Решать квадратные неполные уравнения – Презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме: Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 31.08.202009.01.2020 by alexxlab

Содержание

Квадратное уравнение — Википедия

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

где x{\displaystyle x} — неизвестное, a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} — коэффициенты, причём a≠0.{\displaystyle \quad a\neq 0.}

Выражение ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} называют квадратным трёхчленом^[1].

Корень — это значение переменной x{\displaystyle x}, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия^[1]:

a{\displaystyle a} называют первым или старшим коэффициентом,
b{\displaystyle b} называют вторым, средним или коэффициентом при x{\displaystyle x},
c{\displaystyle c} называют свободным членом.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице^[1]. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a{\displaystyle a}:

x2+px+q=0,p=ba,q=ca.{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.}

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Исторические сведения о квадратных уравнениях[править | править код]

Древний Вавилон[править | править код]

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

x2+x=34; x2−x=1412.{\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия[править | править код]

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c}; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a,{\displaystyle a,} могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней[править | править код]

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Выведение формулы

Формулу можно получить следующим образом:

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

ax2+bx=−c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

Умножаем каждую часть на 4a{\displaystyle 4a} и прибавляем b2{\displaystyle b^{2}}:

4a2x2+4abx+b2=−4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}

(2ax+b)2=−4ac+b2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}}

2ax+b=±−4ac+b2{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}

2ax=−b±−4ac+b2{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}}

x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D<0 следует также сделать, учтя, что в этом случае -D>0, а −1=i{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}.

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b[править | править код]

Для уравнений вида ax2+2kx+c=0{\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}, то есть при чётном b{\displaystyle b}, где

k=12b,{\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

III способ. Решение неполных квадратных уравнений[править | править код]

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов[править | править код]

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту[править | править код]

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: a+c=b{\displaystyle a+c=b}, то его корнями являются −1{\displaystyle -1} и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (−ca{\displaystyle -{\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

D=b2−4ac=(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}.

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=−(a+c)±(a−c)22a=−a−c±|a−c|2a=−a−c±a∓c2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}}.

x1=−a−c−a+c2a=−2a2a=−1;{\displaystyle x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;}

x2=−a−c+a−c2a=−2c2a=−ca.{\displaystyle x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.}

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то корень будет один: −1.{\displaystyle -1.}

Способ 2. Геометрическая интерпретация: парабола, заданная аналитически указанной формулой, пересекает ось x в двух точках, абсциссами которых и являются корни, хотя бы один из которых равен -1

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}. Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: −b2a+ρ(x1;−b2a)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}} (если x1<x2{\displaystyle x_{1}<x_{2}}) или −b2a−ρ(−b2a;x1)=x2{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}} (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество ρ(a;b)=|a−b|{\displaystyle \rho (a;b)=|a-b|}, выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что x1=−1{\displaystyle x_{1}=-1} (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: a⋅(−1)2+b⋅(−1)+c=(a+c)−b=0{\displaystyle a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0}, поэтому -1 — корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: −b2a±|−b2a−(−1)|=x2.{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.} Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем — отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве b−a=c{\displaystyle b-a=c}, раскрываем модуль: x2=−b2a−b2a+1=−2b−2a2a=−b−aa=−ca{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}}. Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю[править | править код]

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0}), то корнями такого уравнения являются 1{\displaystyle 1} и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (ca{\displaystyle {\frac {c}{a}}}).

Доказательство

Способ 1. Прежде всего заметим, что из равенства a+b+c=0{\displaystyle a+b+c=0} следует, что b=−(a+c){\displaystyle b=-(a+c)} Установим количество корней:

D=b2−4ac=(−(a+c))2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2.{\displaystyle D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}.}

При любых значениях коэффициентов уравнение имеет хотя бы один корень: действительно, ведь при любых значениях коэффициентов (a−c)2⩾0{\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}, а значит и дискриминант неотрицателен. Обратите внимание, что если a≠c{\displaystyle a\not =c}, то уравнение имеет два корня, если же a=c{\displaystyle a=c}, то только один. Найдём эти корни:

x1,2=−b±D2a=a+c±(a−c)22a=a+c±|a−c|2a=a+c±a∓c2a;{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {a+c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};}

x1=a+c+a−c2a=2a2a=1;{\displaystyle x_{1}={\frac {a+c+a-c}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;}

x2=a+c−a+c2a=2c2a=ca,{\displaystyle x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},}

что и требовалось доказать.

В частности, если a=c{\displaystyle a=c}, то уравнение имеет только один корень, которым является число 1{\displaystyle 1}.

Способ 2. Пользуясь данным выше определением корня квадратного уравнения, обнаруживаем путём подстановки, что число 1 является таковым в рассматриваемом случае: a⋅12+b⋅1+c=0{\displaystyle a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0} — верное равенство, следовательно, единица — корень такого вида квадратных уравнений. Далее, по теореме Виета находим второй корень: согласно этой теореме, произведение корней уравнения равно числу, равному отношению свободного члена к старшему коэффициенту — x1x2=ca⇒x2=cax1=ca⋅1=ca{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}}, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители[править | править код]

Если трёхчлен вида ax2+bx+c(a≠0){\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\not =0)} удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей (kx+m)(lx+n)=0{\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}, то можно найти корни уравнения ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} — ими будут −mk{\displaystyle -{\frac {m}{k}}} и −

Как решать неполные квадратные уравнения?

Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.

Квадратные уравнения — это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут — а, b, с, где а не равняется нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.

а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.

Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.

Например, 5х ² — 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки

5х (х — 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

х = 0/5 х = 4

х = 0

Ответом будет: первый корень — 0; второй корень — 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:

4х ² — 25 = 0

4х ² = 25

х ² = 25/4

х = ± √ 25/4

х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен — 5/2.

в) Если b будет равен 0 и с будет равен 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² = 0. В таком уравнении x будет равен 0.

Как видите, неполные квадратные уравнения могут иметь не более двух корней.

5х (х — 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

х = 0/5 х = 4

х = 0

Ответом будет: первый корень — 0; второй корень — 4.

4х ² — 25 = 0

4х ² = 25

х ² = 25/4

х = ± √ 25/4

х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен — 5/2.

Как видите, неполные квадратные уравнения могут иметь не более двух корней.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула неполного квадратного уравнения

1. Коэффициент . В этом случае квадратное уравнение (1) принимает вид:

или

Если выражение, стоящее в правой части последнего равенства, положительно, то есть , то имеем два корня

В случае если , то уравнение решения не имеет.

2. Свободный коэффициент . Уравнение (1) принимает вид:

Левая часть содержит общий множитель , который вынесем за скобки:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, то есть последнее уравнение распадается на два:

3. Коэффициенты . Тогда уравнение (1) запишется в виде:

и имеет нулевой кратный корень .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Карточки по алгебре на тему «Неполные квадратные уравнения»

Подготовительный вариант а) 0,5x² = 0

б) x² – 9 = 0

в) 2x² + 15 = 0

г) 3x² + 2x = 0

д) 2x² – 16 = 0

е) 5(x² + 2) = 2(x² + 5)

ж) (x + 1)² – 4 = 0

Подготовительный вариант а) -1,5x² = 0

б) x² – 4 = 0

в) 2x² + 7 = 0

г) x² + 9x = 0

д) 81x² – 64 = 0

е) 2(x² + 4) = 4(x² + 2)

ж) (x – 2)² – 8 = 0.

4 вариант

а) 9x² – 1 = 0

б) 3x – 2x² = 0

в) x² = 3x

г) x² + 2x – 3 = 2x + 6

д) 3x² + 7 = 12x+ 7

е) 3x² – 48 = 0

1 вариант

а) 3x² – 12 = 0

б) 2x² + 6x = 0

в) 1,8x² = 0

г) x² + 9 = 0

д) 7x² – 14 = 0

е) x² – 3x =0

3 вариант

а) х ²– 81=0

б ) 4x² + 36 = 0

в) 25y² – 1 = 0

г) -y² + 2 = 0

д) 9 – 16y² = 0

е) 7y² + y = 0

2 вариант

а) 6y – y² = 0

б) 0,1y² – 0,5y = 0

в) (x + 1)(x -2) = 0

г) x(x + 0,5) = 0

д) x² – 2x = 0

е) x² – 16 = 0

5 вариант

а) 2x² – 18 = 0

б) 3x² – 12x = 0

в) 2,7x² = 0

г) x² + 16 = 0

д) 6x² – 18 = 0

е ) x² – 5x = 0

7 вариант

а) 4y – y² = 0

б) 0,2y² – y = 0

в) (x + 2)(x – 1) = 0

г) (x — 0,3)x = 0

д) x² + 4x = 0

е) x² – 36 = 0

8 вариант

а ) 16x² – 1 = 0

б) 4x – 5x² = 0

в) x² = 7x

г) x² – 3x – 5 = 11 – 3x

д) 5x² – 6 = 15x – 6

е) х² – 25 = 0

1 вариант

а) 3x² – 12 = 0

б) 2x² + 6x = 0

в) 1,8x² = 0

г) x² + 9 = 0

д) 7x² – 14 = 0

е) x² – 3x =0

3 вариант

а) х ²– 81=0

б ) 4x² + 36 = 0

в) 25y² – 1 = 0

г) -y² + 2 = 0

д) 9 – 16y² = 0

е) 7y² + y = 0

2 вариант

а) 6y – y² = 0

б) 0,1y² – 0,5y = 0

в) (x + 1)(x -2) = 0

г) x(x + 0,5) = 0

д) x² – 2x = 0

е) x² – 16 = 0

5 вариант

а) 2x² – 18 = 0

б) 3x² – 12x = 0

в) 2,7x² = 0

г) x² + 16 = 0

д) 6x² – 18 = 0

е ) x² – 5x = 0

7 вариант

а) 4y – y² = 0

б) 0,2y

2 – y = 0

в) (x + 2)(x – 1) = 0

г) (x — 0,3)x = 0

д) x² + 4x = 0

е) x² – 36 = 0

8 вариант

а ) 16x² – 1 = 0

б) 4x – 5x² = 0

в) x² = 7x

г) x² – 3x – 5 = 11 – 3x

д) 5x² – 6 = 15x – 6

е) х² – 25 = 0

Презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме: Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.

Слайд 1

Презентация урока алгебры в 8 классе « Квадратные уравнения . Решение непо л н ых квадратн ых у равнений »

Слайд 2

Загадочное, но нам знакомое, В нем есть что-то неизвестное Его корень – вот искомое Найти его – интересно всем Каждый скажет без сомнения Перед вами ( уравнение)

Слайд 3

Решите уравнения а) у – 7 = 0; б) х + 0,5 = 0; в) а х = 0; г) 2 х – 1/3 = 0; д) а ( а – 1) = 0; е) х 2 + 4 = 0.

Слайд 4

Задача В кинозале количество зрительскихх мест в каждом ряду на 8 больше количества рядов. Всего на сеанс пришло 884 зрителя и все места были заняты. Сколько рядов в кинозале?

Слайд 5

x – рядов; x +8 – мест в каждом ряду C оставим уравнение: x (х+8)=884; x 2 +8х-884=0.

Слайд 6

« Квадратные уравнения . Решение непо л н ых квадратн ых у равнений » Тема урок а : эпиграф: уравнение – это ключ, которым можн о открыть т ы сячу дверей в не известное .

Слайд 7

цель : ввести понятие квадратного уравнения ; Научиться решать непо лные квадратн ые у равнения .

Слайд 8

О пр е деление квадратного у равнения Квадратн ы м у равнением наз ы ва е тся у равнение вид а ax²+bx+c=0 , де х – переменная , а, b , с – параметры , а≠0. Число а называ е тся пер вым ко э ф фи ц ие нтом, число b – вторым ко эф ф ицие нтом и с – свободным членом. Квадратное у равнение наз ы вают также у равнением второй степен и , так как е го л е вая част ь является многочлен ом второй степен и .

Слайд 9

При меры квадратн ы х у равнений : a b c -2x²+x-1,4=0 -2 1 -1,4 5x²-4x=0 5 -4 0 3X²+10,3=0 3 0 10,3

Слайд 10

За дание 1 Являются ли данные уравнения квадратными? 4x²-5x+2=0 -5,6x²-2x- 0,5 =0 13-7x²=0 16x²-x³-5=0 1-16x=0 -x²=0

Слайд 11

За дание 2 Наз овите ко э ффиц ие нт ы в квадратном у равнении . 3x²-6x+2=0 -x²+5x+10=0 x²-8x+1,5=0 -4x²+5=0 -36x²-3x=0 12x²=0

Слайд 12

Непо лные квадратн ые у равнения Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один и з ко э ф фи ц ие нт о в b или c р а вен нулю, то так ое уравнение наз ы вают непо л н ы м квадратн ы м у равнением . a b c -3x²+5=0 -3 0 5 2x²-10x=0 2 -10 0 16x²=0 16 0 0

Слайд 13

Классификация квадратных уравнений полные неполные Аль-Хорезми , где a ≠ 0 b=0 b=0, c=0 c=0 или или или

Слайд 14

Ре ши м уравнение если b=0. -4x²+25=0 — 4x² =- 25 4x² = 25 или I

Слайд 15

Решим уравнение если b=0 ,c=0. III

Слайд 16

Решим уравнение если C=0 . (35 + у) y = 0 35 + у = 0 или II y = 0 y=-35

Слайд 17

Тестирование

Слайд 18

1 . 2. 3. 4. 5 0; -5 -5; 5 0 За дание №1. Укажите корни уравнения помощь

Слайд 19

За дание №2. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -4 ; 4 — 4 ; 0 16 0 ; 4

Слайд 20

За дание №3. Укажите корни уравнения 1 . 2. 3. 4. 3 -3 ; 0 -3 0 ; 3

Слайд 21

За дание №4. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. 0; 4 16 -4; 4 -4; 0

Слайд 22

05/01/17 За дание №5. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -2; 2 4 2 2; 0

Слайд 23

Итоги урока: Сегодня на уроке я узнал… понял… научился… мои успехи – это… трудности я почувствовал… я не умел, а теперь умею… на следующем уроке я хочу…