Рациональные степени: Степень с рациональным показателем: их основные свойства — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 02.07.202030.05.2021 by alexxlab

Содержание

Степень с рациональным показателем — Алгебра и геометрия

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0, а если и , то при a≥0;
свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0;
свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0, а если и , то при a≥0 и (или) b≥0;
свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0, а если , то при a≥0 и b>0;
свойство степени в степени при a>0, а если и , то при a≥0;
свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a^p<b^p, а при p<0 – неравенство a^p>b^p;
свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q.

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a^p<b^p, а при p<0 – неравенство a^p>b^p. Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a<b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство a^m<b^m. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a^p<b^p.

Аналогично, при m<0 имеем a^m>b^m, откуда , то есть, и a^p>b^p.

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m₁ и m₂ – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m₁>m₂, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0<a<1 должно быть справедливо неравенство a^m₁<a^m₂, а при a>1 – неравенство a^m₁>a^m₂. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0<a<1 выполняется неравенство a^p<a^q, а при a>0 – неравенство a^p>a^q.

Понятие степени с рациональным показателем. Свойства степени. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Выражения, которые имеют смысл Сложность: лёгкое	4
2.	Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь) Сложность: лёгкое	1
3.	Степень с дробным показателем (смешанное число) Сложность: лёгкое	2
4.	Степень с дробным показателем (десятичная дробь) Сложность: лёгкое	2
5.	Корень степени n из обыкновенной дроби Сложность: лёгкое	1
6.	Корень степени n из степени Сложность: лёгкое	1
7.	Степень с рациональным показателем Сложность: лёгкое	2
8.	Произведение степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	2
9.	Частное степеней с рациональными показателями Сложность: лёгкое	1
10.	Возведение степени в степень (рациональные показатели) Сложность: лёгкое	1
11.	Значение степени с рациональным показателем Сложность: среднее	4
12.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных Сложность: сложное	5
13.	Степень с целым показателем Сложность: среднее	6
14.	Произведение степени и корня Сложность: среднее	2,5
15.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби) Сложность: среднее	3
16.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби) Сложность: среднее	6
17.	Произведение в рациональной степени (степень и дробь) Сложность: среднее	6
18.	Сумма корней и степеней Сложность: среднее	4
19.	Свойства степеней с рациональными показателями (дробь) Сложность: среднее	4
20.	Произведение бинома на одночлен Сложность: среднее	5
21.	Квадрат бинома Сложность: среднее	4
22.	Произведение суммы и разности (степень и число) Сложность: среднее	3
23.	Сокращение дроби Сложность: среднее	4
24.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трехчлена Сложность: среднее	4
25.	Произведение суммы и разности двух степеней Сложность: сложное	4

Ответ:

11 класс.

Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций. — Обобщение понятия о показателе степени — начальные сведения.

Комментарии преподавателя

Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.

– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;

n штук

Кроме того, напомним, что:

и ;

Выражение не существует.

Основные свойства степеней:

1. ;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

2. ;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

3. ;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4. ;

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

5. ;

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Напомним основные числовые множества:

– натуральные числа;

– целые числа;

– рациональные числа;

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел

– действительные числа;

Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.

Рис. 1. Числовая ось

Определение:

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число

Например:

Пример 1 – вычислить:

Пример 2 – вычислить:

Пример 3 – вычислить:

Пример 4 – представить в виде степени:

Пример 5 – представить в виде степени:

Пример 6 – представить в виде степени:

Пример 7 – представить в виде степени:

Определение:

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .

Например:

Пример 8 – вычислить:

Пример 9 – вычислить:

Пример 10 – вычислить:

Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:

Ответ: не существует

Пояснение:

– выражение 1;

Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:

– выражение 2;

Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.

Запомним:

определено только при .

Пример 11 – построить графики функций:

График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения .

График второй функции по определению соответствует графику функции при .

Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

Пример 12 – найти область определения выражения:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения.

Напомним, что такое множество рациональных чисел.

– рациональные числа.

Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например :

Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.

Напомним определение: для выполняется равенство:

Например: ; ; (нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).

Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь s и r – рациональные числа:

1. .

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.

2. .

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.

3. .

4. .

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.

5. .

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.

Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей. Докажем первое свойство:

Доказательство:

s и r – рациональные числа, , ,

Приведем корни к одинаковому показателю:

Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:

По определению степени с рациональным показателем:

Согласно свойствам степени:

Итак, получили:

Докажем третье свойство:

Доказательство:

s и r – рациональные числа, , , .

Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – имеет ли смысл выражение:

а)

Ответ: нет.

б)

Ответ: да ().

в)

Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().

г)

Ответ: нет.

Пример 2 – вычислить:

Рассмотрим слагаемые отдельно:

Получаем:

Пример 3 – упростить выражение:

Упростим знаменатель:

Получаем:

Отметим, что обязательно в данном случае .

Пример 4 – упростить выражение:

Возводим в квадрат двучлен:

Получили выражение:

В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.

Пример 5 – упростить выражение:

Комментарий: ограничение на х наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.

Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/obobschenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-nachalnye-svedeniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepen-s-ratsionalnym-pokazatelem-prosteyshie-zadachi

http://www. youtube.com/watch?v=lxaxSszE22I

http://www.youtube.com/watch?v=Q-XBCtZuQ3g

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/617-samostoyatelnaya-rabota-s-7-obobshchenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-11-klass.html

http://www.mathematics-repetition.com/tag/primer-na-svoystva-stepeni-s-naturalynm-pokazatelem

http://www.nado5.ru/e-book/stepen-s-racionalnym-pokazatelem

Свойства степени с рациональным показателем

1. Свойства степени с рациональным показателем.

Бродецкая Т. А.,
учитель математики
МОУ «Гимназия № 4»,
г.о. Электросталь

2. Вспомним теорию

1
Вспомним теорию
Арифметическим корнем n – ой степени (n N, n 2) из
неотрицательного числа a называется такое
неотрицательное число, n – я степень которого равна а:
2 n 1
2n
nk
a
a
a
2 n 1
2n
mn
a,
n N
;
a ,
n N
;
k
a
m
,
при
a 0.

2
1)
m
n
Степень с рациональным
показателем.
a a ,
m
0,
n
Если
m Z , n N , a 0;
где
m
n
то
m
n
a n am
при
a 0.
2) При a > 0, b > 0, p и q — рациональные числа:
a a a
p
q
(a ) a
p q
p
a p a
( ) p
b
b
p q
pq
p
a
p q
a
q
a
(ab) a b
p
p
p

4. Тренировочные упражнения

5
1) Вычислить:
2
3 3 27 9 5
64
3
3
2) Найдите значение выражения
3) Упростить выражение
c c
5
c
1
5
5
=-26,5
6 2 17 5 6 2 17 = -2
=1
4
4) Найдите значение выражения
(
2с
2с
d
d
5) Упростить выражение
2c
2c
d
) (
d
1
2
d
2c
1
3
1
2
2c
)
d
125 8 5 5 49
1
2
6) Упростить выражение
a 2 2 a 1 a 2 2 a 1
2
2
2
2
= 2
=
4
= 7 5 35
Задания для самостоятельной работы
Вычислить: 1)
2)
3)
4)
5)
2
3) :
3
5( 27
(( 4 2 4 8 ) 2 6)(( 4 2 4 8 ) 2 6)
8 28 8 28
64
5
6
(0,125)
1
3
4
32 2 16
1
1
2
(3 ) 4
0 4
(3 100 23 5 23 2 )( 3 10 3 4 )
Упростить:
6)
3
b b
3
7)
(
0,5а
1
4
(2 а)
3
4
b
2
4
1
4
(2 а) а
2
3
4
) : ( 2а а 2 )
3
4
Проверка
1)
2)
2
5
(
3
3
3
)
3
5( 27 3 ) :
15
3
2
(( 2 8 ) 6)(( 2 8 ) 6)
4
2
4
4
4
2
( 2 8 2 2 8 6)( 2 8 2 2 8 6)
4
4
( 2 8 2)( 2 8 2) ( 2 8 ) 4
2
2 8 2 16 4 14
Проверка
3)
8 28 8 28
1 2 7 7 1 2 7 7 (1 7 ) 2 (1 7 ) 2
1 7 1 7 7 1 1 7 2
4)
5
6
1
3
64 (0,125) 32 2 4 16
5
6
6
(2 )
1
3 3
(0,5 )
4
1
1
2
(30 ) 4 4
3
4
2
2 2 (2 )
5
1 4
1 1
6
5
5
2 ( ) 2 2 4 2 2 2 4 2
2
5
5)
Проверка
3
3
3
3
3
( 100 2 5 2 2 )( 10 4 )
(а аb b )(a b) a b следует
3
3
3
3
( 10 ) ( 4 ) 10 4 6
По формуле
b3 b 2
6)
3
b
4
2
2
2 4
1
3 3
b
3
1
3
b
3
3
b
Проверка
7)
(
0,5а
1
4
(2 а)
1
4
(2 а) а
2
3
4
1
4
1)
3
4
3
4
2 0,5a (2 a) (2 a ) a
2 (2 a)
3
4
2)
1
4
1 a (2 a)
3
4
a (2 a)
3
4
3
4
1
3
4
) : ( 2а а 2 )
3
4
1
3
4
a (2 a)
3
4
3
4
;
1

10.

Задание на дом. • Тренировочный тест по теме «Свойства степени с
рациональным показателем» (проверка на
следующем уроке).

11. Тренировочный тест.

1
1. Найдите значение выражения: 6 8 3 .
1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.
2. Выберите верное неравенство:
1
1
1
3
1) 2 2 3 2 ; 2) 0 ,3 0 ,5 ; 3) 1,5 1; 4) 3-8
3. Среди данных чисел выберите наибольшее:
1) 5 ;
2) 5 ;
3) 5 ;
4) 5 .
4. Представьте данное выражение в виде степени:
1,7
2,8
1,5
у у у .
1) у -3; 2) у -7,14; 3) у 3;
4) у 6.
5. Упростите выражение: b 0,2 : b 0,7 .
2
1
0,9
1) b ;
2) b ;
3) b
; 4) b 7 .
1
2
1
2
1
3
1
2
1
4

12. Тренировочный тест (продолжение).

2
3
-1,5) .
6. Упростите выражение:
(а
5
1
5
6
6
1) а;
2) а ; 3) а ;
4) a . 36 3
.
2
7.

Найдите значение выражения: 125
5
6
36
1) 6 ; 2) 1,2 ;
3) 125 ;
4) 25 .
8. Найдите значение выражения: 2 3 3 2
1) -4;
2) 9;
3) -5;33
4) 5.
x 1
.
9. Сократите дробь:
33
22
11
x x x
11
1
x11
x 11 1
x
1
1) x11 1 ;
2) 11 ; 3) 11 ;
4)
.
11
x
x
x
10. Найдите значение выражения:
х х
при х = 0,0625
1
6
5
3
1
2
1) 0,5;
1
3
1
3
3
4
х 3 х 1
2) 2;
3) 4;
4) 0,25.
5
3
1
3
3 6 .
Тренировочный тест (продолжение).
11. Вычислите: -24·1251-39. 1) -1139; 2) -159; 3) -81; 4)81.
33
12. Вычислите: 4,7 — 8 ·2
. 1) -11,3; 2) 5,3; 3) -7,3; 4) 11,3.
1
1
3 2
13. Вычислите:
.
1)
1;
2)
2;
3)
;
4)
.
36
3
2
0
,
216
14.

Вычислите:
.
1
2
1
2
4
4
9
3
1) 0,04;
3
2
1
0 ,09 4 0 ,027 6
2) 0,4;
15. Вычислите: 18 27 0 ,4.
16. Упростите выражение
23
3) 4;
4) 0,16.
1) 1,6; 2) 161,6; 3) 2,6; 4) 5,6.
3
1 у2
2 у.
1
1 у2 у
1) 1 + у ; 2) 1 + 2 у ; 3) 2 у -1; 4) (1 — у )2.
а 16
а .
17. Упростите выражение:
а 4
1) -4; 2) 4; 3) –2а ;
4) 0.
18. Вычислите: 81 1 .
4
1 16
1
1) 2; 2) 2 2 ;
3) 3;
4) 1 2 .
2
3
1
3
1
3
1
4
1
3
1
2
Тренировочный тест (продолжение).
9
4
0 ,216 .
8
27
19. Найдите значение выражения
1) 0,36;
2) 3,6;
3) 0,6;
4) 0,18.
0 ,16 . 1) 0,04; 2) 0,4; 3) 0,2; 4) 0,8.
20. Вычислите: 0 ,064
23
32
0 3
0 ,5
3
21. Вычислите: 9 ( 5 ) 3 ( 0,01 ) 9 3 27 .
1) 13;
2) 7;
3) 3;
4) .

22. Вычислите: 5·250,5 –1 2. 1) 8; 2) 23; 3) 123; 4) 125- 2.
23. Вычислите: 24·16 -21 6. 1) 0; 2) 6; 3) 42; 4)90.
35 2
4 .
24. Вычислите:
1
28
25 2
1) 5 ;
2) 1;
3) 3,5;
4) 14.
25. Вычислите: 23·2-2 + 2-3·22 +1,25.
1
6
1) 1
9
;
32
2) 2,5;
1
1
4
1
3) 3,75;
26. Вычислите:
.
5 4 2 2 10 2
1) -63;
2) 63;
3)
25
1296
4) 1,25.
;
4) 0.
Тренировочный
тест
(продолжение).
1
2
Вычислите: 64 31 0 ,8
27.
.
1) 1,3;
2) 5,2;
3) 8,8;
4) 16,8.
1
28. Упростите выражение: а 4 : а 0,75
.
1
1
1
1) а 2 ;
2) а ;
3) а 2 ;
4) а .
6
1
1
29. Упростите выражение: а 2 : а 7
. 7
9
9
9
1) а14 ; 2) а 14 ;
3) а 7 ;
4) а 4 .
1
9
3
при
р
30. Найдите значение выражения
.

2
1) 0 ;
2) 1;
3) 9;
4) 3.
31. Найдите значение выражения 3 1 при р 2 .
3
1
1) 9 ;
2) 4 ;
3) 320 ;
4) 81.
3
32. Найдите наименьшее число:
1
1
1
1) 12 ;
2) 2 2 ;
3) 1 2 ;
4) 4 2 .
3р
6 р
4 р
1
2
1
р
Тренировочный тест (ответы).
№ 1
воп
рос
а
Отв 3
ет
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16
1
4
3
1
4
2
3
4
1
2
1
3
3
1
1
№ 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
воп
рос
а
Отв 2 1 1 2 2 2
4
3 3 4 3
4 2
4 4 4
ет
Используемая литература
• Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений. А. Н. Колмогоров, А. М.
Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. Москва.
«Просвещение»
2010г.
• Журнал «Математика.

Первое сентября» № 19, 2008г.,
«Подготовка к ЕГЭ».
• Сборники для подготовки к ЕГЭ по математике.
• Интернет – ресурс. Сайт http://www.mathege.ru. Открытый
банк задач по математике.
• Тест по теме «Свойства степени с рациональным
показателем»:
http://ov1098.jimdo.com/%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%89%
D0%B8%D0%BC%D1%81%D1%8F/11%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%8B/

Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства [wiki.eduVdom.com]

Число, n-я степень которого равна a, называется корнем n-й степени из числа $a (n\in\mathbb{N}) и обозначается $\sqrt[n]{a}$.

Неотрицательное число, n-я степень которого равна неотрицательному числу а, называется арифметическим корнем n-и степени из числа а.

Свойства арифметического корня n-й степени:

Если $a\geq 0 ; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$
Если $a \geq 0; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Если $a>0\text{ , те }\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{N}\text{ , то }a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{m} $. {\frac{2}{3}}$

Существование корня. Степень с рациональным показателем

Содержание:

Существование корня. Степень с рациональным показателем

Существование корня. Степень с рациональным показателем. Определение умножения (и деления) действительного числа, как обычно, непосредственно приводит к определению его степени по показателю положительного целого числа (и отрицательного целого числа).Если вы посмотрите в определенной степени на рациональные показатели в целом, вы в первую очередь сосредоточитесь на вопросе о наличии корня. 1 проверьте, насколько хорошо расширение заполнило старый зазор (он не создает новый зазор). пусть a-произвольное вещественное число, а l-натуральное число. Как известно, корни порядка l из a являются вещественными числами€.

Как мы помним, отсутствие простейших корней в поле рациональных чисел является одной из причин расширения этого поля. Людмила Фирмаль

Ограничиваясь случаем, когда a положительно, ищем положительное b, удовлетворяющее этому соотношению, так называемому арифметическому значению корня. Докажите, что такое число 6 всегда присутствует и только 1 больше. Однако последнее объяснение единственности числа€сразу же вытекает из того факта, что разным положительным числам соответствуют разные их степени. Для 05$’, это bn b’N. если существует положительное рациональное число r, n-я степень которого равна a, то это искомое число 6.Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться предположением, что такого рационального числа не существует. Теперь мы построим сечение X \ X в области всех рациональных чисел следующим образом.

Классифицировать X как все отрицательные рациональные числа и нули, а XA a для рациональных чисел q. классифицировать класс X как положительное рациональное число x(X’N> c). Легко видеть, что эти классы не пусты и X содержит положительные числа. Например, используя натуральное число m, h > 1 Это-и Т, и тем более-гг а Тл, число которых содержится в-а, т т м т И число m находится в X’. Другие требования поперечного сечения быстро проверяются. хм. Очевидно, что x принадлежит классу X, а x ’принадлежит классу X, и по определению этих классов х, Нуа, стр. Однако разница x’ x может быть меньше любого числа;> 0(n * 4, примечания), и ничто не мешает вам видеть x меньше, чем предварительно фиксированное число x’0.In в этом случае разница н-х-хп =(**)(х-Эн〜1 + х * х н〜х + … + ху-1)е * в NX? То есть он может быть сколь угодно малым*).по Лемме 2 это означает, что число и a равны. и проверяется, что обычные правила, оцененные в ходе элементарной алгебры, справедливы для таких степеней. АР * О!»АР + Р>, АГ: аг= на *、 (аг = ’ РЛ (арг =’ р-р ’、 П Он также подчеркивает, что в случае a> 1 порядок ar увеличивается по мере увеличения рационального показателя r.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

рациональных выражений

Выражение, представляющее собой отношение двух многочленов:

Это похоже на дробь, но с многочленами.

Другие примеры:

x ³ + 2x — 1 6x ²

2x + 9 x ⁴ — x ²

Также

1 2 — x ²	Верхний полином равен «1», и это нормально.

2x ² + 3	Да, это так! Так же можно было бы написать: 2x ² + 3 1

Но не

	2 — √ (x) 4 — x	вершина не является многочленом (квадратный корень из переменной не допускается)

		1 / x не допускается в полиноме

В целом

Рациональная функция — это отношение двух многочленов P (x) и Q (x), как это

f (x) = P (x) Q (x)

За исключением того, что Q (x) не может быть нулем (и везде, где Q (x) = 0 не определено)

Поиск корней рациональных выражений

«Корень» (или «ноль») — это выражение , равное нулю :

Чтобы найти корни рационального выражения , нам нужно только найти корни верхнего многочлена , если рациональное выражение находится в «наименьших членах».

Итак, что означает «Самые низкие термины»?

Наименьшие условия

Ну, дробь находится в наименьшем числе, когда верх и низ не имеют общих множителей.

Пример: дроби

2 6 , а не в самых низких показателях
, поскольку 2 и 6 имеют общий множитель «2»

Но:

1 3 — это в низком выражении,
, поскольку 1 и 3 не имеют общих множителей

Точно так же рациональное выражение находится в наименьших членах, когда верх и низ не имеют общих множителей.

Пример: рациональные выражения

x ³ + 3x ² 2x — это , а не в самом низком выражении,
как x ³ + 3x ² и 2x имеют общий множитель «х»

Но

x ² + 3x 2 — это в низком выражении,
as x ² + 3x и 2 не имеют общих множителей

Итак, чтобы найти корни рационального выражения :

Сократите рациональное выражение до наименьших членов,
Затем найдите корни верхнего полинома

Как нам найти корни? Прочтите «Решение многочленов», чтобы узнать, как это сделать.

Правильное против неправильного

Дроби могут быть правильными или неправильными:

(В «Неправильном» нет ничего плохого, просто другой тип)

И аналогично:

Рациональное выражение также может быть правильным или неправильным !

Но что делает многочлен больше или меньше?

Степень!

Для полинома с одной переменной Степень является наибольшим показателем этой переменной.

Примеры степеней:

4x		Степень: 1 (переменная без экспоненты фактически имеет показатель степени 1)

4x ³ — x + 3		Степень 3 (наибольший показатель x)

Итак, вот как узнать, является ли рациональное выражение правильным или неправильным :

Правильный: степень верха меньше степени низа.

Правильный:

1 х + 1

град (вверху) <градус (внизу)

Другой пример: x x ³ — 1

Неправильно: степень верха больше или равна степени низа.

Неправильно:

x ² — 1 x + 1

град (верх) ≥ град (низ)

Другой пример: 4x ³-3 5x ³ + 1

Если полином неправильный, мы можем упростить его с помощью полиномиального деления в длину

Асимптоты

Рациональные выражения могут иметь асимптоты (линия , к которой кривая приближается по мере приближения к бесконечности):

Рациональное выражение может иметь:

любое количество вертикальных асимптот,
только нулевая или одна горизонтальная асимптота,
только нулевая или одна наклонная (наклонная) асимптота

Поиск горизонтальных или наклонных асимптот

Найти их довольно просто. ..

… но это зависит от степени полинома сверху и снизу .

Быстрее всего будет расти тот, у кого большая степень.

То же, что «Правильный» и «Неправильный», но на самом деле существует четырех возможных случаев, показано ниже.

(я показываю тестовое значение x = 1000 для каждого случая, просто чтобы показать, что происходит)

Давайте рассмотрим каждый из этих примеров по очереди:

Степень верха

Меньше ниже

Нижний многочлен будет доминировать, а горизонтальная асимптота равна нулю.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x

² +1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4000001 = 0,00075 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 0

градус верха

равен низу

Ни один из них не доминирует … асимптота задается старшими членами каждого полинома.

Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x + 1)

Когда x равен 1000:

f (1000) = 3001/4001 = 0.750 …

И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 3/4

Почему 3/4? Поскольку «3» и «4» являются «старшими коэффициентами» каждого полинома

Члены отсортированы в порядке убывания степени

(Технически 7 — это постоянная величина, но здесь их все легче представить как коэффициенты.)

Метод простой:

Разделите старший коэффициент верхнего многочлена на старший коэффициент нижнего многочлена.

Вот еще один пример:

Пример: f (x) = (8x

³ + 2x ² — 5x + 1) / (2x ³ + 15x + 2)

Степени равны (обе имеют степень 3)

Достаточно взглянуть на старшие коэффициенты каждого полинома:

Верх 8 (от 8x ³)
Снизу 2 (из 2x ³)

Итак, существует горизонтальная асимптота на 8/2 = 4

Степень верха

1 больше низа

Это особый случай: существует наклонная асимптота , и нам нужно найти уравнение прямой.

Чтобы решить эту проблему, используйте полиномиальное деление в столбик: разделите верхнюю часть на нижнюю, чтобы найти частное (остаток игнорируйте).

Пример: f (x) = (3x

² +1) / (4x + 1)

Степень вершины равна 2, а степень основания равна 1, поэтому будет наклонная асимптота

Нам нужно разделить 3x ² +1 на 4x + 1 , используя полиномиальное деление в столбик:

Ответ: (3/4) x- (3/16) (без остатка):

Асимптота «уравнение линии»: (3/4) x- (3/16)

Степень верха:

больше, чем на 1, больше , чем нижний угол

Когда верхний многочлен на более чем на 1 градус, на выше нижнего многочлена, не существует горизонтальной или наклонной асимптоты .

Пример: f (x) = (3x

³ +1) / (4x + 1)

Степень верха равна 3, а степень низа 1.

Верх более чем на 1 градус выше низа, поэтому нет горизонтальной или наклонной асимптоты .

Поиск вертикальных асимптот

Существует еще один тип асимптоты, который вызван нижним многочленом только .

Но сначала: убедитесь, что рациональное выражение выражено в минимальных терминах!

Когда нижний многочлен равен нулю (любой из его корней), мы получаем вертикальную асимптоту.

Прочтите раздел Решение многочленов, чтобы узнать, как найти корни

Из нашего примера выше:

Пример: (x

² -3x) / (2x-2)

Нижний полином равен 2x-2 , который разлагается на:

2 (х-1)

А множитель (x-1) означает, что существует вертикальная асимптота при x = 1 (потому что 1-1 = 0)

Полный пример

Пример: эскиз (x − 1) / (x

² −9)

Прежде всего, мы можем разложить на множители нижний многочлен (это разница двух квадратов):

x − 1 (x + 3) (x − 3)

Теперь мы видим:

Корни верхнего многочлена: +1 (здесь пересекает ось x )

Корни нижнего многочлена: −3 и +3 (это вертикальные асимптоты )

Это пересекает ось y , когда x = 0, поэтому давайте установим x равным 0:

Пересекает ось Y в: 0−1 (0 + 3) (0−3) = −1 −9 = 1 9

Мы также знаем, что степень вершины меньше степени основания, поэтому существует горизонтальная асимптота в точке 0

Итак, мы можем набросать всю эту информацию:

И теперь мы можем набросать кривую:

(Сравните это с графиком (x-1) / (x ²-9))

рациональных функций | Безграничная алгебра

Введение в рациональные функции

Рациональная функция — это такая функция, что [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], где [latex] Q (x) \ neq 0 [/ latex] ; область определения рациональной функции может быть вычислена.

Цели обучения

Описать рациональные функции, включая их области

Основные выводы

Ключевые моменты

Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
Область [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех точек [latex] x [/ latex], знаменатель которых [latex] ] Q (x) [/ latex] не равно нулю.
Ограничения области рациональной функции можно определить, установив знаменатель равным нулю и решив. Значения [latex] x [/ latex], при которых знаменатель равен нулю, называются сингулярностями и не находятся в области определения функции.

Ключевые термины

домен : Набор всех входных значений ([latex] x [/ latex]), по которым определяется функция.
рациональная функция : Любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).
особенности : Значения [latex] x [/ latex], при которых рациональная функция не определена, для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю.
вертикальная асимптота : вертикальная прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в виде дроби (например, [latex] 2 [/ latex] в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex]).

Рациональные функции

Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций.Ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами.

Любая функция одной переменной, [latex] x [/ latex], называется рациональной функцией, если и только если она может быть записана в форме:

[латекс] f (x) = \ dfrac {P (x)} {Q (x)} [/ латекс]

, где [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] являются полиномиальными функциями от [латекса] x [/ латекса] и [латекса] Q (x) \ neq 0 [/ latex].

Обратите внимание, что каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с [latex] Q (x) = 1 [/ latex].Функция, которую нельзя записать в виде многочлена, например [latex] f (x) = \ sin (x) [/ latex], не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.

Постоянная функция, такая как [latex] f (x) = \ pi [/ latex], является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Обратите внимание, что сама функция рациональна, хотя значение [latex] f (x) [/ latex] иррационально для всех [latex] x [/ latex].

Область рациональной функции

Область определения рациональной функции [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех значений [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [латекс] Q (x) [/ латекс] не равен нулю.

В качестве простого примера рассмотрим рациональную функцию [latex] y = \ frac {1} {x} [/ latex]. Домен состоит из всех значений [latex] x \ neq 0 [/ latex].

Ограничения домена могут быть рассчитаны путем нахождения сингулярностей, которые представляют собой значения [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю. Рациональная функция не определена для таких значений [latex] x [/ latex], и эти значения исключаются из набора предметных областей функции.

Факторизация числителя и знаменателя рациональной функции помогает выявить особенности алгебраических рациональных функций. 2 [/ latex] должно быть равно [latex] -2 [/ latex]. Поскольку это условие не может быть удовлетворено действительным числом, область определения функции — все действительные числа.