Рациональные дроби примеры с решениями: Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 03.02.197018.06.2021 by alexxlab

Содержание

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.

Определение и примеры рациональных дробей

Определение 1

Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

Пример 1

-2a2·b-b, x+2,3·x+223·x2·y·zx2+y2+z2, х8, 14·x2-3·x+12·x+3 считаются рациональными дробями.

А 5·(x+y)·y2-x4·y и ab-ba3+1a+1a2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Пример 2

Преобразовать 3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

Решение

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·b=3·a-a·b-53·b2+237·a·b==3·a+-α·b+237·a·b-53·b2=3·a+137·a·b-53·b2

Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

a3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=(a3·b2+3·a·b)+(-5·a2·b-15)==a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)

Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)=a2·b+3·(a·b-5)

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Ответ: 3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

Для любых многочленов a, b и c, где b и c являются ненулевыми, равенство вида ab=a·cb·c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x·y+12·x-5=(x·y+1)·(x2+3·b2)(2·x-5)·(x2+3·b2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y.

Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x-y2·x, то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение x2+y, тогда имеем, что выражение x-y·x2+y2·x·(x2+y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x3+x·y-x2·y-y22·x3+2·x·y. Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 2

При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так -a-b=ab.

Рассмотрим пример.

Пример 3

Дробь вида -x-2x-y заменяют равной ей x+2y-x.

Определение 3

При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

ab=—ab и ab=-a-b.

Доказательство

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что —ab=-((-a):b)=(-1)·(((-1)·a):b)=(-1)·(-1)·a:b=a:b=ab.

При помощи преобразований доказывается равенство вида ab=-a-b.

Пример 4

К примеру, xx-1 заменяем —xx-1 или -x1-x.

Существуют два полезных равенства вида -ab=-ab и a-b=-ab. Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, -3×3·y+z=-3×3·y+z и x+3-x+5=-x+3x-5.

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Основа преобразования – это свойство дроби. То есть применяется a·cb·c=ab, где имеем, что a, b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

Пример 5

Сократить дробь 2·x2·y32·x·y7.

Решение

Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2·x2·y32·x·y7=2·x2·y32·x·y7=x2·y3x·y7. Видно, что x2=x·x и y7=y3·y4, тогдаx – это общий множитель. После сокращения получим, что x2·y3x·y7=(x·x)·y3x·(y3·y4)=xy4. Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2·x2·y32·x·y7=(2·x·y3)·x(2·x·y3)·y4=xy4.

Ответ: 2·x2·y32·x·y7=xy4.

Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

Пример 6

К примеру, 3·a2+a·b-5a+b=3·a2a+b+a·ba+b-5a+b.

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения ab=cd+ab-cd. Если x·y-xx+1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

x·y-xx+1=1x+x2·y-x2-x-1×2+x, x·y-xx+1=xx-1+x2·y-x·y-2x2x2-1 и так далее.

В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

Пример 7

Какие значения n являются целым числом дроби n4-2·n3+4·n-5n-2?

Решение

Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n4-2·n3+4·n-5n-2=n3+4+3n-2. Отсюда видно, что n3+4 при любом n будет целым числом.

А дробь 3n-2 принимает целые значения при n=3, n=1, n=5 и n=−1.

Ответ: −1, 1, 3, 5.

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Определение и примеры рациональных дробей

Определение 1

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

Пример 1

-2a2·b-b, x+2,3·x+223·x2·y·zx2+y2+z2, х8, 14·x2-3·x+12·x+3 считаются рациональными дробями.

А 5·(x+y)·y2-x4·y и ab-ba3+1a+1a2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Пример 2

Решение

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·b=3·a-a·b-53·b2+237·a·b==3·a+-α·b+237·a·b-53·b2=3·a+137·a·b-53·b2

a3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=(a3·b2+3·a·b)+(-5·a2·b-15)==a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)

a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)=a2·b+3·(a·b-5)

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Ответ: 3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 2

Рассмотрим пример.

Пример 3

Дробь вида -x-2x-y заменяют равной ей x+2y-x.

Определение 3

ab=—ab и ab=-a-b.

Доказательство

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что —ab=-((-a):b)=(-1)·(((-1)·a):b)=(-1)·(-1)·a:b=a:b=ab.

При помощи преобразований доказывается равенство вида ab=-a-b.

Пример 4

К примеру, xx-1 заменяем —xx-1 или -x1-x.

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Пример 5

Сократить дробь 2·x2·y32·x·y7.

Решение

Ответ: 2·x2·y32·x·y7=xy4.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Пример 6

К примеру, 3·a2+a·b-5a+b=3·a2a+b+a·ba+b-5a+b.

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

x·y-xx+1=1x+x2·y-x2-x-1×2+x, x·y-xx+1=xx-1+x2·y-x·y-2x2x2-1 и так далее.

Пример 7

Какие значения n являются целым числом дроби n4-2·n3+4·n-5n-2?

Решение

Ответ: −1, 1, 3, 5.

Рациональные дроби и их свойства [wiki.eduVdom.com]

Целые выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.

Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных — это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Рациональная дробь — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель некоторой рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, не равный тождественно нулю, то получится дробь, равная исходной. 2(x-3)} = \frac{2x}{y}$

Ответ: $\frac{2x}{y}$

Сложение и вычитание рациональных чисел

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа.

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том как это сделать. Если испытываете с этим затруднения, обязательно повторите урок действия с дробями.

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Вычислим данное выражение в следующем порядке: слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Таким образом, значение выражения равно

Пример 5. Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно развернём:

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение свернём. Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим .

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

Этот пример можно записать покороче:

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

Запишем решение этого примера покороче:

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:

Далее вычисляем данное выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 25. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь

В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и убрать скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко

Пример 26. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:

Пример 27. Найти значение выражения

Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:

После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль и перед полученным ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

Пример 28. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением. Далее переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь. Затем вычислим получившееся выражение, применяя ранее изученные правила:

Пример 29. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное перепишем без изменения. Получим следующее выражение:

Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим.

Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа и , а затем из полученного результата вычесть . Этим вариантом и воспользуемся.

Первое действие:

Второе действие:

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 30. Найти значение выражения

Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное перепишем без изменения:

Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.

Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа и . У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.

Первое действие:

Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом . У рациональных чисел и одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас

Второе действие:

Ну и слóжим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом . Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, поскольку их сумма будет равна нулю:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

2.2.1. Рациональные выражения

Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

2.2.1.

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть где − многочлен n-ной степени, − многочлен m-ной степени. Такую функцию f (x) ещё иногда называют рациональной дробью.

Модель 2.2. Дробно-линейная функция

Пример 1

− рациональные функции;
− эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой

справедливой при и где R (x) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства:

Например,

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Пример 2

Сократите дробь

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x + 2)(x – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.

Знаменатель:

Имеем:

Ответ.

Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

Например, общим знаменателем двух дробей и будет многочлен (x – 2)(2x – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2x(x – 2)(2x – 1), а также Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем. В нашем примере таким знаменателем является многочлен (x – 2)(2x – 1). Имеем:

Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями. В нашем примере дополнительный множитель для дроби равен (x – 2), а для дроби равен (2x – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.

Пример 3

Привести к общему знаменателю дроби

Разложим знаменатели дробей на множители:

2x³ + 2x² = 2x²(x + 1).

6x² – 6 = 6(x² – 1) = 6(x + 1)(x – 1).

3x² + 3x = 3x(x + 1).

Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6x²(x + 1)(x – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:

для первой дроби
для второй дроби
для третьей дроби

Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:

Ответ.

Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:

то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:

то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Модель 2.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Пример 4

Упростите выражение

Ответ. x + 1.

Пример 5

Упростите выражение

Ответ.

Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:

Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле:

Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Пример 6

Упростите выражение

Ответ.

Дроби и рациональные числа (ЕГЭ — 2021)

В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.

Это простая дробь.

Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle {1}/{4}\;.$

Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту $\displaystyle 1/4?$ Было $\displaystyle 4$ из $\displaystyle 4$, или $\displaystyle 4/4$, забрали $\displaystyle 1/4$.

Верно, останется $\displaystyle 3$ дольки, $\displaystyle 3$ из $\displaystyle 4$. Запишем, как полагается, $\displaystyle 3/4$.

Можно даже вот так: $\displaystyle 4/4-1/4=3/4$

То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.

Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂

Примеры простых дробей: $\displaystyle 1/5,\text{ }2/4,\text{ }3/10,\text{ }17/3.$

В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: $\displaystyle 17/3$.

Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.

Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.

Давай остановимся на неправильной дроби $\displaystyle 17/3$. Что же это она неправильная?

Вспоминай пример с пирогом, там была $\displaystyle 1/4$ – одна часть из четырех, а тут что получается? $\displaystyle 17$ частей из $\displaystyle 3$?

Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем $\displaystyle 4$ части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.

А $\displaystyle 17/3$?

Что же, у нас есть $\displaystyle 17$ частей, а для целого пирога в данном случае надо $\displaystyle 3$ части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.

Как узнать сколько пирогов мы можем получить из $\displaystyle 17$ частей? Верно, надо на $\displaystyle 3$ как раз и поделить.

Если попробовать составить $\displaystyle 6$ пирогов, т.е. $\displaystyle 3\cdot 6=18$, надо $\displaystyle 18$ частей. Не хватает. А $\displaystyle 3\cdot 5=15$, о, хватило! Получается $\displaystyle 5$ целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось $\displaystyle 17-3\cdot 5=2,2$, $ \displaystyle 2$ куска.

А для целого пирога надо $ \displaystyle 3$ части. В итоге у нас $ \displaystyle 5$ целых и $ \displaystyle 2/3$ (две третьих) пирога.

Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только $ \displaystyle 5\frac{2}{3}$ (пять целых и две третьих).

То, что у нас получилось ($ \displaystyle 5\frac{2}{3}$),называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.

То, что между $ \displaystyle 5$ пирогами и $ \displaystyle 2/3$ пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали $ \displaystyle 2x$!!! Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: $ \displaystyle 5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}$.

Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь. Ты же знаешь, как это сделать? Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , $\displaystyle5\frac{2}{3}$ знаменатель равен $ \displaystyle 3$), умножить знаменатель…, верно, на $\displaystyle5$ и прибавить нецелую часть, а именно – $ \displaystyle 2$ . В результате получим исходное $ \displaystyle 17/3$.

Преобразуй следующие неправильные дроби:

Что такое дробно-рациональные уравнения, примеры решения уравнений

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили мимо ушей то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Для начала давайте разберемся, что же это такое – дробно-рациональные уравнения? В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональным уравнением, называется уравнение вида $fxg(x)=0$.2+x-25=0 \) ${{2-x}\over {2}}+{{3x\over 5}}=4$ ${{2x-1}\over 2}+{5x\over6}-{1-x\over 3}=3x-2$

Два последних уравнения точно не относятся к дробно-рациональным, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое важное, что в знаменателе нет переменной (буквы). А вот в дробно-рациональном уравнении в знаменателе всегда есть переменная.

Итак, после того, как вы верно определили, какое именно епред вами уранвение, начнем его решать. Первое, что нужно сделать, обозначается тремя большими буквами, О.Д.З. Что же означают эти буквы? Область Допустимых Значений. Что это означает в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторить тему «Алгебраические дроби». А вот для нашей цели это означает следующее: мы берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и отмечаем, что они не равны нулю.2-4=(x-2)(x+2)\), а в числителе можно вынести общий множитель «-2» за скобку.

${-2(x+2)\over (x+2)(x-2)} -{x+5\over x-2}=0$

Еще раз смотрим на ОДЗ, есть он у нас? Есть! Тогда можно сократить первую дробь на x+2. Если ОДЗ нет, сокращать нельзя! Получаем:

${-2\over x-2}-{x+5 \over x-2}=0$

Дроби имеют общий знаменатель, значит, их можно отнять:

${-2-x-5\over x-2}=0$

Обращаем внимание, так как дроби отнимаем, знак «+» во второй дроби меняем на минус! Приводим в числителе подобные слагаемые:

${-x-7 \over x-2}=0$

Вспомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Пора указать, что числитель равен нулю:

$-x-7=0$

Это линейное уравнение, переносим «-7» вправо, меняем знак:

$-x=7$

$x=7:(-1)$

$x=-7$

Вспоминаем про ОДЗ: $x^2-4≠0 $ $x-2≠0$.2-4=(x-2)(x+2)\) и переписываем так: ${(x-2)(x+2)\over2(x+1)} =0$

Дальше используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, укажем, что числитель равен нулю. $(x-2)(x+2)=0$. И решим это уравнение. Оно состоит из двух множителей x-2 иx+2. Помним, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Значит: x+2=0 или x-2=0

Из первого уравнения получаем x=-2 , из второго x=2 . Переносим число, и знак меняем.

На последнем этапе проверяем ОДЗ: x+1≠0

Подставляем вместо x числа 2 и -2.

Получаем 2+1≠0. Выполняется? Да! Значит x=2 — наш корень. Проверяем следующий: -2+1≠0. Выполняется. Да. Значит и x=-2, тоже наш корень. Итак, ответ: 2 и -2.

Последнее уравнение решим без пояснений. Алгоритм тот же:

1.2≠0\) Выполняется!

$-3+2≠0 $ Выполняется! Следовательно, x=-3 решение нашего уравнения.

Уверена, что ваше решение сошлось с образцом.

Напоследок хочу сказать, что мы рассмотрели только один способ решения дробно-рациональных уравнений. Надеюсь, что этот способ не показался вам сложным. Успехов в учебе!

Решение рациональных уравнений

Рациональное уравнение Уравнение, содержащее хотя бы одно рациональное выражение. — уравнение, содержащее хотя бы одно рациональное выражение. Рациональные выражения обычно содержат переменную в знаменателе. По этой причине мы позаботимся о том, чтобы знаменатель не был равен нулю, отметив ограничения и проверив наши решения.

Решите рациональные уравнения, удаляя дроби, умножая обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

Пример 1: Решить: 5x − 13 = 1x.

Решение: Сначала отметим, что x ≠ 0, а затем умножим обе стороны на ЖК-дисплей, 3 x :

Проверьте свой ответ, заменив 12 на x , чтобы убедиться, что вы получили истинное утверждение.

Ответ: Решение — 12.

После умножения обеих частей предыдущего примера на ЖК-дисплей, нам осталось решить линейное уравнение.Это не всегда так; иногда нам остается квадратное уравнение.

Пример 2: Решить: 2−1x (x + 1) = 3x + 1.

Решение: В этом примере есть два ограничения: x ≠ 0 и x ≠ −1. Начните с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, x (x + 1).

После распределения и деления общих множителей остается квадратное уравнение. Чтобы решить эту проблему, перепишите его в стандартной форме, коэффициент, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

Проверьте, решают ли эти значения исходное уравнение.

Ответ: Решения -1/2 и 1.

До этого момента все возможные решения решали исходное уравнение. Однако так бывает не всегда. Умножение обеих частей уравнения на переменные множители может привести к посторонним решениям. Решение, которое не решает исходное уравнение, то есть решения, которые не решают исходное уравнение.Полный список шагов для решения рационального уравнения представлен в следующем примере.

Пример 3: Решить: xx + 2 + 2×2 + 5x + 6 = 5x + 3.

Решение:

Шаг 1: Разложите все знаменатели на множители и определите ЖК-дисплей.

ЖК-дисплей равен (x + 2) (x + 3).

Шаг 2: Определите ограничения. В данном случае это x ≠ −2 и x ≠ −3.

Шаг 3: Умножьте обе части уравнения на ЖК-дисплей. Распространяйте осторожно, а затем упрощайте.

Шаг 4: Решите полученное уравнение. Результатом является квадратное уравнение. Перепишите его в стандартной форме с коэффициентом, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

Шаг 5: Проверьте наличие посторонних решений. Всегда подставляйте в исходное уравнение или его факторизованный эквивалент.В этом случае выберите факторизованный эквивалент для проверки:

Здесь −2 — постороннее решение, не входящее в набор решений. Важно отметить, что −2 — это ограничение.

Ответ: Решение — 4.

Если этот процесс приводит к решению, которое является ограничением, игнорируйте его как постороннее решение.

Попробуй! Решите: xx − 5 + 3x + 2 = 7xx2−3x − 10.

Ответ: −3

Иногда все возможные решения являются посторонними, и в этом случае мы говорим, что не существует решения исходного уравнения. В следующих двух примерах мы продемонстрируем два способа, по которым рациональное уравнение может не иметь решений.

Пример 4: Решить: 3xx2−4−2x + 2 = 1x + 2.

Решение: Чтобы идентифицировать ЖК-дисплей, сначала разложите знаменатели на множители.

Умножьте обе стороны на наименьший общий знаменатель (LCD), (x + 2) (x − 2), аккуратно распределив.

Уравнение противоречит и поэтому не имеет решения.

Ответ: Нет решения, 000

Пример 5: Решите: xx − 4−4x + 5 = 36×2 + x − 20.

Решение: Сначала разложите знаменатели на множители.

Обратите внимание, что ограничения x ≠ 4 и x ≠ −5. Чтобы очистить дроби, умножьте на ЖК-дисплей (x − 4) (x + 5).

Оба эти значения являются ограничениями исходного уравнения; следовательно, оба посторонние.

Ответ: Нет решения, 000

Попробуй! Решите: 1x + 1 + xx − 3 = 4xx2−2x − 3.

Ответ:

∅

Важно отметить, что этот метод очистки алгебраических дробей работает только для уравнений. Не пытайтесь очищать алгебраические дроби при упрощении выражений. Напоминаем, что у нас

Необходимо упростить выражения и решить уравнения.Если мы умножим выражение на ЖК-дисплей, x (2x + 1), мы получим другое выражение, которое не эквивалентно.

Буквенные уравнения

Буквальные уравнения или формулы часто являются рациональными уравнениями. Следовательно, методы, описанные в этом разделе, могут использоваться для решения конкретных переменных. Предположим, что все выражения переменных в знаменателе отличны от нуля.

Пример 6: Решите относительно x : z = x − 5y.

Решение: Цель состоит в том, чтобы изолировать x . Предполагая, что y отличны от нуля, умножьте обе стороны на y , а затем прибавьте 5 к обеим сторонам.

Ответ: x = yz + 5

Пример 7: Решите относительно c : 1c = 1a + 1b.

Решение: В этом примере цель состоит в том, чтобы изолировать c . Мы начинаем с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, a⋅b⋅c, осторожно распределяя.

В правой части уравнения вычтем за скобки c .

Затем разделите обе части уравнения на величину (b + a).

Ответ: c = abb + a

Попробуй! Решите относительно y : x = y + 1y − 1.

Ответ: y = x + 1x − 1

Основные выводы

Начните решать рациональные уравнения с умножения обеих частей на ЖК-дисплей.Полученное эквивалентное уравнение можно решить, используя методы, изученные до этого момента.
Умножение обеих частей рационального уравнения на выражение переменной вводит возможность посторонних решений. Следовательно, мы должны проверять решения на соответствие множеству ограничений. Если решение является ограничением, то оно не является частью домена и является посторонним.
При умножении обеих частей уравнения на выражение, аккуратно распределите и умножьте каждый член на это выражение.
Если все полученные решения являются посторонними, то исходное уравнение не имеет решений.

Тематические упражнения

Часть A: Рациональные уравнения

Решить.

1. 12 + 1x = 18

2. 13−1x = 29

3. 13x − 23 = 1x

4. 25x − 1x = 310

5. 12x + 1 = 5

6.33x − 1 + 4 = 5

7. 2x − 3x + 5 = 2x + 5

8. 5x2x − 1 = x − 12x − 1

9. 5x − 7 = 6x − 9

10. 5x + 5 = 3x + 1

11. x6−6x = 0

12. 5x + x5 = −2

13. хх + 12 = 2х

14. 2xx + 5 = 16 − x

15. 1x + x2x + 1 = 0

16. 9x3x − 1−4x = 0

17. 1−2x = 48×2

18. 2−9x = 5×2

19.1 + 12x = 12x − 2

20. 1−3x − 5x (3x − 4) = — 1x

21. x2 = 14x + 3

22. 3×2 = х + 13 − х

23. 6 = −3x + 3x − 1

24. 12x − 2 = 2 + 6 (4 − x) x − 2

25. 2 + 2xx − 3 = 3 (x − 1) x − 3

26. xx − 1 + 16x − 1 = x (x − 1) (6x − 1)

27. 12×2−81 = 1x + 9−2x − 9

28. 14×2−49 = 2x − 7−3x + 7

29. 6xx + 3 + 4x − 3 = 3xx2−9

30.3xx + 2−17x − 2 = −48×2−4

31. х − 1 + 3 = 0

32. 4 − y − 1 = 0

33. y − 2−4 = 0

34. 9x − 2−1 = 0

35,3 (x − 1) −1 + 5 = 0

36,5−2 (3x + 1) −1 = 0

37. 3 + 2x − 3 = 2x − 3

38. 1x = 1x + 1

39. хх + 1 = х + 1x

40. 3x − 13x = xx + 3

41. 4x − 7x − 5 = 3x − 2x − 5

42. xx2−9 = 1x − 3

43.3x + 4x − 8−28 − x = 1

44. 1x = 6x (x + 3)

45. 3x = 1x + 1 + 13x (x + 1)

46. xx − 1−34x − 1 = 9x (4x − 1) (x − 1)

47. 1x − 4 + xx − 2 = 2×2−6x + 8

48. xx − 5 + x − 1×2−11x + 30 = 5x − 6

49. xx + 1−65×2 + 4x − 1 = −55x − 1

50. −8×2−4x − 12 + 2 (x + 2) x2 + 4x − 60 = 1x + 2

51. хх + 2−20×2 − x − 6 = −4x − 3

52. х + 7x − 1 + x − 1x + 1 = 4×2−1

53.x − 1x − 3 + x − 3x − 1 = −x + 5x − 3

54. х-2х-5-х-5х-2 = 8-хх-5

55. х + 7x − 2−81×2 + 5x − 14 = 9x + 7

56. хх − 6 + 1 = 5х + 3036 − х2

57. 2xx + 1−44x − 3 = −74×2 + x − 3

58. x − 5x − 10 + 5x − 5 = −5xx2−15x + 50

59. 5×2 + 5x + 4 + x + 1×2 + 3x − 4 = 5×2−1

60. 1×2−2x − 63 + x − 9×2 + 10x + 21 = 1×2−6x − 27

61. 4×2−4 + 2 (x − 2) x2−4x − 12 = x + 2×2−8x + 12

62. x + 2×2−5x + 4 + x + 2×2 + x − 2 = x − 1×2−2x − 8

63.6xx − 1−11x + 12×2 − x − 1 = 6x2x + 1

64. 8x2x − 3 + 4x2x2−7x + 6 = 1x − 2

Часть B: Буквальные уравнения

Найдите указанную переменную.

65. Решите относительно r : t = Dr.

66. Решить относительно b : h = 2Ab.

67. Решите для P : t = IPr.

68. Решить относительно π: r = C2π.

69. Решите относительно c : 1a = 1b + 1c.

70. Решите относительно y : m = y − y1x − x1.

71. Решите относительно w : P = 2 (l + w).

72. Решите относительно t : A = P (1 + rt).

73. Решите относительно м : s = 1n + m.

74. Решить относительно S : h = S2πr − r.

75. Решите относительно x : y = xx + 2.

76. Решите относительно x : y = 2x + 15x.

77.Решите относительно R : 1R = 1R1 + 1R2.

78. Решите относительно S1: 1f = 1S1 + 1S2.

Часть C: Обсуждение

79. Объясните, почему умножение обеих частей уравнения на ЖК-дисплей иногда дает посторонние решения.

80. Объясните связь между методом перекрестного умножения и умножением обеих частей рационального уравнения на ЖКД.

81. Объясните, как мы можем отличить рациональное выражение от рационального уравнения.Как мы относимся к ним по-другому?

ответов

1: −8/3

3: -1

5: −2/5

7: 5/2

9: −3

11: −6, 6

13: −4, 6

15: -1

17: −6, 8

19: −4, 6

21: −7, 4

23:

25:

27: −39

29: 4/3, 3/2

31: -1/3

33: -1/2, 1/2

35: 2/5

37:

39: -1/2

41:

43: −7

45: 5

47: -1

49:

51: −4

53: 5/3

55:

57: 1/2

59: −6, 4

61: 10

63: 1/3

65: r = Dt

67: P = Itr

69: c = abb − a

71: ш = P − 2l2

73: м = 1 − sns

75: х = 2y1 − y

77: R = R1R2R1 + R2

рациональных выражений

Выражение, представляющее собой отношение двух многочленов:

Это похоже на дробь, но с многочленами.

Другие примеры:

x ³ + 2x — 1 6x ²

2x + 9 x ⁴ — x ²

Также

1 2 — x ²	Верхний полином равен «1», и это нормально.

2x ² + 3	Да, это так! Так же можно было бы написать: 2x ² + 3 1

Но не

	2 — √ (x) 4 — x	вершина не является многочленом (квадратный корень из переменной не допускается)

		1 / x не допускается в полиноме

В целом

Рациональная функция — это отношение двух многочленов P (x) и Q (x), как это

f (x) = P (x) Q (x)

За исключением того, что Q (x) не может быть нулем (и везде, где Q (x) = 0 не определено)

Поиск корней рациональных выражений

«Корень» (или «ноль») — это когда выражение равно нулю :

Чтобы найти корни рационального выражения , нам нужно только найти корни верхнего полинома , если рациональное выражение находится в «наименьших членах».

Итак, что означает «Самые низкие термины»?

Самые низкие термины

Что ж, дробь находится в наименьшем значении, когда верхняя и нижняя части не имеют общих множителей.

Пример: дроби

2 6 это , а не в самом низком выражении,
, поскольку 2 и 6 имеют общий множитель «2»

Но:

1 3 — это в самом низком выражении,
, поскольку 1 и 3 не имеют общих множителей

Точно так же рациональное выражение находится в наименьших членах, когда верх и низ не имеют общих множителей.

Пример: рациональные выражения

x ³ + 3x ² 2x это , а не в низком выражении,
как x ³ + 3x ² и 2x имеют общий множитель «х»

Но

x ² + 3x 2 это в низком выражении,
as x ² + 3x и 2 не имеют общих множителей

Итак, чтобы найти корни рационального выражения :

Сократите рациональное выражение до наименьших членов,
Затем найдите корни верхнего полинома

Как нам найти корни? Прочтите «Решение многочленов», чтобы узнать, как это сделать.

Правильное против неправильного

Дроби могут быть правильными или неправильными:

(В «Неправильном» нет ничего плохого, просто другой тип)

И аналогично:

Рациональное выражение также может быть правильным или неправильным !

Но что делает многочлен больше или меньше?

Степень!

Для полинома с одной переменной Степень является наибольшим показателем этой переменной.

Примеры степени:

4x		Степень: 1 (переменная без экспоненты фактически имеет показатель степени 1)

4x ³ — x + 3		Степень 3 (наибольший показатель x)

Итак, вот как узнать, является ли рациональное выражение правильным или неправильным :

Правильный: степень верха меньше степени низа.

Правильный:

1 х + 1

град (верх) <град (низ)

Другой пример: x x ³ — 1

Неправильно: степень верха больше или равна степени низа.

Неправильно:

x ² — 1 x + 1

град (верх) ≥ град (низ)

Другой пример: 4x ³-3 5x ³ + 1

Если полином неправильный, мы можем упростить его с помощью полиномиального деления в длину

Асимптоты

Рациональные выражения могут иметь асимптоты (линия , к которой кривая приближается по мере приближения к бесконечности):

Рациональное выражение может иметь:

любое количество вертикальных асимптот,
только нулевая или одна горизонтальная асимптота,
только нулевая или одна наклонная (наклонная) асимптота

Поиск горизонтальных или наклонных асимптот

Найти их довольно просто…

… но это зависит от степени полинома сверху и снизу .

Быстрее всего вырастет тот, у кого большая степень.

Точно так же, как «Правильный» и «Неправильный», но на самом деле существует четырех возможных случаев, показано ниже.

(я показываю тестовое значение x = 1000 для каждого случая, просто чтобы показать, что происходит)

Давайте рассмотрим каждый из этих примеров по очереди:

Степень верха

Меньше ниже

Нижний многочлен будет доминировать, а горизонтальная асимптота равна нулю.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x

² +1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4000001 = 0,00075 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 0

градус верха

равен низу

Ни один из них не доминирует … асимптота задается старшими членами каждого полинома.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x + 1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4001 = 0.750 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 3/4

Почему 3/4? Поскольку «3» и «4» являются «старшими коэффициентами» каждого полинома

Члены отсортированы в порядке убывания степени

(Технически 7 — это постоянная величина, но здесь их все легче представить как коэффициенты.)

Метод простой:

Разделите старший коэффициент верхнего многочлена на старший коэффициент нижнего многочлена.

Вот еще один пример:

Пример: f (x) = (8x

³ + 2x ² — 5x + 1) / (2x ³ + 15x + 2)

Степени равны (обе имеют степень 3)

Просто посмотрите на старшие коэффициенты каждого полинома:

Верх 8 (от 8x ³)
Снизу 2 (из 2x ³)

Итак, существует горизонтальная асимптота на 8/2 = 4

Степень верха составляет

1 больше Чем ниже

Это особый случай: существует наклонная асимптота , и нам нужно найти уравнение прямой.

Чтобы решить эту проблему, используйте полиномиальное деление в столбик: разделите верхнюю часть на нижнюю, чтобы найти частное (остаток игнорируйте).

Пример: f (x) = (3x

² +1) / (4x + 1)

Степень вершины равна 2, а степень основания равна 1, поэтому будет наклонная асимптота

Нам нужно разделить 3x ² +1 на 4x + 1 , используя полиномиальное деление в столбик:

Ответ: (3/4) x- (3/16) (без остатка):

Асимптота «уравнение линии»: (3/4) x- (3/16)

Степень верха:

Больше чем на 1 Чем ниже

Когда верхний многочлен на больше, чем на 1 градус, на выше нижнего многочлена, нет горизонтальной или наклонной асимптоты .

Пример: f (x) = (3x

³ +1) / (4x + 1)

Степень верха равна 3, а степень низа 1.

Верх более чем на 1 градус выше низа, поэтому нет горизонтальной или наклонной асимптоты .

Поиск вертикальных асимптот

Есть еще один тип асимптоты, который вызван нижним многочленом только .

Но сначала: убедитесь, что рациональное выражение выражено в минимальных терминах!

Когда нижний многочлен равен нулю (любой из его корней), мы получаем вертикальную асимптоту.

Прочтите раздел «Решение многочленов», чтобы узнать, как найти корни

Из нашего примера выше:

Пример: (x

² -3x) / (2x-2)

Нижний полином равен 2x-2 , который разлагается на:

2 (х-1)

А множитель (x-1) означает, что существует вертикальная асимптота при x = 1 (потому что 1-1 = 0)

Полный пример

Пример: эскиз (x − 1) / (x

² −9)

Прежде всего, мы можем разложить на множители нижний многочлен (это разность двух квадратов):

x − 1 (x + 3) (x − 3)

Теперь мы видим:

Корни верхнего многочлена: +1 (здесь пересекает ось x )

Корни нижнего многочлена: −3 и +3 (это вертикальные асимптоты )

Это пересекает ось y , когда x = 0, поэтому давайте установим x равным 0:

Пересекает ось Y в: 0−1 (0 + 3) (0−3) = −1 −9 = 1 9

Мы также знаем, что степень вершины меньше степени основания, поэтому существует горизонтальная асимптота на 0

Итак, мы можем набросать всю эту информацию:

И теперь мы можем набросать кривую:

(Сравните это с графиком (x-1) / (x ²-9))

7.2 − x − 2} \, dx = \ int \ left (\ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {2} {x − 2} \ right) \, dx. \ Nonumber \]

дюйма В этом разделе мы исследуем метод разложения частичной дроби , который позволяет нам разложить рациональных функций на суммы более простых и легко интегрируемых рациональных функций. Используя этот метод, мы можем переписать такое выражение, как:

Ключ к методу декомпозиции частичной дроби — это способность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции.Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно помнить, что разложение на частичную дробь может применяться к рациональной функции \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \), только если \ (deg (P (x)) < град (Q (х)) \). В случае, когда \ (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) \), мы должны сначала выполнить длинное деление, чтобы переписать частное \ (\ dfrac {P (x)} {Q (x)} \) в виде \ (A (x) + \ dfrac {R (x)} {Q (x)} \), где \ (deg (R (x))

Чтобы интегрировать \ (\ Displaystyle \ int \ dfrac {P (x)} {Q (x)} \, dx \), где \ (deg (P (x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если \ (Q (x) \) можно разложить на множители как \ ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2)… (a_nx + b_n) \), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \ (A_1, A_2,… A_n \) удовлетворяющие

\ [\ dfrac {P (x)} {Q (x)} = \ dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + \ dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + \ dfrac {A_n} {a_nx + b_n}.2−2x = x (x − 2) (x + 1) \). Таким образом, существуют константы \ (A \), \ (B \) и \ (C \), удовлетворяющие уравнению \ ref {eq: 7.4.1} такие, что

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x − 2} + \ dfrac {C} { х + 1}. \ nonumber \]

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого мы начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\ [\ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = \ dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x− 2)} {х (х — 2) (х + 1)}. \ nonumber \]

Теперь мы устанавливаем числители равными друг другу, получая

\ [3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2).2 + (- А + В − 2С) х + (- 2А). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений

\ [\ begin {align *} A + B + C & = 0 \\ [4pt] −A + B − 2C & = 3 \\ [4pt] −2A & = 2. \ end {align *} \]

Чтобы решить эту систему, сначала заметим, что \ (−2A = 2⇒A = −1. \). Подставляя это значение в первые два уравнения, мы получаем систему

\ (В + С = 1 \)

\ (B − 2C = 2 \).

Умножение второго уравнения на \ (−1 \) и прибавление полученного уравнения к первому дает

\ (-3C = 1, \)

, что, в свою очередь, означает, что \ (C = — \ dfrac {1} {3} \).Подстановка этого значения в уравнение \ (B + C = 1 \) дает \ (B = \ dfrac {4} {3} \). Таким образом, решение этих уравнений дает \ (A = −1, B = \ dfrac {4} {3} \) и \ (C = — \ dfrac {1} {3} \).

Важно отметить, что система, созданная этим методом, является непротиворечивой тогда и только тогда, когда мы правильно настроили декомпозицию. Если система несовместима, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Стратегия вторая: Метод стратегической замены

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию.Если разложение настроено правильно, тогда должны быть значения \ (A, B, \) и \ (C \), которые удовлетворяют уравнению \ (\ ref {Ex2Numerator} \) для всех значений \ (x \). То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения \ (x \), которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения \ (x \) и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти \ (A, B \) и \ (C \). Например, если мы подставим \ (x = 0 \), уравнение сведется к \ (2 = A (−2) (1) \). Решение относительно \ (A \) дает \ (A = −1 \).Затем, подставив \ (x = 2 \), уравнение сводится к \ (8 = B (2) (3) \) или, что эквивалентно, \ (B = 4/3 \). Наконец, мы подставляем \ (x = −1 \) в уравнение и получаем \ (−1 = C (−1) (- 3). \) Решая, мы имеем \ (C = — \ dfrac {1} {3 } \).

Важно помнить, что если мы попытаемся использовать этот метод с некорректной декомпозицией, мы все равно сможем найти значения для констант, но эти константы бессмысленны. Если мы все же решим использовать метод стратегической замены, то будет хорошей идеей проверить результат, алгебраически перекомбинируя термины.2x− \ sin x} \, dx = — \ ln | u | + \ ln | u − 1 | + C = — \ ln | \ sin x | + \ ln | \ sin x − 1 | + C. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Вычислить \ (\ displaystyle \ int \ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} \, dx. \)

Подсказка: \ [\ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = \ dfrac {A} {x + 3} + \ dfrac {B} {x − 2} \ nonumber \]

Ответ: \ [\ dfrac {2} {5} \ ln | x + 3 | + \ dfrac {3} {5} \ ln | x − 2 | + C \ nonumber \]

Повторяющиеся линейные множители

Для некоторых приложений нам необходимо интегрировать рациональные выражения со знаменателями с повторяющимися линейными множителями, то есть рациональные функции с хотя бы одним множителем вида \ ((ax + b) ^ n, \), где \ (n \) является целым положительным числом, большим или равным \ (2 \).2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). \ nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает \ (2A + 4C = 0 \), \ (- 3A + B − 4C = 1 \) и \ (A − B + C = −2 \). Решение этой системы дает \ (A = 2, B = 3, \) и \ (C = −1. \)

В качестве альтернативы мы можем использовать метод стратегической замены. В этом случае замена \ (x = 1 \) и \ (x = 1/2 \) в уравнение \ (\ ref {Ex5Numerator} \) легко дает значения \ (B = 3 \) и \ (C = — 1 \). На данный момент может показаться, что у нас закончился хороший выбор для \ (x \), однако, поскольку у нас уже есть значения для \ (B \) и \ (C \), мы можем подставить эти значения и выбрать любое значение для \ (x \), которое ранее не использовалось.2} \) и ось x на интервале \ ([0,1] \) относительно оси y .

Решение

Начнем с наброска области, которую нужно повернуть (см. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Из эскиза мы видим, что метод оболочки — хороший выбор для решения этой проблемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Мы можем использовать метод оболочки, чтобы найти объем вращения, полученный путем вращения области, показанной вокруг оси \ (y \). 2} \, dx.2} \ nonumber \]

Интеграция рациональных функций

Напомним, что рациональная функция — это отношение двух многочленов \ (\ large {\ frac {{P \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} \ normalsize. \)

Предположим, что у нас есть правильная рациональная функция, в которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Чтобы преобразовать неправильную рациональную функцию в правильную, мы можем использовать деление в столбик:

\ [{\ frac {{P \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} = {F \ left (x \ right)} + {\ frac {{R \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}},} \]

, где \ (F \ left (x \ right) \) — многочлен, \ (\ large {\ frac {{R \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}}} \ normalsize \) — правильная рациональная функция.

Чтобы интегрировать правильную рациональную функцию, мы можем применить метод частичных дробей.

Этот метод позволяет превратить интеграл сложной рациональной функции в сумму интегралов более простых функций.

Знаменатели дробных дробей могут содержать неповторяющиеся линейные множители, повторяющиеся линейные множители, неповторяющиеся неприводимые квадратичные множители и повторяющиеся неприводимые квадратичные множители.

Для вычисления интегралов от дробей с линейным или квадратичным знаменателем используются следующие формулы \ (6 \):

\ [{1.2}}} \ normalsize}. \)

Пример 1.

Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{x + 2}} {{x — 1}}} \ normalsize dx}. \)

Решение.

Поскольку рациональная дробь в подынтегральном выражении неправильна, мы выполняем деление в столбик, чтобы получить

\ [\ frac {{x + 2}} {{x — 1}} = 1 + \ frac {3} {{x — 1}}. \]

Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

\ [{\ int {\ frac {{x + 2}} {{x — 1}} dx}} = {\ int {\ left ({1 + \ frac {3} {{x — 1}}}) \ right) dx}} = {\ int {dx} + 3 \ int {\ frac {{dx}} {{x — 1}}}} = {x + 3 \ ln \ left | {x — 1} \ right | + С.2} — 9}}}
= {\ frac {{2x + 3}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}}
= {\ frac {A} {{x — 3}} + \ frac {B} {{x + 3}}.}
\]

Коэффициенты приравнивания:

\ [
{{A \ left ({x + 3} \ right)} + {B \ left ({x — 3} \ right)} = {2x + 3,} \; \;} \ Rightarrow
{ {Ax + 3A + Bx — 3B} = {2x + 3,} \; \;} \ Rightarrow
{{\ left ({A + B} \ right) x + 3A — 3B} = {2x + 3.} }
\]

Следовательно,

\ [ {\ left \ {\ begin {array} {l} А + В = 2 \\ 3A — 3B = 3 \ end {array} \ right.2}}} {2} — x} — {\ ln \ left | {x + 1} \ right | } + {C.}}
\]

Пример 5.

Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} \ normalsize}. \ )

Решение.

Сначала разложим подынтегральное выражение:

\ [{\ frac {1} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {A} {{2x — 1}} + \ frac {B} {{x + 3}}.} \]

Определите коэффициенты \ (A \) и \ (B: \)

\ [1 = A \ влево ({x + 3} \ right) + B \ left ({2x — 1} \ right), \]

\ [1 = Ax + 3A + 2Bx — B, \]

\ [1 = \ left ({A + 2B} \ right) x + \ left ({3A — B} \ right).\]

Получаем следующую систему:

\ [{\ left \ {\ begin {array} {l} А + 2В = 0 \\ 3А — В = 1 \ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l} A + 2 \ left ({3A — 1} \ right) = 0 \\ В = 3А — 1 \ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l} 7А — 2 = 0 \\ В = 3А — 1 \ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l} A = \ frac {2} {7} \\ B = — \ frac {1} {7} \ end {array} \ right ..} \]

Итак, разложение на частичную дробь имеет вид

\ [{\ frac {1} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {2} {{7 \ left ({ 2x — 1} \ right)}}} — {\ frac {1} {{7 \ left ({x + 3} \ right)}}.} \]

Начальный интеграл записывается как сумма двух более простых интегралов:

\ [{I = \ int {\ frac {{dx}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}}} = {\ frac {2 } {7} \ int {\ frac {{dx}} {{2x — 1}}}} — {\ frac {1} {7} \ int {\ frac {{dx}} {{x + 3}} }.} \]

Объединение доходностей:

\ [{I = \ frac {2} {7} \ cdot \ frac {1} {2} \ ln \ left | {2x — 1} \ right | } — {\ frac {1} {7} \ ln \ left | {x + 3} \ right | + C} = {\ frac {1} {7} \ left ({\ ln \ left | {2x — 1} \ right | — \ ln \ left | {x + 3} \ right |} \ right) + C } = {\ frac {1} {7} \ ln \ left | {\ frac {{2x — 1}} {{x + 3}}} \ right | + С.2} — 9}}} = {\ frac {x} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}}} = {\ frac {A} {{ x — 3}} + \ frac {B} {{x + 3}}.} \]

Вычислить неизвестные коэффициенты:

\ [x = A \ left ({x + 3} \ right) + B \ left ({x — 3} \ right), \]

\ [x = Ax + 3A + Bx — 3B, \]

\ [x = \ left ({A + B} \ right) x + \ left ({3A — 3B} \ right). \]

Отсюда

\ [{\ left \ {\ begin {array} {l} А + В = 1 \\ 3A — 3B = 0 \ end {array} \ right.,} \; \; \ Rightarrow {\ left \ {\ begin {array} {l} А + В = 1 \\ А — В = 0 \ end {array} \ right.2} — 9} \ right | + C.} \]

Решение рациональных уравнений — ChiliMath

Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название для дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности.Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!

Примеры решения рациональных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без каких-либо правильных алгебраических шагов. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения.Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.

У вас должно получиться что-то подобное после раздачи LCD.

Я решил оставить переменную x в правой части.Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.

Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе стороны на коэффициент 5x.

Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его в исходном рациональном уравнении. Это дает верное утверждение.

Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.

Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

Ну вот.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

ЖК-дисплей 9x. Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.

Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.

Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.

Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас в том, что оно работает.

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.

Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

Объедините константы в левой части уравнения.

Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.

Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

Это должно сработать, так что да, окончательный ответ — x = 2.

Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

ЖК-дисплей расположен на 4 \ влево ({x + 2} \ вправо).Умножьте на него каждую часть уравнения.

После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.

На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.

Удерживая x слева, мы вычитаем обе части на 4.

Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.

Как должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.

Укажите константу в круглых скобках.

Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.

Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.

Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?

Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

Прежде чем я распределяю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

Это помогает в отмене общих условий позже.

Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.

Ух ты! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.

Избавьтесь от круглых скобок перед распределительным свойством.

У вас должно получиться очень простое уравнение.

Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.

В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.

Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.

Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.

Переместите все константы вправо.

Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений

Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

Выносим за скобки знаменатели.

Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

Будьте осторожны со своими отменами.

У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.

На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

С каждым шагом это становится проще!

Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!

Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.

Переместите все чистые числа вправо.

Вычтем обе стороны на 15.

Простое одношаговое уравнение.

Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте снова проверить значение в исходном уравнении для проверки.

Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.

Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖК-дисплей.

Полностью вынести за скобки знаменатели

Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.

Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

Умножьте константы в скобки.

Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.

Держите константы справа.

Складываем обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!

Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степени уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

Итак, у нас есть

Полностью вынесите за скобки знаменатели.

Разделите найденный выше ЖК-дисплей на рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.

Укажите константу в круглых скобках.

Критический этап : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL.

Используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти x.

Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.

Опять же, всегда сверяйте решенные ответы с исходными уравнениями, чтобы убедиться, что они верны.

Практика с рабочими листами

Вас также может заинтересовать:

Сложение и вычитание рациональных выражений

Умножение рациональных выражений

Решение рациональных неравенств

Как найти решение рационального уравнения с помощью LCD

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

College Algebra
Урок 9: Умножение и деление рациональных выражений

Цели обучения

После изучения этого руководства вы сможете:

Умножение рациональных выражений.
Разделяй рациональные выражения.

Введение

В этом уроке я расскажу, как умножать и разделять рациональные выражения. Часто по математике у вас использовать прошлые концепции, чтобы иметь возможность полностью проработать новые проблемы. В этом разделе вам нужно будет вспомнить, как учитывать, упрощать рациональные выражения и умножение многочленов, чтобы иметь возможность завершить умножение или проблемы с разделением. Если вам нужен обзор умножения многочленов, не стесняйтесь вернуться к Урок 6: Полиномы. Если вам нужен обзор по факторингу, не стесняйтесь вернуться к Урок 7: Факторинг Полиномы. Если вам нужен обзор по упрощению рационального дроби, не стесняйтесь вернуться к руководству 8: Упрощение рациональных выражений. я думаю что ты готовы двигаться вперед.

Учебник

Умножение рациональных выражений

Q и S не равны 0.

Шаг 1: Учесть числитель и знаменатель.

Шаг 2. Запишите как единое целое доля.

Запишите это как произведение множителей числителей над произведением. факторов знаменателей.Ничего не умножайте с этой точки зрения.

Шаг 3. Упростите рациональное выражение.

Шаг 4: Умножьте любое оставшиеся множители в числителе и / или знаменателе.

Шаг 1: Учесть числитель и знаменатель

Шаг 2. Запишите как единое целое доля.

Шаг 3. Упростите рациональное выражение.

Шаг 4: Умножьте любое оставшиеся множители в числителе и / или знаменателе.

* Упростить с помощью div. из общих факторов ( y + 3), ( y — 3) и y

* Исключенные значения исходной ден.

Обратите внимание, что даже если все множители в числителе были разделены там все еще есть 1 там. там легко думать «ничего» не осталось, и числитель исчезнет. Но когда ты разделите множитель на себя, там на самом деле будет 1. Как 2/2 = 1 или 5/5 = 1.

Также обратите внимание, что значений, которые будут исключены из домена равны 0, 3, -6 и -3. Это значения , которые делают исходный знаменатель равен 0 .

Шаг 1: Учесть числитель и знаменатель

Шаг 2. Запишите как единое целое доля.

Шаг 3. Упростите рациональное выражение.

Шаг 4: Умножьте любое оставшиеся множители в числителе и / или знаменателе.

* Упростить с помощью div. из общих множителей
( x — 3), 2 и ( x + 2)

* Исключенные значения исходной ден.

Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: 0, 3 и -2. Это те значения , которые делают оригинал знаменатель равен 0 .

Разделение рациональных выражений

где Q, S и R не равны 0.

* Записать как мульт.ответная

* Разложите число на множители. и ден.

* Упростить div. из общих множителей
3 x и ( x + 6)

* Умножьте ден.из

* Исключенные значения исходной ден. товара

В числителе продукта мы разложили на множители GCF.

В знаменателе мы разложили трехчлен .

Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: -6 и 0. Это значения , составляющие исходный знаменатель. товара, равного 0 .

* Записать как мульт.ответная

* Разложите число на множители. и ден.

* Simplifyby div. из общих множителей
y , ( y + 4) и ( y -4)

* Умножьте число. и ден.из

* Исключенные значения исходной ден. частного & продукт

Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: 0, 2, — 4, 4 и -3. Это значения , которые делают оригинал знаменатель частного и произведения равен 0 .

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика Проблемы 1a — 1b: Выполните указанную операцию.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра колледжа

Видео на этом сайте были созданы и подготовлены Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс.

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Определение и примеры рациональных дробей

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Приведение к новому знаменателю

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Сокращение рациональных дробей

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Определение и примеры рациональных дробей

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Приведение к новому знаменателю

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Сокращение рациональных дробей

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Рациональные дроби и их свойства [wiki.eduVdom.com]

Сложение и вычитание рациональных чисел

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

2.2.1. Рациональные выражения

Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

2.2.1.

Дроби и рациональные числа (ЕГЭ — 2021)

Что такое дробно-рациональные уравнения, примеры решения уравнений

Решение рациональных уравнений

Решение рациональных уравнений

Буквенные уравнения

Основные выводы

Тематические упражнения

ответов

рациональных выражений

Другие примеры:

Также

Но не

В целом

Поиск корней рациональных выражений

Самые низкие термины

Пример: дроби

Пример: рациональные выражения

Правильное против неправильного

Примеры степени:

Асимптоты

Поиск горизонтальных или наклонных асимптот

Степень верха

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x

градус верха

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x + 1)

Пример: f (x) = (8x

Степень верха составляет

Пример: f (x) = (3x

Степень верха:

Пример: f (x) = (3x

Поиск вертикальных асимптот

Пример: (x

Полный пример

Пример: эскиз (x − 1) / (x

7.2 − x − 2} \, dx = \ int \ left (\ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {2} {x − 2} \ right) \, dx. \ Nonumber \]

Неповторяющиеся линейные множители

Повторяющиеся линейные множители

Интеграция рациональных функций

Пример 1.

Пример 5.

Решение рациональных уравнений — ChiliMath

Примеры решения рациональных уравнений

Как найти решение рационального уравнения с помощью LCD

Добавить комментарий Отменить ответ