Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹: 1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращённого умноТСния для разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

{2}}\)Β­Β­

Ну ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ с Π½ΠΈΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΡˆΡŒ? Π’Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ‹ ΠΈ Π½Π° \( \displaystyle  3\) Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ дСлится ΠΈ Π½Π° \( \displaystyle  5\), Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π° \( \displaystyle  x\) ΠΈ Π½Π° \( \displaystyle  y\)

Но всС вмСстС Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡˆΡŒ, Π½Ρƒ Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΡ‰ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π΅ раскладывая Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ?

Π’ΡƒΡ‚ Π½Π°Π΄ΠΎ смСкалку ΠΏΡ€ΠΎΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Π° имя этой смСкалкС – Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρƒ всСх Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Для Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΊΠΈ слагаСмых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ мСстами ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, для наглядности ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части выраТСния Π² скобки, ΠΈΡ… ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ запрСщаСтся сколько ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅ Π½Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

НС ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ понятно всС это? Объясню Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

Π’ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ \( \displaystyle  {{x}^{3}}-3xy-5{{x}^{2}}y+15{{y}^{2}}\)Β­Β­ ставим Ρ‡Π»Π΅Π½ – \( \displaystyle  3xy\) послС Ρ‡Π»Π΅Π½Π° – \( \displaystyle  5x2y\) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\( \displaystyle  {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y-3xy+15{{y}^{2}}\)

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° вмСстС Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скобкС ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, вынСся Π·Π° скобку Π·Π½Π°ΠΊ «минус», ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

\( \displaystyle  ({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}y)-(3xy-15{{y}^{2}})\)

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ смотрим ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… β€œΠΊΡƒΡ‡Π΅ΠΊβ€, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скобками.{2}}-3y)(x-5y)\).

Богласись, ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»?

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ являСтся вынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ обращаСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки

ΠŸΡ€ΠΈ вынСсСнии ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки образуСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. НапримСр:

6x + 3xy = 3x(2 + y)

Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… изучСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, состоящим ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ выносится Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ говорят Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 6x + 3xy Π±Ρ‹Π» прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² 3x ΠΈ (2 + y). По-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 6x + 3xy Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 3x ΠΈ (2 + y)

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. НапримСр, рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5a(x + y) + 7a(x + y). Π’ этом ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ являСтся Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ (x + y). ВынСсСм Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки:


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

НСкоторыС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ содСрТат Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² скобки ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° эти скобки. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ получаСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

ax + ay + 3x + 3y

Π§Π»Π΅Π½Ρ‹ ax ΠΈ ay ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a. Π’Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эти Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π² скобки:

(ax + ay)

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ ax + ay + 3x + 3y Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 3x ΠΈ 3y ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3. Π’Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эти Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π² скобки:

(3x + 3y)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ соСдиним выраТСния (ax + ay) ΠΈ (3x + 3y) Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «плюс»

(ax + ay) + (3x + 3y)

Π’ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ (ax ay) вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a, Π° Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ (3+ 3y) вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3. Π”Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π² исходном Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ:

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ (x + y) являСтся ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. ВынСсСм Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² исходном ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅, Π½Π΅ расписывая ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ получится Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (x + y)(+ 3). Если ΠΌΡ‹ всё сдСлали ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ax + ay + 3x + 3y

(x + y)(+ 3) = ax + ay + 3x + 3y


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 9x + ax βˆ’ 9y βˆ’ ay Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Π§Π»Π΅Π½Ρ‹ 9x ΠΈ βˆ’9y ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 9. А Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ax ΠΈ βˆ’ay ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a. Π‘Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ скобок, ΠΈ объСдиним с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠ° «плюс»

(9x βˆ’ 9y) + (ax βˆ’ ay)

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ (9x  βˆ’ 9y) вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 9. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ (ax βˆ’ ay) вынСсСм Π·Π° скобки Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

a

(9x βˆ’ 9y) + (ax βˆ’ ay) = 9(x βˆ’ y) + a(x βˆ’ y)

Π”Π°Π»Π΅Π΅ вынСсСм Π·Π° скобки Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ (x βˆ’ y)

(9x βˆ’ 9y) + (ax βˆ’ ay) = 9(x βˆ’ y) + a(x βˆ’ y) = (x βˆ’ y)(9 + a)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ab βˆ’ 3b + bβˆ’ 3a Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Π‘Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ab с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ βˆ’3a. А Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ βˆ’3b сгруппируСм с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ b2. НС Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠ° «плюс»

(ab βˆ’ 3a) + (βˆ’3b + b2)

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ b

(ab βˆ’ 3a) + (βˆ’3b + b2) = a(b βˆ’ 3) +

b(βˆ’3 + b)

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ b(βˆ’3 + b) Π² сомноТитСлС (βˆ’3 + b) ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ порядок слСдования Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ b(b βˆ’ 3)

(ab βˆ’ 3a) + (βˆ’3b + b2) = a(b βˆ’ 3) + b(b βˆ’ 3)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (b βˆ’ 3)

(ab βˆ’ 3a) + (βˆ’3b + b2) = a(b βˆ’ 3) + b(b βˆ’ 3) = (b βˆ’ 3)(a + b)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Π‘Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° со Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ, пятый с ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‹ΠΌ:

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ вынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ x, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ y, Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ (xy + 1) являСтся ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. ВынСсСм Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки:


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ рассматривали Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ для разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Вспомним, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

ПомСняСм мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

a+ 2ab + b2 = (a + b)2

ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этого равСнства являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, Π° правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (a + b)2 прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (a + b).

Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Ссли Π½Π°ΠΌ встрСтится Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° a+ 2ab + b2

, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния (a + b)(a + b). Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b) ΠΈ (a + b).

a+ 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4x2 + 12xy + 9y2

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a+ 2ab + b2 = (a + b)2, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная b.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 4x2 + 12xy + 9y2 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2x, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (2x)2 = 4x2. Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 9y2 ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 3y, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (3y)2 = 9

y2, Π° Ρ‡Π»Π΅Π½ 12xy это Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² 2x ΠΈ 3y, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2 Γ— 2x Γ— 3y = 12xy.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСмСнная a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° 2x, Π° пСрСмСнная b Ρ€Π°Π²Π½Π° 3y

a = 2x
b = 3y

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 4x2 + 12xy + 9y2 выглядСло Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы (2x + 3y)2, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4x2 + 12xy + 9y2. Наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (2+ 3y)2

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (2x + 3y)2 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (2

x + 3y), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4x2 + 12xy + 9y2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (2x + 3y) ΠΈ (2x + 3y)

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 Γ— 2x Γ— 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2 + 12x + 36

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x2 = x2, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ β€” Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа 6, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 6

2 = 36, Π° Ρ‡Π»Π΅Π½ 12x это ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² x ΠΈ 6, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 Γ— x Γ— 6 = 12x.

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a+ 2ab + b2 = (a + b)2. Роль ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x, Π° Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 6. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (x + 6)2 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (x + 6), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2 + 12x + 36 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (x + 6) ΠΈ (x + 6)

x2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Как ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

(a βˆ’ b)2 = a2 βˆ’ 2ab + b2

Если Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

a2 βˆ’ 2ab + b2 = (a βˆ’ b)2

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (a βˆ’ b), Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° a2 βˆ’ 2ab + b2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a βˆ’ b) ΠΈ (a βˆ’ b).

a2 βˆ’ 2ab + b2 = (a βˆ’ b)(a βˆ’ b)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 9x2 βˆ’ 12xy + 4y2

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a2 βˆ’ 2ab + b2 = (a βˆ’ b)2, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная b.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 3x, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (3x)2 = 9x2. Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 4y2являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2y, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (2y)2 = 4y2, Π° Ρ‡Π»Π΅Π½ 12xy это ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² 3x ΠΈ 2y, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2 Γ— 3Γ— 2y = 12xy.

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСмСнная a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° 3x, Π° пСрСмСнная b Ρ€Π°Π²Π½Π° 2y

a = 3x
b = 2y

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9x2 βˆ’ 12xy + 4y2 выглядСло Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности (3x βˆ’ 2y)2, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 9x2 βˆ’ 12xy + 4y2. Наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (3x βˆ’ 2y)2

9x2 βˆ’ 12xy + 4y2 = (3x βˆ’ 2y)2

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (3x βˆ’ 2y)2 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (3x βˆ’ 2y), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 9xβˆ’ 12xy + 4y2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (3x βˆ’ 2y) ΠΈ (3x βˆ’ 2y)

9xβˆ’ 12xy + 4y2 = (3x βˆ’ 2y)(3x βˆ’ 2y)

ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

9xβˆ’ 12xy + 4y2 = (3x)2 βˆ’ 2 Γ— 3Γ— 2y + (2y)2 = (3x βˆ’ 2y)2 = (3x βˆ’ 2y)(3x βˆ’ 2y)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2 βˆ’ 4x + 4

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

x2 βˆ’ 4x + 4 = x2 βˆ’ 2 Γ— x Γ— 2 + 22 = (x βˆ’ 2)2 = (x βˆ’ 2)(x βˆ’ 2)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Вспомним, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΡƒΠ±Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

ПомСняСм мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3

ЛСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этого равСнства являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, Π° правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (a + b)3 прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (a + b).

Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Ссли Π½Π°ΠΌ встрСтится Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° a+ 3a2+3abb3, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния (a + b)(a + b)(a + b). Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b), (a + b) ΠΈ (a + b).

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)(a + b)(a + b)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы, слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠ± суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, слСдуСт ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная b.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° m

m3 = m3

ПослСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ 8n3 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2n

(2n)3 = 8n3

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 6m2n являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния m ΠΈ послСднСго 2n

3 Γ— m2 Γ— 2n = 6m2n

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 12mn2 являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния m ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° послСднСго выраТСния 2n

3 Γ— m Γ— (2n)2 = 3 Γ— m Γ— 4n2 = 12mn2

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 ΠΏΠΎ всСм ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ соотвСтствуСт ΠΊΡƒΠ±Ρƒ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ соотвСтствуСт m, Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b соотвСтствуСт 2n

a = m
b = 2n

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Π»ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы (m + 2n)3, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3. Наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (m + 2n)3

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (m + 2n)3 ΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (m + 2n), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (m + 2n), (m + 2n) ΠΈ (m + 2n)

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 125x3 + 75x2 + 15x + 1

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 5x

(5x)3 = 125x3

ПослСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ 1 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 1

13 = 1

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 75x2 являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 5x ΠΈ послСднСго 1

3 Γ— (5x)2 Γ— 1 = 3 Γ— 25x2 = 75x2

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 15x являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 5x ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 1

3 Γ— 5x Γ— 12 = 15x

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3. Роль ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5x, Π° Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 1

a = 5x
b = 1

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ,

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (5x + 1)3 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (5x + 1), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 125x+ 75x+ 15+ 1 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (5x + 1), (5x + 1) ΠΈ (5x + 1)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Как ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Вспомним, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΡƒΠ±Π° разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

(a βˆ’ b)3 = aβˆ’ 3a2b + 3abβˆ’ b3

Если Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

aβˆ’ 3a2b + 3abβˆ’ b3 = (a βˆ’ b)3

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (a βˆ’ b), Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄Π° aβˆ’ 3a2b + 3abβˆ’ b3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a βˆ’ b), (a βˆ’ b) ΠΈ (a βˆ’ b).

aβˆ’ 3a2b + 3abβˆ’ b3 = (a βˆ’ b)(a βˆ’ b)(a βˆ’ b)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64 βˆ’ 96x + 48x2 βˆ’ 8x3

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΡƒΠ±Π° разности, слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠ± разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, слСдуСт ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная b.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 4

43 = 64

ПослСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ 8x3 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2x

(2x)3 = 8x3

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 96x являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 4 ΠΈ послСднСго 2x

3 Γ— 42 Γ— 2x = 3 Γ— 16 Γ— 2x = 96x

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 48x2 являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 4 ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 2x

3 Γ— 4 Γ— (2x)2 = 3 Γ— 4 Γ— 4x2 = 48x2

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64 βˆ’ 96x + 48x2 βˆ’ 8x3 ΠΏΠΎ всСм ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ соотвСтствуСт ΠΊΡƒΠ±Ρƒ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ соотвСтствуСт 4, Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b соотвСтствуСт 2x

a = 4
b = 2x

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 64 βˆ’ 96+ 48xβˆ’ 8x3 выглядСло Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° разности (4 βˆ’ 2x)3, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° разности ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64 βˆ’ 96+ 48xβˆ’ 8x3. Наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (4 βˆ’ 2x)3

64 βˆ’ 96+ 48xβˆ’ 8x3 = (4 βˆ’ 2x)3

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (4 βˆ’ 2x)3 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (4 βˆ’ 2x), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64 βˆ’ 96+ 48xβˆ’ 8x3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (4 βˆ’ 2x), (4 βˆ’ 2x) ΠΈ (4 βˆ’ 2x)

64 βˆ’ 96+ 48xβˆ’ 8x3 = (4 βˆ’ 2x)(4 βˆ’ 2x)(4 βˆ’ 2x)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 27 βˆ’ 135x + 225x2 βˆ’ 125x3

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 3

33 = 27

ПослСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ 125 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΡƒΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 5x

(5x)3 = 125x3

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 135x являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 3 ΠΈ послСднСго 5x

3 Γ— 32 Γ— 5x = 3 Γ— 9 Γ— 5x = 135x

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 225x2 являСтся ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 3 ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 5x

3 Γ— 3 Γ— (5x)2 = 3 Γ— 3 Γ— 25x2 = 225x2

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a3 βˆ’ 3a2b + 3ab2 βˆ’ b3 = (a βˆ’ b)3. Роль ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 3, Π° Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5x

a = 3
b = 5x

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ,

27 βˆ’ 135x + 225x2 βˆ’ 125x3 = (3 βˆ’ 5x)3

А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (3 βˆ’ 5x)3 это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ (3 βˆ’ 5x), Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 27 βˆ’ 135+ 225xβˆ’ 125x3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (3 βˆ’ 5x), (3 βˆ’ 5x) ΠΈ (3 βˆ’ 5x)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (3 βˆ’ 5x)(3 βˆ’ 5x)(3 βˆ’ 5x)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Вспомним, ΠΊΠ°ΠΊ выглядит Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° умноТСния разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… сумму:

(a βˆ’ b)(a + b) = a2 βˆ’ b2

Если Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

a2 βˆ’ b2 = (a βˆ’ b)(a + b)

Π­Ρ‚Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Она позволяСт Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° a2 βˆ’ b2 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a βˆ’ b) ΠΈ (a + b).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 16x2 βˆ’ 25y2

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a2 βˆ’ b2 = (a βˆ’ b)(a + b), слСдуСт ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° пСрСмСнная b.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 16x2 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 4x

(4x)2 = 16x2

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ 25y2 являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 5y

(5y)2 = 25y2

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4x, Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5y

a = 4x
b = 5y

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ a2 βˆ’ b2 = (a βˆ’ b)(a + b). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π΅Ρ‘ наши значСния a ΠΈ b

(4x)2 βˆ’ (5y)2 = (4βˆ’ 5y)(4+ 5y)

ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

16x2 βˆ’ 25y2 = (4x)2 βˆ’ (5y)2 = (4βˆ’ 5y)(4+ 5y)

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (4βˆ’ 5y)(4+ 5y). Если ΠΌΡ‹ всё сдСлали ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 16x2 βˆ’ 25y2

(4βˆ’ 5y)(4+ 5y) = 16x2 βˆ’ 20xy + 20xy βˆ’ 25y2 = 16x2 βˆ’ 25y2


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2 βˆ’ y2

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ a соотвСтствуСт x, Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ b соотвСтствуСт y. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

x2 βˆ’ y2 = (x βˆ’ y)(x + y)

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ являСтся Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простым, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ здСсь сразу Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ a ΠΈ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ b.

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… состоит исходная Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ возвСдСния Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ a ΠΈ b, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ исходной разности Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4xβˆ’ 9y6 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ исходныС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (2x2)2, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ вычислСниС этого Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ 4x4

(2x2)2 = 4x4

А Ρ‡Π»Π΅Π½ 9y6 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (3y3)2, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ вычислСниС этого Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ 9y6

(3y3)2 = 9y6

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ a ΠΈ b. Они Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2x2 ΠΈ 3y3 соотвСтствСнно. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ a2 βˆ’ b2 = (a βˆ’ b)(a + b)

(2x2)2 βˆ’ (3y3)2 = (2x2 βˆ’ 3y3)(2x2 + 3y3)

ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

4xβˆ’ 9y6 = (2x2)2 βˆ’ (3y3)2 = (2x2 βˆ’ 3y3)(2x2 + 3y3)

НСсмотря Π½Π° простоту разлоТСния ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², частыС ошибки приходятся ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° эти Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΌΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Если Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π£ нас Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 4xβˆ’ 9y6

(2x2 βˆ’ 3y3)(2x2 + 3y3) = 2x2(2x2 + 3y3) βˆ’ 3y3(2x2 + 3y3)
= 4x+ 6x2y3 βˆ’ 6x2y3 βˆ’ 9y6 = 4xβˆ’ 9y6


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 81 βˆ’ 64

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ исходной разности Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

81 βˆ’ 64 = 92 βˆ’ 82 = (9 βˆ’ 8)(9 + 8)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ суммС ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈΡ… разности Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

(a + b)(a2 βˆ’ ab + b2) = a3 + b3

Если Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ суммой ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

a3 + b3 = (a + b)(a2 βˆ’ ab + b2)

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° позволяСт Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° a3 + b3 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b) ΠΈ (a2 βˆ’ ab + b2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 27x3 + 64y3

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 27x3 ΠΈ 64y3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΡƒΠ±

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° 3x, пСрСмСнная b Ρ€Π°Π²Π½Π° 4y

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 βˆ’ 3x Γ— 4y + (4y)2) =
(3x + 4y)(9x2 βˆ’ 12xy + 16y2)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 125 + 8

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 125 ΠΈ 8 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΡƒΠ±:

125 + 8 = 53 + 23

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

125 + 8 = 53 + 23 = (5 + 2)(25 βˆ’ 10 + 4)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈΡ… суммы Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

(a βˆ’ b)(a2 + ab + b2) = a3 βˆ’ b3

Если Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

a3 βˆ’ b3 = (a βˆ’ b)(a2 + ab + b2)

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° позволяСт Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° a3 βˆ’ b3 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a βˆ’ b) ΠΈ (a2 + ab + b2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64x3 βˆ’ 27y3

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 64x3 ΠΈ 27y3 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΡƒΠ±:

64x3 βˆ’ 27y3 = (4x)3 βˆ’ (3y)3

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° 4x, пСрСмСнная b Ρ€Π°Π²Π½Π° 3y

64x3 βˆ’ 27y3 = (4x)3 βˆ’ (3y)3 = (4x βˆ’ 3y)((4x)2 + 4x Γ— 3y + (3y)2) =
(4x βˆ’ 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 64 βˆ’ 27

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 64 ΠΈ 27 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΡƒΠ±:

64 βˆ’ 27 = 43 βˆ’ 33 = (4 βˆ’ 3)(16 + 12 + 9)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 125x3 βˆ’ 1

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 125x3 ΠΈ 1 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΡƒΠ±:

125x3 βˆ’ 1 = (5x)3 βˆ’ 13

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½Π° 5x, пСрСмСнная b Ρ€Π°Π²Π½Π° 1

125x3 βˆ’ 1 = (5x)3 βˆ’ 13 = (5x βˆ’ 1)((5x)2 + 5x Γ— 1 + 12) =
(5x βˆ’ 1)(25x2 + 5x + 1)


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами

К Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ способы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НапримСр, ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ способ вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращённого умноТСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ax2 βˆ’ ay2 

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ содСрТится ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a. ВынСсСм Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки:

ax2 βˆ’ ay2 = a(x2 βˆ’ y2)

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π² скобках образовался ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ax2 βˆ’ ay2 = a(x2 βˆ’ y2) = a(x βˆ’ y)(x + y)


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 3x2 + 6xy + 3y2

ВынСсСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)

Π’ скобках образовался ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ x ΠΈ y. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (x + y)2 ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сомноТитСлСй, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (x + y)

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y)


Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 3. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 4. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 5. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 6. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 7. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

x2 + 12x + 36

РСшСниС:

x2 + 12x + 36 = x2 + 2 Γ— x Γ— 6 + 62 = (x + 6)2 = (x + 6)(x + 6)

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 8. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

8xy + y2 + 16x2

РСшСниС:

8xy + y2 + 16x2 = 16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2 Γ— 4x Γ— y + y2 = (4x + y)2 = (4x + y)(4x + y)

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 9. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 10. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 11. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 12. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 13. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 14. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 15. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 16. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 17. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 18. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 19. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 20. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 21. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 22. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 23. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 24. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 25. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 26. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 27. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 28. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 29. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 30. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 31. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 32. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 33. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 34. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 35. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 36. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 37. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 38. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 39. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 40. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 41. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 42. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 43. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 44. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 45. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 46. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 47. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 48. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 49. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 50. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 51. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ вынСситС Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2a, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 52. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ вынСситС Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 4, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 53. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ вынСситС Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2x2y2, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

РСшСниС:

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 54. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ вынСситС Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 4x3y3, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

РСшСниС:


ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ?
Вступай Π² Π½Π°ΡˆΡƒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ Π’ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ увСдомлСния ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…

Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚?
Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅

Навигация ΠΏΠΎ записям

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end{array} \right. $$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -9; 11

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Рассматривая ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для (a + b)Β², для (a – b)Β², для (a + b) (a – b), для (a + b)Β³ ΠΈ для (a – b)Β³.

Если Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ окаТСтся ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ с одною ΠΈΠ· этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ явится Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Напр., ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ aΒ² – 2ab + bΒ², ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (a – b)Β² [ΠΈΠ»ΠΈ (a – b) Β· (a – b), Ρ‚. Π΅. ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ aΒ² – 2ab + bΒ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 мноТитСля]; Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Рассмотрим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ здСсь ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΎΡ‚ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ числа, минус ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, плюс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа): x6 Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ числа, Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, само ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число Π΅ΡΡ‚ΡŒ x3, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа являСтся послСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρ‚. Π΅. 1, само Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ число Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ 1; ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Ρ‡Π»Π΅Π½ –2x3, ΠΈΠ±ΠΎ 2x3 = 2 Β· x3 Β· 1. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ наш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ получился ΠΎΡ‚ возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности чисСл x3 ΠΈ 1, Ρ‚. Π΅. ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (x3 – 1)2. Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ 4-Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ a2b2 – 25 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ числа слуТит a2b2, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, само ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число Π΅ΡΡ‚ΡŒ ab, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа являСтся 25, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ само Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ число Π΅ΡΡ‚ΡŒ 5. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ наш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠΌΡΡ ΠΎΡ‚ умноТСния суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚. Π΅.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ располоТСны Π½Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ порядкС, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€.

9a2 + b2 + 6ab – мыслСнно ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ станСт ясным, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ = (3a + b)2.

… (пСрСставим мыслСнно ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹).

25a6 + 1 – 10x3 = (5x3 – 1)2 ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

a2 + 2ab + 4b2.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π΅Π³ΠΎ прСдставляСт собою ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа a ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ прСдставляСт собою ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа 2b, Π½ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, – Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 Β· a Β· 2b = 4ab. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ этому ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл. Если Π±Ρ‹ ΠΊΡ‚ΠΎ написал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a2 + 2ab + 4b2 = (a + 2b)2, Ρ‚ΠΎ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ – Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ.

40. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ². Иногда ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ приходится ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

1. 2a3 – 2ab2. ВынСсСм сначала ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля 2a Π·Π° скобки, – ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 2a (a2 – b2). ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a2 – b2, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, разлагаСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b) ΠΈ (a – b).

Иногда приходится ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ разлоТСния ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ:

1. a4 – b4 = (a2 + b2) (a2 – b2)

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a2 + b2 Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»; ΠΌΠ°Π»ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, вспоминая особыС случаи дСлСния (ΠΏ. 37), ΠΌΡ‹ установим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a2 + b2 (сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл) вовсС Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅ раскладываСтся. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ a2 – b2 (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл) разлагаСтся Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b) ΠΈ (a – b). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

41. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ особых случаСв дСлСния. На основании ΠΏ. 37 ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ сразу Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€.,

Β«Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π« Π‘ΠžΠšΠ ΠΠ©Π•ΠΠΠžΠ“Πž Π£ΠœΠΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π―. Π ΠΠ—Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π• ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠžΠ’ НА ΠœΠΠžΠ–Π˜Π’Π•Π›Π˜Β»

Π’Π΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ: Β«Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π« Π‘ΠžΠšΠ ΠΠ©Π•ΠΠΠžΠ“Πž Π£ΠœΠΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π―.

Π ΠΠ—Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π• ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ§Π›Π•ΠΠžΠ’ НА ΠœΠΠžΠ–Π˜Π’Π•Π›Π˜Β»

ДидактичСская основа

ДидактичСской основой Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Β«Π£Ρ‡ΡƒΡΡŒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡΒ» являСтся дидактичСская систСма Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° обучСния Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° 2000…». Π•Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ знания Π½Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ учащимся Π² Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π° организуСтся ΠΈΡ… ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Ρ‚ΡŒΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ обСспСчиваСт высокий ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ матСматичСской ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ учащихся, ΠΈΡ… способности, ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ интСрСс ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ личностныС ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ образования, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π€Π“ΠžΠ‘.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π’ соотвСтствии с ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ курсу ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Β«Π£Ρ‡ΡƒΡΡŒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡΒ» для 7 класса Π² Ρ„Π΅Π²Ρ€Π°Π»Π΅ продолТаСтся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²ΠΎΠΉ Β«Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²Β». Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π°:
4.3.2. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²;
4.3.3. ΠšΡƒΠ± суммы ΠΈ разности;
4.3.4. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².
ПослС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ начинаСтся Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΌ Β«Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈΒ», ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹:
4.4.1. ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки;
4.4.2. Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ;
4.4.3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΈ

  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния;
  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ± суммы ΠΈ разности Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стандартного Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Π² ΠΊΡƒΠ± суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния;
  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния для алгСбраичСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, связанных с ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний;
  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ способами: вынСсСниСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния;
  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ, пСрСстановка слагаСмых; прСдставлСниС Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π΅ΠΌΡƒ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²; ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ слагаСмого, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°;
  • ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ для алгСбраичСских ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний.

ВСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π’ соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ минимакса дидактичСской систСмы Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° 2000…» ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΡƒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² условиях Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»Π°Π½ΠΎΠ² ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ тСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… Π½Π° 102 Ρ‡ ΠΈ Π½Π° 136 Ρ‡. Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ планирования, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ для 3 часов Π² нСдСлю, обСспСчиваСт Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ государствСнного стандарта Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, усвоСниС ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ содСрТания курса (ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ для рассмотрСния) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ учащихся Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈ, ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… интСрСсов. ΠŸΡ€ΠΈ 4 часах Π² нСдСлю содСрТаниС курса сущСствСнно Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ.

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π’Π°ΠΌ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ тСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 3 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ (3 Ρ‡ Π² нСдСлю).

(Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ссылку, ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² мСню ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Β«Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ как…»)


Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ систСмно – Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° 2000…» Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для 7 класса срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π›.Π“. ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€ΡΠΎΠ½, Π”.Π›. Абрарова, Π•.Π’. Π§ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ возмоТности 4 часа Π² нСдСлю.

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π’Π°ΠΌ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ тСматичСскоС ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 3 Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ (4 Ρ‡ Π² нСдСлю).

(Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ссылку, ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² мСню ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Β«Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ как…»)



ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса

Π“Π»Π°Π²Π° 4. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

Β§ 3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния

П. 2. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся знакомятся с двумя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ сокращСнного умноТСния – Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ произвСдСния суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎ сути, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ равСнствами, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… помСняли мСстами ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ части. Π’Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½Π° – Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊ трудностям, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρƒ учащихся ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… сумму. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ рСгулярно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Β«Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ сторону». Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π· ΠΈ навсСгда ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ учащимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния Β«Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Β» ΠΊΠ°ΠΊ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ учащихся Π½Π° это. МоТно ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ учащимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Β«ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…Β» Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ названия, Ρ‚.ΠΊ. Π·Π²ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ ΠΈΡ… названия ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ·Π²ΡƒΡ‡Π½ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния разности ΠΈ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
2) Π’ качСствС ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ

 Π·Π° 30 сСкунд. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ справятся с этим Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ врСмя, ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΉ сСгодня ΠΈΠΌ это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ удастся.
3) Для открытия Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» учащимся прСдлагаСтся Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы ΠΈ разности Π° ΠΈ b ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стандартного Π²ΠΈΠ΄Π°. ПослС этого учащимся прСдлагаСтся ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство для всСх ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, учащиСся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (β„– 318). Π­Ρ‚Ρƒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ….
4) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ слСдуСт Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ понятиС стСпСни с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ 2, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ понятия «сумма» ΠΈ Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ». Для этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ задания β„–β„– 316–317.
5) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ гСомСтричСский смысл Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅. НСобходимо Π²Ρ‹Ρ€Π΅Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ возмоТности Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ соврСмСнной Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ учащимся с ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.
6) Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ учащимся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний (β„–β„– 322, 337).
7) ΠŸΡ€ΠΈ 4-часовом ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ рСкомСндуСтся отвСсти большС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого уровня слоТности (β„–β„– 340–347).
8) УчащиСся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для сокращСния алгСбраичСских Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ (β„– 333), Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (β„– 327, β„– 336), Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ тоТдСств (β„–β„– 329, 334, 335). Для формирования умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ задания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравнСния (β„– 339), сравнСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (β„–β„– 342 – 343) ΠΈ ΠΏΡ€. Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· этих Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ считаСт цСлСсообразным Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с учащимися.
9) ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (β„–β„– 345 – 346) слСдуСт Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ с учащимися Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ свойства. РСкомСндуСтся, послС примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния суммы Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ измСняСтся Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². Бвойство разности «Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ разности увСличится» ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Π΅ΠΌΡƒ свойства извСстны учащимся с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, рСкомСндуСтся ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любого выраТСния (нуля).

П. 3. ΠšΡƒΠ± суммы ΠΈ разности

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся знакомятся с двумя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ сокращСнного умноТСния – Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° разности.
2) Для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стандартного Π²ΠΈΠ΄Π°, Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
3) Для открытия Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы (разности) учащимся прСдлагаСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 377, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ шаги ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. РСкомСндуСтся сначала Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ учащимся ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½ открытия Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ знания ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ИмСя ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚, построСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы ΠΈ разности данная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° являСтся для сСмиклассников посильной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ.
4) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ слСдуСт Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ понятиС стСпСни с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ 3, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ понятия Β«ΠΊΡƒΠ± суммы» ΠΈ Β«ΠΊΡƒΠ± разности». Для этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ задания β„–β„– 374–376.
5) Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ учащимся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний (β„–β„– 381 – 382).
6) Для формирования умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы ΠΈ разности Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ прСдлагаСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ тоТдСств, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, составлСниС ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ задания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ считаСт цСлСсообразным Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ со своими ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
7) ПослС знакомства с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° разности с учащимися слСдуСт ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠΌ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΎ 2-ю ΠΈ 3-ю стСпСни ΠΈ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. МоТно ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Β«ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β» учащихся ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ идСю Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». ΠŸΡ€ΠΈ 4-часовом ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… классах) рСкомСндуСтся ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ учащихся с Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠΌ возвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² nβ€“ΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ (β„–β„– 399 – 400).

П.4. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся знакомятся с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².
2) Для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹:

Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
3) Π’ связи с особСнностями этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» учащимся вряд Π»ΠΈ удастся ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π½ открытия Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ знания, поэтому учащимся прСдлагаСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 434, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ шаги ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».
4) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ слСдуСт Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ понятиС стСпСни с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ 3, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ понятия «сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²Β» ΠΈ Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²Β». Для этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ задания β„–β„– 432–433.
5) Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ учащимся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний (β„–β„– 439).
6) Для формирования умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π° прСдлагаСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ тоТдСств, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, составлСниС ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с использованиСм Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ задания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ считаСт цСлСсообразным Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ со своими ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
7) ΠŸΡ€ΠΈ 4-часовом ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ рСкомСндуСтся ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ большС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого уровня слоТности (β„–β„– 453–460).
8) ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ задания β„– 459 рСкомСндуСтся сначала ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ равСнства, Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы:
  • Π§Ρ‚ΠΎ записано Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства? (ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².)
  • Π§Ρ‚ΠΎ записано Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части равСнства? (ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.)
  • Как ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ? (ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.)
  • Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ? (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… прСобразованиях.)
  • КакиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹ здСсь сразу Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ выраТСния.
ПослС устного Ρ€Π°Π·Π±ΠΎΡ€Π° учащиСся ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ прСобразования ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ сСбя ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρƒ (СстСствСнно ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ† Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ самый Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ способ, Π½ΠΎ ΠΈ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ способы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ сСмиклассники). МоТно ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ† Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡƒΡŽ доску сильного ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°.
ΠŸΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ способы выполнСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, для этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π·Π°Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Π°ΠΌΠΈ. Если ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ Π½Π΅ удастся ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ доскС Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… учащихся, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ тоТдСство. ПослС выполнСния задания Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ способы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ пользовались ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ основная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ класса Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, слСдуСт ΠΏΠΎΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΡ‚ΠΎ нашСл Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ способ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°. Π­Ρ‚ΠΈ способы Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСхничСского оборудования Π»ΠΈΠ±ΠΎ идСя прСобразования проговариваСтся вслух.
ЦСлСсообразно Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π°) ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° способа Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° тоТдСств:
1) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ придСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ произвСдСния суммы Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Β«ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒΒ» Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²;
2) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² разности ΡˆΠ΅ΡΡ‚Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Β«ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒΒ» Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эту Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½, Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².
Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ рСкомСндуСтся ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ послС примСнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ. На Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ этапС ΠΎΠ½ рассматриваСтся с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ учащихся ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния».

Β§ 4. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

П.1 ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся учатся Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки, ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π°. Π’Π°ΠΊ, для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ формирования умСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ слагаСмыС учащиСся выносили ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки Π½Π° основании Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° умноТСния.
2) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ Ρƒ учащихся формируСтся понятиС разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НуТно ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ понимаСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π’Π°ΠΊ, вынСсСниС Π·Π° скобки числового мноТитСля Π½Π΅ являСтся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НапримСр, прСдставлСниС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 2a + 2ac Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния 2(Π° + ас) Π½Π΅ являСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 2Π° (1 + с) являСтся. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ «нюанс» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ с учащимися ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ β„– 489.
3) Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ формируСтся ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ учащиСся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ это ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° основании Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ сформулированного ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°: Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ вынСсти Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ с ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² скобках Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ дСлСния Π½Π° с. МоТно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ вынСсСния Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля (Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ классС учащиСся ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ – β„– 493).
4) Π’ связи с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ учащиСся ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с вынСсСниСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Β«Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈΒ».
5) Для построСния Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ открытия ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ β„– 488.
6) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ слСдуСт Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния, использованиС этого свойства для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний. Для этой Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ рСкомСндуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ задания β„–β„– 485 – 488.
7) Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 497 Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ учащихся ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρƒ. Часто Ρƒ учащихся Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с вынСсСниСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΡŒ это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСкомСндуСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ это Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля.
8) Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 498 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Особо слСдуСт ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Π΅Π· разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ уравнСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° учащиСся ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚.
9) Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ учащимся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля для Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСний (β„–β„– 496, 502).

П.2 Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся учатся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ – способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.
2) Для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½:

ΠŸΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ возникшСго затруднСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΡŒ своС затруднСния учащиСся Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ способ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
3) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡŽ рСкомСндуСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 533, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ учащимся придСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ слагаСмыС мСстами ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ произвСдСния, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ β„– 535. ПозТС эти ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ сСмиклассникам ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ способ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.
4) Алгоритм способа Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, построСнный учащимися, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:
1) ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
2) Найти ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ ΠΈ вынСсти Π΅Π³ΠΎ.
3) Найти ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π΅ ΠΈ вынСсти Π΅Π³ΠΎ.
5) ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ°, провСдСнная Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ наряду с ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌΠΈ ситуациями использования способа Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ случаи, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ²:
  • пСрСстановка слагаСмых;
  • прСдставлСниС Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π΅ΠΌΡƒ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²;
  • ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ слагаСмого.
ПослСдним Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌ рСкомСндуСтся ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ открытия Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ знания. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ учащимися Π² дальнСйшСм ΠΈ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… способов разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
6) Для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ учащимся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ с использованиСм способа Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹:
7) Для ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ открытия ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. УчащиСся ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ 2, 3 ΠΈ 4 ΠΈΠ· тСкста. ПослС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с тСкстом учащимся прСдлагаСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ задания Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ дСйствиС.
8) Задания β„–β„– 546, 554 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, Ссли Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ давалось Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ указания Π² тСкстС задания Π½Π΅Ρ‚. Анализируя Π²ΠΈΠ΄ уравнСния, учащиСся Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Особо слСдуСт ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Π΅Π· разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ уравнСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° учащиСся ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚.

П.3 Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

1) Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ учащиСся учатся Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния. Π£ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ иная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° прСдставлСна Π² явном Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ сформировано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ с учащимися Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° для примСнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ исходного ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.
2) УчащиСся учатся Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² стСпСнях Β«ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹Β» ΠΈ Β«ΠΊΡƒΠ±Ρ‹Β», Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ слагаСмыС для получСния Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠΆΠ΅ извСстными ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ: пСрСстановка слагаСмых ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ слагаСмого.
3) Для этапа Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ рСкомСндуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ задания β„–β„– 583 – 585, ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… учащиСся повторят Ρ‚Π΅ понятия ΠΈ способы дСйствий, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ понадобятся ΠΈΠΌ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅.
4) β„– 586 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Π—Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, возникшСС ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ этого задания, ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² для примСнСния разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡ‚Π±ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΆΠ΅ извСстных ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² для примСнСния Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ситуации).
5) ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° учащиСся знакомятся с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния (β„– 588 (л–н), β„– 595(Π΄), β„– 600 готовят учащихся ΠΊ этому способу, β„– 601 Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ примСнСния способа). ЕстСствСнно Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ нСльзя. Однако Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ способныС учащиСся Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠΌ выдСлСния ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°. Π’ восьмом классС этот ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌ даст Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π­Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ½Ρ‹

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ изучСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠ² учащиСся Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ произвСдСния суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²; Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° суммы ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° разности; Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ. УчащиСся ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Паскаля ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠΌ для возвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² nβ€“ΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. УчащиСся Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ способы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: вынСсСниСм Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, способом Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ. УчащиСся ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ способы разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ являСтся ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡ‹ минимакса ΠΈ вариативности ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обучСния ΠΏΠΎ курсу ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° 2000…» Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ высокого. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ ΠΈ количСство Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π² соотвСтствии с Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΉ блиТайшСго развития Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… учащихся. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅ задания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΡŽ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.
ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π’Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ вниманию Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ сцСнария ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎ рассматриваСмым Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ описан Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ способ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ учащихся Π½Π° основС Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° обучСния Β«Π¨ΠΊΠΎΠ»Π° 2000…». Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ², ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡΡ…, этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° рСфлСксивного Ρ‚ΠΈΠΏΠ°. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ провСдСния ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π² 7-9 классах основной ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠœΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° обучСния Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ направлСнности Π² 7–9 классах основной ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ нашСй Π²Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 60

Π’ΠΈΠΏ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: Π 
Π’Π΅ΠΌΠ° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния»
Автор: Π›.А Π“Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π²ΡΠΊΠ°Ρ
ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΈ:
1) ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π°;
2) Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π’Π°ΠΌ cΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ сцСнарий ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

(Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ссылку, ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² мСню ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Β«Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ как…»)

Π£Π²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π³ΠΈ! ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° смСкалку, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ входят Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Ρ‹.

(Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ», Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ссылку, ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² мСню ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Β«Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ как…»)

Если Ρƒ Вас Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ вопросы, Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΌ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ связи.
ΠœΡ‹ свяТСмся с Π’Π°ΠΌΠΈ.


Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ слагаСмых ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния для разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
1) y3 + 16 – 4y – 4y2 = (y3 – 4y) + (16 β€” 4y2) = (y3 – 4y) – (4y2 – 16) = y(y2 – 4) – 4(y2 – 4) =
= (y2 – 4)(y β€” 4) = (y – 2)(y + 2)(y β€” 4).

2) (a – b)3 – a + b = (a – b)3 – (a – b) = (a – b)(( a – b)2 – 1) = (a – b)(a2 – 2ab + b2 β€” 1).

3) x2 – 6xy – 49 + 9y2 = (x2 – 6xy + 9y2) – 49 = (x – 3y)2 – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).

4) c2 + 2c – d2 – 2d = (c2 – d2) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ нСстандартных Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
Одно ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько слагаСмых прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ y2 – 14y + 40.
y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y2 – 14y + 49) – 9 = (y – 7)2 – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x2 + 7x + 12.
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x2 + 8x +7.
x2 + 8x +7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x2 + x – 12 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12 = (x2 + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x2 β€” 10x + 24.
x2 β€” 10x + 24 = x2 -2*5 x + 25 – 1 = (x2 β€” 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x2 β€” 13x + 40.
x2 β€” 13x + 40 = x2 β€” 10x – 3x + 25 + 15 = (x2 β€” 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)2 – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x2 + 15x + 54.
x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)2 + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x4 + 3x2 + 4 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
x4 + 3x2 + 4 = x4 + (4x2 – x2) + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – x2 = (x2 + 2 – x)( x2 + 2 + x) =
= (x2 – x + 2)( x2 + x + 2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ x4 + x2 + 1.
x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 – x2) + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 – x)( x2 + 1 + x) =
= (x2 – x + 1)( x2 + x + 1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x4 + 4 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ прСдставляСт интСрСсный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ выраТСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ 4x2 ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ 4x2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния Π½Π΅ измСнилось.

x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) =
= (x2 – 2x + 2)( x2 + 2x + 2).

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: вынСсСниС Π·Π° скобки, способ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

ВСстированиС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²)

НапримСр,

ВынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки

НСобходимо ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (Ссли такая имССтся). НапримСр, Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ y. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, входящиС Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° выносят Π·Π° скобки Π² стСпСнях с наимСньшим ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ встрСчаСтся. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ встрСчаСтся y2, y5 ΠΈ y4. Выносим Π·Π° скобки y2.

Π§Ρ‚ΠΎ останСтся ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° послС вынСсСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки? Π§Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² скобках? НСобходимо ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ выносим Π·Π° скобки. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ вынСсСнии y2 Π·Π° скобки Π² нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅

Если числовыС коэффициСнты ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° скобки. Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΠžΠ”(18; 30; 6)=6

Если Π·Π° скобки выносят ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Β«-1Β» (Π΅Ρ‰Π΅ говорят «выносят минус»), Ρ‚ΠΎ Π² скобках Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого мСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹. НапримСр, для выраТСния ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

Выносим Π·Π° скобки, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

ВсСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ вынСсСниС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π·Π° скобки. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² скобках ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ совпадаСт с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Бпособ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ

Если Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ мноТитСля, Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

Для этого Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ‚Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΈ вынСсти Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. ПослС этого ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ выносят Π·Π° скобки.

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ. НС ΠΏΡ€ΠΈ всякой Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ удастся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ извСстными ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, отыскав ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° P(x) β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число c ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ P(c)=0. НапримСр,

Если ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ срСди чисСл , Π³Π΄Π΅ m β€” Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ a0, Π° k β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ an

НапримСр,

Если хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½, остаСтся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x-c, Π³Π΄Π΅ c β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния.

НапримСр,

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π£ чисСл Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

И выраТСния (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, x 2 + 4x + 3 ) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ (Π² Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠ±Ρ€ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ называСтся Β« Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ Β») β€” это процСсс нахоТдСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² :

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³: поиск Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Β«Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β» выраТСния Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2y + 6

Π£ 2y ΠΈ 6 Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:

2Ρƒ + 6 = 2 (Ρƒ + 3)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 2y + 6 Π±Ρ‹Π»ΠΎ Β«ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΎΒ» Π² 2 ΠΈ y + 3

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ:

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2y ΠΈ 6 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2

Но для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выполнСния Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ , Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ всС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: коэффициСнт 3y

2 + 12y

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, 3 ΠΈ 12 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ:

3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 + 12 Π»Π΅Ρ‚ = 3 (Π³ΠΎΠ΄ 2 + 4 Π³ΠΎΠ΄Π°)

Но ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅!

3y 2 ΠΈ 12y Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y.

ВмСстС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ составляСт 3 Π³ΠΎΠ΄Π°:

  • 3y 2 β€” 3y Γ— y
  • 12y β€” это 3y Γ— 4

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°:

3 Π³ΠΎΠ΄Π° 2 + 12 Π»Π΅Ρ‚ = 3 Π³ΠΎΠ΄Π° (y + 4)

Π§Π΅ΠΊ: 3y (y + 4) = 3y Γ— y + 3y Γ— 4 = 3y 2 + 12y

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТный Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ!

Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ простыми, Π½ΠΎ факторизация ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ слоТной.

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅!


Π­Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π³Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹
пошли Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ вкусным.
Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТно ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ!

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚

Π§Π΅ΠΌ большС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°, Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

4x 2 β€” 9

Π₯ΠΌΠΌΠΌ … ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Но Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ ΠΊ Ρ€Π°Π·Π³Π°Π΄ΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²Β». :

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4x 2 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (2x) 2 , Π° 9 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (3) 2 ,

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

4x 2 β€” 9 = (2x) 2 β€” (3) 2

А это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

(a + b) (a βˆ’ b) = a 2 β€” b 2

Π“Π΄Π΅ a β€” 2x, Π° b β€” 3.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ:

(2x + 3) (2x βˆ’ 3) = (2x) 2 β€” (3) 2 = 4x 2 β€” 9

Π”Π°!

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 4x 2 β€” 9 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (2x + 3) ΠΈ (2x βˆ’ 3) :

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x βˆ’ 3)

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ этому Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ? ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ зная Β«Π‘Π°ΠΌΠΎΠ±Ρ‹Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ»!

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ эти личности

Π’ΠΎΡ‚ список ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Β«Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΉΒ» (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²Β» , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅).

Об этом стоит ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

Π° 2 β€” Π± 2 = (Π° + Π±) (Π°-Π±)
a 2 + 2ab + b 2 = (Π° + Π±) (Π° + Π±)
a 2 β€” 2ab + b 2 = (Π°-Π±) (Π°-Π±)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 βˆ’ab + b 2 )
a 3 β€” b 3 = (a βˆ’ b) (a 2 + ab + b 2 )
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (Π° + Π±) 3
a 3 βˆ’3a 2 b + 3ab 2 βˆ’b 3 = (Π°-Π±) 3

ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС, Π½ΠΎ это самыС ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅.

Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия:

  • «ВынСсти Π·Π° скобки» Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹
  • ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ‹ большС Π½Π΅ смоТСтС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ систСмы ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ (Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Β«CASΒ»), Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ подходят для Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π°.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚, поэтому Π²ΠΎΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π° этом ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: w

4 β€” 16

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 4? ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 2:

w 4 β€” 16 = (w 2 ) 2 β€” 4 2

Π”Π°, это Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

w 4 β€” 16 = (w 2 + 4) (w 2 β€” 4)

И Β«(w 2 β€” 4)Β» β€” Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

w 4 -16 = (w 2 + 4) (w + 2) (w -2)

Π­Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ (Ссли я Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 3u

4 β€” 24uv 3

Π£Π΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Β«3uΒ»:

3u 4 β€” 24uv 3 = 3u (u 3 β€” 8v 3 )

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ²:

3u 4 β€” 24uv 3 = 3u (u 3 β€” (2v) 3 )

= 3u (u βˆ’ 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )

Π­Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: z

3 β€” z 2 β€” 9z + 9

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ:

z 2 (z βˆ’ 1) β€” 9 (z βˆ’ 1)

Π’Π°Ρƒ, (z-1) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ…, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ этим:

(z 2 βˆ’9) (z βˆ’ 1)

А z 2 βˆ’9 β€” Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

(Π³-3) (Π³ + 3) (Π³-1)

Π­Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ побольшС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°:

Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³: суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹

Purplemath

Π”Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°; это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для разлоТСния сумм ΠΈ разностСй ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².Π’ΠΎΡ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 β€” ab + b 2 )

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

a 3 β€” b 3 = ( a β€” b ) ( a 2 + ab + b 2 )

На Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… курсах Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ этим Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ.А ΠΏΠΎΠΊΠ° просто Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ….

MathHelp.com

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ с Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, сначала ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹.Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π½Π°ΠΊ «минус». Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² располоТСнии ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° «минус»:

Для Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² Π·Π½Π°ΠΊ «минус» ставится Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅, a β€” b ; для суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π·Π½Π°ΠΊ «минус» стоит Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅, a 2 β€” ab + b 2 .

НСкоторыС люди ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΡƒ Β« SOAP Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ; Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Β«Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅Β» Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ Π² сСрСдинС исходного выраТСния, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ со Β«ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» Π·Π½Π°ΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² исходном Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ «всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½Β».

a 3 Β± b 3 = ( a [ Π’ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ] b ) ( a 2 [ ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ] ab [ ВсСгда ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ] b 2 )

Какой Π±Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ Π²Π°ΠΌ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Π°Π½Ρ‹ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π° тСстС.Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡƒΠ±Π° Π½Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , поэтому Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ врСмя Π½Π° ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π”Π°, a 2 -2 ab + b 2 ΠΈ a 2 + 2 ab + b 2 коэффициСнт , Π½ΠΎ это ΠΈΠ·-Π·Π° Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ Π² сСрСдинС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π½Π΅ содСрТат , Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Β«2Β», ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ .


Когда Π²Π°ΠΌ даСтся ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² для Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. Под «остороТно» я имСю Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ «использованиС ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобок для отслСТивания всСго, особСнно ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²Β». Π’ΠΎΡ‚ нСсколько Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ:

Π­Ρ‚ΠΎ эквивалСнтно x 3 -2 3 . Π‘ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «минус» посСрСдинС это Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ провСсти Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³, я Π²ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ x ΠΈ 2 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².Π’Π°ΠΊ я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ:

x 3 β€” 8 = x 3 -2 3

= ( x -2) ( x 2 + 2 x + 2 2 )

= ( x -2) ( x 2 + 2 x + 4)


ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ содСрТит ΠΊΡƒΠ± 3 ΠΈ ΠΊΡƒΠ± x .А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ срока?

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ отсутствия каТущСгося ΠΊΡƒΠ±Π°, я помню, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, которая ΠΌΠ½Π΅ нравится, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 для любой стСпСни всС Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. Π’ этом случаС ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это даст ΠΌΠ½Π΅ сумму ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π΄Π°Π»ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, я ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ 3 x ΠΈ 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½Π΅:

27 x 3 + 1 = (3 x ) 3 + 1 3

= (3 x + 1) ((3 x ) 2 β€” (3 x ) (1) + 1 2 )

= (3 x + 1) (9 x 2 -3 x + 1)


Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, я ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ (Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3, поэтому, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли я Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» с «суммами ΠΈ разностями» ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² Β»Π² ΠΌΠΎΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅, я Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½Π΅ слСдуСт Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

Глядя Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, я Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 6 являСтся ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ стСпСни 2, поэтому другая пСрСмСнная Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅; Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡƒΠ± ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° y .

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ β€” 64, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ я помню, являСтся ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ 4. (Если Π±Ρ‹ я Π½Π΅ вспомнил ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π» ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, я Π±Ρ‹ взял свой ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π» Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. , ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ я Π±Ρ‹ взял кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 64.)

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ я знаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с минусом Π² сСрСдинС это Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° Π² Π΄Π²Π° ΠΊΡƒΠ±Π°; Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ это:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ:

x 3 y 6 β€” 64 = ( xy 2 ) 3 β€” 4 3

= ( xy 2 -4) (( xy 2 ) 2 + ( xy 2 ) (4) + 4 2 )

= ( xy 2 -4) ( x 2 y 4 + 4 xy 2 + 16)


  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ 16
    x 3 β€” 250.

Π“ΠΌ … Π― знаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 16 β€” это , Π° Π½Π΅ ΠΊΡƒΠ± Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ; Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2 4 . Как Π΄Π΅Π»Π°?

Π§Ρ‚ΠΎ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΡƒΠ·Π½Π°Π» ΠΎ простом Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сначала ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это Π² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ². Π”Π°, 16 = 2 4 , Π½ΠΎ 8 = 2 3 , ΠΊΡƒΠ±. Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 8 ΠΈΠ· 16, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° 2.Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли я Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡŽ 250 Π½Π° 2? Π― ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ 125, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ ΠΈΠ· 5. Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π΄Π°Π»ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ:

Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках:

2 3 x 3 β€” 5 3 = (2 x ) 3 β€” (5) 3

= (2 x -5) ((2 x ) 2 + (2 x ) (5) + (5) 2 )

= (2 x -5) (4 x 2 + 10 x + 25)

Бобирая всС вмСстС, я ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ:

2 (2 x -5) (4 x 2 + 10 x + 25)


МоСй ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 125 = 5 3 .Но ΠΊΠ°ΠΊ насчСт Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° «минус» Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ?

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° Π½Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ «минус» Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, я смогу Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ «минус» …?

β€” x 3 β€” 125 = –1 x 3 β€” 125

Ага! Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ скобок, β€” это сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΊΡƒΠ±Π° x ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° 5, поэтому:

x 3 + 5 3 = ( x + 5) (( x ) 2 β€” ( x ) (5) + (5) 2 )

= ( x + 5) ( x 2 -5 x + 25)

Бобирая всС вмСстС, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

–1 ( x + 5) ( x 2 β€” 5 x + 25)


Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚ Mathway Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² вычислСнии суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ своС собствСнноС. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Mathway. (Или пропуститС Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ.)

(Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² «НаТмитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ шаги» Π½Π° экранС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π°, Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° сайт Mathway для ΠΏΠ»Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ обновлСния .)



URL: https://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm

ВсС ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… числа

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ числа β€” ваТная ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΈΠ· систСм счислСния.Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ обсудим основныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ числа. ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ конкурсный экзамСн состоит ΠΈΠ· 2-3 вопросов срСднСго ΠΈ слоТного уровня Π² зависимости ΠΎΡ‚ числа. ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ это Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ обсудим Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ прСимущСство ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

КакиС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρƒ числа?

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа N относятся ΠΊΠΎ всСм числам, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ дСлят N. Π˜Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ дСлитСлями числа.

Основная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, связанная с мноТитСлями числа:

Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠ«Π• ΠΆΠΈΠ²Ρ‹Π΅ мастСр-классы ΠΎΡ‚ нашСго Π·Π²Π΅Π·Π΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π° с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ 20-Π»Π΅Ρ‚Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΌ. Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, относящиСся ΠΊ мноТитСлям числа N, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ,

N = p a q b r c

Π“Π΄Π΅ p, q ΠΈ r β€” простыС Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ числа n.

a, b ΠΈ c β€” Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стСпСни / ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ

  • ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² N = (a + 1) (b + 1) (c + 1)
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнтов N = N No.Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² / 2
  • Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: (p 0 + p 1 + … + p a ) (q 0 + q 1 + …. + q b ) (r 0 + r 1 + … + r c ) / (p a -1) (q b -1) (r c -1)

Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ вопросы ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ числа:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Рассмотрим число 120. НайдитС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ для n
  1. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  2. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ
РСшСниС: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 120 Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ составляСт 23x31x51.ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹,
  • Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² = [(2 0 +2 1 +2 2 +2 3 ) (3 0 +3 1 ) (5 0 +5 1 ) ] / [(2-1) (3-1) (5-1)] = 45
  • ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 16
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ = 120 (16/2) = 120 8
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: НайдитС для числа 84 ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅: β€”
  1. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ
  2. Число Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

РСшСниС: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 84, 84 = 2 2 Γ— 3 1 Γ— 7 1
ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ = (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12

  1. Число Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ всСми Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ комбинациями стСпСнСй 3 ΠΈ 5 (ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ).Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, количСство Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ = (1 + 1) (1 + 1) = 4
    ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ эти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 3, 7 ΠΈ 21.
  2. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ = ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” Π½Π΅Ρ‚. Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

    = 12 β€” 4 = 8

Advanced Concepts of Factors числа

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ N = 3 15 Γ— 7 43 . Бколько Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² N 2 мСньшС N, Π½ΠΎ Π½Π΅ дСлят N ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ?

РСшСниС: ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ N = 6, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° N 2 = 36.

ΠŸΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ разлоТСния Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ N = 2 Γ— 3 ΠΈ N 2 = 2 2 Γ— 3 2 . ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² N 2 = 9, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΡΡ‚ΡŒ мСньшС N, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 1, 2, 3, 4 ΠΈ 6. Но ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… 1, 2, 3 ΠΈ 6 ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ дСлят 6. ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ 4. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅Ρ‚. Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ мСньшС N, Π½ΠΎ Π½Π΅ дСлят N ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, составляСт 1 .
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ этому ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅,

  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ 1 ΠΊ числу ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ N 2 No.Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² = (2 + 1) (2 + 1) = 9; Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² 1, 9 + 1 = 10
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ это Π½Π° 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ количСство ΠΏΠ°Ρ€ ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€ = 10/2 = 5
  • Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ N. Число ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ N = (1 + 1) (1 + 1) = 4; 5-4 = 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ рассматриваСмой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² шаги,

  1. N 2 = 330 x 786; ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² = (30 + 1) (86 + 1) = 31x 87 = 2697; слоТСниС 1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ 2698
  2. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€ = 2698/2 = 1349
  3. β„–ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ N = (15 + 1) (43 + 1) = 704; ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 1349-704 = 645
ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ вопрос появляСтся Π½Π° конкурсных экзамСнах ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΠ΄. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ ярлык для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. Богласно Π΅ΠΌΡƒ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ​​проблСму Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСнСй простых чисСл N.
  • Для Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСпосрСдствСнно ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ 15 Γ— 43 = 645!

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: НайдитС число ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… цСлочислСнных Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния, x 2 -y 2 = 840?

РСшСниС: АлгСбраичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ x 2 -y 2 = (x + y) (x-y)
  • Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΈ y, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 840.
  • Ѐакторизация Π½Π° простыС числа 840 = 2 3 Γ— 3 Γ— 5 Γ— 7. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 840 = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 32.
  • Число ΠΏΠ°Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для этого уравнСния = no. ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ / 2 = 32/2 = 16. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹, скаТСм, 4 x 210, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для x ΠΈ y.
ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • x ΠΈ y Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ значСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ 4.
НачнитС ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΡƒ с Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠžΠ“Πž доступа ΠΊ 25+ ΠΌΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ, 75+ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ 100+ тСстам ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π²Π°ΠΌ.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ вопрос: Бколько Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл мСньшС 100 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл?
(Подсказка: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ этот вопрос)
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 75

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ числа: ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ знания
  • НСкоторыС вопросы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΎΡ‚ срСднСго Π΄ΠΎ слоТного Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³ΠΎΠ΄ Π·Π° Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… конкурсных экзамСнах.Π’Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° составлСния Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… вопросов (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ большоС ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡƒΡ€Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ прСимущСство Π² ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ.

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

| Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ любого числа |

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚, студСнты! Π₯ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ? Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ любого числа ? Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ этот пост Amans Maths Blogs (AMB) , Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎ Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π• ЀАКВОРА , которая ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для нахоТдСния числа мноТитСля любого числа .Но ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, приступим …

Богласно основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ простых чисСл ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом. Π˜Π›Π˜, Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом.
Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа N> 1 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ записано ΠΊΠ°ΠΊ,

N = Ξ± a Γ— Ξ² b Γ— Ξ³ c Γ— Ξ΄ d ×…

Π³Π΄Π΅ Ξ± <Ξ² <Ξ³ <Ξ΄ <… - простыС числа, Π° a, b, c, d,… - Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, большиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ 0.Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ N Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ N.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ N ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ число, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ

N = p 1 p 2 p 3 …, Π³Π΄Π΅ p 1, p 2 , p 3, … простыС числа.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ N Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ разлагаСтся ΠΊΠ°ΠΊ N = q 1 q 2 q 3 …, Π³Π΄Π΅ q 1, q 2, q 3, … Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ простыС числа.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° p 1 p 2 p 3 … = q 1 q 2 q 3 …,

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ p1 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ p 1 p 2 p 3 … ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ этого произвСдСния являСтся простым, q 1 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… p 1 p 2 p 3 …,

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ q 1 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΈΠΌ Ρ€ 1 .Но p 1 ΠΈ q 1 простыС числа, поэтому p 1 ΠΈ q 1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, p 1 p 2 p 3 … = q 1 q 2 q 3 …, β‡’ p 2 p 3 … = q 2 q 3 …,

Аналогично q 2 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… p 2 p 3 …,

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ q 2 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… p 2 . Но p 2 ΠΈ q 2 простыС числа, поэтому p 2 ΠΈ q 2 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ p 1 p 2 p 3 … are q 1 q 2 q 3 … Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, N ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ N β€” число, количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ N = Ξ± a Γ— Ξ² b Γ— Ξ³ c Γ— Ξ΄ d ×…, Π³Π΄Π΅ Ξ±, Ξ², Ξ³ , Ξ΄,… простыС числа ΠΈ a, b, c, d,… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ коэффициСнты Ξ± a Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, Ξ± 1 , Ξ± 2 , Ξ± 3 ,… Ξ± a .ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ξ± a Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (a + 1).

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ξ² b Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, Ξ² 1 , Ξ² 2 , Ξ² 3 ,… Ξ² b . ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ξ² b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (b + 1).

Аналогично

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ξ³ c Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (c + 1).

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ξ΄ d Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (d + 1).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² N = Ξ± a Γ— Ξ² b Γ— Ξ³ c Γ— Ξ΄ d ×… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ
(a + 1) (b + 1) (c + 1 ) (d + 1)…

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ N Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ 1 ΠΈ само число N.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числа

Вопрос 1 : НайдитС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 120.

РСшСниС : простоС факторизация 120 составляСт 120 = 2 3 Γ— 3 1 Γ— 5 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 120 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 4 Γ— 2 Γ— 2 = 16.

Вопрос 2 : НайдитС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 84

РСшСниС : Ѐакторизация Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 84 Ρ€Π°Π²Π½Π° 84 = 2 2 Γ— 3 1 Γ— 7 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² 84 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 3 Γ— 2 Γ— 2 = 12.

Вопрос 3 : Каково количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 3600?

РСшСниС : Ѐакторизация Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 3600 Ρ€Π°Π²Π½Π° 3600 = 2 4 Γ— 3 2 Γ— 5 2 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² 3600 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (4 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 5 Γ— 3 Γ— 3 = 45.

Вопрос 4 : Каково количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ 504?

РСшСниС : Ѐакторизация Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 504 Ρ€Π°Π²Π½Π° 504 = 2 3 Γ— 3 2 Γ— 7 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 504 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 4 Γ— 3 Γ— 2 = 24.

Вопрос 5 : НайдитС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 180 .

РСшСниС : Ѐакторизация Π½Π° простой ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 180 Ρ€Π°Π²Π½Π° 180 = 2 2 Γ— 3 2 Γ— 5 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 180 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 3 Γ— 3 Γ— 2 = 18.

Вопрос 6 : Бколько ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 6480 ?

РСшСниС : Ѐакторизация 6480 Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6480 = 2 4 x 3 4 x 5 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 6480 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (4 + 1) (4 + 1) (1 + 1) = 5 Γ— 5 Γ— 2 = 50.

Вопрос 7 : Бколько ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 420 ?

РСшСниС : Ѐакторизация 420 Ρ€Π°Π²Π½Π° 420 = 2 2 x 3 1 x 5 1 x 7 1 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 420 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 3 Γ— 2 Γ— 2 Γ— 2 = 24.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ : ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 100

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ : Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ любого числа

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ : Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля любого числа

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ : Как Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ любого числа

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ : Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ любого числа

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ : Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ любого числового мноТитСля 36 Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠ· 48ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числакак Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числакак Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ числаколичСство вычисляСмых мноТитСлСйколичСство ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΠ· числа ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΠ· числа ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΠ· числа ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π° мноТитСличисло Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Как Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни

ОбновлСно 3 дСкабря 2020 Π³.

МишСль Π‘Ρ€ΡŽΠ½Π΅

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ кубичСским ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½, кубичСский ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.2)

ΠΏΡ€ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ уравнСния с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, x 3 + 8.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой a Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ x 3 + 8, x прСдставляСт a , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x являСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· x 3 .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой b Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ x 3 +8, b 3 прСдставлСно числом 8; Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, b прСдставлСно числом 2, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 являСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· 8.3-1

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой a Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅. Π’ 125 x 3 β€” 1, 5 x прСдставляСт a , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 5 x являСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· 125 x 3 . 2 + 6x

ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² уравнСния.2 + 5x + 6)

ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±ΠΎ всСх мноТитСлях 6, послСднСго Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 6 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2 Γ— 3 ΠΈ 1 Γ— 6.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π² скобках β€” 5 x Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 6, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² суммС Π΄Π°ΡŽΡ‚ 5, коэффициСнт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅. 2 ΠΈ 3 Π² суммС Π΄Π°ΡŽΡ‚ 5.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° скобок. ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ x Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ скобки со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ добавлСния. Рядом с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ слоТСния Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт (2).Рядом со Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ слоТСния Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ (3). Π­Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

(x + 3) (x + 2)

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ исходный ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( x ), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

x (x + 3) (x + 2 )

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° β€” Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ Wyzant

НСсколько ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ основноС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ удСляСтся практичСскому ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ этих ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² β€” Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ?

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ инструмСнтами для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ с уравнСниями Ρ‚ΠΈΠΏΠ° x + 2 = 10-2x ΠΈ 2 (x β€” 4) = 0.

Но ΠΊΠ°ΠΊ насчСт ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрСмСнная ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ x 2 + 3x = 8x β€” 6? Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ опрСдСлСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… основных шагов:

  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону уравнСния, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ слоТСниС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅.
  2. ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
  3. УстановитС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅.
  4. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· шага 3 ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходного уравнСния.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Ρ… 2 + 3x = 8x β€” 6

Π¨Π°Π³ 1

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ 8 Ρ€Π°Π· с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны.

Ρ… 2 + 3x β€” 8x = 8x β€” 8x β€” 6
x
2 β€” 5x = -6

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ 6 с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны.

Ρ… 2 β€” 5x + 6 = -6 + 6
x
2 β€” 5x + 6 = 0

Π‘ΠΎ всСми Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ слСва ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 2.

Π¨Π°Π³ 2

ΠœΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ, соотвСтствСнно, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

(Ρ… β€” 2) (Ρ… β€” 3) = 0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: (x β€” 2) ΠΈ (x β€” 3).

Π¨Π°Π³ 3

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ устанавливаСм ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ β€” Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

Ρ… β€” 2 = 0

ΠΈ

Ρ… β€” 3 = 0

РСшСниС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ x β€” 2 = 0 Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = 2.РСшСниС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ x β€” 3 = 0 Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = 3.

Π¨Π°Π³ 4

ПослСдний шаг β€” ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, x = 2 ΠΈ x = 3, Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Ρ… 2 + 3x = 8x β€” 6
x = 2, 3

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ: ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚?

Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅:

ab = 0

Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚Π΅ a = 3, Ρ‚ΠΎ логичСски b Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. Аналогично, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ b = 10, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° a Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ числом. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° a Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0,
b Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наблюдСниС Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅: «Если ab = 0, Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ a = 0, Π»ΠΈΠ±ΠΎ b = 0.Β» Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство нуля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Когда ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° (x β€” 2) (x β€” 3) = 0, это свойство Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ (x β€” 2) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ (x β€” 3) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ смогли ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° уравнСния ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° основС этого наблюдСния.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

5x 3 = 45x

Π¨Π°Π³ 1

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния. ΠœΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это, вычитая ΠΏΠΎ 45x с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны.

5x 3 β€” 45x = 45x β€” 45x
5x
3 β€” 45x = 0.

Π¨Π°Π³ 2

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ шаг β€” ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ сторону. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° слСва ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 5x.

5x (x 2 β€” 9) = 0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ (x 2 β€” 9) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°.

5Ρ… (Ρ… + 3) (Ρ… β€” 3) = 0

Π£ нас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ мноТитСля: 5x, (x + 3) ΠΈ (x β€” 3). Как объяснСно Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚?Β» Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π», ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π¨Π°Π³ 3

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, установив ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

1. 5x = 0
2.Ρ… + 3 = 0
3. Ρ… β€” 3 = 0

РСшСниС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = 0. РСшСниС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = -3. И Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ уравнСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ x = 3.

Π¨Π°Π³ 4

ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ состоит ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Ρ… = -3, 0, 3

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

3x 4 β€” 288x 2 β€” 1200 = 0

Π¨Π°Π³ΠΈ 1 ΠΈ 2

ВсС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΡƒΠΆΠ΅ находятся Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ.Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ выносим Π·Π° скобки наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3.

3 (x 4 β€” 96x 2 β€” 400) = 0

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½.

3 (x 2 + 4) (x 2 -100) = 0

НаконСц, ΠΌΡ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ (x 2 β€” 100) ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

3 (x 2 + 4) (x + 10) (x β€” 10) = 0

Π¨Π°Π³ 3

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ, устанавливая ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… уравнСния.

1. 3 = 0
2. x 2 + 4 = 0
3. x + 10 = 0
4. x β€” 10 = 0

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ. (x 2 + 4 = 0 Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… чисСл, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ сохраним ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°!) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x = -10, Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x = 10.

Π¨Π°Π³ 4

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ всС Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходной ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹:

Ρ… = -10, 10

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сокращСно ΠΊΠ°ΠΊ

Ρ… = Β± 10

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° рСсурсов

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ
Π Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, показывая ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ / Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист
ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ 20 ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.


Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ:
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

Когда Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ полиномиальная функция Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ квадратичная функция. Когда квадратичная функция приравниваСтся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ называСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния. Как ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΈΡ… построили ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ?

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ? β€” Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ объяснСниС

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°? Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ($ x, y, z $), каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Β«ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β» число:

КакоС число ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ $ x $? 2, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС.2 $ β€” это ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ сам с собой

  • $ x $ β€” это ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚
  • 6 β€” это ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ вся систСма стала
  • ПослС Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ взаимодСйствия ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 6. 2 + x $.Π–Π΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС β€” 6. Новая систСма:

    Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ исходной систСмой ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ состояниСм. Когда ΠΌΡ‹ счастливСС всСго? Когда Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹:

    А! , это , ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊ заинтСрСсованы Π² ΠΎΠ±Π½ΡƒΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²! Если Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ систСма ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ β€” ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свСсти Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. (Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ просто Β«Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ 6 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон» β€” ΠΌΡ‹ пытаСмся ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ!)

    Но.2 + x β€” 6 $) ΠΊΠ°ΠΊ связка связанных ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… систСм.

    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΡƒΡ‡Ρƒ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (наша бСспорядочная, нСорганизованная систСма) ΠΈ ставитС ΠΈΡ… Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ³Π²Π°ΠΌ:

    / \

    (Π­Ρ‚ΠΎ 2-ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с двумя ΠΏΠ°Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ).

    Π£Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Π»ΠΊΡƒ, ΠΈ вся конструкция Ρ€ΡƒΡ…Π½Π΅Ρ‚. Если ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΡˆΡƒ систСму:

    ΠΊΠ°ΠΊ сСрия ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

    ΠΌΡ‹ засунули ΠΏΠ°Π»ΠΊΠΈ Π² Β«Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΒ». Если ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ A ΠΈΠ»ΠΈ ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ B становится 0, структура Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 0.

    Аккуратно! Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΊΠ°ΠΌΠ½Π΅ΠΉ: ΠΌΡ‹ пСрСстраиваСм Π½Π°ΡˆΡƒ систСму ошибок Π² Ρ…Ρ€ΡƒΠΏΠΊΡƒΡŽ Π²ΠΈΠ³Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ . ΠœΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ устраняСт наши ошибки ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π°ΡˆΡƒ систСму Π² идСальноС состояниС.

    ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅: ΠΌΡ‹ устраняСм ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ Π² систСмС, Π° Π½Π΅ Π² самой систСмС.

    Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

    ΠΠ°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Β«ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» β€” это процСсс ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вашСго Π²ΠΈΠ³Π²Π°ΠΌΠ°. Π’ этом случаС:

    Если $ x = -3 $, Ρ‚ΠΎ ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ А ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚.2 + Ρ… β€” 6 $)

  • Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ: ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ взаимосвязанныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹: $ (x + 3) (x β€” 2) $
  • Π£ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ Π΄ΠΎ нуля: ΠžΠ±Π½ΡƒΠ»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ ($ x = -3 $ ΠΈΠ»ΠΈ $ x = 2 $).
  • Когда error = 0, наша систСма Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ состоянии. Π‘Ρ‹Π»ΠΈ сдСланы!

    АлгСбра чСртовски ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π°:

    • Наша систСма β€” это траСктория, Β«ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС» β€” это Ρ†Π΅Π»ΡŒ. По ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ†Π΅Π»ΡŒ?
    • Наша систСма β€” это наш Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ, Β«ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС» β€” это наша Ρ†Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Ρƒ.Какая сумма Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π° достигаСт Ρ†Π΅Π»ΠΈ?
    • Наша систСма β€” это Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ΡˆΠ° нашСй ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹, Β«ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ состояниС» β€” это Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ 50-50 (справСдливый). КакиС настройки Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ³Ρ€Ρƒ чСстной?

    ИдСя «согласования систСмы с Π΅Π΅ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ состояниСм» β€” это всСго лишь ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½. Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅, я Π±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ!

    ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ° ΠΏΠΎ процСссу:

    Π•Ρ‰Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΈΡ‰ΠΈ для Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ:

    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ часто рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ AND.2 + 1 $ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π½ΡƒΠ»ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ появились ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа.

    Бчастливая ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°.

    Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ сообщСния Π² этой сСрии

    1. ПониманиС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹: ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ уравнСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ?
    2. Быстрая интуиция для парамСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
    3. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΡ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
    4. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΡ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°-пСрСсСчСния
    5. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΡ для графичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    6. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΡ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²
    .

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *