Умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

• ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
• ${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left( a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
• ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
• ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

\[a{{x}^{2}}+bx+c=0\to a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0\]

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

\[27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\]

\[64{{b}^{3}}={{4}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\]

Перепишем числитель:

\[{{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

\[9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\]

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

• Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
• Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

\[8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2\cdot x+{{x}^{2}} \right)\]

Разберемся со знаменателем последней дроби:

\[4{{x}^{2}}-1={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left( 2-x \right)}=-\frac{3}{2\left( 2-x \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}^{2}}+ab=a\left( a+b \right)\]

\[5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b=5\left( a-b \right)-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\]

\[=5\left( a-b \right)-\left( a-b \right)\left( a+b \right)=\left( a-b \right)\left( 5-1\left( a+b \right) \right)=\]

\[=\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left( {{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]

\[={{\left( a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a\left( b-a+5 \right)}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

Задача № 4

\[\left( {{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left( \frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

\[D=9-4\cdot 9<0\]

Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:

\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]

Числитель выпишем отдельно:

\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]

\[D=4-4\cdot 12<0\]

Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.

Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.

Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:

\[\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]

Все, задача решена.

Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.

Задача № 5

\[\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]

\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь поработаем со второй дробью:

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

1. Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
2. Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
3. Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
4. В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами! 

Смотрите также:

1. Учимся упрощать рациональные выражения и дроби с помощью формул сокращённого умножения.
2. Дробно-рациональные выражения
3. Умножение и деление дробей
4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
5. Как быстро извлекать квадратные корни
6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов

www.berdov.com

Рациональные дроби и их свойства [wiki.eduVdom.com]

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.

Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных — это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной.

Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных, входящих в это равенство.

Свойства действий с рациональными дробями:

Если а, b, с — многочлены, причем многочлен c не равен нулю тождественно, то верно:

Если a, b,c,d- многочлены, причем многочлены b и d тождественно не равны нулю, то верно:

Если a, b, с, d — многочлены, причем многочлены b, с и d тождественно не равны нулю, то верно:

---

Пример 1. Сократите дробь $\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1}$

Решение:
$\frac{x^2-2xy+y^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y)^2-1}{x-y+1} = \frac{(x-y-1)(x-y+1)}{x-y+1} = x-y-1 $

Ответ: х-у-1.

---

Пример 2. Упростите выражение $\frac{2x^2-5}{(x-5)^3} — \frac{45}{(x-5)^3}$

Решение:
$\frac{2x^2-5}{(x-5)^3} — \frac{45}{(x-5)^3} = \frac{2x^2-5-45}{(x-5)^3} = \frac{2(x^2-25)}{(x-5)^3} = \frac{2(x^2-5^2)}{(x-5)^3} = $
$= \frac{2(x-5)(x+5)}{(x-5)(x^2+5x+25)} = \frac{2(x+5)}{x^2+5x+25} = \frac{2x+10}{x^2+5x+25}$

Ответ: $\frac{2x+10}{x^2+5x+25}$

---

Пример 3. Упростите выражение $(\frac{3a^2}{a-b} — \frac{3b^2}{a+b}) \cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2}$

Решение:
$(\frac{3a^2}{a-b} — \frac{3b^2}{a+b}) \cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2} = \frac{3a^2(a+b) — 3b^2(a-b)}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{4(a+b)^2} =$
$= \frac{3a^3+3a^2b-3ab^2-3b^3}{4(a+b)^2} = \frac{3(a^3-b^3)+3ab(a-b)}{4(a+b)^2} = \frac{3(a-b)(a^2+ab+b^2)+3ab(a-b)}{4(a+b)^2} =$
$= \frac{3(a-b)(a^2+2ab+b^2)}{4(a+b)^2} = \frac{3}{4}a — \frac{3}{4}b = 0,75(a-b)$

Ответ: 0,75(a-b)

---

Пример 4. Выполните деление: $\frac{x^2-3x}{2y^2} : \frac{x-3}{4y}$

Решение:
$\frac{x^2-3x}{2y^2} : \frac{x-3}{4y} = \frac{x(x-3)\cdot 4y}{2y^2(x-3)} = \frac{2x}{y}$

Ответ: $\frac{2x}{y}$

wiki.eduvdom.com

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

2. Найдите общий знаменатель дробей.

3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

6. Решите полученное уравнение.

7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) ОДЗ:   \(x-2≠0⇔x≠2\) \(x+2≠0 ⇔x≠-2\) \(x^2-4≠0⇔ x≠±2\)		Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.
\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)		По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).
\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} — \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)		Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.
\(x(x+2)-7(x-2)=8\)		Раскрываем скобки
\(x^2+2x-7x+14=8\)		Приводим подобные слагаемые
\(x^2-5x+6=0\)		Решаем полученное квадратное уравнение.
\(x_1=2;\)            \(x_2=3\)		Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\) \(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем   квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на  множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)		Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)		Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Раскрываем скобки
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Приводим подобные слагаемые
\(2x^2+9x-5=0\)		Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Смотрите также:
Дробно-рациональные  неравенства

Скачать статью

cos-cos.ru

Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях

На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование. 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях

Определение

Рациональное выражение – это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.

Рассмотрим пример рационального выражения:

.

Частные случаи рациональных выражений:

1. степень: ;

2. одночлен: ;

3. дробь: .

Преобразование рационального выражения – это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).

Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.

Пример 1

Решение:

Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.

Ответ:

Пример 2      

Решение:      

Ответ:

Пример 3

Решение:

Ответ: .

Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.

.

Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.

На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования, а также несколько конкретных примеров данных преобразований.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Интернет портал xenoid.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. №№91-95. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Выполнить действия: а), б) .

3. Выполнить действия: а) , б) .

4.  Упростить выражение:

.

interneturok.ru

Дробно-рациональные выражения. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Многие задачи в современном мире решаются с использованием большого количества компьютерных вычислений. Скорость вычислений напрямую зависит от эффективности алгоритма, который использует компьютер. Чем меньше операций нужно выполнить для решения конкретной задачи, тем эффективнее алгоритм. Чтобы вычислить значение следующего выражения, нужно сделать 29 операций:

А значение выражения  можно найти, выполнив всего лишь одну. Но, оказывается, исходное выражение эквивалентно выражению

 (при условии, что ):

Это значит, что с помощью эквивалентных преобразований его можно упростить и привести к виду . В этом мы сейчас убедимся, изучив технику преобразования дробно-рациональных выражений.

Работа любого механизма – будь то часы, смартфон или крупная корпорация – всегда зависит от работоспособности составляющих его частей. Точность механических часов обеспечивается слаженной работой всех шестерёнок, и если хотя бы одна из них будет с дефектом, то весь механизм окажется бракованным. При этом по отдельности любая из шестерёнок кажется бесполезной – по ней время не определишь.

Похожая ситуация может возникнуть и при изучении математики: многие уроки и даже целые темы могут по отдельности казаться ненужными и бесполезными. Но не стоит забывать, что всё это – составляющие единого механизма, который позволяет нам решать множество прикладных задач: от бытовых до экономических и технологических.

Математической моделью для решения многих задач являются уравнения или их системы. Для того чтобы решать уравнения (причём решать быстро и эффективно – о чём мы только что говорили), нужно уметь упрощать различные математические конструкции. Мы уже умеем работать с многочленами: приводить подобные слагаемые, раскладывать на множители, работать с формулами сокращённого умножения. Всё это мы научились применять для упрощения целых алгебраических выражений, т.е. выражений, которые могут содержать операции сложения, вычитания и умножения чисел и переменных, а также операцию деления на число. Например:

Сегодня мы поговорим о том, как упрощать дробно-рациональные выражения. Они отличаются от целых выражений тем, что содержат операции деления на переменные. Например:

Как упрощать такие выражения? Для выполнения любой задачи нужна чёткая последовательность действий – алгоритм. Конечно, можно действовать наугад, как при поиске выхода из лабиринта. Но, чтобы выйти наверняка, лучше подыскать верный алгоритм – например, идти так, чтобы правая рука не отрывалась от стенки.

Для работы с выражениями, содержащими дроби, вы уже знаете все необходимые алгоритмы:

1. Сокращение дробей – дробь можно упростить, разложив на множители её числитель и знаменатель и сократив одинаковые множители:

2. Для сложения и вычитания дробей нужно привести их к общему знаменателю:

3. Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели:

Соответственно, при возведении дроби в степень необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель:

4. Деление дробей – чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на обратную дробь:

Эти алгоритмы можно применить и для дробей, содержащих переменные. При этом нам понадобятся уже полученные навыки действий с многочленами (в частности, разложения многочленов на множители).

Вспомнив, как работать с обычными дробями и многочленами, вы без труда справитесь с упрощением дробно-рациональных выражений. Естественно, мы ещё потренируемся делать это на конкретных примерах. Но прежде обратим внимание на важный момент.

Работая с любым объектом, нужно знать границы его применимости. Для этого и существуют инструкции. В инструкциях к лекарственным препаратам, например, указывают, в каких ситуациях их следует применять, а в каких, наоборот, категорически запрещено.

Можно привести и более близкий к математике пример: нельзя сложить принципиально разные величины – 2 кг и 3 см. Точнее, сложить можно, только вот результат вряд ли будет нести для нас какой-то смысл.

Если говорить о числах, то сложить, вычесть или умножить можно любые два действительных числа – в результате снова получится действительное число. Поэтому при работе с целыми алгебраическими выражениями у нас не возникало никаких ограничений, переменные могли принимать любые значения. При этом даже если в выражении встречалось деление (например, ), то, по определению целого выражения, в знаменателе стояло конкретное число (не переменная) и мы точно знали, что оно не будет равняться 0.

Действительно, деление – операция с ограничением: деление на 0 не определено. В дробно-рациональных выражениях в знаменателе может встречаться переменная. Поэтому при каких-то значениях переменной знаменатель выражения может обратиться в 0, т.е. выражение при таком значении переменной будет не определено, его значение нельзя будет вычислить. Например, в выражении  переменная  может принимать любые значения, кроме 2, поскольку при  знаменатель обращается в 0 и значение выражения найти нельзя.

Все значения переменной, при которых выражение будет определено (можно вычислить его значение), называются областью допустимых значений (сокращённо – ОДЗ).

В нашем примере ОДЗ: .

Пока единственным источником недопустимых значений переменных (которые не войдут в ОДЗ) для нас будут только знаменатели дробей, которые входят в выражение – они не должны равняться 0. В дальнейшем мы встретим и другие ограничения на значения переменных, которые встречаются в различных алгебраических выражениях.

Чтобы после упрощения получилось выражение, эквивалентное исходному, необходимо, чтобы ОДЗ переменных в обоих выражениях была одинаковой. Рассмотрим подробнее на примере.

 

Пример 1. Упростить выражение:

Решение

Знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. ОДЗ: .

Упростим выражение (вспомним ФСУ: ):

После упрощения мы получили, на первый взгляд, эквивалентное выражение. Кажется, что переменная может принимать любые значения. Но давайте подставим в оба выражения . Поскольку они эквивалентны, мы должны получить один и тот же результат:

В чём же дело, почему результаты разные? А дело в том, что ОДЗ должна остаться неизменной. Т.е., получив выражение, нужно ещё указать, что . Поэтому не забывайте об ОДЗ при упрощении дробно-рациональных выражений и решении соответствующих уравнений.

Ответ: .

Как мы уже упоминали, для упрощения выражения с дробями можно использовать 4 основные действия:

1. сокращение дроби,
2. сложение/вычитание дробей,
3. умножение и возведение дробей в степень,
4. деление дробей.

Давайте вспомним, как нужно поступать с обыкновенными дробями в каждом из этих случаев, и применим эти же алгоритмы для дробно-рациональных выражений.

Алгоритм действий при сокращении числовой дроби:

a. разложить числитель и знаменатель на простые множители,

b. сократить одинаковые множители.

Пример:

 

---

 

Другой способ сокращения дроби

Возможно, вы задались вопросом: зачем раскладывать на простые множители? Можно ведь увидеть, что оба числа чётные, и сократить дробь на 2: .

Дальше заметим, что оба числа делятся на 6, это уже видно и из таблицы умножения. Сократив на 6, получим: .

Снова числа чётные, сократив на 2, получим всё тот же ответ: .

Да, такой способ решения возможен. Но это подбор: по некоторым признакам угадывать, на что можно сократить дробь. Во-первых, для такого подхода нет алгоритма (вспомните пример с выходом из лабиринта наугад и по определённой схеме), а во-вторых, нет гарантии, что таким образом мы сможем максимально сократить дробь. Чтобы прийти к конечной цели, нужен чёткий алгоритм. Разложение на простые множители и дальнейшее сокращение как раз являются шагами такого алгоритма.

---

При работе с дробно-рациональными выражениями необходимо разложить числитель и знаменатель на простые множители. Но не в том смысле, что это будут простые числа, а в том, что полученные множители должны быть как можно проще, т.е. многочленами как можно меньшей степени.

Мы много тренировались раскладывать многочлены на множители и вот теперь сможем применить эти навыки для упрощения дробно-рациональных выражений. Если забыли, как выносить общий множитель, группировать слагаемые или применять ФСУ, то рекомендуем посмотреть урок (Разложение многочленов на множители).

Пример 2. Сократить дробь .

Решение

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе можно увидеть разность квадратов  и использовать ФСУ:

Мы уже разложили числитель на множители. Получились многочлены второй степени. Можно ли их упростить и получить произведение многочленов первой степени? Первый множитель разложить не удаётся, а вот во втором снова можно увидеть формулу сокращённого умножения (ФСУ). Тогда .

Перейдём к знаменателю. В нём можно увидеть другую ФСУ – полный квадрат суммы :

Получаем:

Видим одинаковые множители  в числителе и знаменателе, на них можно сократить:

Задание почти выполнено. Нам осталось проверить, что ОДЗ исходного и полученного выражений совпадает. Действительно, в знаменателе исходного выражения:

И в знаменателе полученного выражения: . То есть полученное выражение действительно эквивалентно исходному.

Ответ: .

Чаще всего в задачах на упрощение дробно-рациональных выражений делается оговорка: «упростить выражение при всех допустимых значениях переменных». Это означает, что можно заниматься только эквивалентными преобразованиями, не обращая внимания на ОДЗ, подразумевается, что переменные ограничены общим ОДЗ как для исходного, так и для упрощённого выражения. В дальнейшем, если не оговорено иное, в этом уроке мы будем упрощать выражения при всех допустимых значениях переменных.

При поиске одинаковых множителей нужно быть внимательным, ведь слагаемые в них могут быть переставлены местами. Попробуйте найти одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби: .

Нашли? Действительно, , так что эти два множителя одинаковые и их можно сократить:

Кроме того, множители могутотличаться знаком. Так говорят о выражениях, в одном из которых можно заменить знаки на противоположные и получить второе выражение. Например,  и . Переставив слагаемые во втором множителе местами, получим:. Если заменить все знаки на противоположные, то мы получим :

Итак, если вы нашли множители, которые отличаются знаком, нужно в одном из них вынести знак минус за скобки, а затем уже сократить. Например:

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого мы будем пользоваться уже известным нам алгоритмом:

1. разложить на простые множители знаменатели дробей,
2. найти общие множители в знаменателях дроби,
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители, чтобы знаменатели стали одинаковыми,
4. сложить (вычесть) числители дробей, знаменатель оставить прежним.

 

Пример 3. Выполнить вычитание:

Решение

Общие множители  В первой дроби не хватает множителя , во второй – множителей :

Ответ: .

При работе с дробно-рациональными выражениями алгоритм абсолютно такой же. При этом не стоит забывать, что общие множители знаменателей могут отличаться знаком и порядком слагаемых.

 

Пример 4. Выполнить вычитание:

Решение

Раскладываем знаменатели на множители:

Во второй дроби разложим знаменатель методом группировки:

Получаем:

Отметим общие множители  и  – они отличаются лишь порядком слагаемых.

Тогда умножаем числители и знаменатели дробей на недостающие множители  и :

Знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

Ответ: .

Мы выполнили вычитание. Полученное выражение можно ещё упростить, проверив, сократится ли дробь. Подробнее об упрощении этой дроби ниже.

 

---

 

Упрощение дроби

Пример 1. Упростить выражение:

Решение

Знаменатель уже разложен на множители, осталось разложить на множители числитель.

Сейчас в числителе  слагаемых, они

interneturok.ru

Решение целых и дробно рациональных неравенств

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1, 2, 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x>4 x3+2·y≤5·(y−1)·(x2+1)2·xx-1≥1+11+3x+3·x2

А вот неравенство вида 5+x+1<x·y·z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Определение 2

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Определение 3

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида

zaochnik.com

Решение рациональных уравнений

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Определение 1

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

1. В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
2. Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
3. Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
4. Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Пример 1

Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Пример 2

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x^2 — 3x+x-5 = x+5$

$x^2-3x-10=0$

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$x_2=-2$:

$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$

$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$

$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

$x_1=5$:

$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Пример 3

Решите уравнение:

$\frac{1}{x^2+3x-3}+\frac{2}{x^2+3x+1}=\frac{7}{5}$

Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:

$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$

$15t-25=7t^2-14t-21$

$7t^2-29+4=0$

Через дискриминант вычислим корни:

$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

$x^2+3x=4$ и $x^2+3x=\frac{1}{7}$.

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

• Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
• Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

• Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
• Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0…P_n(x)=0$.

Пример 4

Решите уравнение: $x^3+2x^2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

$x^2(x+2)+3(x+2)=0$

$(x+2)(x^2+3)=0$

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x^2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Определение 2

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Пример 5

Решите уравнение:

$x^3+4x^2-24=0$

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

spravochnick.ru