а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему острому углу

Решение

а) Пусть ABC и A₁B₁C₁ — прямоугольные треугольники, о которых известно, что

C = C₁ = 90^o, AC = A₁C₁ , BC = B₁C₁. Тогда они равны по двум сторонам и углу между ними.

б) Пусть ABC и A₁B₁C₁ — прямоугольные треугольники, о которых известно, что

C = C₁ = 90^o, BC = B₁C₁ ,ABC = A₁B₁C₁. Тогда они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

в) Пусть ABC и A₁B₁C₁ — прямоугольные треугольники, о которых известно, что

C = C₁ = 90^o, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁. На продолжении отрезка BC за точку C отложим отрезок CD, равный BC. Аналогично построим точку D₁ на продолжении B₁C₁ за точку C₁.

Прямоугольный треугольник ADC равен треугольнику ABC, а прямоугольный треугольник A₁D₁C₁ — треугольнику A₁B₁C₁ (по двум катетам). Значит,

AD = AB = A₁B₁ = A₁D₁, BD = 2BC = 2B₁C₁ = B₁D₁. Поэтому равнобедренные треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по трём сторонам. Значит, равны их соответствующие углы ABC и A₁B₁C₁. Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

г) а) Пусть ABC и A₁B₁C₁ — прямоугольные треугольники, о которых известно, что

C = C₁ = 90^o, AB = A₁B₁ ,ABC = A₁B₁C₁. На продолжении отрезка AC за точку C отложим отрезок CK, равный AC. Аналогично построим точку K₁ на продолжении A₁C₁ за точку C₁. Прямоугольный треугольник BKC равен треугольнику BAC, а прямоугольный треугольник B₁K₁C₁ — треугольнику B₁K₁C₁ (по двум катетам). Значит, BK = AB = A₁B₁ = B₁K₁, ABK = 2ABC = 2A₁B₁C₁ = A₁B₁K₁. Поэтому треугольники ABK и A₁B₁K₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны их соответствующие углы BAC и B₁A₁C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне ( AB = A₁B₁) и двум прилежащим к ней углам.

Урок геометрии в 7-м классе по теме: «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников”

Цель: закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников.

Ход урока:

I. Оргмомент.

II. Устно.

1. Ответить на вопросы:

1. Назвать элементы прямоугольного треугольника.
2. Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
3. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰ , равен половине гипотенузы.
4. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30⁰.
5. Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин).

Рисунок 1.

Составили слово “признак”.

III. Изучение нового материала

Изучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.

Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?

Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А₁В₁С₁, у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.

№1. (По двум катетам)

Рисунок 2.

Дано: АВС и А₁В₁С₁ , В=В₁=90⁰, АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁

Доказать: АВС = А₁В₁С₁

Как прозвучит признак? (Затем задача №1)

№2. (По катету и прилежащему к нему острому углу)

Рисунок 3.

Дано: АВС и А₁В₁С₁ , В=В₁=90⁰, ВС = В₁С_1,С= С₁

Доказать: АВС = А₁В₁С₁

Как прозвучит признак? (Затем задача №2)

№3. (По гипотенузе и острому углу)

Рисунок 4.

Дано: АВС и А₁В₁С₁ , В=В₁=90⁰, АС = А₁С_1,А= А₁

Доказать: АВС = А

1В₁С₁

Как прозвучит признак? (Затем задача №3)

Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство.

Рисунок 5.

IV. Закрепление изученного на уроке.

Решить следующую задачу.

Рисунок 6.

Дано: АВС, А₁В₁С₁, DAB=CBA=90⁰, АD = BD

Доказать: CAB=DBA.

Обсуждение в четверках (3 мин).

Зачем задача из учебника №261 с записью.

№ 261.

Рисунок 7.

Дано: АВС – равнобедренный, AD и CE – высота АВС

Доказать: AD = CE

Доказательство:

1. Треугольники ADC и CEA прямоугольные, так как AD и CE высоты АВС.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и CEA: AC – общая гипотенуза, A=C (как углы при основании равнобедренного треугольника АВС). Значит ADC=CEA (по гипотенузе и острому углу)
3. Вывод: так как ADC=CEA, то AD=CE. Что и требовалось доказать.

V. Задание на дом.

П.35 (три признака), №261 (доказать, что АОС — равнобедренный), №268 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу).

На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по результатам за 2 урока.

Дополнительно. Найти равные треугольники.

Рисунок 8.

Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам Очень срочно

Зарабатывай с помощью своего интернета! — <a rel=»nofollow» href=»http://clickpaotvetmail.blogspot.com?0=90960456&amp;domain=mail.ru&amp;error=1?http://mail.ru/» target=»_blank»>https://kwork.ru</a>

Попробуйте лучше загрузить на студенческий сайт: zadachi.com.ua И Вам там решат! . . . . . . . . Уже помогли 2499 студентам

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

в учебкик хоть иногда заглядывай, а не тока в вконтактик… Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует, что: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Из второго признака равенства треугольников следует, что: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что в этих треугольниках два других острых угла также равны, поэтому они равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.

Известны три признака равенства любых треугольников: по двум сторонам и углу между ними; по двум угла и стороне между ними; по трем сторонам. У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу — это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов. Первый признак равенства треугольников для прямоугольных треугольников сокращается до равенства двух катетов: если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то эти треугольники равны. Действительно, ведь между катетами лежит прямой угол, который у обоих треугольников равен 90°. На основе второго признака равенства треугольников утверждается, что если в у одного прямоугольного треугольника катет и прилежащий к нему непрямой угол равны катету и прилежащему к нему непрямому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, ведь катеты получаются лежащим между равными углами. С одной стороны равны острые углы, а с другой — прямые.

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/Mtnp?0=230644″ target=»_blank»>No посмотри здесь, страница 349</a>

Признаки равенства треугольников 🚩 Школы

Треугольники считаются равными в том случае, когда две из сторон и угол, образовавшийся между ними первого из данных
треугольников соответствуют двум из сторон, а также углу, находящемуся между ними иного треугольника.
Доказательство:
Для примера возьмём два треугольника CDE и C1D1E1.
Стороны: CD равна C1D1 и DE=D1E1 и угол D=D1.
Накладываем один треугольник на другой так, чтобы их вершины полностью соответствовали друг другу. В данном случае треугольники одинаковы.
Треугольники равны друг другу в том случае, когда одна из сторон и прилежащие к ней углы первого из представленных треугольников в точности совпадают со стороной и прилежащими к ней углами второго.
Доказательство:
Для примера возьмём два треугольника CDE и C1D1E1.
Сторона: DE=D1E1 и углы: D равен D1, E=E1.
Для доказательства применяется наложение одного треугольника на иной. Утверждение верно, если их вершины в точности совпадут между собой.

Треугольники идентичны, когда все их стороны равны.
Тогда, когда все стороны первого треугольника полностью соответствуют трём сторонам второго, то такие треугольники признаются равными.
Доказательство:
Стороны: CD равны C1D1 и DE=D1E1, а также CE=C1E1.
Теорема доказывается путём наложения одного из треугольников на второй так, чтобы их грани совпали .
При рассмотрении признаков равенства треугольников следует также упомянуть в качестве отдельной категории признаки равенства прямоугольных треугольников.
Два заданных прямоугольных треугольника идентичны тогда, когда два катета первого из них соответствуют двум катетам второго.
Треугольники считаются равными, если катет и гипотенуза одного равноценны по размеру другому.
В случае когда гипотенуза и образовавшийся острый угол первого прямоугольного треугольника равнозначны гипотенузе и острому углу иного, то данные треугольники равнозначны.
Треугольники равны, при случае когда катет и острый угол первого из данных прямоугольных треугольников идентичны катету и острому углу второго.
Статья затронула признаки равенства треугольников, применяемые в геометрии. В особую часть выделена эквивалентность прямоугольных треугольников.