Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х₁= 3      х₂= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x²+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b²–4ac = 8²–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х₁= 8   х₂= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x²–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b²–4ac =(–22)²–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х₁= 11  и   х₂= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x²–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b²–4ac =(–8)²–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x²–16 = 0     =>   4x² =16     =>   x² = 4    =>      x₁ = 2     x₂ = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x²–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x₁ = 0     x₂ = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x²–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x²+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² + (а² +1)∙х+ а= 0    = >   х₁= –а    х₂= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х² +37х+6 = 0.

х₁= –6    х₂= –1/6.

2. Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² – (а² +1)∙х+ а= 0      = >   х₁= а    х₂= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х² –226х +15 = 0.

х₁= 15    х₂= 1/15.

3. Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a² – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx² + (а² –1)∙х – а= 0    = >    х₁= – а    х₂= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

х₁= – 17    х₂= 1/17.

4. Если в уравнении  ax² – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² –  (а² –1)∙х – а= 0      = >   х₁=  а    х₂= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²– 99х –10 = 0.

х₁= 10    х₂= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх² + bx + c = 0   имеет корни  х₁  и  х₂, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х²– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х² – 11х+5 = 0  (1)      =>     х² – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х₁ = 10  х₂ = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х² «перебрасывали» двойку), получим

х₁ = 5  х₂ = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х²:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х₁ = 5  х₂ = 0,5

 

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x²— 45x = 0  или  15х+42+9x²— 45x=0  или   15 -5x+10x² = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x² + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x ² + b x + c = 0 можно получить так:

• перенесем c в правую часть a x² + b x = — c
• умножим уравнение на 4a (2a x)² + 4a b x = — 4a c
• добавим b² к обоим частям (2a x)² + 4a b x + b² = b² — 4a c
• в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)² = b² — 4a c
• извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b² — 4a c
• перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b² — 4a c
• разделим уравнение на 2a

  x =	-b ± √b2 — 4a c
  	2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b² − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

  x1,2 =	-b ± √D
  	2 a

• при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
• при Dx_1,2 =  -b ± i√-D 2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x² равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x² + px + q = 0, где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x ₁ + x₂ = -p,      x₁x₂ = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² — 4·3·2 = 25 — 24 = 1

x1 =  —5 + √1  = -1, 2·2

x2 =  —5 — √1  = -1 1 2·2 2

Упражнения. Квадратные уравнения.

ru.onlinemschool.com

Три полезных лайфхака, как решать квадратные уравнения быстрее, чем через дискриминант

Я им такую классную теорему придумал,
а они решают через дискриминант :-(((
(с) Франсуа Виет “Несуществующие высказывания”

Формула корней, или длинный способ

Всем, кто хотя бы мало-мальски присутствовал на уроках математики в 8 классе, известна формула корней квадратного уравнения. Решение по формуле корней часто называют в простонародье “решением через дискриминант”. Напомним вкратце формулу корней.

---

[Вы можете также просмотреть содержание этой статьи в видеоформате]

---

Квадратное уравнение имеет вид ax

²+bx+c = 0, где a, b, c – некоторые числа. Например, в уравнении 2x² + 3x – 5 = 0 эти числа равны: a = 2, b = 3. c = -5. Прежде, чем решать любое квадратное уравнение, нужно “увидеть” эти числа и понять, чему они равны.

Далее считают так называемый дискриминант по формуле D=b^2-4ac. В нашем случае D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Затем из дискриминанта извлекают корень: \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7.

После того, как вычислили дискриминант, применяют формулу корней: x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} :

x_1=\frac{-3-7}{2 \cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5
x_2= \frac{-3+7}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1

И таким образом, уравнение решено. Оно имеет два корня: 1 и -2,5.

Но это уравнение, как и множество других предлагаемых в школьных учебниках/задачниках, можно было решить гораздо более быстрым способом, если знать пару-тройку лайфхаков. И речь не только о теореме Виета, хотя и она является полезным инструментом.

Лайфхак первый. Если a + b + c = 0, то x_1=1, x_2=\frac{c}{a}.

Он применяется только в том случае, если в квадратном уравнении все три коэффициента a, b, c при сложении дают 0. Например, у нас было уравнение 2x² + 3x – 5 = 0. Сложив все три коэффициента, получим 2 + 3 – 5, что равно 0. В этом случае можно не считать дискриминант и не применять формулу корней. Вместо этого можно сразу написать, что

x_1=1,
x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-2,5

(заметьте, что тот же результат мы получили в формуле корней).

Часто спрашивают, всегда ли будет получаться x_1=1? Да, всегда, когда a + b + c = 0.

Лайфхак второй. Если a + c = b, то x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}.

Пусть дано уравнение 5x² + 6x + 1 = 0. В нём a = 5, b = 6, c = 1. Если сложить “крайние” коэффициенты a и c, получим 5+1 = 6, что как раз равно “среднему” коэффициенту b. Значит, можем обойтись без дискриминанта! Сразу же записываем:

x_1=-1,
x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-0,2

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x² – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x² – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

• если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
• и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!

1. Решите уравнение x² + 3x + 2 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак второй
   В данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.
   Ответ: -1, -2.

2. Решите уравнение x² + 8x – 9 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак первый
   В данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.
   Ответ: 1, -9.

3. Решите уравнение 15x² – 11x + 2 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   Данное уравнение (единственное из всего списка) не попадает ни под один из лайфхаков, поэтому решать его будем по формуле корней:
   D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.

   x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}

   x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}

   Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.
   

4. Решите уравнение x² + 9x + 20 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.
   Ответ: -4, -5.
   

5. Решите уравнение x² – 7x – 30 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.
   Ответ: 10, -3.

6. Решите уравнение x² – 19x + 18 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак первый
   В данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.
   Ответ: 1, 18.

7. Решите уравнение x² + 7x + 6 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак второй
   В данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.
   Ответ: -1, -6.

8. Решите уравнение x² – 8x + 12 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.
   Ответ: 6, 2.

9. Решите уравнение x² – x – 6 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.
   Ответ: 3, -2.

10. Решите уравнение x² – 15x – 16 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.
    Ответ: -1, 16.

11. Решите уравнение x² + 11x – 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.
    Ответ: 1, -12.

mat-ege.ru

Как решать квадратное уравнение

Как решать квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения

Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

Здесь — любое ненулевое число,  — любые числа, a — то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, — квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число — свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак «-«.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид . Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, . Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: .

Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение .  Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием «Линейное уравнение».

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на . Например, заменим на . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .

Типичная ошибка: часто вместо пишут  , то есть забывают скобки, но это уже , а не .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и

Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.

Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль. То есть — не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если , то . Числа и — это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении дискриминант . Тогда . Ответ: .

Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .

Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться «некрасивым», например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .

Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: . Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .

Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях — и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53  (ответы находятся после условий)

все статьи по математике

 

www.itmathrepetitor.ru

Решение квадратных уравнений через производные / Habr

Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем

забивать гвозди микроскопом.

Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!

Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

Что же дальше делать? Непонятно. А в любом непонятном случае нужно брать производную ещё раз:

На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции — запомним это.

Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

Где — время, — начальная скорость, — ускорение.
Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.

Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

«Ускорение» у нас уже есть — им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка — ибо она и будет искомым.

В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

В таком случае составим уравнение для поиска :

[подставили в производную первого порядка ]

Корнем такого уравнения относительно будет:

А значением исходной функции при таком аргументе будет:

Вспомним, какой целью мы задались в самом начале: «необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль». Иными словами, нам от положения необходимо «дойти до нуля».

Так как теперь нам известна начальная скорость, ускорение и какой путь необходимо пройти, то настало время отметить следующее:

, также как и

Тогда, подставив все известные величины, получим:

Поделим все на :

Теперь становится очевидно, что:

Соединим все «детали пазла» воедино:

Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли — мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. Практического смысла это не несет (примерно таким же образом можно решать уравнения первой/второй степени любого (не обязательно общего) вида).

Целью этой статьи является, в частности, подогрев интереса к анализу мат. функций и вообще к математике.

С вами был Петр, спасибо за внимание!

habr.com

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Устный счет:

1. При каком значении Х , выражение принимает минимальное значение

а) ; б)
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

4. Выделить полный квадрат:

5. Вычислить пары чисел , удовлетворяющих условиям

а) m + n = 4 mn = 4

б) m + n = –3 mn = –18

1. Какое уравнение называется полным?
2. Что такое корни квадратного уравнения?
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня:

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

(1)
(2)
(3)

из (2) отнимаем (1)

–

_____________________

В каком случае произведение равно 0?

Так как = > 0 = > a+ b = 0. (4)

Из (3) вычтем (2)

–

_________________

= > a+ b = 0 (5)

Из (4) отнимем (5)

–

________________

а0 = > = > ,
а по условию пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

Самостоятельно:

a)

Вместе:

б)

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

– дискриминант квадратного уравнения.

По теореме, доказанной нами , уравнение не может иметь более двух корней.

Количество корней зависит от D.

1). D > 0
2). D = 0

3). D < 0 – уравнение действительных корней не имеет.

Решить уравнения:

1)
– корней нет.

2)
D = 49–48 = 1

3)
D = 25 + 12 = 37

Если в уравнении b = 2k ,то уравнение имеет вид

D =

Диктант(один ученик на внутренней доске, в это время двое по карточкам)

1) Вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 100
2) Найти корни квадратного уравнения х = 3 и
3) При каком условии полное квадратное уравнение имеет один корень D = 0
4) При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней.
5) Решить уравнение D < 0.

После диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задание , исправляют ошибки и задают вопросы ученику у доски.

Все проверяют работу учеников на доске, которым были даны карточки.

1)

а) Решить уравнение

б) При каком m можно представить в виде квадрата двучлена выражение

а)
б)

2)

1. Решить уравнение

2. При каком а уравнение имеет один корень

Этим учащимся задаются вопросы и ставится оценка.

Итог урока

– Какие уравнения мы сегодня решали?
– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
– С помощью чего мы их решали?

Когда D = 0, то …
D < 0, то …
D > 0, то …

urok.1sept.ru