Решение показательных уравнений – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (11 класс) на тему: Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

Решение показательных уравнений

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок изучения новой темы.

Класс: 11 класс.

Продолжительность урока: 2 часа ( 90 минут).

Цели урока:

  • образовательные: формирование понятия показательного уравнения; ознакомление учащихся с типами показательных уравнений; формирование умений и навыков решения показательных уравнений;
  • развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
  • воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Задачи урока

  • Повторить свойства показательной функции
  • Отработать алгоритм решения показательных уравнений
  • Научить учащихся различать типы показательных уравнений
  • Научить учащихся решать показательные уравнения

1. Организационный этап.

Девиз:

“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно”.
Альберт Энштейн

На предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства. Сегодня нам предстоит повторить свойства показательной функции, уметь применять их при решении показательных уравнений, рассмотреть примеры уравнений, предлагаемых на экзамене базового уровня.

Устно:

а) представить в виде степени с основанием 2: 32; 0,5; 1; ;

б) вычислить ; ( 10 ; .

в) сколько точек пересечения имеют графики функций у = 2х и у=16; у= 5и у= 0,2; у=3х и у = 7х.

2. Объяснение новой темы. Решение показательных уравнений

Определение. Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Теорема. Если а > 1, а 1, то уравнение а f( x ) = a g (x ) равносильно уравнению f( x ) = g (x ).

1. Если b 0, то уравнение а f( x ) = b решений не имеет.

Пример. 5 х + 1 = -5 решений нет; 5 х + 1 = 0 решений нет.

2. Уравнение а f( x ) = 1 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ( а f( x ) = а 0 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).

Пример.

  • 24х +1 = 1,
  • 24х +1 = 20 ,
  • 4х +1 = 0,
  • х = — 1 : 4,
  • х = — 0,25.

3. Уравнение а f( x ) = an равносильно уравнению f ( x ) = n.

Пример.

а) 7 х = 7 2 , х = 2.

б) 7 х = 49, 7 х = 7 2, тогда х = 2

в) 7 3х – 2 = 7 – 2, 3х – 2 = — 2, 3х = 0, тогда х= 0

г) 7 = , 7 = 7 — 2 , 2х = -2 , тогда х = -1

4. Уравнение а f( x ) = b f (x ) равносильно уравнению , значит f ( x ) = 0.

Пример. 32х-1 = 52х-1 , , 2х-1=0, тогда х = .

5. Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.

Рассмотрим уравнение, сводящееся к линейному с помощью вынесения за скобки общего множителя.

Пример 1.

3х+1 + 3

х =108, т.к. 3х+1 = 3х * 3 , то уравнение можно записать в виде 3 * 3х + 3х = 108; вынесем за скобки общий множитель 3х, получим

3х ( 3 + 1) = 108,

4 * 3х = 108,

3х = 27,

3х = 33,

х = 3.

Пример 2.

6 х + 1 +35 * 6 х -1 = 71, вынесем за скобки наименьший множитель 6 х -1 , т.к. 6 х + 1 = 6 х-1 * 6 2 , то получим 6 х -1 ( 6 2 + 35) = 71,

6 х -1 *71= 71,

6 х -1 = 1 ,

х-1 = 0,

х = 1.

Пример 3.

2х+1 + 2х-1 +2х = 28, вынесем за скобки наименьший множитель 2 х -1, получим 2х-1 (22 + 1+2) = 28,

2х-1 * 7 = 28,

2х-1 = 4,

2х-1 = 22 ,

х-1 = 2,

х=3.

Пример 4.

51-х + + = 155 ,

5 1-х + + = 155, вынесем общий множитель 5 за скобки, получим

5 – х ( 5 + 52 +1) = 155,

5 – х ( 5 + 25 +1) = 155,

5 – х * 31 = 155,

5 – х = 5,

-х = 1,

х = -1.

Пример 5.

73-х — 72 –х = 25 –х – 23 –х ,

7 * 72-х — 72 –х = 8 * 22 –х – 2 * 22 –х ,

72-х (7 — 1) = 22 –х (8 – 2),

72-х * 6 = 22 –х * 6, 72-х = 22 –х,

,

2-х=0,

х=2.

6. Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.

Рассмотрим уравнение в общем виде Аа + Вах + С =0

Пусть ах = t и а = t2, тогда Аt2 + Вt+ С =0 – квадратное уравнение.

Пример 1.

4х – 5 * 2х +4=0,

т.к. 4х = 2= (2х)2; пусть 2х = t и 2 = t2, тогда

t2 — 5 t +4 =0, t1=4 , t2=1

если t1=4, то 2х = 4, х=2;

если t2=1, то 2х = 1, х=0. Ответ: 0; 2.

Пример 2.

,

,

пусть , тогда + 13t -12 = 0,

t1=, t2= 1,

= решения нет;

=,

х= 0.

Ответ: 0.

7. Однородные показательные уравнения

Рассмотрим уравнение А.

Разделим почленно на . Получим уравнение , пусть , тогда уравнение принимает вид .

Пример. .

, разделим на , получим уравнение

, пусть , тогда

, t1 = 1, t2= ,

тогда , х=0 ;

и х = -1.

Ответ: -1; 0.

8. Задание. Определите, каким методом будем решать каждое уравнение

1)

2)

3) .

Вывод: Существуют методы решения показательных уравнений:

  • Метод приведения степеней к одному основанию
  • Вынесение общего множителя за скобки
  • Метод замены переменной
  • Метод почленного деления (однородные уравнения )

3. Подведение итогов урока.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.” Лейбниц.

4. Домашняя работа (задание на карточке уравнения п.8).

5. Рефлексия

  • Сегодня на уроке я повторил …
  • Сегодня на уроке я узнал …
  • Сегодня на уроке я научился …

6. Оценка знаний

— Оцените свои знания и умения по данной теме.

— Спасибо за урок!

Решение показательных уравнений. 11-й класс

Цели:

а) образовательные:

  • актуализация опорных знаний при решение показательных уравнений;
  • обобщение знаний и способов решения;
  • контроль и самоконтроль знаний.

б) развивающие:

  • развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;
  • развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;
  • развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

в) воспитательные:

  • воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;
  • воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;
  • воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Технологии, используемые на уроке:

  • технология дифференцированного и разно-уровневого обучения;
  • технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов деятельности.

Вид урока: урок-практикум

Оборудование:

  • карточки с заданиями для самостоятельной работы;
  • индивидуальные листы для оценивания;
  • плакат для игры “Морской бой”;
  • ключ с ответами для самостоятельной работы;
  • опросные листы;
  • портреты математиков.

План урока

1. Организационный момент с сообщением темы, цели, и хода урока. Мотивация деятельности обучающихся на уроке.

2. Актуализация полученных ранее знаний, умений, и способов действий по теме “Решение показательных уравнений”.

3. Комплексное применение знаний, умений и способов действий по теме “Решение показательных уравнений” на творческом уровне.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

1. Преподаватель проверяет посещаемость обучающихся и их готовность к уроку, объявляет тему урока и предлагает каждому обучающемуся поставить цель своей индивидуальной учебной деятельности на уроке.

— Урок я хочу начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет”. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, — ответил юноша. “Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз. “Вот видишь”, — сказал мудрец, “повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…” Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

2. Постановка цели и задач.

Тема урока “Решение показательных уравнений”.А эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

На уроке нам предстоит повторить, отработать и обобщить способы решения показательных уравнений.

3. Проверка домашнего задания

Командиры групп докладывают о выполнении домашнего задания членами групп, отмечают трудности при выполнении №460(а, б), 464 (в, г), 468 (в, г). (ответы проверяют на доске).

II. Актуализация знаний учащихся

1. Индивидуальный опрос учащихся по карточкам (разно-уровневые). У доски работают трое учащихся.

Карточка № 1 (уровень 0)

Карточка № 2 (уровень 1)

Карточка № 3 (уровень 2)

Уровень 0 на “3”. Уровень 1 на “4” . Уровень 2 на “5”.

2. Устная работа.

1) Теоретический опрос, игра “Ты мне, я тебе”.

Учащиеся первого и второго ряда задает теоретические по пройденному материалу учащимся второго ряда. За каждый правильный ответ ученики получают жетон, количество жетонов определяют оценку.

  1. Какая функция называется показательной?
  2. Является ли функция у = (-2)х показательной? Почему?
  3. Какова область определения показательной функции?
  4. Какова область значений показательной функции?
  5. При каком значении а показательная функция убывает?
  6. При каком значении а показательная функция возрастает?
  7. Сформулировать и записать свойства степени.
  8. Дайте определение простейшего показательного уравнения. В каком случае это уравнение не имеет корней
  9. Какими способами можно решить показательные уравнения?

2) Устный счет в форме игры “Морской бой”.

— Ребята, поднимите руку те, кто помнит, как играть в “Морской бой”? Тогда вы легко справитесь со следующим заданием: вы видите 2 таблицы. Разделимся по рядам и от каждого ряда выберем представителя., который называет по горизонтали букву, а по вертикали число (например, А2). Тот ряд, который первый даст правильный ответ продолжает игру, а начнет ее третий ряд. (Учитель по ключу следит за правильностью ответов и подает сигнал к продолжению игры).

 

  1 2
A 0 5
B -3
C 2 3
D 6 7
E -4 -1
F 1,5 4

III. Систематизация и обобщение знаний учащихся

— М.В.Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”. (Портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

1. Указать способы решения показательных уравнений.

Результаты занесите в таблицу

Приведение к одному основанию Вынесение общего множителя за скобки Замена переменного (приведение к квадратному)
2, 5, 10, 12 1, 7, 9, 11 3, 4, 6, 8

Фронтальная проверка

2. Решение показательных уравнений из ЕГЭ.

Решить уравнение.

Несколько учеников решают с обратной стороны доски, остальные выборочно по 3 уравнения. Взаимопроверка.

3. Самостоятельная работа.

— Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что “математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”. Поэтому будем сейчас работать самостоятельно.

Самостоятельная работа на рейтинговой основе.

ВАРИАНТ 1. [ВАРИАНТ 2].

Решите уравнение:

43-2х = 42-х [22х — 2 = 21 — х] 1 балл
55х + 1 = 25 [25х + 1 = 4] 1 балл
2х-2 = 1 [10х + 2 = 1] 1 балл
4) 3х — х -5 = 3 [5х -2х -1 = 25] 1 балл
5) 2*2-5*2х +2 = 0 [2*3–3*3х — 9 = 0] 1 балл
6) 3х+2 -3х = 72 [4 х+2 + 4 х = 17] 1 балл
7) 5*25х -6*5 х +1 = 0 [3*25х– 14*5 х — 5 = 0] 2 балла
8) 7х – 7 х-1 = 6 [3 х+1 – 2*3х-2 = 75] 2 балла
9) 7х-2 = 42-х [3х-1 = 41-х] 2 балла
10) 2х+4 -2*3х+2 = 3х+3 – 2х+2 [3х+4 +3*5х+3 = 5х+4 + 3х+3] 3 балла

Критерий оценивания:

  • 5-6 баллов (задания 1-6) – оценка “3”;
  • 9-10 баллов (задания 1-5 + остальные по выбору) – оценка “4”;
  1. 12 баллов (задания 1-5 + остальные по выбору) – оценка “5”.

— Самостоятельно проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на доске, и поставить себе оценку в оценочный лист.

4. Работа в группах.

— А. Энштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно”.

Самостоятельно в группах решить уравнения.

 — Итак, корнями последних уравнений стали числа 11 и 19, 15 и 21. Об этих числах можно сказать следующее:

  • 11 часов — время наивысшей трудоспособности;
  • 15 часов — время наибольшего утомления;
  • 19 часов — вечерний подъем трудоспособности;
  • 21 час — время прекращения всякой трудоспособности.

Использование полученных знаний о биологических ритмах при составлении режима позволит достичь максимальной трудоспособности и повысить сопротивляемость организма к утомлению, так что “будьте здоровы и не утомляйтесь!”.

IV. Домашнее задание.

— В заключение урока хочется процитировать слова великого математика Г. Лейбниц: “Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, — что следуя этому методу, мы достигнем цели”.

V. Рефлексия.

-Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока “Решение уравнений это золотой ключ, открывающий все сезамы”.

Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой “золотой ключик”, с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Достигнуты ли цели урока? Оценка работы класса и каждого ученика в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок. Учителю необходимо знать, насколько самостоятельно и с какой уверенностью решал ученик задания. Для этого ученики ответят на вопросы теста (опросный лист), а затем учитель обработает результаты.

Опросный лист

Вопрос Варианты ответа (поставьте галочку)
1 На уроке я работал
  • активно
  • пассивно
  Своей работой на уроке я
  • доволен
  • не доволен
  Урок для меня показался
  • коротким
  • длинным
  За урок я
  • не устал
  • устал
  Моё настроение
  • стало лучше
  • стало хуже
  Материал урока мне был
  • понятен
  • не понятен
  • полезен
  • бесполезен
  • интересен
  • скучен
  Домашнее задание мне кажется
  • легким
  • трудным
  • интересным
  • не интересным

Урок закончен. Спасибо за урок!

Решение показательных уравнений

Тема урока: «Решение показательных уравнений»

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний.

Цели урока:

Образовательные:

  1. Обобщить и структурировать знания учащихся по данной теме.
  2. Закрепить основные методы решения показательных уравнений, предупредить появление типичных ошибок.
  3. Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.
  4. Активизировать работу класса через разнообразные формы работы.

Развивающие:

  1. Работать над развитием понятийного аппарата;
  2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные:

  1. Воспитывать ответственное отношение к труду;
  2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

ФОРМА УРОКА: комбинированный.

Оборудование. Доска, мел, карточки с тестовыми заданиями, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1).

Ход урока

I. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята!

На доске написана китайская мудрость:

Девиз урока

РАССКАЖИ МНЕ – И Я ЗАБУДУ,
ПОКАЖИ МНЕ – И Я ЗАПОМНЮ,
ДАЙ МНЕ ДЕЙСТВОВАТЬ – И Я ПОЙМУ.

(слайд 1)

Сегодня на уроке мы с вами повторим основные методы решения показательных уравнений, выполним самостоятельную работу по данной теме. (слайд 2)

Цели урока:

  1. Обобщить знания учащихся по данной теме.
  2. Закрепить основные методы решения показательных уравнений, предупредить появление типичных ошибок.
  3. Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.

II. Систематизация теоретического материала.

Актуализация опорных знаний

(обобщение материала провести фронтально с классом)

  1. Дать определение показательной функции. (слайд 3)
  2. Перечислить свойства показательной функции. (слайд 4)
  3. Перечислить свойства степеней. (слайд 5)
  4. Дать определение показательного уравнения. (слайд 6)

Давайте вспомним основные методы решения показательных уравнений. Сконцентрируйте внимание на изображении, созданном медиапроектором. (демонстрация слайда 7 презентации).

Первый из рассматриваемых нами способов решения уравнения – функционально-графический (демонстрация слайда 8 презентации).

Давайте вспомним алгоритм решения уравнений функционально – графическим методом.

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

  1. Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
  2. Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
  3. Записать ответ.

Задание 1. Решите уравнение . Ответ. 0. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 9 презентации).

Следующий метод решения уравнений – метод уравнивания показателей (демонстрация слайда 10 презентации).

Задание 2. Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 11 презентации)

, , х2-4х=-3, х2-4х+3=0, х1=1, х2=3.

Следующий метод решения уравнений – введение новой переменной (демонстрация слайда 12 презентации).

Задание 3.Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 13 презентации)

,

,

.

Пусть 3х=, t>0, тогда t2-24t-81=0, t1=27, t2=-3.

Выполним обратную замену.

3x=27,

 

2) 3x=-3,

х=3.

 

решений нет.

Следующий метод решения уравнений – Разложение на множители (демонстрация слайда 14 презентации).

Задание 4. Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 15 презентации).

;;;;;; 5х=3, х=0,6.

Указать методы решения следующих уравнений: слайд 16

42-2x+1=48

2x=3

7x-6 * 7x+5=0

2x+2=4

ВОПРОС: О ЧЁМ ИДЁТ РЕЧЬ? слайд 17

? ОСОБЕННОЕ !
1) 3x = 27 2) 6x-3 = 36
3) 5x-2 =25 4) 2x = 32 + а

ОТВЕТ: 1, 2, 3 – простейшие показательные уравнения 4 – простейшее показательное уравнение с параметром а, при а=0 имеет решение.

Цитата дня: «Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно».

Конфуций. слайд 18

III. Тренинг.

Итак, мы повторили все методы (известные нам) решения показательных уравнений. А теперь закрепим эти методы при решении.

Предложить учащимся выполнить следующие задания, объединившись в микрогруппы для взаимопомощи и взаимоконтроля. Время выполнения — 5 минут.

По просьбе учащихся консультировать их по выполнению задания. слайд 19

а) 3x+2 + 3x = 30
б) 4x – 14 · 2x – 32 = 0
  а) 2x+2 +2x = 5
б) 9x – 6 · 3x – 27 = 0

Во временных рабочих группах каждый может работать индивидуально .По выполнении каждого задания каждая группа помещает полученный ответ на доску. В случае получения различных ответов, рассматривается верный способ решения.

1 вариант: а) 1; б) 4.

2 вариант: а) 0; б) 2.

Показать границы применения полученных знаний при выполнении заданий КИМ

Познакомить учащихся с формулировкой заданий ЕГЭ прошлых лет, требующих для решения знания изученного материала. Предложить по желанию одному из учащихся показать решение каждого задания с комментариями.

По одному решают задания у доски, остальные – записывают решение в тетрадь, участвуют в выборе способа решения, в обсуждении хода решения.

Решение задач высокого уровня сложности (часть С) (Решение у доски с комментированием)

а) Решить уравнение:

б) При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение:

Ответы

а) Решить уравнение:

Решение:

Пусть t=. Тогда t>0.

По теореме, обратной теореме Виета, t1=-3, t2=1.

Найденные значения t не удовлетворяют условию рассматриваемого случая

2) 0 < t < 2.

 

.

t2=-1 не удовлетворяет условию рассматриваемого случая 0 < t < 2.

 .

Так как функция монотонна, то x = — 1

Ответ: x = — 1.

б) При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение:

 (1)

Решение:

Пусть тогда уравнение примет вид

 (2)

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях:

  1. Если D = 0, то есть p = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
  2. Если p ≠ 1, то , тогда уравнение (2) имеет два различных корня  Условию задачи удовлетворяет совокупность систем  или

Подставляя t1 и t2 в системы, имеем

или

 нет решений.

Ответ: p = 1, 0 < p ≤ 0,75.

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
Г. Лессинг.

слайд 20

ФИЗМИНУТКА

А сейчас мы с вами проведем физкультминутку. слайд 21

Проводится гимнастика для улучшения мозгового кровообращения.

Исходное положение – сидя на стуле, руки на пояс.

Упражнение №1.Голову наклонить вправо. И. п. Голову наклонить влево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №2. Голову повернуть направо. И.п. Голову повернуть налево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №3. Правая рука – вперёд, левая – вверх. И. п. Левая рука – вперёд, правая – вверх. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №4. И.п. – откинувшись на спинку стула.

Работаем по офтальмотренажеру.

По 4 раза, не поворачивая головы, глазами проводим вверх – вниз, затем влево – вправо,

4 раза по часовой стрелке по наружному овалу,

4 раза против часовой стрелки по внутреннему овалу,

и 4 раза рисуем глазами знак бесконечности.

IV. Тестовая работа.

А сейчас проведем тестовую работу, чтобы выяснить как вы усвоили данную тему и какие пробелы у вас остались. Задания раздаются каждому ученику, решение каждого здания учащиеся выполняют письменно и сдают вместе с бланком ответов. (Приложение 2)

V. Проверка.

слайд 22

I вариант II вариант
№1 – 3
№2 – 3
№3 – 4
№4 – 1
№5 – 3
№1 – 3
№2 – 4
№3 – 2
№4 – 2
№5 – 4

Оценивание слайд 23

VI. Анализ урока, выставление оценок.

слайд 24

Рефлексивно-оценочный

Достигли ли Вы сегодня поставленных целей?

Как ты оцениваешь свои знания, полученные сегодня (глубокие, осознанные, предстоит осознать, неосознанные)?

Что вызвало наибольшую трудность? Какие цели поставишь перед собой (в плане приобретения навыков)?

VI. Домашнее задание.

слайд 25

Обязательно:

1. Решить уравнение:

а)

б)

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет два действительных корня:

Желающим: Найти и выполнить одно задание из КИМов (по теме урока).

Решение показательных уравнений

Цели и задачи урока:

  1. Знать определение показательного уравнения, определение однородного показательного уравнения второй степени.
  2. Уметь решать показательные уравнения, применяя различные способы.
  3. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в изменяемой ситуации.
  4. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование урока:

  • доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор;
  • тетради, чистые листы для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
  4. Усвоение новых знаний.
  5. Проверка понимания учащимися нового материала.
  6. Закрепление нового материала.
  7. Информация учащихся о домашнем задании.
  8. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

II. Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения всеми учащимися домашнего задания; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умения и навыки в области решения показательных уравнений.

1. На экране высвечивается правильное решение домашнего задания. Ученики проверяют правильность выполнения своего решения, исправляют ошибки, задают вопросы, оценивают свое решение.

2. Всему классу предлагается устный диктант.

А) Вычислите: 25; 34; 53; ; ; 2150.

Б) Назвать степень числа: а) 32; б) 27; в) 625; г) 343; д) 243.

В)Какие уравнения называются показательными?

Г) Решите уравнения:

а) 2х = 2;

б) 3х+1 = 9;

в) 4х-3 = 1;

г) 2х = 3х.

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемой ситуации подвести учащихся к новому виду показательных уравнений.

Учитель обращает внимание учеников на экран. На экране показательные уравнения. Ученикам предлагается выписать уравнения по группам.

  1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.
  2. Уравнения, решаемые разложением на множители.
  3. Уравнения, приводимые к квадратным.

Предлагаемые уравнения:

1) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28;

2) 25х – 6*5х + 5 = 0;

3) 6*4х – 13*6х + 6*9х = 0;

4) 2 – 6*2х + 8 = 0;

5) 24х-1 + 24х-2 – 24х-3 = 160;

6) 0,2х+0,5 = 5*0,04х;

7) 72х+1 + 72х+2 + 72х+3 = 57;

8) 0,44-5х = 0,16.

В ходе обсуждения оказалось, что только уравнение под номером 3 учащиеся не отнесли ни в одну из групп.

IV. Усвоение новых знаний.

Задачи: ввести понятие однородных показательных уравнений второй степени, познакомить учащихся со способом их решения, добиться умения определять вид однородных уравнений, отработать навыки их решения.

Учитель дает определение однородных показательных уравнений второй степени и показывает алгоритм решения таких уравнений.

А*a + В*aх*bх + С*b = 0

1. Так как b2x 0, то разделим обе части уравнения на b2x, имеем

A* + B* + C = 0

2. Введем новую переменную = t, получим квадратное уравнение At2 + Bt + C = 0

3. Находим корни квадратного уравнения и выполняем обратную замену.

4. Решаем полученные показательные уравнения.

5. Записываем ответ.

По данному алгоритму ученики вместе с учителем решают уравнение под номером 3.

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида уравнений.

На экране появляются уравнения. Ученикам предлагается назвать их вид и способ решения.

Предлагаемые уравнения:

1) 2*2 – 3*10х – 5*5 = 0;

2) 32х+1 – 4*21х – 7*7 = 0;

3) 5*3 + 7*15х – 6*25х = 0;

4) 3*49х – 2*14х = 2.

VI. Закрепление нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

К доске вызываются два ученика, они решают уравнения под номерами один и два. В случае затруднения еще раз повторяют алгоритм решения однородных показательных уравнений.

Самостоятельная работа. 1 вариант решает уравнение под номером три, второй вариант – под номером четыре.

Для проверки работы ученики обмениваются листами, на экране появляется правильное решение. Ученики оценивают работу соседа.

VII. Информация учащихся о домашнем задании.

  1. Повторить свойства показательной функции.
  2. Повторить все изученные способы решения показательных уравнений.
  3. Решить уравнения, которые ученики выписывали по группам на уроке.

VIII. Итог урока.

§2.1. Решение показательных уравнений. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Определение показательного уравнения

Сложность: лёгкое

1
2. Показательное уравнение с отрицательным показателем степени

Сложность: лёгкое

2
3. Определение показательного уравнения (корень n-ой степени)

Сложность: лёгкое

1
4. Показательное уравнение с корнем

Сложность: среднее

1
5. Показательное уравнение (приведение к одному основанию)

Сложность: среднее

2
6. Показательное уравнение с корнем n-ой степени в знаменателе

Сложность: среднее

3
7. Показательное уравнение с приведением к одному основанию

Сложность: среднее

2
8. Показательное уравнение (приведение к общему основанию)

Сложность: среднее

2
9. Показательное уравнение (дробные показатели)

Сложность: среднее

2
10. Показательное уравнение (общий множитель)

Сложность: среднее

2
11. Показательное уравнение с общим множителем

Сложность: среднее

2
12. Показательное уравнение (умножение степеней)

Сложность: среднее

2
13. Показательное уравнение (деление степеней)

Сложность: среднее

2
14. Решение показательного уравнения (умножение степеней)

Сложность: среднее

2
15. Количество корней показательного уравнения, графический метод

Сложность: среднее

1
16. Показательное уравнение и неравенство, графический метод

Сложность: среднее

3
17. Показательное уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

4
18. Показательное уравнение с обратной дробью

Сложность: среднее

4
19. Показательное уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

3
20. Показательное уравнение (дробные показатели)

Сложность: среднее

3
21. Показательное уравнение (общий множитель), приведение к одному основанию при помощи логарифма

Сложность: среднее

3
22. Решение уравнения графически

Сложность: сложное

4
23. Показательное уравнение, сводимое к одному основанию

Сложность: сложное

3
24. Свойства степени в показательном уравнении

Сложность: сложное

3
25. Однородное уравнение

Сложность: сложное

7
26. Метод подстановки

Сложность: сложное

4
27. Уравнение, решаемое приведением к показательной функции одного основания

Сложность: сложное

4

«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных». 11-й класс

Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.

Задачи:

1) образовательная:

– повторить известные способы решения показательных уравнений;

– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;

2) воспитательная:

– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;

– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;

– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;

– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;

3) развивающая:

– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

– формировать грамотную математическую речь;

– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.

Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.

Ход урока

1. Оргмомент.

Приветствие.

Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.

Запишите тему урока: “Решение показательных уравнений”, но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.

2. Актуализация знаний.

Устная работа с классом.

Решите уравнения.

3. Постановка проблемы.

Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду или . Последнее уравнение решить таким способом не удается.

Обратите внимание: . Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = и решить полученное квадратное уравнение.

Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.

Уточним тему урока: “Решение показательных уравнений с помощью замены переменных”.

4. Изучение нового материала.

Пусть у = , причем у > 0.

Уравнение примет вид .

Решим это уравнение: = –1; = 5.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 5; х = 1.

Ответ: 1.

Решим уравнение .

Перепишем его в виде .

Далее решает ученик у доски с комментированием.

Пусть , причем у > 0.

3у – 8 = ; 3– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;

Решим это уравнение: = –; = 3.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 3; х = 1.

Ответ: 1.

Решим уравнение .

Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на : .

Далее решает у доски ученик с комментированием.

Пусть у =, причем у > 0.

Уравнение примет вид .

.

Решим это уравнение: = 1; =.

= 1; х = 0. = ; х = 1.

Ответ: 0; 1.

Можно было делить на ? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =.

5. Первичное закрепление изученного материала.

Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.

Два ученика работают за крыльями доски.

 6. Самостоятельная работа.

Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.

1) ;

2) ;

3) .

По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.

7. Итог урока.

  • Обсуждение результатов самостоятельной работы.
  • Кто выполнил правильно все задания?
  • Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
  • Повторим, какие приемы использовали при решении показательных уравнений.
  • Оцените свою работу на уроке.
  • Вам предстоит еще раз применить полученные знания при выполнении домашнего задания: № 464(в,г), 470(в,г), 166(г) (стр. 299).

Решение показательных уравнений.

Расскажи – и я забуду Покажи – и я запомню Дай мне сделать самому – и я научусь. Китайская мудрость

Расскажи – и я забуду

Покажи – и я запомню

Дай мне сделать самому – и я научусь.

Китайская мудрость

Тема. Решение показательных уравнений.  Цель : повторить свойства показательных функций и рассмотреть различные способы решений показательных уравнений. Психологическая установка учащимся: Продолжаем отрабатывать навыки решения показательных уравнений. Продолжаем учиться решать. Формируем математическую интуицию, которая поможет ориентироваться в способах решения уравнений. На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. Дать самому себе установку: “ Понять и быть тем первым, который увидит ход решения ”

Тема. Решение показательных уравнений.

Цель : повторить свойства показательных функций и рассмотреть различные способы решений показательных уравнений.

Психологическая установка учащимся:

  • Продолжаем отрабатывать навыки решения показательных уравнений. Продолжаем учиться решать. Формируем математическую интуицию, которая поможет ориентироваться в способах решения уравнений.
  • На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
  • Дать самому себе установку: “ Понять и быть тем первым, который увидит ход решения ”
Ход урока Повторение темы “показательная функция”. Решение показательных уравнений. Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

Ход урока

  • Повторение темы “показательная функция”.
  • Решение показательных уравнений.
  • Практическое применение показательной функции и показательных уравнений
Ход урока Повторение темы “показательная функция”. Решение показательных уравнений. Практическое применение показательной функции и показательных уравнений 0 ; а ≠1 ), называется показательной функцией с основанием а . Свойства показательной функции «

Повторение темы “ показательная функция ”.

Функция, заданная формулой y = a x ( где а 0 ; а ≠1 ), называется показательной функцией с основанием а .

Свойства показательной функции

Ход урока Повторение темы “показательная функция”. Решение показательных уравнений. Практическое применение показательной функции и показательных уравнений 1 функция возрастает на всей числовой прямой, при 0 функция убывает на всей числовой прямой. 4. . При любых действительных значениях X и Y справедливы равенства. У У x Х 0 0 При 0 При а 1 «

Свойства показательной функции

1. Область определения – R ( множество действительных чисел ).

2. область значений – R + (множество всех положительных действительных чисел)

3. При а 1 функция возрастает на всей числовой прямой, при 0 функция убывает на всей числовой прямой.

4. . При любых действительных значениях X и Y справедливы равенства.

У

У

x

Х

0

0

При 0

При а 1

Новая тема.  Показательными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестные содержатся в показателе степени, а основаниями степеней являются положительные числа не равные 1. (а x  = b ).  В основе решения показательных уравнений лежит следующая теорема: Показательное уравнение a f(x) = a g(x)  равносильно уравнению f(x) = g(x).  Примеры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Новая тема.

Показательными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестные содержатся в показателе степени, а основаниями степеней являются положительные числа не равные 1. x = b ).

В основе решения показательных уравнений лежит следующая теорема:

Показательное уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Примеры 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Пример 1 Показательное уравнение a f(x) = a g(x)  равносильно уравнению f(x) = g(x). Решить уравнение:

Пример 1

Показательное уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Решить уравнение:

Ответ: 2; 3. Проверка 1 примера Заданное уравнение равносильно уравнению

Ответ: 2; 3.

Проверка 1 примера

  • Заданное уравнение равносильно уравнению
Пример 2 Показательное уравнение a f(x) = a g(x)  равносильно уравнению f(x) = g(x). Решить уравнение:

Пример 2

Показательное уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Решить уравнение:

Проверка 2 примера Заданное уравнение равносильно уравнению   Можно записать   Ответ

Проверка 2 примера

  • Заданное уравнение равносильно уравнению
  • Можно записать
  • Ответ
Пример 3 Показательное уравнение a f(x) = a g(x)  равносильно уравнению f(x) = g(x).

Пример 3

Показательное уравнение a f(x) = a g(x) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Проверка 3 примера Заданное уравнение равносильно уравнению  поэтому     Ответ: 3; -1;

Проверка 3 примера

  • Заданное уравнение равносильно уравнению
  • поэтому
  • Ответ: 3; -1;
Пример 4 Использование свойств степени, вынесение общего множителя за скобки

Пример 4

Использование свойств степени, вынесение общего множителя за скобки

Проверка 4 примера  Использование свойств степени, вынесение общего множителя за скобки   Ответ: 1.

Проверка 4 примера

Использование свойств степени, вынесение общего множителя за скобки

Ответ: 1.

Пример 5 Применение способа замены и приведения к квадратному уравнению ___________________________________ Решить уравнение :

Пример 5

Применение способа замены и приведения к квадратному уравнению

___________________________________

Решить уравнение :

Проверка 5 примера Сделаем замену переменной t = 2  x . Заметим, что  4 х = (2 х ) 2 = t  2  Поэтому данное уравнение примет вид t 2 – 5t + 4=0 По теореме Виета t 1 *t 2 =4  t 1 +t 2 =5 , то t 1 =1 ; t 2 =4;  Решая уравнения вида  2 х =1 и 2 х =4  2 х =2 0  2 х =2 2  х = 0 х = 2 Ответ : 0 ; 2.

Проверка 5 примера

  • Сделаем замену переменной t = 2 x . Заметим, что

4 х = (2 х ) 2 = t 2

  • Поэтому данное уравнение примет вид t 2 – 5t + 4=0
  • По теореме Виета t 1 *t 2 =4

t 1 +t 2 =5 , то t 1 =1 ; t 2 =4;

  • Решая уравнения вида

2 х =1 и 2 х =4

2 х =2 0 2 х =2 2

х = 0 х = 2

Ответ : 0 ; 2.

Пример 6 Метод приведения к одинаковому показателю Решить уравнение :

Пример 6

Метод приведения к одинаковому показателю

Решить уравнение :

Проверка 6 примера  Это уравнение не является простейшим показательным уравнением, так как не одинак о вы степени в левой и правой части.  Но можно записать в виде     получим х-3 = 0 ; х =3  Ответ : 3

Проверка 6 примера

Это уравнение не является простейшим показательным уравнением, так как не одинак о вы степени в левой и правой части.

Но

можно записать в виде

получим х-3 = 0 ; х =3

Ответ : 3

Пример 7 Применение способа замены и приведения к квадратному уравнению

Пример 7

Применение способа замены и приведения к квадратному уравнению

Пример 7 Применение способа замены и приведения к квадратному уравнению 0 x=2 Ответ: 2 «

Проверка 7 примера

данное уравнение равносильно уравнению

избавляемся от знаменателя, получим

далее введем новую переменную 2 x = t и получим квадратное

уравнение 4t 2 -15t-4=0

D=225+64=289

t 1 =(15+17)/8=4

t 2 =(15-17)/8=-0,25

2 x =4 2 x = -0,25

2 x =2 2 нет решения т.к. 2 x 0

x=2

Ответ: 2

Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его масса m уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз.

Если обозначить через t 0 ( период полураспада ) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества m 0 осталось половина её, то оставшаяся через t лет масса выразится так:

т.е. радиоактивный распад совершается по закону, выражаемому показательной функцией.

Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по закону Стефана – Больцмана излучательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры. Масса шара является кубической функцией его радиуса.

В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит быстрее, чем у любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек столкнулся очень давно. В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую – вдвое больше, чем за предыдущую.

Необходимость изучения функций, у которых производная пропорциональна самой функции, возникла с обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения, законы радиоактивного излучения, законы движения в тормозящей среде т. д.

1 2 3

Пример 1.  Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент времени t . Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объёме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колоний будет возрастать в одно и то же число раз. Если за единицу измерения массы принять массу одной бактерии, то m(t) будет равно численности этой колонии.  Аналогично обстоят дела для любой совокупности живых существ при условии, что нет ограни пище и пространстве и нет истребляющих их врагов. Поэтому процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют  процессами органического роста.

Пример 1. Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент времени t . Если нет ограничений в количестве питательных веществ и объёме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки времени масса колоний будет возрастать в одно и то же число раз. Если за единицу измерения массы принять массу одной бактерии, то m(t) будет равно численности этой колонии.

Аналогично обстоят дела для любой совокупности живых существ при условии, что нет ограни пище и пространстве и нет истребляющих их врагов. Поэтому процессы, в которых величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами органического роста.

Пример 2. В процессе радиоактивного распада вещества его масса m(t) за равные промежутки времени меняется в одно и то же число раз. Поэтому и здесь происходит изменение по закону, но при этом масса уменьшается. В таких случаях говорят процессах органического убывания.

Пример 2. В процессе радиоактивного распада вещества его масса m(t) за равные промежутки времени меняется в одно и то же число раз. Поэтому и здесь происходит изменение по закону, но при этом масса уменьшается. В таких случаях говорят процессах органического убывания.

Пример 3.

Пример 3.

Пример 4. Изучение возрастной структуры популяции рыб имеет большое значение для рыболовного промысла (предсказание будущих уловов и предотвращение переуловов).  Популяция рассматривается как “открытая термодинамическая система, находящаяся в состоянии непрерывного обмена с окружающей средой, самовоспроизводящаяся и саморегулирующаяся.  Предполагается исходить из принципа стационарного состояния открытых систем, согласно которому все живые системы стремятся сохранить свою структуру (и энтропию) неизменной во времени.  Формула расчета численности выглядит как Зная по результатам экспериментального лова массу mi особи i -го возраста, а также число особей Ni , можно найти общую численность популяции N и остальные численности Nj , общую массу популяции. Были проведены расчеты для сельди Северного моря с 1947 по 1971 год. Сравнение расчетных и реальных значений дало совпадение от 70% и выше за каждый год, кроме одного.

Пример 4.

Изучение возрастной структуры популяции рыб имеет большое значение для рыболовного промысла (предсказание будущих уловов и предотвращение переуловов).

Популяция рассматривается как “открытая термодинамическая система, находящаяся в состоянии непрерывного обмена с окружающей средой, самовоспроизводящаяся и саморегулирующаяся.

Предполагается исходить из принципа стационарного состояния открытых систем, согласно которому все живые системы стремятся сохранить свою структуру (и энтропию) неизменной во времени.

Формула расчета численности выглядит как

Зная по результатам экспериментального лова массу mi особи i -го возраста, а также число особей Ni , можно найти общую численность популяции N и остальные численности Nj , общую массу популяции. Были проведены расчеты для сельди Северного моря с 1947 по 1971 год. Сравнение расчетных и реальных значений дало совпадение от 70% и выше за каждый год, кроме одного.

Что быстрее всего ? – Ум. Что мудрее всего ? – Время. Что приятнее всего ? – Достичь желаемого. Фалес. До свидания

Что быстрее всего ? – Ум.

Что мудрее всего ? – Время.

Что приятнее всего ? – Достичь желаемого.

Фалес.

До свидания

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск