Рациональные и иррациональные уравнения – Иррациональные уравнения. Подробная теория с примерами.

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1.

.

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного

.

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.

. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень , то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство

, то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и

. Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени
, т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида

При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются

и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

6. Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

studfile.net

Разбор основных типов простейших иррациональных уравнений

В Заданиях №5 ЕГЭ по математике проверяется умение решать простейшие
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические,
тригонометрические уравнения.

Сейчас мы рассмотрим основные типы простейших ирррациональных уравнений, которые могут встретится на ЕГЭ.

Загляни сюда, – вдруг узнаешь себя!

Задание 1.

Найдите корень уравнения \sqrt{52-6x}=4.

Решение: + показать

\sqrt{52-6x}=4\; \Leftrightarrow\;52-6x=16\; \Leftrightarrow\;6x=36\; \Leftrightarrow\;x=6.

Ответ: 6. 

 

Задание 2.

Найдите корень уравнения: \sqrt{-56-15x}=-x. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение: + показать

Заметим, так как левая часть уравнения неотрицательная, то и правая часть неотрицательна, то есть -x\geq 0. Эта информация заложена в уравнении, мы ее должны сохранить:

\sqrt{-56-15x}=-x\; \Leftrightarrow\; \begin{cases} -56-15x=x^2,& &-x\geq 0; \end{cases}

Обратите внимание! Мы вовсе не забыли сказать, что -56-15x\geq 0, об этом у нас сказано в первой строке системы!

\begin{cases} x^2+15x+56=0,& &x\leq 0; \end{cases}

\begin{cases} x=\frac{-15\pm\sqrt{225-4\cdot 56}}{2},& &x\leq 0; \end{cases}

\begin{cases} x=\frac{-15\pm 1}{2},& &x\leq 0; \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} x=-8, &x=-7; \end{gathered} \right& &x\leq 0; \end{cases}

Значит, x=-8  или x=-7.

Наименьший из корней – это -8.

Ответ: -8. 

Задание 3.

Решите уравнение  \sqrt{\frac{1}{9-x}}=0,2.

Решение: + показать

\sqrt{\frac{1}{9-x}}=0,2\; \Leftrightarrow\;\frac{1}{9-x}=0,04\; \Leftrightarrow\;9-x=1:0,04\; \Leftrightarrow

\Leftrightarrow\;9-x=\frac{100}{4}\; \Leftrightarrow\;9-x=25\; \Leftrightarrow\;x=-16.

Ответ: -16. 

Задание 4.

Решите уравнение: \sqrt[3]{x+2}=-2.

Решение:  + показать

Возводим обе части равенства в куб, получаем равносильное уравнение:

\sqrt[3]{x+2}=-2\; \Leftrightarrow\;x+2=-8\; \Leftrightarrow\;x=-10.

Ответ: -10. 

Задание 5.

Решите уравнение: \sqrt{x^2-8}=\sqrt{-2x}.

Решение:  + показать

Возводим обе части уравнения в квадрат, при этом не забываем указать ОДЗ!

ОДЗ для данного уравнения: x^2-8\geq 0 и -2x\geq 0.

Но поскольку выражения x^2-8, -2x у нас будут приравниваться, мы можем указать только одно неравенство из двух. Конечно, нам выгодно взять неравенство попроще, то есть -2x\geq 0.

Имеем:

\begin{cases} x^2-8=-2x,& &-2x\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x^2+2x-8=0,& &x\leq 0; \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} x=2, &x=-4; \end{gathered} \right& &x\leq 0; \end{cases}

Откуда x=-4.

Ответ: -4. 

Задание 6.

Решите уравнение: \sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=\sqrt6.

Решение: + показать

ОДЗ данного неравенства:

\begin{cases} x-1\geq 0,& &x+4\geq 0; \end{cases}

То есть x\geq 1.

Возведем в квадрат обе части равенства, учтем ОДЗ. Получим систему, равносильную исходному уравнению:

\begin{cases} (x-1)(x+4)=6,& &x\geq 1; \end{cases}

\begin{cases} x^2+3x-10=0,& &x\geq 1; \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} x=-5, &x=2; \end{gathered} \right& &x\geq 1; \end{cases}\; \Leftrightarrow\;x=2.

Ответ: 2. 

Unknown

 

Вы можете пройти тест «Простейшие иррациональные уравнения»

 

Как решать более сложные иррациональные уравнения, которые могут встретиться во второй части С ЕГЭ, смотрите здесь.

 

 

egemaximum.ru

Иррациональные уравнения

Факт 1.
\(\bullet\) Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
\(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (второй степени): ОДЗ данного уравнения – это \(f(x)\geqslant 0\) (так как под квадратным корнем не может стоять отрицательное выражение).
Вспомним, что квадратный корень из числа не может быть равен отрицательному числу. Следовательно, если \(g(x)<0\), то уравнение не будет иметь решений.
Таким образом, только при условии \(g(x)\geqslant 0\) уравнение может иметь решения.
Значит: \[\sqrt{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^2(x)\\ g(x)\geqslant 0\quad \text{— условие, при котором уравнение может иметь решения}\\ f(x)\geqslant 0\quad \text{— ОДЗ} \end{cases}\] Замечание*: условие \(f(x)\geqslant 0\) на самом деле автоматически выполняется в данной системе (потому что \(f=g^2\), а квадрат любого выражения всегда \(\geqslant 0\), следовательно, и \(f\geqslant 0\)), поэтому его можно отбросить. Данным замечанием пользоваться не обязательно, тем более, если вы не чувствуете уверенности в том, что не допустите ошибок (то есть не перепутаете \(g\) с \(f\)).   Пример: решить уравнение \(\sqrt{x+3,25}=-1,5x\).
Решение.
Не используя замечание*, ОДЗ нашего уравнения: \(x+3,25\geqslant 0\), условие, при котором уравнение может иметь решения: \(-1,5x\geqslant 0\).
Зафиксировав эти условия, можно возвести обе части уравнения в квадрат, тогда мы получим: \[x+3,25=(-1,5x)^2\quad\Leftrightarrow\quad x+3,25=2,25x^2\quad \Leftrightarrow\quad 2,25x^2-x-3,25=0\] Для того, чтобы “не мучиться” с десятичными дробями, предлагаем перевести их в рациональные (тогда все вычисления станут проще). Так как \(0,25=\frac14\), то \(2,25=2+\frac14=\frac94\). Аналогично \(3,25=\frac{13}4\). Тогда получаем уравнение: \[\dfrac94x^2-x-\dfrac{13}4=0 \ \Big|\cdot 4\quad\Leftrightarrow\quad 9x^2-4x-13=0\] Дискриминант \(D=4^2+4\cdot 9\cdot 13=484=22^2\). Следовательно, корни \[\begin{aligned} &x_1=\dfrac{4+22}{2\cdot 9}=\dfrac{13}9\\[2ex] &x_2=\dfrac{4-22}{2\cdot 9}=-1\end{aligned}\] Проверкой убеждаемся, что корень \(x=\frac{13}9\) не подходит в неравенство \(-1,5x\geqslant 0\), следовательно, не является корнем нашего уравнения. А вот корень \(x=-1\) подходит под оба неравенства. Следовательно, ответ: \(x=-1\).   \(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (третьей степени): Данное уравнение имеет решения при любых значениях \(f(x)\) и \(g(x)\). Таким образом, на ОДЗ данного уравнения нет никаких ограничений, то есть ОДЗ – это \(x\in\mathbb{R}\).
Таким образом, \[\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=g^3(x)\] Пример: решить уравнение \(\sqrt[3]{x^2+3}=2\).
Решение.
Решим уравнение: \[x^2+3=2^3\quad\Leftrightarrow\quad x^2=8-3=5\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \sqrt5\] Таким образом, данное уравнение имеет два решения \(x=-\sqrt5\) и \(x=\sqrt5\).  

Факт 2.
На самом деле, схема решения простейших иррациональных уравнений четных степеней такая же, как и для уравнений второй степени, а для уравнений нечетных степеней – такая же, как и для уравнений третьей степени.
Например, уравнение \(\sqrt[4]{x^4+x}=x\) решается так: \[\sqrt[4]{x^4+x}=x \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^4+x=x^4\\ x\geqslant 0\\ x^4+x\geqslant0 \quad \text{(необязательное неравенство)} \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ x\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Уравнение \(\sqrt[7]{x^3+3}=2\) решается так: \[\sqrt[7]{x^3+3}=2\quad\Leftrightarrow\quad x^3+3=2^7\quad \Leftrightarrow\quad x^3=128-3=125\quad\Leftrightarrow\quad x=5\]

shkolkovo.net

Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»

Тема урока: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем».

Регламент: 90мин

Цели урока:

— образовательные:

  • закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;

  • Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;

— развивающиеся:

  • формировать приемы логического мышления;

  • развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

  • развивать коммуникативные умения;

  • развивать интерес к предмету.

-воспитательные:

  • воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

  • эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков.

Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

Обеспечение урока:

— техническое:

ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.

— учебно-методическое:

учебники:

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

Ход урока

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания (фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях).

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения». Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

  1. Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

  2. О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:

4) В следующих случаях восстановите запись:

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление материала: (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А1(х)А2(х)А3(х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А1(х)=0,А2(х)=0,А3(х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

3).Уравнение вида

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).

ПРИМЕР 1.

Решим уравнение 2 — 5х + 6) 2 + х — 2) = 0.

Уравнение распадается на два уравнения.

х2 — 5х + 6 = 0 х1 = 2 и х2 = 3

х2 + х — 2 = 0. х3 = -2 и х4 = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х1= 2, х2 = 3, х3= -2, х4 =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2. Решим уравнение х3-7х+6=0.

х3-х-6х+6=0

х(х2-1)-6(х-1)=0

х(х-1)(х+1)-6(х-1)=0

(х-1)(х(х+1)-6)=0

(х-1)(х2+х-6)=0

х-1=0 , х1=1; х2+х-6=0, х2=2,х3=-3. Ответ:1;2;-3.

ПРИМЕР 3.

Решим уравнение

Сначала решим уравнение

х2 + 4х — 21 = 0. х1 = 3 и х2 = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х12— х1 -6 = 9-3-6 = 0,

х22— х2 — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х2 =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.

ПРИМЕР 4.

Решим уравнение

Решим уравнение

х2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

х2 + 2х — 15 = 0

х1 = -5 и х2 = 3.

Число х1 не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

ПРИМЕР 5.

Решим уравнение х8 + 4х6 -10х4 + 4х2+ 1 = 0.

Число х0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х4 + 4х2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х4 +=t2-2 ,

получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х1 = 2 и х2= -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).

Пример 1.Решите уравнение

Ответ:3

Пример 2.Решите уравнение

Ответ:

Пример 3.Решите уравнение

Ответ:

Замена переменных

Пример 4.Решите уравнение

Пусть

Тогда

Следовательно,

Ответ:6

Пример 5.Решите уравнение

Пусть

Решим систему:

Получаем

Возведем обе части последнего уравнения в куб

Ответ:

Пример 6.Решите уравнение

Пусть

Уравнение примет вид:

2+5ах-44а2=0

Решаем относительно х:

D=25х2+16*44а2=729а2

Х1=11/4а и х2=-4а

Рассмотрим случаи:

  1. Если х=-4а, тогда

  2. Если х=11/4а, тогда

Ответ:11 и -4.

2.4. Решение уравнений и неравенств с последующей проверкой:

3. Итог урока. Оценка деятельности (выставление оценок, оценка работы обучающихся).

4. Домашнее задание: №30.2(в,г), № 30.13(а), 33.2(г) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

infourok.ru

Лекция по математике. Тема: «Иррациональные уравнения»

Приложение 1

Изучение нового материала

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

  Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

 При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                        hello_html_m53199717.gif,               

при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

         Если  n нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

hello_html_m43623a99.gif.

         Если n — четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): hello_html_5648a637.gif. Уравнение hello_html_m53199717.gif в этом случае равносильно системе:

hello_html_m24f4669b.gif.

 Пример 1. 

Решить  уравнение .

Решение.  Так как n=2  — четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:

Ответ: 28

 Пример 2. 

Решить уравнение hello_html_m209aec04.gif.

Решение. Так как в данном примере n=3 — нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   hello_html_2e9e523b.gif.

Ответ: hello_html_m5b5bf0e8.gif.

 Пример 3. 

Решить  уравнение hello_html_604df0f.gif.

Решение.  Так как n=2 — четное, то исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_6671c466.gif

Ответ: hello_html_3c3c56a1.gif.

Уравнения вида hello_html_6b1b055a.gif, решаются следующим образом:

n – нечетное  

n — четное hello_html_60a4430f.gif или hello_html_57b14df6.gif.

  Пример 4. 

Решить уравнение:

Ответ: 0,6

Пример 5. 

Решить уравнение:  

Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что  получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

 Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

 Пример 6. 

Решить уравнение hello_html_67286527.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде: hello_html_444e1684.gif. Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

hello_html_m53d596ad.gif.

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:

hello_html_m2f7a39a9.gif

hello_html_64769945.gif.

Ответ: hello_html_m211c34a4.gif.

         Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

 Пример 7. 

 Решить уравнение hello_html_14eeeb17.gif.

Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде hello_html_m127fc68e.gif и введем «новую» переменную:

hello_html_5d459d78.gifhello_html_m7000ff62.gif.

Получим hello_html_6cbfea27.gif.

Вернемся к «старым» переменнымhello_html_m14733365.gif или hello_html_m1902584a.gif. Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа hello_html_62bc97a6.gif

Ответ: hello_html_m229a8e9b.gif.

         Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

 Пример 8. 

Решить уравнение hello_html_m25019454.gif.

Решение. Пусть hello_html_m6e67414c.gif и hello_html_4591e92b.gif. Тогда hello_html_m5e877ce8.gif. С другой стороны hello_html_m675184d2.gif. Получаем систему

hello_html_780113c7.gif.

Решим последнее уравнение системы:

hello_html_m55fc7537.gif

hello_html_179e7b41.gif.

Получим, что hello_html_404576c0.gif, а тогда hello_html_4703b6e8.gif. По условию hello_html_5298041d.gif, следовательно исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

       При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

 Пример 9. 

Решить уравнение hello_html_3743122f.gif.

Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:

hello_html_6ec3aa39.gif

hello_html_m59ac5c11.gif.

Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

 Пример 10. 

Решить уравнение hello_html_m7d4602d.gif.

Решение. Один корень данного уравнения hello_html_m261a7401.gif легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде hello_html_m43b37ea8.gif.

         По свойству степенных функций функции hello_html_47e76ec3.gif и hello_html_m78bdc090.gif являются возрастающими на промежутке hello_html_m28d7268f.gif, где они обе определены. Поэтому их сумма hello_html_54766ade.gif на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

Ответ: hello_html_m261a7401.gif.

        

infourok.ru

2.1.3 Иррациональные уравнения

Видеоурок 1: Иррациональные уравнения

Видеоурок 2: Иррациональные уравнения. Использование свойств функций

Лекция: Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, которые содержат иррациональные выражения. 

В школьном курсе математики рассматриваются рациональные уравнения, которые содержат корни различных степеней.

Решение иррациональных уравнений сводиться к рациональным. Более того, хочется сказать, что все уравнения сводятся к элементарным с помощью различного рода преобразований или хитростей.

Во время решения иррациональных уравнений важно помнить:

1. Выражения, стоящие под корнем четной степени, никогда не могут получиться отрицательными. Поэтому некоторые уравнения можно даже не решать. Например:

В данном уравнении нет смысла, при любых значениях переменной, равенство верным быть не может, поскольку правая часть уравнения не может быть отрицательной.

2. Первым делом при решении уравнений, которые имеют корни четной степени, необходимо определить ОДЗ. Область определения — это диапазон, в который могут входить корни уравнения. Если корни в него не входят, то они не удовлетворяют условию, и считаются посторонними.

3. Чтобы быть уверенными, что корни найдены правильно, необходимо совершить проверку, подставив их в исходное уравнение.

Способы решения уравнений, содержащих иррациональность:

1. Возведение правой и левой части уравнения в степень корня. Этот способ позволяет избавиться от иррациональности. Но прежде, чем откинуть корень, проверьте ОДЗ.

2. Если в одной из частей уравнения находится сумма или разность корней, то оптимальным вариантом является изолирование их с помощью знака равно. После этого пользуемся предыдущим правилом до тех пор, пока не избавимся от иррациональности.

3. Если Вы имеете уравнение вида:

То для его решения необходимо найти наименьшее общее кратное степеней корня и возвести обе части уравнения в эту степень. Таким образом, Вы избавитесь от иррациональности.


cknow.ru

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Решение иррациональных уравнений и неравенств

методические рекомендации для учащихся

hello_html_m16c5b6e2.jpg

Составитель

преподаватель математики

Мочалова Е.В.

Иваново 2015

Составители: Мочалова Е.В. – преподаватель математики

От авторов-составителей: Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем на уроках математики являются иррациональные уравнения и неравенства. В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать для успешного решения иррациональных уравнений и неравенств. Приведены подробные примеры решения некоторых уравнений и неравенств. Подобраны задания для самостоятельного решения и тест для проверки усвоения теоретических основ. Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном изучении и повторении данной темы.

Часть I. Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменные или рациональные функции находятся под знаком корня.

Примерами таких уравнений могут служить:hello_html_249ff579.png

hello_html_m68686c55.gif

Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так же, как и для рациональных.

Умение решать иррациональные неравенства может пригодиться на практике. Попробуйте определить глубину ущелья, замерив время падения камня (см. рис.1).

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.

Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых действительных значениях подкоренного выражения.

Функции и являются возрастающими на своей области определения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

2) не имеет решений, т.к. сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только если каждое выражение равно нулю, а данные выражения одновременно в ноль не обращаются.

3) Выражение определено при , а выражение определено при . Следовательно, не существует x, при котором оба выражения имеют смысл, поэтому уравнение решений не имеет.

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Но следует помнить, что подобное преобразование не всегда является равносильным. т.е. необходима проверка корней.

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 2. Решим уравнение  

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x1=0; x2=1; x3=2

Ответ: {0;1;2}

2.Причина появления посторонних корней.

Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении:

Теорема.

Если n>0 — нечетное число (n=2k+1), то уравнения fn(x)=gn(x) и f(x)=g(x) равносильны.

Если n>0 — четное число (n=2k), то любой корень уравнения fn(x)=gn(x) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: f(x)=g(x) и f(x)=-g(x).

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем, то могут появиться «посторонние» корни уравнения.

Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней:

а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.

3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно производить следующим образом:

  1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

  2. Перейти от уравнения к его следствию.

  3. Найти корни полученного уравнения.

  4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

4.Проверка корней.

Проверка корней подстановкой найденного значения в исходное уравнение сама по себе может оказать сложной задачей. Однако, чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Иногда возможна проверка корней по ОДЗ уравнения.

При решении иррациональных уравнений удобно и полезно следующие утверждения:

Равносильно

Системе / совокупности систем уравнений

Одной из равносильных систем:

или

Выбирается та система, в которой проще неравенство.

Пример 3.

<=>

Ответ: 3.

b) <=> <=> <=> <=> x=2.  Ответ: 2

5.Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.

Пусть f и g — некоторые функции, к- целое число, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 “слева–направо”, приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного.

В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразование уравнений с формальным использованием формул 1-5 “справа – налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно и потеря корней.

Так, например, если заменить уравнение (ОДЗ: ) уравнением (ОДЗ: ), то произойдет сужение ОДЗ исходного уравнения и потеря корня x=-1.

 Пример 4.

a) <=> <=>

<=>

 <=> <=> <=>

<=> <=>

Ответ: 3; 1,4 .

b) <=>

<=> <=> <=> x=6,5 ∨ x=-3,5

Ответ: 6,5 ; -3,5.

6. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 5. 

a)

Пусть тогда исходное уравнение примет вид: корни которого y=6 и . Решая уравнение , получаем x=3 и x=-4,5.

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

b)

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются y=1 и y=-2

Осталось решить совокупность двух уравнений:

<=> <=> <=> x=0

Ответ: {0}

7. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 6.

hello_html_m458586f1.gif

При hello_html_28bced28.gifуравнение принимает вид:hello_html_274ae222.gif которое равносильно совокупности двух уравнений: hello_html_m4e2aa4ba.gifhello_html_m199340a8.gif

Ответ: hello_html_3ae48ceb.gif

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 7.

hello_html_m5cad5694.gif

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине hello_html_ma0919ee.gif

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

hello_html_m57351bef.gif

Уравнение примет вид:

hello_html_5b822da9.gifили

hello_html_2f6104af.gif

Корень уравнения 2x+4=0 т.е. число x=-2 при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение hello_html_m4a2000d8.gifне имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: {-2}.

8. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула .

Пример 8.

hello_html_m159cc97e.gif

Преобразуем уравнение следующим образом:

hello_html_ca260ff.gif

или

hello_html_m20ce866.gif

Обозначим hello_html_6707cfe.gifи решим полученное уравнение методом интервалов.

hello_html_m3b22f559.gif

Разбирая отдельно случаи , находим, что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной hello_html_2e27db9e.gif, получаем неравенства

hello_html_78bb74c2.gif

hello_html_18b298d4.gif

hello_html_1d03ef16.gif

Ответ:hello_html_1d03ef16.gif

Часть II. Иррациональные неравенства и методы их решения.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Рассмотрим решение неравенства вида hello_html_610f0cf2.png hello_html_m1ed0f1c4.png.

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным – тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида hello_html_610f0cf2.png hello_html_m1ed0f1c4.pngравносильно системе неравенств: hello_html_m1f7026c9.png.

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типаhello_html_mc6e1d0d.pnghello_html_m1ed0f1c4.png.

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие: g(x)>0.

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: f(x)<(g(x))2 .hello_html_m1ed0f1c4.png

Возведение в квадрат может привести к появлению  посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение   должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: .

Итак, неравенство вида  hello_html_mc6e1d0d.png hello_html_m1ed0f1c4.pngравносильно системе неравенств:

hello_html_m29a9f649.png

Аналогично, нестрогое неравенство hello_html_3bea2c54.png hello_html_m1ed0f1c4.png равносильно системе неравенств:

hello_html_m6f6b3dc4.png

Иррациональные неравенства второго типаhello_html_28cfe570.png.

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

если g(x)<0hello_html_m1ed0f1c4.png, то неравенство hello_html_28cfe570.pngвыполняется при любом допустимом значении x, то есть при hello_html_m2bf937a9.png.

если hello_html_m2233f161.png, то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим hello_html_3dcca1e0.png, и условие на ОДЗ hello_html_5a025585.pngбудет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида  hello_html_28cfe570.pngравносильно совокупности двух систем неравенств:

hello_html_m65190200.png

Нестрогое неравенство вида hello_html_59277fa0.png равносильно совокупности:

hello_html_m55d49ae1.png

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

Пример 9.

a) Решить неравенство:

hello_html_m7d65dfb1.png

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m5ab153e8.png

Решим каждое неравенство:

1. hello_html_m10ad8d13.pnghello_html_m1ed0f1c4.png <=> hello_html_m4a12401f.png

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2. hello_html_2a1aac33.png  Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

b) Решить неравенство:

hello_html_5908b05f.png hello_html_m1ed0f1c4.png

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

hello_html_m72549149.png

Решим каждое неравенство:

1. hello_html_1d5f5181.png <=> hello_html_m34677136.pnghello_html_m1ed0f1c4.png

2. hello_html_m35ffabbd.pnghello_html_m1ed0f1c4.png<=> hello_html_m48f4a94d.pnghello_html_m1ed0f1c4.png<=> hello_html_6017099d.png

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3. hello_html_4cd5757f.png

hello_html_2983f1b2.png  hello_html_m1e9d7980.png

hello_html_2b83e132.jpg

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

hello_html_m311e5a9c.jpg

Ответ: 0≤ x ≤ 2.hello_html_m1ed0f1c4.pnghello_html_m1ed0f1c4.png

c) hello_html_m14d9e48.gif

Решение.

hello_html_m2234219c.gif

Таким образом необходимо рассмотреть два квадратных и одно линейное неравенство. Их решение не представляет никаких сложностей.

hello_html_6fe74e01.gif

hello_html_7a7167ff.gif

Объединением этих неравенств будет {-2} [1/3, 1.5].

hello_html_1a4893b3.jpg

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите решение уравнения  hello_html_m17288def.gif

  1. 9

  2. 12

  3. 8

  4. 3

2. Иррациональным называется уравнение, где переменная находится:

  1. В знаменателе дроби

  2. В степени числа

  3. Под знаком модуля

  4. Под знаком корня

3. Укажите решение уравнения hello_html_31d1253.gif

  1. 4

  2. -4

  3. -4; 4

  4. 9

4. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня положительно?

  1. Четной

  2. Нечетной

  3. Четной и нечетной

  4. Все существуют

5. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня отрицательно?

  1. Четной

  2. Нечетной

  3. Четной и нечетной

  4. Все существуют

6. Укажите решение неравенства .

  1. x

  2. x<-3

  3. x

  4. x>-3

7. Укажите решение неравенства .

  1. x

  2. x<-1/2

  3. x

  4. -2

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите, какому промежутку принадлежит сумма корней уравнения (или корень, если он один):

2. Укажите количество корней уравнения.

3. Решите неравенства:

Литература

  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.]: под ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 2008

  2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

  3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. — М.: Мнемозина, 2009

  4. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев и др.;под ред. С.А. Шестакова. — М.: Внешсигма-М, 2007

  5. ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения и неравенства / Е.А.Семенко, М.В.Фоменко; под ред. Е.А.Семенко. — М.: Издательство «Экзамен», 2012

  6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. — Ростов-наДону: Легион, 2010.

Ключ к тесту

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск