Вы можете пройти тест «Простейшие иррациональные уравнения»

Как решать более сложные иррациональные уравнения, которые могут встретиться во второй части С ЕГЭ, смотрите здесь.

egemaximum.ru

Иррациональные уравнения

Факт 1.
\(\bullet\) Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
\(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (второй степени): ОДЗ данного уравнения – это \(f(x)\geqslant 0\) (так как под квадратным корнем не может стоять отрицательное выражение).
Вспомним, что квадратный корень из числа не может быть равен отрицательному числу. Следовательно, если \(g(x)<0\), то уравнение не будет иметь решений.
Таким образом, только при условии \(g(x)\geqslant 0\) уравнение может иметь решения.
Значит: \[\sqrt{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^2(x)\\ g(x)\geqslant 0\quad \text{— условие, при котором уравнение может иметь решения}\\ f(x)\geqslant 0\quad \text{— ОДЗ} \end{cases}\] Замечание*: условие \(f(x)\geqslant 0\) на самом деле автоматически выполняется в данной системе (потому что \(f=g^2\), а квадрат любого выражения всегда \(\geqslant 0\), следовательно, и \(f\geqslant 0\)), поэтому его можно отбросить. Данным замечанием пользоваться не обязательно, тем более, если вы не чувствуете уверенности в том, что не допустите ошибок (то есть не перепутаете \(g\) с \(f\)).   Пример: решить уравнение \(\sqrt{x+3,25}=-1,5x\).
Решение.
Не используя замечание*, ОДЗ нашего уравнения: \(x+3,25\geqslant 0\), условие, при котором уравнение может иметь решения: \(-1,5x\geqslant 0\).
Зафиксировав эти условия, можно возвести обе части уравнения в квадрат, тогда мы получим: \[x+3,25=(-1,5x)^2\quad\Leftrightarrow\quad x+3,25=2,25x^2\quad \Leftrightarrow\quad 2,25x^2-x-3,25=0\] Для того, чтобы “не мучиться” с десятичными дробями, предлагаем перевести их в рациональные (тогда все вычисления станут проще). Так как \(0,25=\frac14\), то \(2,25=2+\frac14=\frac94\). Аналогично \(3,25=\frac{13}4\). Тогда получаем уравнение: \[\dfrac94x^2-x-\dfrac{13}4=0 \ \Big|\cdot 4\quad\Leftrightarrow\quad 9x^2-4x-13=0\] Дискриминант \(D=4^2+4\cdot 9\cdot 13=484=22^2\). Следовательно, корни \[\begin{aligned} &x_1=\dfrac{4+22}{2\cdot 9}=\dfrac{13}9\\[2ex] &x_2=\dfrac{4-22}{2\cdot 9}=-1\end{aligned}\] Проверкой убеждаемся, что корень \(x=\frac{13}9\) не подходит в неравенство \(-1,5x\geqslant 0\), следовательно, не является корнем нашего уравнения. А вот корень \(x=-1\) подходит под оба неравенства. Следовательно, ответ: \(x=-1\).   \(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (третьей степени): Данное уравнение имеет решения при любых значениях \(f(x)\) и \(g(x)\). Таким образом, на ОДЗ данного уравнения нет никаких ограничений, то есть ОДЗ – это \(x\in\mathbb{R}\).
Таким образом, \[\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=g^3(x)\] Пример: решить уравнение \(\sqrt[3]{x^2+3}=2\).
Решение.
Решим уравнение: \[x^2+3=2^3\quad\Leftrightarrow\quad x^2=8-3=5\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \sqrt5\] Таким образом, данное уравнение имеет два решения \(x=-\sqrt5\) и \(x=\sqrt5\).  

Факт 2.
На самом деле, схема решения простейших иррациональных уравнений четных степеней такая же, как и для уравнений второй степени, а для уравнений нечетных степеней – такая же, как и для уравнений третьей степени.
Например, уравнение \(\sqrt[4]{x^4+x}=x\) решается так: \[\sqrt[4]{x^4+x}=x \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^4+x=x^4\\ x\geqslant 0\\ x^4+x\geqslant0 \quad \text{(необязательное неравенство)} \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ x\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Уравнение \(\sqrt[7]{x^3+3}=2\) решается так: \[\sqrt[7]{x^3+3}=2\quad\Leftrightarrow\quad x^3+3=2^7\quad \Leftrightarrow\quad x^3=128-3=125\quad\Leftrightarrow\quad x=5\]

shkolkovo.net

Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»

Тема урока: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем».

Регламент: 90мин

Цели урока:

— образовательные:

• закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;

• Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;

— развивающиеся:

• формировать приемы логического мышления;

• развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

• развивать коммуникативные умения;

• развивать интерес к предмету.

-воспитательные:

• воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

• эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

Обеспечение урока:

— техническое:

ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.

— учебно-методическое:

учебники:

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

Ход урока

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания (фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях).

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения». Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

1. Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

2. О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:

4) В следующих случаях восстановите запись:

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление материала: (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А₁(х)А₂(х)А₃(х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А₁(х)=0,А₂(х)=0,А₃(х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

3).Уравнение вида

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).

ПРИМЕР 1.

Решим уравнение (х² — 5х + 6) (х² + х — 2) = 0.

Уравнение распадается на два уравнения.

х² — 5х + 6 = 0 х₁ = 2 и х₂ = 3

х² + х — 2 = 0. х₃ = -2 и х₄ = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х₁= 2, х₂ = 3, х₃= -2, х₄ =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2. Решим уравнение х³-7х+6=0.

х³-х-6х+6=0

х(х²-1)-6(х-1)=0

х(х-1)(х+1)-6(х-1)=0

(х-1)(х(х+1)-6)=0

(х-1)(х²+х-6)=0

х-1=0 , х₁=1; х²+х-6=0, х₂=2,х₃=-3. Ответ:1;2;-3.

ПРИМЕР 3.

Решим уравнение

Сначала решим уравнение

х² + 4х — 21 = 0. х₁ = 3 и х₂ = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х₁²— х₁ -6 = 9-3-6 = 0,

х₂²— х₂ — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х₂ =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.

ПРИМЕР 4.

Решим уравнение

Решим уравнение

х² — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

х² + 2х — 15 = 0

х₁ = -5 и х₂ = 3.

Число х₁ не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

ПРИМЕР 5.

Решим уравнение х⁸ + 4х⁶ -10х⁴ + 4х²+ 1 = 0.

Число х₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х⁴ + 4х² — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х⁴ +=t²-2 ,

получаем t ² + 4t — 12 = 0, х₁ = 2 и х₂= -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).

Пример 1.Решите уравнение

Ответ:3

Пример 2.Решите уравнение

Ответ:

Пример 3.Решите уравнение

Ответ:

Замена переменных

Пример 4.Решите уравнение

Пусть

Тогда

Следовательно,

Ответ:6

Пример 5.Решите уравнение

Пусть

Решим систему:

Получаем

Возведем обе части последнего уравнения в куб

Ответ:

Пример 6.Решите уравнение

Пусть

Уравнение примет вид:

4х²+5ах-44а²=0

Решаем относительно х:

D=25х²+16*44а²=729а²

Х₁=11/4а и х₂=-4а

Рассмотрим случаи:

1. Если х=-4а, тогда

2. Если х=11/4а, тогда

Ответ:11 и -4.

2.4. Решение уравнений и неравенств с последующей проверкой:

3. Итог урока. Оценка деятельности (выставление оценок, оценка работы обучающихся).

4. Домашнее задание: №30.2(в,г), № 30.13(а), 33.2(г) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

infourok.ru

Лекция по математике. Тема: «Иррациональные уравнения»

Приложение 1

Изучение нового материала

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

  Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

 При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                        ,               

при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

         Если  n— нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

.

         Если n — четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): . Уравнение  в этом случае равносильно системе:

.

 Пример 1. 

Решить  уравнение .

Решение.  Так как n=2  — четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:

Ответ: 28

 Пример 2. 

Решить уравнение .

Решение. Так как в данном примере n=3 — нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   .

Ответ: .

 Пример 3. 

Решить  уравнение .

Решение.  Так как n=2 — четное, то исходное уравнение равносильно системе:

Ответ: .

Уравнения вида , решаются следующим образом:

n – нечетное  

n — четное  или .

  Пример 4. 

Решить уравнение:

Ответ: 0,6

Пример 5. 

Решить уравнение:  

Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что  получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

 Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

 Пример 6. 

Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде: . Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

.

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:

.

Ответ: .

         Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

 Пример 7. 

 Решить уравнение .

Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде  и введем «новую» переменную:

, .

Получим .

Вернемся к «старым» переменным или . Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа 

Ответ: .

         Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

 Пример 8. 

Решить уравнение .

Решение. Пусть  и . Тогда . С другой стороны . Получаем систему

.

Решим последнее уравнение системы:

.

Получим, что , а тогда . По условию , следовательно исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

       При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

 Пример 9. 

Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:

.

Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

 Пример 10. 

Решить уравнение .

Решение. Один корень данного уравнения  легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде .

         По свойству степенных функций функции  и  являются возрастающими на промежутке , где они обе определены. Поэтому их сумма  на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

Ответ: .

infourok.ru

2.1.3 Иррациональные уравнения

Видеоурок 1: Иррациональные уравнения

Видеоурок 2: Иррациональные уравнения. Использование свойств функций

Лекция: Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, которые содержат иррациональные выражения. 

В школьном курсе математики рассматриваются рациональные уравнения, которые содержат корни различных степеней.

Решение иррациональных уравнений сводиться к рациональным. Более того, хочется сказать, что все уравнения сводятся к элементарным с помощью различного рода преобразований или хитростей.

Во время решения иррациональных уравнений важно помнить:

1. Выражения, стоящие под корнем четной степени, никогда не могут получиться отрицательными. Поэтому некоторые уравнения можно даже не решать. Например:

В данном уравнении нет смысла, при любых значениях переменной, равенство верным быть не может, поскольку правая часть уравнения не может быть отрицательной.

2. Первым делом при решении уравнений, которые имеют корни четной степени, необходимо определить ОДЗ. Область определения — это диапазон, в который могут входить корни уравнения. Если корни в него не входят, то они не удовлетворяют условию, и считаются посторонними.

3. Чтобы быть уверенными, что корни найдены правильно, необходимо совершить проверку, подставив их в исходное уравнение.

Способы решения уравнений, содержащих иррациональность:

1. Возведение правой и левой части уравнения в степень корня. Этот способ позволяет избавиться от иррациональности. Но прежде, чем откинуть корень, проверьте ОДЗ.

2. Если в одной из частей уравнения находится сумма или разность корней, то оптимальным вариантом является изолирование их с помощью знака равно. После этого пользуемся предыдущим правилом до тех пор, пока не избавимся от иррациональности.

3. Если Вы имеете уравнение вида:

То для его решения необходимо найти наименьшее общее кратное степеней корня и возвести обе части уравнения в эту степень. Таким образом, Вы избавитесь от иррациональности.

cknow.ru

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств

методические рекомендации для учащихся

Составитель

преподаватель математики

Мочалова Е.В.

Иваново 2015

Составители: Мочалова Е.В. – преподаватель математики

От авторов-составителей: Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем на уроках математики являются иррациональные уравнения и неравенства. В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать для успешного решения иррациональных уравнений и неравенств. Приведены подробные примеры решения некоторых уравнений и неравенств. Подобраны задания для самостоятельного решения и тест для проверки усвоения теоретических основ. Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном изучении и повторении данной темы.

Часть I. Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменные или рациональные функции находятся под знаком корня.

Примерами таких уравнений могут служить:

Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так же, как и для рациональных.

Умение решать иррациональные неравенства может пригодиться на практике. Попробуйте определить глубину ущелья, замерив время падения камня (см. рис.1).

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.

Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых действительных значениях подкоренного выражения.

Функции и являются возрастающими на своей области определения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

2) не имеет решений, т.к. сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только если каждое выражение равно нулю, а данные выражения одновременно в ноль не обращаются.

3) Выражение определено при , а выражение определено при . Следовательно, не существует x, при котором оба выражения имеют смысл, поэтому уравнение решений не имеет.

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Но следует помнить, что подобное преобразование не всегда является равносильным. т.е. необходима проверка корней.

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 2. Решим уравнение  

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x₁=0; x₂=1; x₃=2

Ответ: {0;1;2}

2.Причина появления посторонних корней.

Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении:

Теорема.

Если n>0 — нечетное число (n=2k+1), то уравнения fⁿ(x)=gⁿ(x) и f(x)=g(x) равносильны.

Если n>0 — четное число (n=2k), то любой корень уравнения fⁿ(x)=gⁿ(x) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: f(x)=g(x) и f(x)=-g(x).

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем, то могут появиться «посторонние» корни уравнения.

Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней:

а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.

3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно производить следующим образом:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

4.Проверка корней.

Проверка корней подстановкой найденного значения в исходное уравнение сама по себе может оказать сложной задачей. Однако, чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Иногда возможна проверка корней по ОДЗ уравнения.

При решении иррациональных уравнений удобно и полезно следующие утверждения:

Системе / совокупности систем уравнений

Одной из равносильных систем:

или

Выбирается та система, в которой проще неравенство.

Пример 3.

<=>

Ответ: 3.

b) <=> <=> <=> <=> x=2.  Ответ: 2

5.Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Пусть f и g — некоторые функции, к- целое число, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 “слева–направо”, приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного.

В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразование уравнений с формальным использованием формул 1-5 “справа – налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.

Так, например, если заменить уравнение (ОДЗ: ) уравнением (ОДЗ: ), то произойдет сужение ОДЗ исходного уравнения и потеря корня x=-1.

 Пример 4.

a) <=> <=>

<=>

 <=> <=> <=>

<=> <=>

Ответ: 3; 1,4 .

b) <=>

<=> <=> <=> x=6,5 ∨ x=-3,5

Ответ: 6,5 ; -3,5.

6. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 5. 

a)

Пусть тогда исходное уравнение примет вид: корни которого y=6 и . Решая уравнение , получаем x=3 и x=-4,5.

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

b)

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются y=1 и y=-2

Осталось решить совокупность двух уравнений:

<=> <=> <=> x=0

Ответ: {0}

7. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 6.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 7.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения 2x+4=0 т.е. число x=-2 при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: {-2}.

8. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула .

Пример 8.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим, что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

Часть II. Иррациональные неравенства и методы их решения.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Рассмотрим решение неравенства вида  .

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным – тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида  равносильно системе неравенств: .

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа:  .

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие: g(x)>0.

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: f(x)<(g(x))² .

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: .

Итак, неравенство вида   равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство   равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа:  .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

если g(x)<0, то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при .

если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида  равносильно совокупности:

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

Пример 9.

a) Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1. <=>

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2.   Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

b) Решить неравенство:

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1.  <=>

2. <=> <=>

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. 

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

c)

Решение.

Таким образом необходимо рассмотреть два квадратных и одно линейное неравенство. Их решение не представляет никаких сложностей.

Объединением этих неравенств будет {-2} [1/3, 1.5].

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите решение уравнения 

1. 9

2. 12

3. 8

4. 3

2. Иррациональным называется уравнение, где переменная находится:

1. В знаменателе дроби

2. В степени числа

3. Под знаком модуля

4. Под знаком корня

3. Укажите решение уравнения

1. 4

2. -4

3. -4; 4

4. 9

4. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня положительно?

1. Четной

2. Нечетной

3. Четной и нечетной

4. Все существуют

5. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня отрицательно?

1. Четной

2. Нечетной

3. Четной и нечетной

4. Все существуют

6. Укажите решение неравенства .

1. x

2. x<-3

3. x

4. x>-3

7. Укажите решение неравенства .

1. x

2. x<-1/2

3. x

4. -2

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите, какому промежутку принадлежит сумма корней уравнения (или корень, если он один):

2. Укажите количество корней уравнения.

3. Решите неравенства:

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.]: под ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 2008

2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

4. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев и др.;под ред. С.А. Шестакова. — М.: Внешсигма-М, 2007

5. ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения и неравенства / Е.А.Семенко, М.В.Фоменко; под ред. Е.А.Семенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2012

6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. — Ростов-наДону: Легион, 2010.

Ключ к тесту

infourok.ru