t = 20 или v =. Так как каждому значению t (t0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =. задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы гдеk — не равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k  0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция является математической моделью многих реальных ситуации, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.

Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности.

Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде ху = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12. Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1. Областью определения функции областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис.8). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четверти функция является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

у у

k > 0 k < 0

х х

Рис. 8 Рис. 9

4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х₁, у₁), (х₂, у₂) – пары соответствующих значений переменных х и у, то

Действительно, если функция f — обратная пропорциональность, она может быть задана формулой и тогда ,. Так как х₁0, х₂0, то .

Замечание. Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рас­сматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движе­ния велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения — величины об­ратно пропорциональные, так как их произведение равно некото­рому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движе­ния велосипедиста обозначить буквой у, скорость — х, а расстояние АВ — k, то получим, что ху = k или , т. е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропор­циональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 106 =60 (км) 1) 20:10=2 (раза)

2) 60:20=3(ч) 2) 6:2=3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Замечание. При решении конкретных задач с обратно пропор­циональными или прямо пропорциональными величинами наклады­ваются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при усло­вии, что х5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?

Решение. Катя купила у=2х карандашей. При построении графика функции у=2х необходимо учесть, что переменная х — обозначает количество карандашей и х5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

Цель. Раскрыть теоретические основы формирования функциональной зависимости в курсе начальной математики.

Теоретическая часть

1. Исторические сведения о возникновении понятия функции.

2. Понятие функции. Способы задания функции.

3. Прямая пропорциональность.

4. Обратная пропорциональность.

studfile.net

Обратная пропорциональность в математике и в жизни

Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две  величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки.  Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x. В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).
3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
5. Непериодическая.
6. Ее график не пересекает оси координат.
7. Не имеет нулей.
8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V₂, которая по условию выше в 2 раза: V₂ = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t₂, которое требуется от нас по условию задачи: t₂ = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч ↑

↓120 км/ч – х ч ↑

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч ↑

↓ 3 рабочих – х ч ↑

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин ↑

↓ х л/мин – 75 мин ↑

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч ↑

↓ 48 визитки/ч – х ч ↑

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru