Решение неравенств с одной переменной: Неравенства с одной переменной и их системы [wiki.eduVdom.com] – Неравенства с одной переменной | Формулы с примерами

Неравенства с одной переменной и их системы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы

Общий способ сравнения чисел

Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств:

  1. Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;

  2. Если a<b и b<c, то a<b<c;

  3. Если a<b и $c\in\mathbb{R}$, то a+c<b+c;

  4. Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;

  5. Если a<b и c<d, то a+c<b+d;

  6. Если a<b и c<d и а, b, с, d

    - положительные числа, то ac<bd.

Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решение системы неравенств с одной переменной - это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решения неравенств с одной переменной метод интервалов

Если неравенство имеет вид $f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot \dots \cdot (x - x_n)>0 (<0)$ , то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками $x_1 x_2, \ldots, x_n$, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ее знак меняется.


Пример 1. Решите неравенства:
1.a) $\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$
1.b) $\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$..

Решение:

1.a1.b
$\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$.$\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$.
$$ \frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} > 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 > 6x+4 \\ 2x-6x > 4+1 \\ -4x > 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x < -5 \,\,\,\,|:4 \\ x < -\frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}) $$$$ \frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} \geq 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 \geq 6x+4 \\ 2x-6x \geq 4+1 \\ -4x \geq 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x \leq -5 \,\,\,\,|:4 \\ x \leq- \frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}] $$

Ответы:
1.a) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4})$
1.b) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4}]$


Пример 2. Решите систему неравенств $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. $$

Решение: $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ x\leq -7 \end{matrix}\right. \text{ - нет решений.} $$ Нельзя одновременно быть меньше -7 и больше -1.

Ответ: нет решений.


Пример 3. Решите неравенство $3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0$.

Решение: Разложим квадратный трехчлен $3x^2 - x - \frac{5}{4}$ на множители.

Для этого найдем его корни: $D = 1 + 4• 3• \frac{5}{4} = 16$;

$$ x = \frac{1\pm 4}{6}; \\ x_1 = -\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{5}{6} \\ \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} = 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6}) \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0 \\ 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6})\geq 0 $$

Ответ: $x\in(-\infty;\;-\frac{1}{2}]\cup [\frac{5}{6};\;+\infty)$


Пример 4. Решите неравенство $\frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0$.

Решение: $$ \frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0 \\ \\ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0 $$ Находим, что смена знака происходит, при $x = 0, \pm 1, \pm 2$. При этом помним, что $x \neq \pm 2$, поскольку тогда знаменатель обратиться в ноль, а делить на ноль нельзя.

Ответ: $x\in(-2;\;-1]\cup [0;\;1]\cup (2;\;+\infty)$.


Пример 5. Под каким номером на каком рисунке верно указано решение системы неравенств? $$ \left\{\begin{matrix} 5x+13 \leq 0 \\ x+5 \geq 1 \end{matrix}\right. $$

Видео-решение:

subjects/mathematics/неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы.txt · Последние изменения: 2013/09/14 19:46 —

Неравенства с одной переменной | Формулы с примерами

Решение неравенств с одной переменной 8, 9 класс

Определение
Неравенством с одной переменной называется такое неравенство, в котором одна или обе части содержат одну (и ту же) переменную.

Примеры
1)  3a

2)  (6 + x) • x2 ?     8 - x    4x + 11.

Правило
Решение неравенств с одной переменной - значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Пример
Числа: 17,2; 5; ? 63 - решения неравенства x - 2,5 > 7 -x,
так как, например: 17,2 - 2,5 > 7 - 17,2.

Правило
Решить неравенство - найти все его решения или доказать, что решений нет.

Правило
Равносильные неравенства () - имеют одни и теже решения. Пример
Неравенства с одной переменной, пример

Равносильные неравенства получаются если:

Правило
1.  Перенести с противоположным знаком слагаемое из одной части
неравенств в другую:

Неравенства с одной переменной, пример

2.  Умножить или разделить обе части неравенства на одно и тоже
положительное число:

Неравенства с одной переменной, пример

3.  Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

Неравенства с одной переменной, пример

Линейные неравенства с одной переменной. Решение неравенств

Линейное неравенство с одной переменной – это неравенство, которое можно привести к виду:

ax > b     или     ax < b.

Где x – это переменная, a – коэффициент, а b – свободный член.

Если a > 0, то, разделив обе части неравенства на a, получим:

xb     или     xb
aa

Данные неравенства и определяют все значения переменной x, при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

линейные неравенства с одной переменной

Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

если   x &ges; b   , то   x ∈ [b; +∞)   или если   x &les; b   , то   x ∈ (-∞;b]
aaaa

Если a < 0, то, разделив обе части неравенства

ax > b     или     ax < b

на a и поменяв в них знак на противоположный, получим:

xb     или     xb
aa

Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

Если a = 0, тогда неравенство примет вид:

0 · x > b     или     0 · x < b

В первом случае: 0 · x > b, x ∈ (-∞; +∞), если b отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений. Во втором случае: 0 · x < b, x ∈ (-∞; +∞), если b положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

Равносильные неравенства

Равносильные неравенства – это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

Неравенство, равносильное данному, получится, если:

  1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
  2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
  3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Решение неравенств

Решить неравенство с одной переменной – это значит, найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

  • освобождение от дробных членов,
  • раскрытие скобок,
  • перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных – в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства),
  • приведение подобных членов,
  • деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной.

Пример 1. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

-8x - 2 > 14

Решение: Переносим -2 в правую часть:

-8x > 14 + 2

-8x > 16

Делим обе части неравенства на -8:

-8x : (-8) < 16 : (-8)

x < -2

Отмечаем множество значений x на координатной прямой:

решение неравенств с одной переменной

Ответ: (-∞; -2)

Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

6(y + 12) &ges; 3(y - 4)

Решение: Сначала раскрываем скобки:

6y + 72 &ges; 3y - 12

Переносим 72 в правую часть, а 3y в левую и делаем приведение подобных слагаемых:

6y - 3y &ges; -12 - 72

3y &ges; -84

Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):

(3y) : 3 &ges; (- 84) : 3

y &ges; -28

Отмечаем множество значений y на координатной прямой:

равносильные неравенства

Ответ: [-28; +∞)

Решение неравенств с одной переменной (конспект + презентация)

Тема урока: «Решение неравенств с одной переменной».

Цель урока: обобщение, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в процессе решения неравенств.

Задачи урока:

1. Образовательные:

  • обобщить знания по теме «Неравенства»;

  • закрепить умение применять свойства неравенств в процессе выполнения заданий в обычных и необычных ситуациях;

  • контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Решение неравенств».

2. Развивающие:

  • развивать умение выделять главное;

  • обобщать имеющиеся знания;

  • способствовать развитию кругозора и интереса к предмету.

3. Воспитательные:

  • воспитывать мыслительную активность, самостоятельность;

  • достигать сознательного усвоения материала обучающимися;

  • воспитать прилежность и трудолюбие.

Тип урока: урок обобщение с применением ЭОР.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, тесты, справочный

материал.

Ход урока.

1.Организация начала урока. Сообщение темы и цели урока.

Слайды 1 – 2.

● Тема сегодняшнего урока «Решение неравенств с одной переменной».

● Французская пословица гласит

«Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днём».

● Чем же мы пополним сегодня наши знания? Во-первых, повторим, что является решением неравенства, и какие неравенства считают равносильными; во-вторых, закрепим свойствами равносильности. Затем закрепим умение решать неравенства с одной переменной.

2. Устный счет.

Слайд 3.

● Вы обратили, наверное, уже внимание на то, что алгоритм решения неравенств с одной переменной сходен с алгоритмом решения уравнений.

Что значит решить неравенство?

Какие свойства используются при решении неравенств?

1. Решите неравенство:

1) – 2х < 4; 2) – 2х > 6; 3) – 2х ≤ 6;

4) – х < 12; 5) – х ≤ 0; 6) – х ≥ 4.

2. Найдите решение неравенства:

1) 0 • х < 7; 2) 0 • x < -7; 3) 0 • х ≥ 6;

4) 0 • х > - 5; 5) 0 • х ≤ 0; 6) 0 • x > 0.

hello_html_m3fe8eea1.gif

4. Найди ошибку в решении неравенств. Объясни почему допущена ошибка.

-5(x-1)+3 ≤ 1-3(x+2)

-5x+5+3 ≤ 1-3x-6

-5x+3x ≤ 1-6-8

-2x ≤ -13

x ≤ 6,5

Ответ: (-∞;6,5]

Поставить оценки в лист самоконтроля.

3. Историческая справка. Проектно-исследовательская работа.

Ребята работают над проектом «Неравенства такая штука – без правил не решить! Я тайну всех неравенств попробую открыть». К сегодняшнему уроку они подготовили один из пунктов своего проекта «Историческая справка о неравенствах».

Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа hello_html_1bfc1af9.gif.

Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

Однако все эти рассуждения древние учёные проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства < и >, употребляемые и поныне.

Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. Знаки ввел английский математик Томас  Гарриот (1560—1621) года жизни. Он был первым алгебраистом XVII века, являлся воспитанником  Оксфордовского университета составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем.

Новыми полезными знаками Гарриота явились знаки > и < для отношений «больше» и «меньше», он их употребил при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Вывод соответствующих условий, предложенный Гарриотом, заслужил впоследствии высокую оценку Жоржа  Лагранжа, но по существу эти условия имелись еще у Виета.

Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром. 

4. Работа в парах.

Учащиеся выполняют проверочный тест по теме «Решение неравенств с одной переменной». (Тест создан в программе PowerPoint).

Поставить оценки в лист самоконтроля.

5. Работа по обучающим модулям. Решение более сложных неравенств.

У каждого ученика на столе лежит обучающий модуль для рассмотрения более сложных неравенств.

Обучающие модули.hello_html_4e3e90c1.gif

Пример 1. Решим неравенство

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 15:

hello_html_m35bd75bd.gif

Раскроем скобки:

hello_html_4fedbcb.gif

Приведём подобные слагаемые:

hello_html_m5b8e48ce.gif

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а в правой - без переменной:

hello_html_m4b7bbbc8.gif

Приведём подобные слагаемые:

hello_html_m46b81317.gif

Разделим обе части неравенства на отрицательное число -19, меняя при этом знак неравенства на противоположный:

hello_html_m7b5b374f.gif

Ответ:

hello_html_m2b1f829f.pnghello_html_m1a836bb8.gifhello_html_m3763c2fe.gifx

hello_html_2892a195.gif

hello_html_mcd75028.gif

Пример 2. Решим неравенство hello_html_m168b2856.gif> 2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6:

hello_html_727baabe.gif- hello_html_90a6e36.gif> 2 hello_html_102990ec.gif6

Приведём подобные слагаемые:

2х – 3х > 12

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный:

- х > 12

Ответ:

hello_html_m1a836bb8.gifhello_html_m243afca1.gifhello_html_38e774e1.pngx

- 12

х < - 12 или (- ∞; -12)

По вариантам.

1. I вариант № 984 (а)- самостоятельно, 1 ученик у доски.

II вариант № 984 (б)- самостоятельно, 1 ученик у доски.

2. И. Е. Феоктистов. Дидактический материал. с. 72 Самостоятельная работа № 19. Вариант 3 № 4.

3. Решить неравенство:

hello_html_1bad6d4b.png– с комментированием у доски

Поставить оценки в лист самоконтроля.

6. Решение задач с помощью неравенств.

1 ученик у доски с комментированием

1. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 часа. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость в стоячей воде 18 км/ч?

Решение.

hello_html_m5b859df5.png

Ответ:  не больше чем на 26 и две третьих км.

Решить самостоятельно с последующей проверкой.

2. Со склада вывозят железные болванки массой по 500 кг и медные массой 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 тонн, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?

hello_html_17249570.png

3. Нахождение области допустимых значений переменной в выражении: № 991 (в).

Поставить оценки в лист самоконтроля.

7. Итог урока. Рефлексия.

- Ребята, сегодня мы повторили, обобщили знания, умения и навыки

по темам «Решение неравенств с одной переменной».

- У каждого из вас на столе геометрические фигуры. Наклейте одну из них, которая вам подходит, в конце классной работы на полях тетради. hello_html_m5b2854aa.gif

8. Домашнее задание.

п. 40 № 984 (в,г), 986 (а-в), 998

- Спасибо за творческую работу. Желаю дальнейших успехов!

Решение неравенств с одной переменной

Решение неравенств с одной переменной

Неравенством с одной переменной называется неравенство вида или , где f(х) и g(х) - выражения с переменной х и областью определения X.

Например,

Решением неравенства с одной переменной называется множество значений переменной х, при которых данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Например, решением неравенства является множество

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения или доказать, что таковых нет.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, множеством решений неравенства является ;

множеством решений неравенства является .

Значит, эти неравенства равносильны:

Неравенство с одной переменной можно решить алгебраическим методом, используя правила решения неравенств; графическим методом, используя графики простейших функций; методом интервалов.

Алгебраический метод.

Правила решения неравенств с одной переменной.

  1. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

  1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

  1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

Графический метод.

Этот способ используется, когда неравенство имеет степень, отличной от 1. Это связано с тем, что для линейного неравенства этот способ является аналогом геометрического изображения решений на координатной прямой. Подробно рассмотрим этот способ при разборе методов решения квадратных, дробно-рациональных, кубических неравенств.

Метод интервалов.

Этот метод используется в случае, когда одна из частей неравенства представлена в виде произведения двучленов (или в виде дроби), а другая часть равна 0.

Например, неравенство записано в виде или

Виды неравенств с одной переменной.

  1. Линейное неравенство – это неравенство вида , где а и b – некоторые числа.

  2. Квадратное неравенство – это неравенство вида , где , b и c – некоторые числа.

  3. Дробно-рациональное неравенство – это неравенство вида , где – многочлены.

Есть ещё несколько видов неравенств, но мы их рассмотрим в старших классах.

На данный момент наша цель – научиться решать линейные неравенства с одной переменной.

Например, решим неравенство:

hello_html_m5d25bac6.gif

  1. Решить неравенство и указать три каких-либо числа, которые являются его решениями:

    Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой:
    1. Решить неравенство:

      При каких х функция принимает значения: а) большие ; б) меньшие ?
    2. При каких х функция принимает значения:

      а) большие ; б) меньшие ?
    3. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

      Составить какое-либо неравенство вида , которое верно при: а) б)
    4. Составить какое-либо неравенство вида , которое верно при:

      а) б)
    5. При каких значениях а неравенство имеет такое же множество решений, что и неравенство ?

    6. При каких значениях b неравенство имеет такое же множество решений, что и неравенство ?

    7. Решить неравенство . Являются ли решениями этого неравенства числа: ?

    8. Решить неравенство . Являются ли решением этого неравенства числа: ?

    9. Решить неравенство:

    10. При каких значениях b:

      1. двучлен принимает отрицательные значения?

    11. При каких значениях а:

      1. двучлен принимает отрицательные значения?

    12. При каких b значение двучлена больше соответствующего значения дроби ?

    13. При каких а значение выражения меньше соответствующего значения выражения ?

    14. При каких положительных значениях х функция принимает:

      а) положительные значения; б) отрицательные значения?
    15. При каких положительных значениях х функция принимает:

      а) положительные значения; б) отрицательные значения?
    16. Решить неравенство:

      При каких значениях а:

      б) уравнение имеет отрицательный корень?

    17. При каких значениях b:

      б) уравнение имеет положительный корень?

      1. Существует ли такое значение b, при котором неравенство не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?

      2. Существует ли такое значение a, при котором неравенство не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?

Решение неравенств с одной переменной

Ранее мы с вами изучили свойства числовых неравенств. На этом уроке нам понадобятся следующие теоремы:

Зная основные свойства числовых неравенств, и умея их правильно применять, можно научиться решать неравенства. Чем мы и будем заниматься на этом уроке.

Итак, рассмотрим неравенство:

Такие неравенства называют неравенством с одной переменной или неравенством с одним неизвестным.

Но это не все решения данного неравенства. Чтобы найти все его решения, нужно рассмотреть следующие равносильные переходы.

Определение:

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот, т.е. они имеют одни и те же решения. Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

Например:

При решении неравенств используют следующие свойства:

Задание: решить неравенство:

В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида  или , где а и b – некоторые числа.

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Обратите внимание, в примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но может случиться так, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида  или . Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Например, решим неравенства:

Итоги:

Неравенства вида , , ,  называются линейными неравенствами с одной переменной.

Решением неравенства с одной неизвестной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого.

Равносильными называются и неравенства, которые не имеют решений.

 

Проверочный тест и справочник к уроку по алгебре "Решение неравенств с одной переменной"

Алгоритм решения неравенств первой степени с

одной переменной

  1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

  2. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки.

  3. Привести подобные слагаемые.

  4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.

При делении на отрицательное число не забудь поменять знак неравенства на противоположный.

  1. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.

  2. Записать ответ в виде числового промежутка.

Пример 1. Решите неравенство:

3(2x - 1) > 2(x + 2) + x + 5,

6х – 3 > 2х + 4 + х + 5,

6х – 3 > 3х + 9,

6х – 3х > 9 + 3,

3х > 12, │: 3

х > 4.

hello_html_5853f9a8.png

Ответ: (4; + ∞)

Пример 2. Решите неравенство:

15х – 23х – 23 > 2х + 11,

15х – 23х – 2х > 11 + 23,

- 10х > 34, │: (- 10) Знак неравенства меняем на противоположный.

х < - 3,4.

hello_html_85bfc1c.png

Ответ: (-∞; -3,4)

Алгоритм решения неравенств первой степени с

одной переменной

  1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

  2. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки.

  3. Привести подобные слагаемые.

  4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.

При делении на отрицательное число не забудь поменять знак неравенства на противоположный.

  1. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.

  2. Записать ответ в виде числового промежутка.

Пример 1. Решите неравенство:

3(2x - 1) > 2(x + 2) + x + 5,

6х – 3 > 2х + 4 + х + 5,

6х – 3 > 3х + 9,

6х – 3х > 9 + 3,

3х > 12, │: 3

х > 4.

hello_html_5853f9a8.png

Ответ: (4; + ∞)

Пример 2. Решите неравенство:

15х – 23х – 23 > 2х + 11,

15х – 23х – 2х > 11 + 23,

- 10х > 34, │: (- 10) Знак неравенства меняем на противоположный.

х < - 3,4.

hello_html_85bfc1c.png

Ответ: (-∞; -3,4)

Числовые промежутки

hello_html_m5003dc91.png

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Числовые промежутки

hello_html_m5003dc91.png

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *