2 ответа

• Решатель Sympy для решения при-определяются совокупностью уравнений

  Хорошо, я в основном хочу решить набор недетерминированных уравнений.

  (1/2) //subtract E from both sides

  Матричный квадратный корень может быть или не быть чем-то, что вы хотите решить символически. SymPy, конечно, позволит вам представить его символически, но он оказался неспособным вычислить его численно, до сих пор в моих попытках (в Python3 на MinGW64).

  Ваша матрица C симметрична, поэтому мы можем проверить, имеет ли член под квадратным корнем (т. е. степень 1/2 ) явную формулу вычисления. Несколько предварительных фактов:

  В Википедии (Симметричная Матрица) :

  1. Сумма и разность двух симметричных матриц снова симметричны.
  2. учитывая симметричные матрицы A и B, то AB симметричен тогда и только тогда, когда A и B коммутируют.
  3. каждая вещественная симметричная матрица диагонализуема вещественным ортогональным подобием.

  В Википедии (Квадратный Корень Из Матрицы):: Явный Formulas::ByDiagonalization

  4. для любой диагонализуемой матрицы
     A=VDV^(-1), то A^(1/2) = VD^(1/2)V^(-1) . 2 + I) симметрично.

     Таким образом, можно было бы использовать квадратный корень через диагонализацию (4) выше. И квадратный корень диагональной матрицы вычисляется путем взятия квадратного корня элементов на диагонали. Здесь вы можете столкнуться с другой проблемой: если эти элементы отрицательны, ваш ответ будет сложным. Есть также потенциально несколько ответов для каждого квадратного корня, потенциально дающих вам несколько ответов для рассмотрения. Скорее всего, именно поэтому SymPy не дает численного ответа.

     Поделиться lockcmpxchg8b     02 декабря 2017 в 23:15

     ---

     
     2
     
     

     Ваш код не прав. NumPy предназначен для численных вычислений, он не собирается создавать объект SymPy, представляющий левую часть вашего уравнения. И это не поможет вам получить аналитическое решение. Вот пример решения матричной системы с SymPy; это 2 на 2, а не 1000 на 1000.

     import sympy as sym
     X = sym.Matrix(sym.MatrixSymbol('X', 2, 2))
     covar = sym.Matrix([[2, 1], [1, 3]])
     sym.solve([X**2 - covar*X - sym.eye(2), X-X.T], X)
     

     Обратите внимание, что умножение матриц SymPy-это просто * . Первое уравнение-это то, что вы написали, второе требует, чтобы X был симметричным ( X.T -это транспонирование X).

     Однако уже 3 на 3 случай проблематичен, а 1000 на 1000-совершенно безнадежен. Нельзя просто решить систему из 500 000 нелинейных уравнений, бросив ее в SymPy.

     Вы можете попробовать многомерные решатели SciPy, чтобы получить некоторые численные решения, но это будет просто одно численное решение из многих. Правильный подход к математическим уравнениям, таким как X**2 - C*X - I = 0 , заключается не в том, чтобы бросать их в компьютер, а в том, чтобы делать математику.

     Поделиться Unknown     02 декабря 2017 в 20:35

     ---

     Похожие вопросы:

     
     Существует ли модуль python для решения / интегрирования системы стохастических дифференциальных уравнений?

     У меня есть система стохастических дифференциальных уравнений, которую я хотел бы решить. TX+X(A+D)=I\\ d_i \in \left\{0,1\right\} \mbox{ for }…

     
     Решатель Sympy для решения при-определяются совокупностью уравнений

     Хорошо, я в основном хочу решить набор недетерминированных уравнений. У меня около 289 переменных и 288 уравнений. Я перешел по следующей ссылке , чтобы создать свою программу-решатель для решения…

     
     Решатель системы уравнений pandas

     У меня есть этот фрейм данных в качестве примера: Col1 Col2 … Col5 Price 0 Wood Wood Plastic 50 1 Iron Wood Wood 70 … 3000 Iron Iron Wood 110 Я хотел бы знать, можно ли построить линейный…

     
     Решить систему нелинейных уравнений в python

     Пытаюсь решить систему нелинейных уравнений и не знаю, какой python решатель использовать. a=Q1**2+Q4**2 b=2*Q1*Q2-2*Q3*Q4 c=2*Q1*Q3+2*Q2*Q4 d=Q2**2+Q3**2 a,b,c,d — это просто реальные числа, а…

     
     Произвести п уравнений решатель python

     Я хочу сгенерировать n уравнений, которые будут решены в решателе python 3 Я могу решить, вручную введя, сколько переменных. Например, 3 переменные в следующем. ni = [1,2,3] nb = [4,5,6] rsV =10 S =…

     
     Гекко Питон3. Система уравнений

     Я хотел бы знать, что это теоретический метод, который стоит за APM SOLVERs. Я решаю задачу, в которой мне нужно решить систему нелинейных уравнений без каких-либо ограничений. Я использую решатель…

     
     Решения уравнений с частными производными в python с неявным источником термины

     Я хочу решить следующий набор из 3 связанных PDE в python с помощью fipy ∇2n − (∇2ψ)n − (∇ψ).∇n = n/10, ∇2p + (∇2ψ)p + (∇ψ).∇p = p/10, ∇2ψ = −(p − n) Переменные-это p , n и ψ . Как видно из первого…

     
     решатель квадратичных уравнений, который не работает

     Я должен был создать этот решатель уравнений (я знаю, что это довольно запутанно, и, возможно, я сделал глупые ошибки, но я начал недавно), но он не работает. Он не печатает x1 и x2 на консоли. Вы…

     ax b

     Вы искали ax b? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и ax b матричное уравнение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «ax b».

     Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как ax b,ax b матричное уравнение,ax b решить матричное уравнение,деление матриц онлайн,для невырожденной квадратной матрицы а решение системы ax b имеет вид,как решить матричное уравнение онлайн,как решить уравнение матрицы,калькулятор для матриц,калькулятор для матриц онлайн,калькулятор для матрицы,калькулятор для матрицы онлайн калькулятор,калькулятор матриц,калькулятор матриц онлайн,калькулятор матриц онлайн с подробным решением,калькулятор матриц онлайн с решением,калькулятор матриц с подробным решением,калькулятор матриц с подробным решением онлайн,калькулятор матриц уравнений,калькулятор матрица,калькулятор матрицы,калькулятор матрицы онлайн,калькулятор матрицы онлайн с подробным решением,калькулятор матрицы онлайн с решением,калькулятор матрицы с решением,калькулятор матриць,калькулятор матриць онлайн,калькулятор матричний,калькулятор матричных уравнений,калькулятор матричных уравнений онлайн,калькулятор онлайн вычисление матриц,калькулятор онлайн для матриц,калькулятор онлайн матрицы,калькулятор онлайн матрицы с подробным решением,калькулятор онлайн матрицы уравнения,калькулятор онлайн по матрицам,калькулятор по матрицам онлайн,калькулятор решение матричных уравнений,калькулятор уравнение матрицы онлайн,калькулятор уравнений матриц,калькуляторы матриц,матриц калькулятор с решением,матриц онлайн калькулятор с подробным решением,матрица калькулятор,матрица калькулятор онлайн,матрица калькулятор онлайн с решением,матрица онлайн калькулятор с подробным решением,матрица онлайн калькулятор с решением,матрица решение онлайн калькулятор,матрица решение уравнений,матрица х,матрицы калькулятор,матрицы калькулятор онлайн,матрицы калькулятор онлайн с подробным решением,матрицы калькулятор онлайн уравнение,матрицы калькулятор с решением,матрицы онлайн калькулятор,матрицы онлайн калькулятор с подробным решением,матрицы онлайн калькулятор уравнения,матрицы решение онлайн калькулятор,матрицы решение уравнений онлайн,матрицы решить уравнение,матрицы уравнение онлайн,матрицы уравнения онлайн калькулятор,матричний калькулятор,матричное уравнение ax b,матричное уравнение калькулятор,матричный калькулятор,матричный калькулятор онлайн,матричный калькулятор онлайн с подробным решением онлайн,матричный калькулятор с подробным решением онлайн,матричный калькулятор с решением,матричный онлайн калькулятор с подробным решением,найти из уравнения матрицу х,найти матрицу х из уравнения,найти неизвестную матрицу x из уравнения,онлайн калькулятор для матриц,онлайн калькулятор матриц с подробным решением,онлайн калькулятор матриц с решением,онлайн калькулятор матрица с подробным решением,онлайн калькулятор матрицы,онлайн калькулятор матрицы с подробным решением,онлайн калькулятор матрицы с решением,онлайн калькулятор матрицы уравнения,онлайн калькулятор по матрицам,онлайн калькулятор решение матриц,онлайн калькулятор решение матричного уравнения,онлайн калькулятор решение матричных уравнений,онлайн калькулятор решения матриц,онлайн калькулятор решить матрицу,онлайн калькулятор с подробным решением матриц,онлайн калькулятор уравнение матрицы,онлайн калькулятор уравнения матрицы,онлайн матрица калькулятор,онлайн матрица посчитать,онлайн подробное решение матриц,онлайн подсчет матриц,подробное решение матриц онлайн,решение матриц калькулятор,решение матриц онлайн калькулятор с подробным решением,решение матриц уравнений онлайн,решение матричного уравнения,решение матричных уравнений онлайн калькулятор,решение матричных уравнений онлайн калькулятор с подробным решением,решение уравнений матриц онлайн,решение уравнений матрицы онлайн,решение уравнений с матрицами,решение уравнений с матрицами онлайн,решите матричное уравнение,решите матричное уравнение онлайн,решить матрицу калькулятор онлайн,решить матрицу онлайн калькулятор,решить матричное уравнение,решить матричное уравнение ax b,решить матричное уравнение xa b,решить матричные уравнения,решить онлайн уравнение матрицы,решить систему линейных уравнений ax b,решить уравнение матрица,решить уравнение матрица равна нулю,решить уравнение матрицы,уравнение матрицы онлайн калькулятор,уравнения матрицы онлайн,уравнения матрицы онлайн калькулятор.

     На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и ax b. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, ax b решить матричное уравнение).

     Где можно решить любую задачу по математике, а так же ax b Онлайн?

     Решить задачу ax b вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

     Матричных уравнений

     В этом разделе мы представляем очень краткий способ записи системы линейных уравнений: Ax = b. Здесь A — матрица, а x, b — векторы (обычно разного размера), поэтому сначала мы должны объяснить, как умножить матрицу на вектор.

     Когда мы говорим «A — это матрица размера m × n», мы имеем в виду, что A имеет m строк и n столбцов.

     Определение

     Пусть A — матрица размера m × n со столбцами v1, v2, …, vn:

     A = C ||| v1v2 ··· vn ||| D

     Произведение A с вектором x в Rn является линейной комбинацией

     Ax = C ||| v1v2 ··· vn ||| DEIIGx1x2…xnFJJH = x1v1 + x2v2 + … + xnvn.

     Это вектор в Rm.

     Чтобы Ax имел смысл, количество записей x должно быть таким же, как количество столбцов A: мы используем записи x как коэффициенты столбцов A в линейной комбинации. Результирующий вектор имеет то же количество записей, что и количество строк A, поскольку каждый столбец A имеет такое же количество записей.

     Если A — матрица размера m × n (m строк, n столбцов), то Ax имеет смысл, когда x имеет n элементов.В продукте Ax есть m записей.

     Свойства матрично-векторного произведения

     Пусть A — матрица размера m × n, пусть u, v — векторы в Rn, и пусть c — скаляр. Тогда:

     Определение

     Матричное уравнение — это уравнение вида Ax = b, где A — матрица размера m × n, b — вектор в Rm, а x — вектор, коэффициенты которого x1, x2, …, xn неизвестны. .

     В этой книге мы изучим два дополнительных вопроса о матричном уравнении Ax = b:

     1. При конкретном выборе b, каковы все решения Ax = b?
     2. Каковы все варианты b, чтобы Ax = b было непротиворечивым?

     Первый вопрос больше похож на вопросы, к которым вы, возможно, уже привыкли из своих предыдущих курсов алгебры; у вас много практики в решении таких уравнений, как x2−1 = 0 для x.Второй вопрос — это, возможно, новая концепция для вас. Теорема о рангах из раздела 2.9, который является кульминацией этой главы, говорит нам, что эти два вопроса тесно связаны.

     Мы будем свободно перемещаться между четырьмя способами написания линейной системы снова и снова до конца книги.

     Другой способ вычисления Ax

     Приведенное выше определение является полезным способом определения произведения матрицы на вектор, когда дело доходит до понимания взаимосвязи между матричными уравнениями и векторными уравнениями. Здесь мы даем определение, которое лучше подходит для ручных вычислений.

     Определение

     Вектор-строка — это матрица с одной строкой. Произведение вектора-строки длины n и вектора (столбца) длины n равно

     .

     Aa1a2 ··· anBEIIGx1x2 … xnFJJH = a1x1 + a2x2 + ··· + тревога.

     Это скаляр.

     Рецепт: правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор

     Если A — матрица размера m × n со строками r1, r2, …, rm, а x — вектор в Rn, то

     Ax = EIIG — r1 —— r2—…— rm — FJJHx = EIIGr1xr2x … rmxFJJH.

     Пусть A — матрица со столбцами v1, v2, …, vn:

     A = C ||| v1v2 ··· vn ||| D.

     Затем

     Ax = bhasisolution⇐⇒thereexistx1, x2, …, x означают такие, что AEIIGx1x2 … xnFJJH = b⇐⇒thereexistx1, x2, …, xns такие, чтоx1v1 + x2v2 + ··· + xnvn = b⇐⇒visalinearcombination , vn⇐⇒бисинтэппаном столбцов А.

     Интервалы и согласованность

     Матричное уравнение Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда b находится в промежутке между столбцами A.

     Это дает эквивалентность между алгебраическим оператором (Ax = b согласован) и геометрическим заявление (b находится в промежутке столбцов A).

     Когда решения всегда существуют

     Основываясь на этом примечании, у нас есть следующий критерий того, когда Ax = b согласуется для при каждом выборе b.

     Теорема

     Пусть A — матрица размера m × n (без дополнений). Следующие эквиваленты:

     1. Ax = b имеет решение для всех b в Rm.
     2. Пролет столбцов A равен Rm.
     3. У A есть точка поворота в каждом ряду.

     Доказательство

     Эквивалентность 1 и 2 устанавливается данным примечанием применительно к каждому b в Rm.

     Теперь покажем, что 1 и 3 эквивалентны. (Поскольку мы знаем, что 1 и 2 эквивалентны, это означает, что 2 и 3 также эквивалентны.) Если A имеет точку поворота в каждой строке, то его сокращенная форма эшелона строк выглядит следующим образом:

     C10A0A01A0A0001AD,

     и, следовательно, AAbB сводится к этому:

     Нет b, который делает его непоследовательным, поэтому всегда есть решение. И наоборот, если A не имеет точки поворота в каждой строке, то его уменьшенная форма эшелона строки выглядит следующим образом:

     C10A0A01A0A00000D,

     , что может привести к противоречивой системе после увеличения на b:

     Напомним, что эквивалент означает, что для любой данной матрицы A либо все условий приведенной выше теоремы истинны, либо все они ложны.

     Будьте внимательны при чтении утверждения приведенной выше теоремы. Первые два условия очень похожи на эту заметку, но логически они сильно отличаются из-за квантификатора « для всех b».

     Решение матричных уравнений за один этап с помощью резистивных матриц

     Значение

     Линейная алгебра используется практически во всех научных и инженерных дисциплинах, например, в физике, статистике, машинном обучении и обработке сигналов.Решение матричных уравнений, таких как линейная система или уравнение с собственным вектором, выполняется путем факторизации матриц или итерационного умножения матриц на обычных компьютерах, что требует больших вычислительных ресурсов. Вычисления в оперативной памяти с аналоговой резистивной памятью продемонстрировали высокую эффективность использования времени и энергии за счет реализации умножения матрицы на вектор за один шаг по закону Ома и закону Кирхгофа. Однако решение матричных уравнений за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи с перекрестной резистивной памятью может решать алгебраические задачи, такие как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.

     Abstract

     Обычные цифровые компьютеры могут выполнять расширенные операции с помощью последовательности элементарных булевых функций из 2 или более битов. В результате сложные задачи, такие как решение линейной системы или решение дифференциального уравнения, требуют большого количества вычислительных шагов и широкого использования модулей памяти для хранения отдельных битов. Для ускорения выполнения таких сложных задач вычисления в памяти с резистивной памятью представляют собой многообещающее направление благодаря хранению аналоговых данных и физическим вычислениям в памяти. Здесь мы показываем, что массив точек пересечения резистивных запоминающих устройств может напрямую решать систему линейных уравнений или находить собственные векторы матрицы. Эти операции выполняются всего за один шаг, благодаря физическим вычислениям по законам Ома и Кирхгофа, а также благодаря отрицательной обратной связи в схеме пересечения. Алгебраические задачи демонстрируются на оборудовании и применяются к классическим вычислительным задачам, таким как ранжирование веб-страниц и решение уравнения Шредингера за один шаг.

     Задачи линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений и вычисление собственных векторов матриц, лежат в основе современных научных вычислений и задач, требующих обработки большого количества данных. Традиционно эти проблемы в форме матричных уравнений решаются матричными факторизациями или итеративными матричными умножениями (1, 2), которые требуют больших вычислительных ресурсов и полиномиальной временной сложности, например, O ( N ³ ), где N размер проблемы. Поскольку традиционные компьютеры все чаще сталкиваются с ограничениями масштабирования технологии комплементарного металл-оксид-полупроводник (КМОП) (3), а также из-за затрат энергии и задержек при перемещении данных между памятью и вычислительными блоками (4), улучшение вычислений производительность с увеличением аппаратных ресурсов становится сложной и неэкономичной. Чтобы обойти эти фундаментальные ограничения, вычисления в памяти недавно стали многообещающим методом для проведения вычислений на месте, то есть внутри блока памяти (5).Одним из примеров являются вычисления в массивах точек пересечения, которые могут ускорить умножение матрицы на вектор (MVM) по закону Ома и закону Кирхгофа с аналоговой и реконфигурируемой резистивной памятью (5⇓⇓ – 8). MVM в памяти был адаптирован для нескольких задач, включая сжатие изображений (5), разреженное кодирование (6) и обучение глубоких нейронных сетей (7, 8). Однако решение матричных уравнений, таких как линейная система Ax = b , за одну операцию остается открытой проблемой. Здесь мы показываем, что схема обратной связи, включающая реконфигурируемую резистивную решетку в точках пересечения, может обеспечить решение алгебраических задач, таких как системы линейных уравнений, собственные векторы матрицы и дифференциальные уравнения, всего за один шаг.

     Резистивная память — это двухполюсные элементы, которые могут изменять свою проводимость в ответ на приложенное напряжение (9, 10). Благодаря своему энергонезависимому и реконфигурируемому поведению резистивные запоминающие устройства широко исследовались и разрабатывались для запоминающих устройств (11, 12), логики с отслеживанием состояния (13⇓ – 15), вычислений в памяти (5, 6, 16, 17), и нейроморфные вычислительные приложения (7, 8, 18, 19). Резистивная память включает в себя различные концепции устройств, такие как резистивная коммутационная память (RRAM, refs.9⇓⇓ – 12), память с изменением фазы (PCM, ссылка 20) и магнитная память с передачей вращения (21). Реализованные в архитектуре массива точек пересечения, резистивная память может естественным образом ускорить операции с большими объемами данных с повышенной эффективностью времени / энергии по сравнению с классическими цифровыми вычислениями (5, 6, 17). Также недавно было показано, что итерированные операции MVM с резистивными массивами точек пересечения могут решать системы линейных уравнений в сочетании с цифровыми компьютерами с плавающей запятой (22). Чем выше желаемая точность решения, тем больше итераций требуется для завершения операции.Однако итерация поднимает фундаментальный предел для достижения высокой вычислительной производительности с точки зрения энергии и задержки.

     Результаты

     Схемы пересечения для решения системы линейных уравнений.

     Рис. 1 A показывает предлагаемую схему обратной связи для решения системы линейных уравнений за один шаг, а аппаратная схема на печатной плате показана в приложении SI , рис. S1. Схема представляет собой матрицу узлов RRAM, каждое из которых состоит из пакета металл-изолятор-металл со слоем HfO ₂ между верхним электродом из Ti и нижним электродом из C (15).Устройства показывают переход набора от высокого сопротивления к низкому сопротивлению, когда положительное напряжение выше порогового значения В _набора прикладывается к Ti-электроду, и переход сброса от низкого сопротивления к высокому сопротивлению, когда отрицательное напряжение выше порога V _сброс применяется к Ti-электроду. Многоуровневая работа также возможна путем выполнения установленного перехода при переменном максимальном (согласованном) токе I _C или выполнения перехода сброса при переменном максимальном напряжении В _stop (23), как показано в приложении SI , Рисунок.S2. Массив точек пересечения 3 × 3 на рисунке может выполнять MVM с разомкнутым контуром, то есть путем приложения вектора напряжения В, к столбцам и измерения вектора тока I в строках без соединений строка-столбец, разрешенных с помощью операционные усилители (ОУ), которые показаны в приложении SI , рис. S3. Измеренные токи дают скалярное произведение I, = A · V между приложенными аналоговыми напряжениями и матрицей A, значений проводимости RRAM в матрице точек пересечения.Результаты свидетельствуют о небольшой ошибке, обычно менее 8%, в основном из-за нелинейности проводимости в резистивных устройствах с перекрестными точками. Это соответствует предыдущим результатам, в которых точность MVM оказалась удовлетворительной (5), хотя и не соответствовала полностью цифровым операциям с одинарной и двойной точностью.

     Рис. 1.

     Решение систем линейных уравнений с массивом точек пересечения резистивных устройств. ( A ) Схема пересечения для решения линейной системы или инвертирования положительной матрицы.Элементы RRAM (красные цилиндры) расположены в точках пересечения между строками (синие полосы) и столбцами (зеленые полосы). ( Вставка , Справа ) Экспериментальные значения проводимости, отображающие элементы матрицы A . Единицы преобразования между матрицами / векторами с действительным знаком и физическими реализациями были: G ₀ = 100 мкСм, В ₀ = 1 В и I ₀ = 100 мкА для проводимости RRAM, входное / выходное напряжение и выходной / входной ток соответственно.Другие случаи также следуют этому соглашению, если не указано иное. ( B ) Схемы для вычисления скалярного произведения I = G · V по закону Ома и для вычисления скалярного деления V = — I / G посредством TIA. ( C ) Измеренное решение линейной системы с вектором входного тока I = [0,2; 1; 1] I ₀ . Экспериментальные выходные напряжения дают решение, очень близкое к аналитическому.( D ) Измеренное решение для линейных систем, а именно выходное напряжение, как функция параметра β , управляющего входным током, задаваемым I = β · [0,2; 1; 1] I ₀ с −1 ≤ β ≤ 1. Экспериментальные решения (цветные кружки) сравниваются с аналитическими решениями (цветные линии) системы, что подтверждает точность физического расчета. ( E ) Обратная экспериментальная матрица A ⁻¹ , а именно измеренные выходные напряжения в трех последовательных экспериментах с входным током I = [1; 0; 0] I ₀ , [0; 1; 0] I ₀ и [0; 0; 1] I ₀ соответственно.Также показано аналитическое решение. ( Вставка ) Матричное произведение AA ^-1 очень близко к единичной матрице U , таким образом поддерживая экспериментальную инверсию.

     Работа MVM является следствием физического закона Ома I = G · V , где G — проводимость устройства, V — приложенное напряжение, а I — измеренный ток ( Рис.1 B , Верх ).С другой стороны, обратная операция V = — I / G может быть получена для заданных I и G , просто нагнетая ток I в заземленном узле резистивного устройства. и измерение потенциала В, во втором узле. Это физическое разделение выполняется трансимпедансным усилителем (TIA) на рис.1 B ( снизу ), где ток вводится в инвертирующий входной узел ОУ, а проводимость обратной связи G соединяет вход и выходные узлы ОУ.Дифференциальное входное напряжение В ⁺ — В ^— на ОУ минимизировано высоким коэффициентом усиления ОУ, тем самым устанавливая виртуальную землю ( В, ^— = 0) на инвертирующем входе. node (24, 25) и включение физического разделения. Это обеспечивает основу для схемы на рис. 1 A , которая решает систему линейных уравнений, выраженную матричной формулой: Ax = b, [1] где A — невырожденная квадратная матрица, отображаемая со значениями проводимости поперечного -точечные устройства RRAM, b — известный вектор, а x — неизвестный вектор.В этой схеме входные токи I, = — b прикладываются к рядам точек пересечения, подключенным к узлам виртуальной земли OA. В результате токи вынуждены автоматически распределяться между резистивными элементами в массиве точек пересечения, чтобы установить выходной потенциал В , удовлетворяющий A · V + I = 0, [2] что подразумевает В = — A ^-1 · I = x . Схема, аналогичная схеме на рис. 1 A ранее была представлена ​​в отчете International Roadmap for Devices and Systems (25) и предложена исх.26, хотя не было продемонстрировано возможности решения линейной системы с помощью экспериментов или моделирования.

     Чтобы продемонстрировать концепцию на рис. 1 A , мы измерили выходные напряжения в матрице точек пересечения RRAM 3 × 3 на рис. 1 A , где также показана матрица проводимости. Все матрицы, принятые в экспериментах в этой работе, приведены в SI Приложение , Таблица S1. Вектор тока [ I ₁₀ ; I ₂₀ ; I ₃₀ ] с I ₁₀ = 20 мкА, I ₂₀ = 100 мкА и I ₃₀ = 100 мкА, и результирующий потенциал в столбцах массива, т.е.е., [ V ₁₀ ; В ₂₀ ; V ₃₀ ], измеряли, как показано на фиг. 1 C . Хорошее согласие (с относительными ошибками в пределах 3%) с аналитическим решением поддерживает функциональность цепи обратной связи, показанной на рис. 1 A , для решения матричного уравнения в уравнении. 1 . Схема была дополнительно продемонстрирована путем линейного изменения входных токов в соответствии с I _i = β I _{i 0} , где i = 1, 2 или 3, а β было изменяется равномерно в диапазоне от -1 до 1.Результаты представлены на рис. 1 D , где показаны измеренные выходные напряжения в сравнении с аналитическими решениями x = A ^-1 b . Ошибка остается ниже 10% для | β | > 0,5 ( SI Приложение , рис. S4). Примечательно, что уравнение. 1 физически решается всего за один шаг благодаря физической MVM в массиве точек пересечения и соединению обратной связи, вынуждающему виртуальное заземление в рядах точек пересечения.

     Та же концепция может быть расширена для вычисления инверсии матрицы A , удовлетворяющей AA ^-1 = U , где U — единичная матрица.Столбец i -й столбец A, ^-1 может быть измерен как выходное напряжение, когда столбец i -й столбец U применяется в качестве входа, таким образом реализуя инверсию матрицы за N шагов. На рис. 1 E показаны измеренные элементы A ^-1 в сравнении с аналитически решенными элементами обратной матрицы, а относительные ошибки вычислены в приложении SI , рис. S5. Рис. 1 E ( вставка ) показывает, что экспериментальный продукт AA ^-1 хорошо аппроксимирует U , что дополнительно поддерживает вычисленную инверсию матрицы.

     Схема на рис. 1 A , по сути, является оператором инверсии матрицы, который можно использовать для решения линейных систем и инверсий матриц, в то время как массив точек пересечения без обратной связи является оператором матрицы, который, естественно, может использоваться для выполнить MVM. Поскольку схема инверсии матрицы представляет собой систему с отрицательной обратной связью, стабильность выходного напряжения требует, чтобы коэффициент усиления контура ( G _контур ) каждого контура обратной связи был отрицательным (27). Анализ показывает, что условие G _loop <0 выполняется, когда все знаки диагональных элементов A ^-1 положительны ( SI Приложение , рис.S6). Следуя этому руководству, была решена система линейных уравнений и инверсия матрицы 5 × 5, при этом матрица была реализована в виде массива дискретных резисторов в точках пересечения. Небольшая относительная погрешность около нескольких процентов в этом идеальном случае с дискретными резисторами свидетельствует о том, что высокая точность может быть достигнута с помощью точных и линейных устройств резистивной памяти ( SI, приложение , рис. S7).

     Решение линейной системы с положительными и отрицательными коэффициентами.

     Поскольку в резистивном элементе проводимость может быть только положительной, схема на рис.1 может решать только линейные системы с положительной матрицей коэффициентов. Для решения линейных систем с неположительными коэффициентами должна быть принята схема со смешанной матрицей, показанная на рисунке 2. Здесь матрица A, разделена на два массива точек пересечения согласно A = B — C, где B и C являются положительными. На рис.2 A показана реализация массива с двумя точками пересечения, где входной ток I разделен схемой на два компонента: I _B и I _C = I — I _B , представленные в ряды виртуальной земли B и C , соответственно.Аналоговые инверторы позволяют инвертировать напряжение между столбцами B и C . Исходя из закона Ома и закона тока Кирхгофа, выходное напряжение В, OA определяется как B · V + C (−V) + I = 0, [3] или A · V + I = 0, который решает линейную систему уравнения. 1 с I = — b .

     Рис. 2.

     Обращение смешанной матрицы. ( A ) Схема схемы двух точек пересечения для инверсии матриц, где два массива точек пересечения содержат элементы матриц B ( Bottom ) и C ( Top ) с A = B — C .Напряжение в матрице , C, инвертируется в другой с помощью аналоговых инверторов, в то время как входной ток вводится в линии виртуальной земли и разделяется на две матрицы. ( B ) Измеренные значения матриц A , B и C , при этом A = B — C . В эксперименте матрица B была реализована в виде массива точек пересечения RRAM, а матрица C была реализована в виде массива точек пересечения дискретных резисторов.( C ) Измеренные значения обратной матрицы A ^-1 как функция аналитически вычисленных элементов A ^-1 . Поскольку A ⁻¹ является положительной матрицей, ее можно инвертировать с помощью одного массива точек пересечения, как показано на рисунке 1. ( D ) Значения проводимости для матрицы A ⁻¹ , реализованные в элементах RRAM , как функция экспериментальных значений A ⁻¹ в C .Чтобы устройства работали в области высокой проводимости, матрица A ^-1 была реализована с G ₀ = 500 мкс для проводимости RRAM. ( E ) Измеренные элементы матрицы ( A ⁻¹ ) ⁻¹ как функция аналитических расчетов. I ₀ = 500 мкА и В ₀ = 1 В использовались для входного тока и выходного напряжения соответственно. ( F ) Измеренные элементы матрицы ( A ⁻¹ ) ⁻¹ как функция с исходной матрицей A , демонстрируя замечательную точность, несмотря на накопленные ошибки по двум последовательным процессам инверсии и устройству -процесс программирования.

     Мы экспериментально продемонстрировали инверсию смешанной матрицы 3 × 3 A с двумя матрицами B и C , реализованными в массиве RRAM и массиве резисторов, соответственно. Значения A , B и C показаны на рис. 2 B , а на рис. 2 C показаны измеренные элементы A ^-1 в зависимости от аналитического результаты, демонстрирующие хорошую точность. Чтобы дополнительно поддержать инверсию физической матрицы, мы инвертировали A ^-1 , которая является положительной матрицей, с одним массивом точек пересечения.Для этого элементы A ^-1 были сначала отображены как значения проводимости в массиве RRAM с использованием алгоритма программирования и проверки с ошибкой менее 5% ( SI Приложение , рис. S8). Хотя алгоритм программирования и проверки применялся к отдельному устройству RRAM за раз, массив точек пересечения подходит для параллельного программирования, чтобы значительно сократить время инициализации массива (28, 29). На рис. 2 D показаны измеренные значения проводимости RRAM как функция целевых значений, полученных из экспериментального A ^-1 на рис.2 С . Инверсия A ⁻¹ , то есть ( A ⁻¹ ) ⁻¹ , была вычислена схемой инверсии матриц, показанной на рис. 1, A , давая результаты на рис. Е . Вычисленное ( A ⁻¹ ) ⁻¹ сравнивается с исходной матрицей A на рис.2 F , которая поддерживает хорошую точность двойных инверсий ( A ⁻¹ ) ^-1 = А .Относительные ошибки вышеупомянутых операций указаны в приложении SI , рис. S9.

     Подобно схеме одиночной матрицы точек пересечения на рис. 1 A , условие отрицательной обратной связи применяется к смешанной матрице A . Кроме того, поскольку матрица точек пересечения B непосредственно участвует в обратной связи с обратной связью с OA, матрица B также должна удовлетворять условию G _loop <0. В качестве предложения для практических приложений. , опорная матрица B , удовлетворяющая условию G _loop , может быть принята в схеме со смешанной матрицей, в то время как матрица C может быть свободно размещена с помощью массива точек пересечения RRAM с условием C = B — A .Чтобы продемонстрировать общность этой концепции, одномерное стационарное уравнение Фурье для диффузии тепла было решено с помощью схемы с перекрестными точками ( SI, приложение , рис. S10 и S11). При использовании метода конечных разностей дифференциальное уравнение сначала преобразуется в систему линейных уравнений, где характеристическая матрица , является смешанной трехдиагональной матрицей. Входные токи соответствуют известному термину, а именно рассеиваемой мощности в одномерной структуре.Решение дает профиль температуры вдоль эталонной структуры, которая решает численное уравнение Фурье.

     Ключевым параметром для описания устойчивости решения линейной системы является число обусловленности κ матрицы (30). Число обусловленности отражает стабильность решения x при небольших изменениях известного члена b в уравнении. 1 , где чувствительность к возмущениям увеличивается с увеличением числа обусловленности. Чтобы изучить влияние числа обусловленности на решение линейных систем в массивах резистивной памяти, мы смоделировали схемное обращение трех матриц 10 × 10 с увеличением числа обусловленности.Чтобы проверить стабильность решения, случайное изменение 0,1 или -0,1 было добавлено к каждому элементу в члене b уравнения Ax = b , где b — это i -й столбец единичная матрица U, , x — это i -й столбец A ^-1 , а i была развернута от 1 до 10 для вычисления всей обратной матрицы. Результаты представлены в приложении SI , рис. S12, что указывает на то, что ошибка вычисления увеличивается с увеличением числа обусловленности матрицы.

     Влияние числа обусловленности также проверялось в экспериментах, выполняя двойное обращение матрицы с большим числом обусловленности ( κ = 16,9) по сравнению с матрицей с κ = 9,5 на рис. 2. Номера условий для всех матриц в эксперименте сведены в SI Приложение , Таблица S1. Как показано в приложении SI , рис. S13, матрица с большим κ успешно инвертируется дважды, хотя ошибки вычислений больше, чем в случае на рис.2 ( SI Приложение , рис. S14). Следует отметить, что рассматриваемые в данной работе матрицы хорошо подготовлены. Для плохо обусловленной матрицы с чрезвычайно высоким числом обусловленности должны потребоваться дополнительные схемы, возможно, включая алгоритмы итеративного уточнения, которые могут поддерживаться обычным цифровым компьютером (22) или реализованы в массиве резистивной памяти (26). Ошибка, вызванная тепловым шумом и дробовым шумом компонентов в схеме пересечения, также увеличивается с увеличением числа условий, хотя и представляет гораздо меньшую проблему ( SI Приложение , рис.S15).

     Схемы пересечения точек для вычисления собственных векторов.

     Решение линейной системы в уравнении. 1 может быть дополнительно расширен до вычисления собственных векторов посредством физических вычислений в массиве точек пересечения. Уравнение для собственного вектора имеет вид Ax = λx, [4] где A — вещественная квадратная матрица, λ — ее собственное значение, а x — соответствующий собственный вектор. Рис. 3 A показывает схему собственного вектора, состоящую из цепи самоуправляемой обратной связи, где вектор напряжения В, , сформированный в столбцах точек пересечения, развивает вектор тока I = A · В , с проводимость матрицы точек пересечения, отображающей матрицу A, .Выходные токи преобразуются в напряжения с помощью TIA с резисторами обратной связи G _λ , отображающими известное собственное значение λ . Затем выходные сигналы TIA инвертируются и возвращаются в столбцы точек пересечения. Комбинируя закон Ома и закон Кирхгофа, получаем — A · V / G _λ = — V , следовательно, A · V = G _λ V , который удовлетворяет уравнению. 4 . Поскольку физические напряжения и токи могут иметь только действительные значения, схема собственных векторов применяется только к действительным собственным значениям и собственным векторам. Для положительной матрицы, согласно теореме Перрона – Фробениуса (31), наивысшее собственное значение должно быть положительным действительным числом, а его собственный вектор также состоит из положительных действительных чисел. В результате собственный вектор наивысшего собственного значения положительной матрицы всегда может быть решен с помощью перекрестной схемы. Если собственный вектор самого низкого отрицательного собственного значения является действительным, его также можно измерить, удалив аналоговые инверторы в цепи обратной связи ( SI Приложение , рис.S16 A ). Обратите внимание, что схема собственного вектора на рис. 3 A работает автономно, подобно генератору с положительной обратной связью, благодаря активным TIA, устанавливающим вектор напряжения В, .

     Рис. 3.

     Расчеты собственного вектора и PageRank. ( A ) Схема пересечения для решения уравнения собственных векторов Ax = λx , где x — собственный вектор, а λ — наивысшее положительное собственное значение положительной матрицы. вставка.Чтобы предотвратить нарушение при установке / сбросе проводимости RRAM, выходные напряжения OA были ограничены до ± 0,2 В. ( B ) Измеренные собственные векторы, соответствующие самому высокому положительному собственному значению и самому низкому отрицательному собственному значению, как функция нормированных собственных векторов полученные аналитическими решениями. Наивысшее положительное собственное значение и наименьшее отрицательное собственное значение были сохранены как проводимость обратной связи G _λ TIA с проводимостью 940 и 331 мкс соответственно.( C ) Система из четырех веб-страниц с соответствующими ссылками. Стрелка, указывающая со страницы i на страницу j , указывает на ссылку j на странице i , поэтому важность веб-страницы можно определить по количеству стрелок, указывающих на эту страницу. ( D ) Матрица ссылок для системы в C . Сумма элементов в каждом столбце равна 1, а все диагональные элементы равны нулю, поскольку страницы не ссылаются на себя. Единицей преобразования было G ₀ = 684 мкс для проводимости RRAM, чтобы минимизировать нелинейность RRAM.Наивысшее положительное собственное значение равно 1, что соответствует резисторам обратной связи с проводимостью G ₀ . ( E ) Измеренный собственный вектор, представляющий оценки важности четырех страниц, как функция аналитически решенного нормализованного собственного вектора.

     Схема собственного вектора на рис. 3 A была экспериментально продемонстрирована для массива точек пересечения RRAM со значениями проводимости G , отображающими матрицу A (рис. 3 A , вставка ) путем вычисления собственные векторы для наивысшего положительного собственного значения ( λ ₊ = 9.41) и наименьшее отрицательное собственное значение ( λ _— = −3,31). На рис. 3 B показаны измеренные значения собственных векторов как функции нормированных собственных векторов, полученные с помощью аналитических решений. Пропорциональность между экспериментальными и рассчитанными собственными векторами на рисунке указывает на правильное физическое вычисление собственных векторов.

     Хотя ограничение решения самыми высокими / самыми низкими собственными значениями может показаться неудобным, оказывается, что для многих приложений используются только самые высокие положительные или самые низкие отрицательные собственные значения.Например, в алгоритме PageRank (32, 33), который дает оценки важности веб-страниц для их ранжирования, собственный вектор матрицы ссылок вычисляется для наивысшего положительного собственного значения. Последнее всегда равно 1, поскольку матрица связей является стохастической матрицей (33). На рис. 3 C показан пример четырех страниц с соответствующими ссылками, а на рис. 3 D показана соответствующая матрица ссылок, которая была реализована как значения проводимости массива точек пересечения RRAM 4 × 4.Используя схему собственных векторов, показанную на рис. 3 A , был решен собственный вектор матрицы ссылок для вычисления оценок важности страниц. Рис. 3 E показывает экспериментальные оценки по сравнению с аналитическими оценками, демонстрируя хорошую точность физического вычисления собственного вектора. Реальный случай PageRank описан в приложении SI , рис. S17.

     Анализ схемы собственных векторов на рис.3 A показывает, что G _петля в идеале должна быть равна 1 ( SI Приложение , Рис.S18), что, однако, никогда не может быть полностью удовлетворено в практических схемах. На практике G _λ можно экспериментально выбрать так, чтобы G _loop было немного больше 1, что позволяет правильно решить собственный вектор с приемлемой ошибкой. Фактически, хотя выход изначально увеличивается из-за G _цикла > 1, нелинейность схемы, возникающая из-за насыщения выхода TIA, уменьшает цикл G до 1.С другой стороны, установка G _loop меньше 1 приводит к нулевому выходному напряжению, чего, таким образом, следует избегать. Подобно рис. 2 A , решение для собственных векторов может быть расширено до смешанной матрицы A с помощью техники разделения с двумя массивами точек пересечения, соединенными аналоговыми инверторами ( SI Приложение , рис. S16 B ).

     Мы проверили физическое вычисление собственных векторов для решения одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера: HΨ = EΨ, [5] где H — оператор Гамильтона, E — собственное значение энергии, а Ψ — соответствующая собственная функция.Уравнение 5 может быть численно решена методом конечных разностей, давая задачу на собственный вектор, заданную уравнением. 4 , где A — трехдиагональная матрица коэффициентов, x — вектор значений в дискретных позициях, а λ — наивысшее / наименьшее собственное значение. Уравнение Шредингера было решено для квадратной потенциальной ямы, показанной на рис. 4 A , которая была разделена поровну на 32 сегмента ( SI Приложение , рис. S19 и S20).На рис. 4 B показана трехдиагональная смешанная матрица A 33 × 33, описывающая уравнения собственных векторов. Матрица A, разделена на две положительные трехдиагональные матрицы B, и C , которые отображаются в значениях проводимости двух массивов точек пересечения, соответственно. Собственный вектор был вычислен для основного состояния с энергией E = -4,929 эВ, что соответствует наименьшему отрицательному собственному значению задачи. Собственные значения и собственные векторы, полученные путем численного решения на цифровом компьютере, также указаны в приложении SI , рис.S19. На рис. 4 C показан собственный вектор, полученный с помощью схемы смоделированного собственного вектора, в сравнении с аналитически вычисленным собственным вектором. Физически вычисленная волновая функция хорошо согласуется с численным решением, которое дополнительно поддерживает физические вычисления в схемах пересечения точек для реальных приложений.

     Рис. 4.

     Решение уравнения Шредингера в схеме пересечения точек. ( A ) Прямоугольная яма с потенциалом V ( x ), принятая в уравнении Шредингера.Потенциальная яма имеет глубину -5 эВ и ширину 2 нм, в то время как решение проводится с общей шириной 3,2 нм, дискретизированной в 32 равных интервалах. ( B ) Матрица A размером 33 × 33, полученная из пространственной дискретизации уравнения Шредингера, и две положительные матрицы B и C , реализованные в массивах точек пересечения, с A = В — С . Единица преобразования 100 мкс для 7,6195 эВ была принята в матрицах B и C .Две матрицы проводимости имеют одну и ту же цветовую полосу. Собственное значение в основном состоянии составляет -4,929 эВ, что было отображено в проводимости (65 мкСм) резисторов обратной связи TIA. ( C ) Дискретная собственная функция основного состояния, полученная как смоделированное выходное напряжение в схеме пересечения по сравнению с аналитическими решениями. Обратите внимание, что пиковое напряжение составляет около 1,5 В напряжения питания ОУ из-за насыщения.

     Обсуждение

     Массивы точек пересечения позволяют решать широкий набор задач алгебры, от линейных систем до задач на собственные векторы, тем самым обеспечивая физическое решение дифференциальных уравнений, описывающих реальные проблемы в промышленности, экономике и здравоохранении.Решение основано на чрезвычайно простых схемных элементах, таких как имеющиеся в продаже OA и современные резистивные запоминающие устройства, такие как RRAM и PCM. Для сравнения, предыдущие решения линейных систем с использованием подхода квантовых вычислений (34, 35) менее привлекательны, поскольку квантовые схемы обычно работают при криогенных температурах и требуют специального оборудования и некоммерческих технологий. Другие предлагаемые решения с архитектурой нейронных сетей (36) или аналоговыми ускорителями на основе КМОП (37) основаны на итерационных операциях, что приводит к полиномиальному времени вычислений и стоимости.Напротив, массив точек пересечения позволяет быстро решить всего за один шаг без итераций. Время вычислений ограничено временем установления ОУ, которое может достигать нескольких наносекунд в передовой КМОП-технологии (38).

     Чтобы оправдать ожидания практических приложений, схему коммутации следует масштабировать, чтобы продемонстрировать выполнимость схемы. Чтобы продемонстрировать масштабируемость схемы пересечения, решение системы линейных уравнений для матрицы коэффициентов модели 100 × 100 при моделировании показано в приложении SI , рис.S21. Результаты показывают, что линейная система точно решается схемой, которая поддерживает пригодность схемы коммутации для решения реальных проблем. Поскольку матричные коэффициенты хранятся в реальных наноразмерных устройствах с присущими им стохастическими вариациями, схема пересечения обеспечивает только приблизительное решение линейной задачи. Чтобы оценить влияние вариаций устройства, мы включили случайное отклонение проводимости каждого перекрестного устройства для матрицы 100 × 100 и рассчитали относительные ошибки выходных напряжений ( SI Приложение , рис.S22). Результаты моделирования показывают относительно низкие ошибки (около 10%) даже с отклонением в 10%. Таким образом, высокоточное хранение значений проводимости с помощью методов программирования и проверки имеет важное значение для повышения точности решения в зависимости от конкретных приложений. Нелинейная проводимость в резистивном элементе, физически возникающая из-за прыжковой проводимости и локального джоулева нагрева, также влияет на точность решения. Линейность проводимости может быть максимизирована путем увеличения проводимости устройства (5), что, однако, приводит к более высокому требованию энергии для перенастройки и работы схемы пересечения.Развитие технологии резистивной памяти, направленной на более высокую точность многоуровневого размещения и лучшую линейность проводимости, может улучшить схему пересечения для вычислений линейной алгебры в памяти.

     По мере увеличения масштаба схемы коммутации паразитное сопротивление из-за плотной разводки межсоединений в массиве памяти может стать дополнительной проблемой. Чтобы оценить влияние паразитного сопротивления, мы смоделировали ту же линейную систему 100 × 100 из SI Приложение , рис.S21 с дополнительным паразитным сопротивлением провода ( SI Приложение , рис. S23). Для справки параметры межсоединений были взяты из Международной дорожной карты технологий для полупроводников на 65- и 22-нм технологических узлах (39). Относительные ошибки находятся в пределах ∼10 и 30% для узлов 65 и 22 нм соответственно. Эти результаты предполагают, что существует компромисс между масштабированием и точностью схемных решений задач алгебры. Следует также отметить, что ошибки вычислений по существу продиктованы соотношением сопротивлений между сопротивлением устройства и паразитным сопротивлением.В результате точность вычислений может быть улучшена за счет увеличения сопротивления запоминающих устройств, что, в свою очередь, может вызвать проблему нелинейности проводимости, которая также влияет на точность вычислений. Мы пришли к выводу, что существует сложный компромисс между масштабированием, паразитным сопротивлением и нелинейностью устройства для оптимизации операций (40, 41). В этом сценарии трехмерная интеграция памяти точки пересечения, где плотность не обязательно приводит к увеличению сопротивления межсоединений, может повысить устойчивость точности вычислений к паразитному сопротивлению (42).

     В то время как отсутствие итераций является очень привлекательной особенностью для быстрых вычислений, время, необходимое для программирования индивидуальных матричных коэффициентов в памяти, также следует учитывать для всесторонней оценки технологии. Хотя время записи в наших устройствах было относительно большим с целью точной настройки значений проводимости (см., Например, SI, приложение , рис. S8), время программирования в реальном приложении могло бы быть значительно ускорено благодаря параллельному программирование (28, 29), схемы аналогового программирования (43), помимо субнаносекундной коммутации устройств RRAM (44) и устройств PCM (45).Кроме того, согласно концепции вычислений в памяти, одни и те же данные могут часто повторно использоваться для вычислений (42), таким образом, время программирования может играть незначительную роль в общем времени вычислений.

     Хотя точность нашей схемы нельзя сравнивать с точностью решения с плавающей запятой в высокоточном цифровом компьютере, важно отметить, что требуемая точность может быть не высокой для всех приложений. На самом деле существует много случаев, когда задача линейной алгебры должна быть решена за короткое время, с низким бюджетом энергии и с достаточной устойчивостью к ошибкам.Например, в алгоритмах машинного обучения коэффициенты классификации / распознавания могут рассчитываться с некоторой погрешностью. Сетевые коэффициенты могут быть получены с помощью псевдообратной матрицы (46), вычисление которой может быть ускорено нашим подходом. Другим примером является ранжирование веб-страниц, где вычисленные оценки веб-сайта должны отображаться в правильном порядке, хотя некоторые неточности все же могут допускаться для отдельных оценок. Для аналогичных типов приложений наши схемы могут предоставить решение с отличным компромиссом между точностью, скоростью и потреблением энергии.

     В заключение были представлены решения задач линейной алгебры в резистивных массивах точек пересечения. Такие задачи, как системы линейных уравнений, собственные векторы матриц и дифференциальные уравнения, решаются ( i ) за один шаг (и инверсия матрицы за N шагов), ( ii ) in situ в массиве памяти точек пересечения, и ( iii ) через физические законы, такие как закон Ома, закон Кирхгофа и механизмы обратной связи в схемах с обратной связью. Предлагаемые вычисления в памяти прокладывают путь для будущих приблизительных вычислительных систем в памяти для решения практических задач с большими данными с огромной экономией времени и энергии для широкого спектра реальных приложений.

     Методы

     Подробная информация о производстве и характеристиках устройства, проектировании схем и методах измерения приведена в Приложении SI .

     Благодарности

     Эта работа получила финансирование от Европейского исследовательского совета в рамках программы исследований и инноваций Европейского Союза Horizon 2020 (Соглашение о гранте 648635). Эта работа была частично выполнена на Polifab, предприятии по микро- и нанотехнологиям Миланского политехнического университета.

     Сноски

     • Автор: З.С., Г.П., Д.И. спланированное исследование; Z.S., G.P., E.A., A.B., W.W. и D.I. проведенное исследование; З.С., Г.П., Д.И. проанализированные данные; и З.С. и Д. написал газету.

     • Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

     • Эта статья представляет собой прямое представление PNAS.

     • Эта статья содержит вспомогательную информацию на сайте www.pnas.org/lookup/suppl/doi:10.1073/pnas.1815682116/-/DCSupplemental.

     • Copyright © 2019 Автор (ы).Опубликовано PNAS.

     Матрицы и системы уравнений

     6.1 — Матрицы и системы уравнений

     Определение матрицы

     • Прямоугольный массив действительных чисел
     • м рядов по n столбцов
     • Обозначается заглавными буквами
     • Первый индекс — строка, второй индекс — столбец

     Терминология

     • Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей порядка m x n .
     • Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
     • Основная диагональ квадратной матрицы — это элементы от верхнего левого угла до нижнего правого угла. матрица.
     • Матрица-строка — это матрица, состоящая только из одной строки.
     • Матрица столбцов — это матрица, имеющая только один столбец.
     • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

     Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы

     Каждое уравнение в системе превращается в строку. Каждая переменная в система становится колонной. Переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу. Если правая часть включена, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не указана, это называется матрицей коэффициентов.

     Система линейных уравнений …

      х + у - г = 1
     3х - 2у + г = 3
     4x + y - 2z = 9 

     становится расширенной матрицей…

     	х	y	z	справа
     	1	1	-1	1
     	3	-2	1	3
     	4	1	-2	9

     Операции с элементарной строкой

     Элементарные операции со строками — это операции, которые могут быть выполнены с матрицей, которая даст эквивалентная строка матрица.Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных уравнений, то эквивалентная строка матрица будет иметь то же решение, что и исходная матрица.

     При работе с системами линейных уравнений вы могли выполнять три операции. что не повлияет на набор решений.

     1. Поменять местами два уравнения.
     2. Умножьте уравнение на ненулевую константу.
     3. Умножьте уравнение на ненулевую константу и добавьте его к другому уравнению, заменив это уравнение.

     Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится строка. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые производят эквивалент строки матрица.

     1. Развязка двухрядная
     2. Умножить строку на ненулевую константу
     3. Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку.

     Формы рядов-эшелонов и сокращенных рядов-эшелонов

     Это эквивалентные строкам формы матрицы.Несложно решить систему линейных уравнений когда матрицы находятся в одной из этих форм.

     Форма рядного эшелона

     Матрица находится в виде эшелона строк, когда выполняются следующие условия.

     1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
     2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
     3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
     Примечания
     • Ведущий в строке не обязательно должен быть рядом с непосредственно справа от ведущей строки предыдущий ряд.
     • Матрица в виде строки-эшелона будет иметь нули под ведущими.
     • Метод исключения Гаусса переводит матрицу в форму строки-эшелон, а затем выполняется обратная подстановка. требуется, чтобы завершить поиск решений системы.
     • Форма матрицы «строка-эшелон» не обязательно уникальна.

     Уменьшенная форма рядного эшелона

     Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строка-эшелон. и все элементы выше и ниже, ведущие равны нулю.

     1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
     2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
     3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
     4. Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
     Примечания
     • Ведущий в строке не обязательно должен быть рядом с непосредственно справа от ведущей строки предыдущий ряд.
     • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули как над, так и под ведущими.
     • Метод исключения Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.
     • Для завершения поиска решений системы обратная подстановка не требуется.
     • Уменьшенная строчно-эшелонированная форма матрицы уникальна.

     Исключение по Гауссу

     • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
     • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строки
     • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
     • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

     Гаусс-Джордан Ликвидация

     • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
     • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму строки-эшелона
     • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
     • Обратной замены не требуется

     Поворотный

     • Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядный эшелон или редуцированный рядный эшелон
     • В частности, при повороте элементы выше или ниже ведущей единицы превращаются в нули

     Типы решений

     Существует три типа решений, которые возможны при решении системы линейных уравнений.

     Независимая
     • Согласованный
     • Уникальное решение
     • Матрица с сокращенной строкой имеет такое же количество ненулевых строк, что и переменные
     • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
     • Для получения независимого решения должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.

     	х	y	z	справа
     	1	0	0	3
     	0	1	0	1
     	0	0	1	2

     Когда вы конвертируете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x = 3, y = 1 и z = 2.

     Зависимые
     • Согласованный
     • Множество решений
     • Запишите ответ в параметрической форме
     • Матрица с сокращенной строкой имеет больше переменных, чем ненулевых строк
     • Ряд нулей быть не обязательно, но обычно он есть.
     • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.

     	х	y	z	справа
     	1	0	3	4
     	0	1	-2	3
     	0	0	0	0

     Первое уравнение будет x + 3z = 4.Решение относительно x дает x = 4 — 3z.

     Второе уравнение будет y — 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

     Столбец z не очищается (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, z будет параметром t и решение …

     x = 4 — 3t, y = 3 + 2t, z = t

     Несоответствие
     • Нет решения
     • Матрица с сокращенной строкой имеет строку нулей слева, но правая часть не равна нулю.

     	х	y	z	справа
     	1	0	3	4
     	0	1	-2	3
     	0	0	0	2

     Тут решения нет.Вы можете записать это как нулевой набор Ø, пустой набор {} или нет решения.

     Часть 1: Линейное уравнение двух переменных и матриц | Авниш | Линейная алгебра

     Мы начнем с рассмотрения простого линейного уравнения и его представления на графике.

     x = 0 — простое линейное уравнение одной переменной (x), на графике оно изображено точкой.

     Красная точка на 0,00 представляет точку x = 0

     Принимая во внимание, что 2x + 3y = 6 — это линейное уравнение двух переменных (x и y), которое может быть отображено в виде линии на графике.

     Синяя линия представляет уравнение 2x + 3y = 6

     На графике с двумя осями (x и y) x = 0 будет представлен в виде линии.

     Красная линия — это представление x = 0 на двумерном графике.

     Все линейные комбинации x и y представляют собой линию, и если мы построим все сразу, они заполнят всю декартову плоскость.

     x-2y = 6 → (1)

     x-y = 4 → (2)

     x + y = 0 → (3)

     Эти три уравнения можно назвать системой линейных уравнений. Может быть общее значение x и y, такое, что оно удовлетворяет всем трем уравнениям, и это значение x и y можно найти, построив все это на графике.Точка пересечения этих линий называется решением линейного уравнения.

     Для системы линейного уравнения, которую мы предположили, существует одно решение, т.е.

     (x, y) = (2, -2)

     , потому что все три линии пересекаются в точке (2, -2).

     Существует множество методов решения системы линейных уравнений, один из них — метод исключения.

     Как следует из названия в методе исключения, мы исключаем одну из переменных, вычитая одно уравнение из другого (или сначала умножая одно уравнение на некоторое число, а затем вычитая из другого уравнения).

     Из нашего примера выше:

     Шаг 1. Мы исключаем «y» из (1), добавляя (2) к (1)

     (x + y) + (xy) = 0 + 4

     2x = 4

     x = 2 → (4)

     Шаг 2: Мы берем значение «x» из (4) и подставляем его в (1)

     2 + y = 0

     y = -2 → (5)

     Из (4) и (5) мы можем сказать, что x + y = 0 и xy = 4 имеют решение (2, -2). Но как насчет (3)? Есть ли у него такое же решение?

     Шаг 3: подставьте значение (2, -2) в уравнение (3)

     2- (2 × (-2)) = 6

     2 — (- 4) = 6

     6 = 6

     Итак, (2, -2) удовлетворяет уравнению.Следовательно, это решение вышеупомянутой системы линейных уравнений.

     Матрица — это расположение элементов в строках и столбцах. Элемент может быть любым (постоянным, числовым, переменным и т. Д.).

     Матрица порядка 3×3

     Обычно матрицы заключаются в «[]».

     Порядок матрицы равен = Количество строк × Количество столбцов.

     Линейное уравнение также может быть представлено в виде матриц, подобно тому как система линейных уравнений в (1), (2) и (3) может быть представлена ​​как:

     Матрица коэффициентов (1), (2) и ( 3)

     Это сторона коэффициентов всех уравнений, представленных в виде матрицы.Столбец 1 — это коэффициенты «x», а столбец 2 — коэффициенты «y». Каждая строка представляет собой уравнение.

     Матрица констант (1), (2) и (3)

     Это постоянная часть системы уравнений, представленная в виде матрицы порядка 3 × 1. Обе матрицы могут быть записаны вместе как расширенная матрица, разделенная знаком «| ” или пунктирная линия.

     Расширенная матрица (1), (2) и (3)

     Расширенная матрица может быть полезна в будущем при применении алгоритма исключения Гаусса.

     4.5 Решение систем уравнений с использованием матриц — промежуточная алгебра 2e

     Цели обучения

     К концу этого раздела вы сможете:

     • Запишите расширенную матрицу для системы уравнений
     • Использовать операции со строками в матрице
     • Решите системы уравнений с помощью матриц

     Будьте готовы 4.13

     Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

     Решите: 3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9,3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9.
     Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.2.

     Будьте готовы 4.14

     Решите: 0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20. 0,0,25p + 0,25 (p + 4) = 5,20.
     Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 2.13.

     Будьте готовы 4.15

     Вычислить, когда x = −2x = −2 и y = 3: 2×2 − xy + 3y2.y = 3: 2×2 − xy + 3y2.
     Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.21.

     Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

     Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, когда простая ошибка может нанести ущерб поиску решения. Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простой нотацией. Метод предполагает использование матрицы. Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

     Матрица

     Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.

     Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок m × n.m × n. Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца и поэтому имеет порядок 2 × 3,2 × 3. Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

     Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

     Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений. Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, и коэффициенты переменных и константа каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице.Тогда каждый столбец будет коэффициентами одной из переменных в системе или констант. Вертикальная линия заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

     Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец — это все коэффициенты y , а третий столбец — все константы.

     Пример 4.37

     Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

     ⓐ {5x − 3y = −1y = 2x − 2 {5x − 3y = −1y = 2x − 2 ⓑ {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1 {6x − 5y + 2z = 32x + y − 4z = 53x − 3y + z = −1

     ⓐ Второе уравнение не имеет стандартной формы.Перепишем второе уравнение в стандартном виде.

     y = 2x − 2−2x + y = −2y = 2x − 2−2x + y = −2

     Заменим второе уравнение на его стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

     ⓑ Все три уравнения имеют стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку.Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

     Попробуйте 4.73

     Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

     ⓐ {3x + 8y = −32x = −5y − 3 {3x + 8y = −32x = −5y − 3 ⓑ {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3 {2x −5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3

     Попробуйте 4.74

     Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

     ⓐ {11x = −9y − 57x + 5y = −1 {11x = −9y − 57x + 5y = −1 ⓑ {5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7 { 5x − 3y + 2z = −52x − y − z = 43x − 2y + 2z = −7

     Это важно, поскольку мы решаем системы уравнений с использованием матриц, чтобы иметь возможность перемещаться между системой и матрицей.В следующем примере нам предлагается взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

     Пример 4.38

     Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

     [4−3312−1−2−13 | −12−4]. [4−3312−1−2−13 | −12−4].

     Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константы. Вертикальная линия заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица имеет размер 4 × 34 × 3, мы знаем, что ее можно преобразовать в систему из трех уравнений с тремя переменными.

     Попробуйте 4.75

     Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [1−12321−214−120]. [1−12321−214−120].

     Попробуйте 4.76

     Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [111423−1811−13]. [111423−1811−13].

     Использование операций со строками в матрице

     Когда система уравнений принимает форму расширенной матрицы, мы будем выполнять операции со строками, которые приведут нас к решению.

     Для решения методом исключения не имеет значения, в каком порядке мы размещаем уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

     Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножить каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножить каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0.

     При исключении мы часто добавляем число, кратное одной строке, к другой строке.В матрице мы можем заменить строку с ее суммой на кратное другой строке.

     Эти действия называются строковыми операциями и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

     Операции со строками

     В матрице следующие операции могут быть выполнены с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

     1. Поменяйте местами любые два ряда.
     2. Умножьте строку на любое действительное число, кроме 0.
     3. Добавить ненулевое кратное одной строки в другую строку.

     Выполнить эти операции легко, но все вычисления могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом шаге, гораздо легче вернуться и проверить нашу работу.

     Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для обозначения каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку ряда:

     Чтобы умножить строку 2 на −3−3:

     Чтобы умножить строку 2 на −3−3 и прибавить ее к строке 1:

     Пример 4.39

     Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

     ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды.

     ⓑ Строку 2 умножить на 5.

     ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

     [6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]

     ⓐ Меняем ряды 2 и 3.
     

     ⓑ Строку 2 умножаем на 5.
     

     ⓒ Строку 3 умножаем на −2−2 и прибавляем к строке 1.
     

     Попробуйте 4.77

     Выполнить указанные операции последовательно над расширенной матрицей:

     ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 3.

     ⓑ Строку 3 умножить на 3.

     ⓒ Строку 3 умножить на 2 и прибавить к строке 2.

     [5−2−24−1−4−230 | −24−1] [5−2−24−1−4−230 | −24−1]

     Попробуйте 4.78

     Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

     ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2,

     ⓑ Умножить строку 1 на 2,

     ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к строке 1.

     [2−3−241−3504 | −42−1] [2−3−241−3504 | −42−1]

     Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели.Это именно то, что мы сделали, когда выполняли выбывание. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы переменная была исключена при сложении строк.

     Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

     Следующий пример по сути делает то же самое, но с матрицей.

     Пример 4,40

     Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1-14-8 | 20].[1−14−8 | 20].

     Чтобы сделать 4 равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на −4−4 и затем прибавить ее к строке 2.

     Попробуйте 4.79

     Выполните необходимую строковую операцию, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−13−6 | 22]. [1−13−6 | 22].

     Попробовать 4.80

     Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [1−1−2−3 | 32]. [1−1−2−3 | 32].

     Решение систем уравнений с помощью матриц

     Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу в виде эшелона строк, используя операции со строками.Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

     Форма рядного эшелона

     Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица имеет строковую форму , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

     Как только мы получим расширенную матрицу в виде ряда строк, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной.Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить поиск других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

     Пример 4.41

     Как решить систему уравнений с помощью матрицы

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 4y = 5x + 2y = 1. {3x + 4y = 5x + 2y = 1.

     Попробуйте 4.81

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = 7x − 2y = 6. {2x + y = 7x − 2y = 6.

     Попробуйте 4.82

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x + y = −4x − y = −2.{2x + y = −4x − y = −2.

     Шаги кратко описаны здесь.

     How To

     Решите систему уравнений, используя матрицы.

     1. Шаг 1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
     2. Шаг 2. Используя операции со строками, получите запись в строке 1, столбце 1, равной 1.
     3. Шаг 3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
     4. Шаг 4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
     5. Шаг 5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
     6. Шаг 6. Напишите соответствующую систему уравнений.
     7. Шаг 7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
     8. Шаг 8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
     9. Шаг 9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

     Вот наглядное изображение, показывающее порядок получения единиц и нулей в правильном положении для строковой формы.

     Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

     Пример 4.42

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y − 2z = −1. {3x + 8y + 2z = −52x + 5y − 3z = 0x + 2y −2z = −1.

     Попробуйте 4.83

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3. {2x − 5y + 3z = 83x − y + 4z = 7x + 3y + 2z = −3.

     Попробуйте 4.84

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {−3x + y + z = −4 − x + 2y − 2z = 12x − y − z = −1. {- 3x + y + z = −4 − x + 2y −2z = 12x − y − z = −1.

     До сих пор мы работали с матрицами только с системами, которые согласованы и независимы, что означает, что у них есть только одно решение.Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или несовместимой системы.

     Пример 4.43

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y + 3z = 0x + 3y + 5z = 02x + 4z = 1. {X + y + 3z = 0x + 3y + 5z = 02x + 4z = 1.

     Попробуйте 4.85

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {x − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x − y + z = 5. {X − 2y + 2z = 1−2x + y − z = 2x− у + г = 5.

     Попробуйте 4.86

     Решите систему уравнений с помощью матрицы: {3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6.{3x + 4y − 3z = −22x + 3y − z = −12x + y − 2z = 6.

     Последняя система была несовместимой и поэтому не имела решений. Следующий пример зависимый и имеет бесконечно много решений.

     Пример 4.44

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {x − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7. {X − 2y + 3z = 1x + y − 3z = 73x − 4y + 5z = 7.

     Попробуйте 4.87

     Решите систему уравнений, используя матрицу: {x + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9. {X + y − z = 02x + 4y − 2z = 63x + 6y − 3z = 9.

     Попробуйте 4.88

     Решите систему уравнений с помощью матрицы: {x − y − z = 1 − x + 2y − 3z = −43x − 2y − 7z = 0.{x − y − z = 1 − x + 2y − 3z = −43x − 2y − 7z = 0.

     Раздел 4.5 Упражнения

     Практика ведет к совершенству

     Запишите расширенную матрицу для системы уравнений

     В следующих упражнениях запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

     196.

     
     ⓐ {3x − y = −12y = 2x + 5 {3x − y = −12y = 2x + 5
     ⓑ {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6 {4x + 3y = −2x − 2y − 3z = 72x − y + 2z = −6

     197.

     
     ⓐ {2x + 4y = −53x − 2y = 2 {2x + 4y = −53x − 2y = 2
     ⓑ {3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1 { 3x − 2y − z = −2−2x + y = 55x + 4y + z = −1

     198.

     
     ⓐ {3x − y = −42x = y + 2 {3x − y = −42x = y + 2
     ⓑ {x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8 { x − 3y − 4z = −24x + 2y + 2z = 52x − 5y + 7z = −8

     199.

     
     ⓐ {2x − 5y = −34x = 3y − 1 {2x − 5y = −34x = 3y − 1
     ⓑ {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2 {4x + 3y − 2z = −3−2x + y − 3z = 4 − x − 4y + 5z = −2

     Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице.

     200.

     [2-11-3 | 42] [2-11-3 | 42]

     201.

     [2−43−3 | −2−1] [2−43−3 | −2−1]

     202.

     [10-31-200-12 | -1-23] [10-31-200-12 | -1-23]

     203.

     [2−2002−130−1 | −12−2] [2−2002−130−1 | −12−2]

     Использование операций со строками в матрице

     В следующих упражнениях выполните указанные операции с расширенными матрицами.

     204.

     [6−43−2 | 31] [6−43−2 | 31]

     ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

     ⓑ Строку 2 умножить на 3.

     ⓒ Умножим строку 2 на −2−2 и прибавим к ней строку 1.

     205.

     [4−632 | −31] [4−632 | −31]

     ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2

     ⓑ Строку 1 умножить на 4

     ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к ней строку 1.

     206.

     [4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1] [4−12−84−2−3−62−1 | 16−1−1]

     ⓐ Поменяйте местами строки 2 и 3

     ⓑ Строку 1 умножить на 4

     ⓒ Строку 2 умножить на −2−2 и прибавить к строке 3.

     207.

     [6−5221−43−31 | 35−1] [6−5221−43−31 | 35−1]

     ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды

     ⓑ Строку 2 умножить на 5

     ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

     208.

     Выполните необходимую строковую операцию, в результате которой первая запись в строке 2 будет равна нулю в расширенной матрице: [12−3−4 | 5−1].[12−3−4 | 5−1].

     209.

     Выполните необходимые операции со строками, чтобы первая запись в строке 2 и строке 3 была равна нулю в расширенной матрице: [1−233−1−22−3−4 | −45−1]. [1−233 −1−22−3−4 | −45−1].

     Решение систем уравнений с помощью матриц

     В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

     210.

     {2x + y = 2x − y = −2 {2x + y = 2x − y = −2

     211.

     {3x + y = 2x − y = 2 {3x + y = 2x − y = 2

     212.

     {−x + 2y = −2x + y = −4 {−x + 2y = −2x + y = −4

     213.

     {−2x + 3y = 3x + 3y = 12 {−2x + 3y = 3x + 3y = 12

     В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

     214.

     {2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0 {2x − 3y + z = 19−3x + y − 2z = −15x + y + z = 0

     215.

     {2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5 {2x − y + 3z = −3 − x + 2y − z = 10x + y + z = 5

     216.

     {2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3 {2x − 6y + z = 33x + 2y − 3z = 22x + 3y − 2z = 3

     217.

     {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7 {4x − 3y + z = 72x − 5y − 4z = 33x − 2y − 2z = −7

     218.

     {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3 {x + 2z = 04y + 3z = −22x − 5y = 3

     219.

     {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3 {2x + 5y = 43y − z = 34x + 3z = −3

     220.

     {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1 {2y + 3z = −15x + 3y = −67x + z = 1

     221.

     {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8 {3x − z = −35y + 2z = −64x + 3y = −8

     222.

     {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20 {2x + 3y + z = 12x + y + z = 93x + 4y + 2z = 20

     223.

     {x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1 {x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3x − 4y − 2z = 1

     224.

     {x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2 {x + 2y − 3z = −1x − 3y + z = 12x − y − 2z = 2

     225.

     {4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6 {4x − 3y + 2z = 0−2x + 3y − 7z = 12x − 2y + 3z = 6

     226.

     {x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12 {x − y + 2z = −42x + y + 3z = 2−3x + 3y − 6z = 12

     227.

     {−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6 {−x − 3y + 2z = 14 − x + 2y − 3z = −43x + y − 2z = 6

     228.

     {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1 {x + y − 3z = −1y − z = 0 − x + 2y = 1

     229.

     {x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7 {x + 2y + z = 4x + y − 2z = 3−2x − 3y + z = −7

     Письменные упражнения

     230.

     Решите систему уравнений {x + y = 10x − y = 6 {x + y = 10x − y = 6 путем построения графиков и ⓑ путем подстановки. Ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

     231.

     Решите систему уравнений {3x + y = 12x = y − 8 {3x + y = 12x = y − 8 с помощью подстановки и объясните все свои шаги словами.

     Самопроверка

     ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

     ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

     Системы линейных уравнений: исключение Гаусса

     Решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса

     После нескольких уроков, в которых мы неоднократно упоминали, что мы охватываем основы, необходимые для последующего изучения того, как решать системы линейных уравнений, пришло время для нашего урока сосредоточиться на полной методологии, которой нужно следовать, чтобы найти решения. для таких систем.

     Что такое гауссово исключение

     Исключение Гаусса — это название метода, который мы используем для выполнения трех типов операций со строками матрицы над расширенной матрицей, полученной из линейной системы уравнений, чтобы найти решения для такой системы. Этот метод также называется сокращением строк и состоит из двух этапов: прямого исключения и обратной замены.

     Эти два шага метода исключения Гаусса различаются не операциями, которые вы можете использовать с их помощью, а результатом, который они производят.Шаг прямого исключения относится к сокращению строки, необходимому для упрощения рассматриваемой матрицы до ее эшелонированной формы. Такой этап имеет целью продемонстрировать, имеет ли система уравнений, изображенная в матрице, единственное возможное решение, бесконечное множество решений или просто отсутствие решения. Если обнаружено, что система не имеет решения, то нет причин продолжать сокращение строки матрицы на следующем этапе.

     Если возможно получить решения для переменных, входящих в линейную систему, то выполняется этап исключения Гаусса с обратной подстановкой.На этом последнем шаге будет получена сокращенная форма матрицы, которая, в свою очередь, дает общее решение системы линейных уравнений.

     Правила исключения Гаусса такие же, как правила для трех элементарных операций со строками, другими словами, вы можете алгебраически оперировать строками матрицы следующими тремя способами (или комбинацией):

     1. Перестановка двух рядов
     2. Умножение строки на константу (любую константу, отличную от нуля)
     3. Добавление строки к другой строке

     Итак, решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса оказывается структурированным, организованным и довольно эффективным методом.

     Как выполнить исключение по Гауссу

     На самом деле это не установленный набор шагов исключения Гаусса, которым нужно следовать для решения системы линейных уравнений, это все о матрице, которую вы имеете в руках, и необходимых операциях со строками для ее упрощения. Для этого давайте поработаем над нашим первым примером исключения Гаусса, чтобы вы могли начать изучать весь процесс и интуицию, которая необходима при работе с ними:

     Пример 1

     Обратите внимание, что в этот момент мы можем заметить, что эта система линейных уравнений разрешима с единственным решением для каждой из ее переменных.То, что мы выполнили до сих пор, — это первый этап сокращения строк: прямое исключение. Мы можем продолжить упрощение этой матрицы еще больше (что приведет нас ко второму этапу обратной подстановки), но нам это действительно не нужно, поскольку на этом этапе система легко разрешима. Таким образом, мы смотрим на получившуюся систему, чтобы решить ее напрямую:

     • Уравнение 5: Полученная линейная система уравнений для решения

     Из этого набора мы можем автоматически заметить, что значение переменной z: z = -2.Мы используем эти знания, чтобы подставить их во вторые уравнения для решения относительно y, и подставить значения y и z в первые уравнения для решения относительно x:

     В последний раздел этого урока добавлено больше задач исключения Гаусса. Обязательно проработайте их, чтобы практиковаться.

     Разница между исключением по Гауссу и по Гауссу Иордану

     Разница между гауссовским исключением и гауссовым методом исключения Жордана состоит в том, что один создает матрицу в форме эшелона строк, а другой — матрицу в форме редуцированного эшелона строки.Матрица формы эшелона строк имеет верхнюю треугольную композицию, где любые нулевые строки находятся внизу, а ведущие члены находятся справа от ведущего члена из строки выше. Уменьшенная форма эшелона выходит за рамки еще большего упрощения (иногда даже достигая формы единичной матрицы).

     Уравнение 8: Разница между формой эшелона и формой ряда эшелонов

     История исключения Гаусса и его названия довольно интересны, вы будете удивлены, узнав, что название «Гауссовский» было присвоено этой методологии по ошибке в прошлом веке.В действительности было обнаружено, что алгоритм одновременного решения системы линейных уравнений с использованием матриц и редукции строк записан в той или иной форме в древних китайских текстах, которые датируются еще до нашей эры. Затем в конце 1600-х годов Исаак Ньютон провел по этому уроку, чтобы заполнить то, что он считал пробелом в книгах по алгебре. После того, как название «Гауссиан» было уже установлено в 1950-х годах, термин Гаусса-Иордана был принят, когда геодезист У. Джордан усовершенствовал технику, чтобы он мог использовать такие вычисления для обработки своих наблюдаемых данных топографической съемки.Если вы хотите продолжить чтение увлекательной истории математиков исключения Гаусса, не бойтесь щелкнуть ссылку и прочитать.

     На самом деле нет никакой физической разницы между исключением Гаусса и исключением Гаусса Джордана, оба процесса следуют одному и тому же типу операций со строками и их комбинациям, их различие зависит от результатов, которые они производят. Многие математики и учителя во всем мире будут относиться к исключению Гаусса и исключению Гаусса Джордана как к методам создания матрицы эшелонированной формы по сравнению с методом создания матрицы сокращенной эшелонированной формы, но на самом деле они говорят о двух стадиях сокращения строк. мы объяснили это в самом первом разделе этого урока (прямое исключение и обратная подстановка), и поэтому вы просто применяете операции со строками, пока не упростите рассматриваемую матрицу.Если вы дойдете до формы эшелона, вы обычно можете решить с ней систему линейных уравнений (до сих пор это то, что называлось бы исключением Гаусса). Если вам нужно продолжить упрощение такой матрицы, чтобы напрямую получить общее решение для системы уравнений, над которой вы работаете, в этом случае вы просто продолжаете работать с матрицей по строкам, пока не упростите ее до сокращенной формы эшелона. (это будет то, что мы называем частью Гаусса-Жордана, и которую можно рассматривать также как поворотное исключение Гаусса).

     Мы оставим подробное объяснение форм сокращения строк и эшелонирования для следующего урока, поскольку сейчас вам нужно знать, что, если у вас нет единичной матрицы в левой части расширенной матрицы, которую вы решаете (в этом случае вы не используете не нужно ничего делать для решения системы уравнений, относящейся к матрице), метод исключения Гаусса (регулярное сокращение строк) всегда будет использоваться для решения линейной системы уравнений, которая была записана в виде матрицы.

     Примеры исключения Гаусса

     В качестве последнего раздела давайте поработаем еще несколько упражнений по исключению Гаусса (сокращение строк), чтобы вы могли больше попрактиковаться в этой методологии.На протяжении многих будущих уроков этого курса линейной алгебры вы обнаружите, что сокращение строк является одним из самых важных инструментов при работе с матричными уравнениями. Поэтому убедитесь, что вы понимаете все этапы решения следующих проблем.

     Пример 2

     Пример 3

     Мы знаем, что для этой системы мы получим расширенную матрицу с тремя строками (поскольку система содержит три уравнения) и тремя столбцами слева от вертикальной линии (поскольку есть три разных переменных).В этом случае мы перейдем непосредственно к сокращению строк, и поэтому первая матрица, которую вы увидите в этом процессе, — это та, которую вы получите, преобразовав систему линейных уравнений в расширенную матрицу.

     • Уравнение 15: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

     Обратите внимание, как мы можем сразу сказать, что переменная z равна нулю для этой системы, поскольку третья строка результирующей матрицы показывает уравнение -9z = 0 . Мы используем это знание и проверяем вторую строку матрицы, которая предоставит уравнение 2y — 6z = 0 , подставив значение z = 0 \ в это уравнение, получится y \, также равное нулю.Таким образом, мы наконец подставляем оба значения y и z \ в уравнение, которое получается из первой строки матрицы: x + 4y + 3z = 1 , поскольку и y , и z \ , равны нулю, то это дает нам x = 1 . Итак, окончательное решение этой системы уравнений выглядит следующим образом:

     • Уравнение 16: Окончательное решение системы уравнений

     Пример 4

     Из чего видно, что последняя строка дает уравнение: 6z = 3 и, следовательно, z = 1/2.Мы подставляем это в уравнения, полученные во второй и первой строках (в указанном порядке), чтобы вычислить значения переменных x и y:

     Пример 5

     • Решите следующую линейную систему, используя метод исключения Гаусса: Уравнение 21: Система линейных уравнений с двумя переменными
     • Транскрипция линейной системы в виде расширенной матрицы и редукции строк: Уравнение 22: Строка, уменьшающая расширенную матрицу

     • Что автоматически сообщает нам y = 8 .Итак, подставляя это значение в уравнение из первой строки, получаем: 4x — 5y = 4x — 5 (8) = 4x — 40 = -6 4x = 34 \, и поэтому значение x равно: x = 172 \ frac {\ small17} {\ small2} 217 . И окончательное решение этой системы уравнений:

       Уравнение 23: Окончательное решение системы уравнений

     Пример 6

     Чтобы завершить наш урок на сегодня, у нас есть рекомендация по ссылке, чтобы дополнить ваши исследования: Исключение Гаусса — статья, которая содержит некоторую дополнительную информацию о сокращении строк, включая введение в тему и еще несколько примеров.Как мы упоминали ранее, будьте готовы продолжать использовать сокращение строк почти на протяжении всего курса линейной алгебры, так что до встречи на следующем уроке!

     Учебное пособие по однородным линейным системам | София Линг

     Одним из основных преимуществ работы с однородными системами перед неоднородными системами является то, что однородные системы всегда имеют хотя бы одно решение, а именно случай, когда все неизвестные равны нулю. Такой случай называется тривиальным решением однородной системы.

     Например, если снова взглянуть на эту систему:

     мы видим, что если x = 0, y = 0 и z = 0, то все три уравнения верны. Это в равной степени верно и для матричного уравнения

     Снова ясно, что если все три неизвестных равны нулю, то уравнение верно. Теперь интересный вопрос, есть ли у системы нетривиальные решения.

     Оказывается, поиск наличия нетривиальных решений матричных уравнений тесно связан с тем, является ли матрица обратимой.

     Теорема . Квадратная матрица M обратима тогда и только тогда, когда однородное матричное уравнение Mx = 0 не имеет нетривиальных решений.

     То есть, если Mx = 0 имеет нетривиальное решение, то M НЕ обратимо. Если, с другой стороны, M имеет обратное, тогда Mx = 0 только одно решение, которое является тривиальным решением x = 0 .

     Еще одно следствие, о котором стоит упомянуть, мы знаем, что если M является квадратной матрицей, то она обратима только тогда, когда ее определитель | M | не равно нулю. Следовательно, Mx = 0 будет иметь нетривиальные решения всякий раз, когда | M | = 0 .

     Когда уравнений меньше, чем неизвестных, однородная система всегда будет иметь нетривиальные решения. Например, давайте посмотрим на расширенную матрицу указанной выше системы:

     Выполнение исключения Гаусса-Джордана дает нам сокращенную форму эшелона строк:

     Это говорит нам о том, что z — свободная переменная, и, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

     Здесь вы можете спросить: «К чему такая суета по поводу однородных систем?». Одна из причин того, что однородные системы полезны и интересны, связана с отношением к неоднородным системам. Часто проще работать с однородной системой, находить для нее решения, а затем обобщать эти решения на неоднородный случай.

     Следовательно, если нам дано матричное уравнение для решения и мы уже решили однородный случай, то нам нужно только найти одно частное решение уравнения, чтобы определить весь набор решений.

     Кроме того, если однородный случай Mx = 0 имеет только тривиальное решение, то любое другое матричное уравнение Mx = b имеет только одно решение. Мы знаем, что это так, потому что если p = x является частным решением для Mx = b , то p + h также является решением, где h является однородным решение, и, следовательно, p + 0 = p — единственное решение.

     .