Расстояние от точки до точки на плоскости – «Найдите расстояние от точки M до прямой l. Ответ введите с точностью до двух знаков после запятой» – Яндекс.Знатоки

Содержание

Расстояние от точки до прямой на плоскости (метод координат)

Расстояние от точки до прямой на плоскости и задача с параметром.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости с помощью метода координат, а затем используем эту формулу для решения задачи с параметром.

Пусть нам нужно найти расстояние от точки Подготовка к ГИА и ЕГЭ до прямой Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Запишем уравнение прямой, перпендикулярной вектору  Подготовка к ГИА и ЕГЭ, проходящей через точку Подготовка к ГИА и ЕГЭ

.

 

Расстояние от точки до прямой на плоскости (метод координат) и задача с параметром.

Для любой точки Подготовка к ГИА и ЕГЭ, принадлежащей прямой, вектор Подготовка к ГИА и ЕГЭ, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ — это число, пусть Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Получим: Подготовка к ГИА и ЕГЭ

, или Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Таким образом, в уравнении прямой Подготовка к ГИА и ЕГЭ коэффициенты Подготовка к ГИА и ЕГЭ и Подготовка к ГИА и ЕГЭкоординаты вектора нормали.

Выведем формулу для нахождения расстояния от точки Подготовка к ГИА и ЕГЭ

до прямой Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть основание перпендикуляра  — точка Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Координаты точкиПодготовка к ГИА и ЕГЭ удовлетворяют уравнению прямой: Подготовка к ГИА и ЕГЭ

, отсюда Подготовка к ГИА и ЕГЭ. (1)

Мы получили вектор   Подготовка к ГИА и ЕГЭ, коллинеарный вектору нормали Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Нам надо найти длину этого вектора.

Если вектора коллинеарны, то косинус угла между этими векторами равен 1.

Запишем, чему равно скалярное произведение векторов Подготовка к ГИА и ЕГЭ

и Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

С одной стороны, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ (2)

С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ (из равенства (1)) (3)

Приравняем выражения для скалярного произведения (правые части равенств (2) и (3):

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Отсюда Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Так как длина вектора есть величина неотрицательная, возьмем правую часть по модулю, и получим формулу для нахождения расстояния от точки Подготовка к ГИА и ЕГЭ до прямой Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

 

Решим задачу с параметром с использованием этой формулы.

Найдите все значения параметра Подготовка к ГИА и ЕГЭ,  при каждом из которых система уравнений

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

имеет более одного решения.

Решение.

показать

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

 

Расстояние от точки до прямой на плоскости — WiKi

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координат

Прямая задана уравнением

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x0,y0) равно [1]

distance⁡(ax+by+c=0,(x0,y0))=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} 

Точка на прямой, наиболее близкая к (x0,y0), имеет координаты [2]

x=b(bx0−ay0)−aca2+b2{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}}  и y=a(−bx0+ay0)−bca2+b2.{\displaystyle y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.} 

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = —c/b. Расстояние от (x0, y0) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y0 — (-c/b)| = |by0 + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax0 + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

xcos⁡α+ysin⁡α−p=0{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0} 

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на a2+b2{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} . Тогда расстояние от точки (x0, y0) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]

|d|=|x0cos⁡α+y0sin⁡α−p|{\displaystyle |d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|} 

Прямая задана двумя точками

Если прямая проходит через две точки P1=(x1,y1) и P2=(x2,y2), то расстояние от (x0,y0) до прямой равно:

distance⁡(P1,P2,(x0,y0))=|(y2−y1)x0−(x2−x1)y0+x2y1−y2x1|(y2−y1)2+(x2−x1)2.{\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.} 

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P1 и P2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x0,y0), P1 и P2 (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно h=2Ab{\textstyle h={\frac {2A}{b}}} , что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: A=12bh{\textstyle A={\frac {1}{2}}bh} , где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон —a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x0, y0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

y0−nx0−m=ba.{\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.} 

Таким образом, a(y0−n)−b(x0−m)=0,{\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}  и после возведения в квадрат получим:

a2(y0−n)2+b2(x0−m)2=2ab(y0−n)(x0−m).{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).} 

Рассмотрим,

(a(x0−m)+b(y0−n))2=a2(x0−m)2+2ab(y0−n)(x0−m)+b2(y0−n)2=(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2){\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})} 

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

(a(x0−m)+b(y0−n))2=(ax0+by0−am−bn)2=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}} ,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2)=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}} 

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

d=(x0−m)2+(y0−n)2=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}  [5].

Геометрическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен —A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:

|PR¯||PS¯|=|TV¯||TU¯|.{\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.} 

Если точка S имеет координаты (x0,m), то |PS| = |y0 — m| и расстояние от P до прямой равно:

|PR¯|=|y0−m||B|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.} 

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

m=−Ax0−CB,{\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},} 

и получаем: [6]

|PR¯|=|Ax0+By0+C|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.} 

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим D|TU¯|=|VU¯||VT¯|{\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|} , где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить |TU¯|{\displaystyle |{\overline {TU}}|} , |VU¯|{\displaystyle |{\overline {VU}}|}  и |VT¯|{\displaystyle |{\overline {VT}}|} в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора

Пусть P — точка с координатами (x0, y0) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x1, y1) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции QP→{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}  на n. Длина этой проекции равна:

d=|QP→⋅n|‖n‖.{\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.} 

Теперь

QP→=(x0−x1,y0−y1),{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}  так что QP→⋅n=a(x0−x1)+b(y0−y1){\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}  и ‖n‖=a2+b2.{\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.} 

Тогда

d=|a(x0−x1)+b(y0−y1)|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} 

Поскольку Q лежит на прямой, c=−ax1−by1{\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}} , а тогда [8][9][10]

d=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} 

Другие формулы

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами (x0,y0{\displaystyle x_{0},y_{0}} ). Пусть прямая задана уравнением y=mx+k{\displaystyle y=mx+k} . Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением y=x0−xm+y0{\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}} .

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

mx+k=x0−xm+y0.{\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.} 

Мы можем решить это уравнение по x,

x=x0+my0−mkm2+1.{\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.} 

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

y=m(x0+my0−mk)m2+1+k.{\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.} 

Подставив полученные значения в формулу расстояния d=(X2−X1)2+(Y2−Y1)2{\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}} , получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

d=(x0+my0−mkm2+1−x0)2+(mx0+my0−mkm2+1+k−y0)2.{\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.} 

Если заметить, что m = —a/b и k = —c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].

Формулировка с помощью векторов

  Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

x=a+tn{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} } ,

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

distance⁡(x=a+tn,p)=‖(a−p)−((a−p)⋅n)n‖.{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.} 

Эта формула геометрически строится следующим образом: a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }  — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда (a−p)⋅n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }  — это длина проекции на прямую, а тогда

((a−p)⋅n)n{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } 

— это вектор, являющийся проекцией a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }  на прямую. Тогда

(a−p)−((a−p)⋅n)n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } 

является компонентой вектора a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } , перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов

См. также

Примечания

  1. ↑ Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
  2. 1 2 Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
  3. ↑ Привалов, 1966, с. 67.
  4. ↑ Делоне, Райков, 1948, с. 195.
  5. ↑ Laudanski, 2014.
  6. 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
  7. ↑ Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
  8. ↑ Anton, 1994, с. 138-9.
  9. ↑ Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
  10. ↑ Моденов, 1967, с. 152.
  11. Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line (неопр.). // softSurfer. Дата обращения 6 декабря 2013.

Литература

  • Делоне Б. Н., Райков Д. А.  Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
  • Моденов П. С.  Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
  • Привалов И. И.  Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
  • Федотов А. Г., Карпов Б. В.  Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
  • Anton H.  Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
  • Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — DOI:10.2307/2306514.
  • Larson R., Hostetler R.  Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
  • Laudański L. M.  Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литература

Расстояние от точки до прямой на плоскости Википедия

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координат

Прямая задана уравнением

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x0,y0) равно [1]

distance⁡(ax+by+c=0,(x0,y0))=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Точка на прямой, наиболее близкая к (x0,y0), имеет координаты [2]

x=b(bx0−ay0)−aca2+b2{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}} и y=a(−bx0+ay0)−bca2+b2.{\displaystyle y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = —c/b. Расстояние от (x0, y0) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y0 — (-c/b)| = |by0 + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax0 + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

xcos⁡α+ysin⁡α−p=0{\displaystyle x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0}

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на a2+b2{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}. Тогда расстояние от точки (x0, y0) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]

|d|=|x0cos⁡α+y0sin⁡α−p|{\displaystyle |d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|}

Прямая задана двумя точками

Если прямая проходит через две точки P1=(x1,y1) и P2=(x2,y2), то расстояние от (x0,y0) до прямой равно:

distance⁡(P1,P2,(x0,y0))=|(y2−y1)x0−(x2−x1)y0+x2y1−y2x1|(y2−y1)2+(x2−x1)2.{\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P1 и P2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x0,y0), P1 и P2 (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно h=2Ab{\textstyle h={\frac {2A}{b}}}, что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: A=12bh{\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}, где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон —a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x0, y0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

y0−nx0−m=ba.{\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}

Таким образом, a(y0−n)−b(x0−m)=0,{\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,} и после возведения в квадрат получим:

a2(y0−n)2+b2(x0−m)2=2ab(y0−n)(x0−m).{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}

Рассмотрим,

(a(x0−m)+b(y0−n))2=a2(x0−m)2+2ab(y0−n)(x0−m)+b2(y0−n)2=(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2){\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

(a(x0−m)+b(y0−n))2=(ax0+by0−am−bn)2=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}},

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

(a2+b2)((x0−m)2+(y0−n)2)=(ax0+by0+c)2{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

d=(x0−m)2+(y0−n)2=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.} [5].

Геометрическое доказательство

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен —A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:

|PR¯||PS¯|=|TV¯||TU¯|.{\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}

Если точка S имеет координаты (x0,m), то |PS| = |y0 — m| и расстояние от P до прямой равно:

|PR¯|=|y0−m||B|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

m=−Ax0−CB,{\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}

и получаем: [6]

|PR¯|=|Ax0+By0+C|A2+B2.{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим D|TU¯|=|VU¯||VT¯|{\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}, где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить |TU¯|{\displaystyle |{\overline {TU}}|}, |VU¯|{\displaystyle |{\overline {VU}}|} и |VT¯|{\displaystyle |{\overline {VT}}|}в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектора

Пусть P — точка с координатами (x0, y0) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x1, y1) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции QP→{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}} на n. Длина этой проекции равна:

d=|QP→⋅n|‖n‖.{\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}

Теперь

QP→=(x0−x1,y0−y1),{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),} так что QP→⋅n=a(x0−x1)+b(y0−y1){\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})} и ‖n‖=a2+b2.{\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}

Тогда

d=|a(x0−x1)+b(y0−y1)|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Поскольку Q лежит на прямой, c=−ax1−by1{\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}, а тогда [8][9][10]

d=|ax0+by0+c|a2+b2.{\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Другие формулы

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами (x0,y0{\displaystyle x_{0},y_{0}}). Пусть прямая задана уравнением y=mx+k{\displaystyle y=mx+k}. Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением y=x0−xm+y0{\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

mx+k=x0−xm+y0.{\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}

Мы можем решить это уравнение по x,

x=x0+my0−mkm2+1.{\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

y=m(x0+my0−mk)m2+1+k.{\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}

Подставив полученные значения в формулу расстояния d=(X2−X1)2+(Y2−Y1)2{\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}, получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

d=(x0+my0−mkm2+1−x0)2+(mx0+my0−mkm2+1+k−y0)2.{\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.}

Если заметить, что m = —a/b и k = —c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].

Формулировка с помощью векторов

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

x=a+tn{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} },

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

distance⁡(x=a+tn,p)=‖(a−p)−((a−p)⋅n)n‖.{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}

Эта формула геометрически строится следующим образом: a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда (a−p)⋅n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} } — это длина проекции на прямую, а тогда

((a−p)⋅n)n{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }

— это вектор, являющийся проекцией a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } на прямую. Тогда

(a−p)−((a−p)⋅n)n{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }

является компонентой вектора a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }, перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторов

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления[en] u→{\displaystyle {\vec {u}}}, то расстояние от точки A до прямой (d) равно

d(A,(d))=‖BA→∧u→‖‖u→‖{\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}},

где BA→∧u→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}} — векторное произведение векторов BA→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}} и u→{\displaystyle {\vec {u}}}, а ‖u→‖{\displaystyle \|{\vec {u}}\|} — норма вектора u→{\displaystyle {\vec {u}}}.

См. также

Примечания

  1. ↑ Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
  2. 1 2 Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
  3. ↑ Привалов, 1966, с. 67.
  4. ↑ Делоне, Райков, 1948, с. 195.
  5. ↑ Laudanski, 2014.
  6. 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
  7. ↑ Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
  8. ↑ Anton, 1994, с. 138-9.
  9. ↑ Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
  10. ↑ Моденов, 1967, с. 152.
  11. Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line (неопр.). // softSurfer. Дата обращения 6 декабря 2013.

Литература

  • Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
  • Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
  • Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
  • Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
  • Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
  • Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — DOI:10.2307/2306514.
  • Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
  • Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литература

Расстояние от точки до прямой

Основные определения и теоремы

Определение 1

Расстояние — это мера, характеризующая удалённость нескольких объектов друг относительно друга. Термин “расстояние” применим как в пространстве, так и на плоскости.

Пример 1

Рассмотрим небольшую иллюстрацию.

Рисунок 1.

Мы видим на рисунке 2 точки. Необходимо найти расстояние между ними.

Для выполнения данной задачи необходимо использовать любой измерительный инструмент, например, линейку.

Рисунок 2.

Необходимо приложить его начало к одной из точек, а конец к другой, и списать полученное с линейки число.

Также для измерения можно использовать, например, циркуль. С помощью него можно даже измерять толщину складок жира, прикладывая циркуль после снятия замера к линейке.

Определение 2

Очень часто для обозначения расстояния используют греческую букву $ρ$.

Перейдём к рассмотрению частного случая: поиску расстояния между точкой и прямой.

Расстояние между точкой и прямой

Рассматривая прямую и точку, не возлежащую на ней, следует помнить, что они всегда образуют плоскость по одной из основных аксиом объёмной геометрии, поэтому рассматривать эту задачу можно как одну из планиметрических.

Рисунок 3. Точка и не проходящая через неё прямая — служат характеристиками плоскости

Теорему, об образовании одной-единственной плоскости точкой и прямой можно вывести из аксиомы, в которой говорится, что три точки описывают плоскость.

Дело в том, что на любой прямой всегда можно отметить 2 произвольные несовпадающие точки, а некая третья точка у нас уже дана. Вот и всё доказательство теоремы.

Определение 3

Расстояние между точкой и прямой — это перпендикуляр, который опускают с этой прямой в рассматриваемую точку.

Рассмотрим, что же такое расстояние от точки до прямой на примере задачи ниже.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пример 2

Рисунок 4. Найти расстояние от точки до прямой

Найдите расстояние от $l$ до $X$.

Опустим из точки $X$ перпендикуляр на прямую $l$. Также на прямой отметим любую точку, не совпадающую с точкой пересечения перпендикуляра из точки $X$ с прямой $l$, назовём её $Z$.

У нас получился прямоугольный треугольник $XYZ$.

Гипотенуза в этом треугольнике, как мы знаем, лежит напротив прямого угла, причём гипотенуза является самой длинной стороной, значит, кратчайшим путём между точкой и прямой будет $YX$, являющийся перпендикуляром.

Причём длина $XY$ всегда будет меньше длины $XZ$ вне зависимости от того, где именно на прямой поставить точку $Z$.

Одной из наиболее частых задач по данной теме на плоскости и в пространстве является определение расстояния от прямой до точки по координатам точки и уравнению прямой.

На практике обычно не очень удобно заниматься таким построением в масштабе 1:1, поэтому обычно поиск кратчайшей длины между точкой и прямой осуществляется аналитически.

Рассмотрим решение такой задачи на плоскости.

Пример 3

Дано уравнение некой прямой $m$: $y= 3x + 2$ и точка $M$, не возлежащая на ней, её икс и игрек $(2;0)$.

Определить расстояние между точкой и прямой.

Опускаем перпендикуляр из точки $M$ на прямую $m$.

Теперь, для того чтобы высчитать его длину, нужно найти координаты пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ с прямой $m$. Назовём точку их пересечения $D$.

Для того чтобы найти точку пересечения перпендикуляра, опущенного из нашей точки на прямую $m$, необходимо сначала получить уравнение этого перпендикуляра.

Для этого перепишем уравнение прямой $m$ в общем виде: $3x-y+2=0$.

При записи в такой форме не трудно увидеть, что нормальный вектор этой прямой имеет координаты $(3;-1)$.

Нормальный вектор для этой прямой является направляющим для перпендикуляра.

Также нам известно, что этот перпендикуляр проходит через точку $M$ с координатами $(2;0)$.

Следовательно, мы можем записать его уравнение:

$\frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1}$

Для того чтобы найти координаты точки пересечения перпендикуляра $MD$ с прямой $m$, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ 3x-y+2=0 \\ \end{cases}$

Для этого выражаем $y$ из второго уравнения:

$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ y= 3x+2 \\ \end{cases}$

И затем подставляем его в первое:

$\frac{x-2}{3} = -3x-2$

Избавляемся от знаменателя, умножив всё на $3$:

$x – 2 + 9x + 6 = 0$

$10x + 4 = 0$

$10x = -4$

$x = -0,4$

Подставляем полученный икс во второе уравнение:

$y= (-0,4 \cdot 3) + 2$

$y = 0,8$

То есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $m$ имеет координаты $(-0,4;0,8)$.

Теперь найдём длину $MD$:

$MD = \sqrt{(-0,4)^2 + 0,8^2} = \sqrt{0,8} ≈ 0.89$

Ответ: расстояние между точкой и прямой равно $0,89$.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

При определении расстояния от точки до прямой в пространстве можно воспользоваться следующей формулой:

Замечание 1

$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_1 – y_0 & z_1 — z_0\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & z_1 — z_0\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & y_1 – y_0\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}$

В этой формуле $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки, $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора заданной прямой, а $l_1, m_1, n_1$ — координаты направляющего вектора прямой.

Эта формула также выведена из построений, аналогичных построением при решении подобной задачи на плоскости, но выглядит она более тяжеловесно.

Однако, этого не стоит пугаться, так как довольно удобно пользоваться.

Но, возможно, что новичкам перед её использованием придётся ознакомиться с тем, как высчитывать определитель матрицы.

Рассмотрим задачу с использованием этой формулы.

Пример 4

Дана прямая $w$ $\frac{x-5}{1}=\frac{y+1}{2} =\frac{z-4}{4}$ и точка $K$ c координатами $(1;2;3)$.

Найдите расстояние от $w$ до $K$ в пространстве.

Направляющий вектор для заданной прямой имеет координаты ${1;2;4}$, а нормальный вектор — ${5;-1;4}$.

Подставим все эти числа в формулу для нахождения расстояния:

$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -1 — 2 & 4 — 3\\ 2 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & 4-3\\ 1 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & -1 – 2\\ 1 & 2 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -3 & 1\\ 2 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 4 & 1\\ 1 & 4 \\ \end{array}^2 + \begin{array}{|cc|} 4 & -3\\ 1 & 2 \\ \end{array}^2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{(-12-2)^2 + (16-1)^2 + (8+3)^2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{542}}{\sqrt{21}} ≈ 5,080$

Расстояние между прямой и точкой в данном случае составит $5,080$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *