В-1.1 1) -92; 2) 100; 3) 30; 4) 49; 5) -18; 6) 62; 7) -77; 8) 5; 9) 0; 10) -38; 11) -88; 12) 0. | В -1.2 1) 0; 2) 64; 3) 0; 4) -84; 5) 72; 6) -35; 7) 100; 8) -38; 9) 1; 10) 80; 11) -20; 12) -90. | В-1.3 1) 5; 2) 62; 3) 35; 4) -82; 5) 100; 6) 0; 7) 0; 8) -22; 9) -16; 10) -98; 11) 14; 12) -52. | В-1.4 1) 2; 2) 0; 3) 10; 4) -3; 5) -24; 6) 80; 7) -48; 8) 78; 9) -65; 10) -94; 11) 100; 12) 0. | В -1.5. 1) 64; 2) 100; 3) 5; 4) -98; 5) 0; 6) 58; 7) -63; 8) -36; 9) 0; 10) -32; 11) -24; 12) 96. | В-1.6 1) 5; 2) -56; 3) 10; 4) -92; 5) -42; 6) 72; 7) 0; 8) -11; 9) 68; 10) 100; 11) -38; 12) 0. | В-1.7 1) 0; 2) -19; 3) 86; 4) -66; 5) 6; 6) 52; 7) -74; 8) 100; 9) -30; 10) -84; 11) 42; 12) 0. | В- 1.8 1) 0; 2) 34; 3) -42; 4) 0; 5) 32; 6) 56; 7) -24; 8) -94; 9) 100; 10) 2; 11) -58; 12) -72. | В-1.9 1) 0; 2) 34; 3) -42; 4) 0; 5) 32; 6) 56; 7) -24; 8) -94; 9) 100; 10) 2; 11) -58; 12) -72. | В-1.10. 1) 4; 2) 98; 3) 100; 4) -96; 5) 0; 6) 0; 7) -64; 8) 38; 9) -33; 10) -66; 11) 78; 12) -24. | В-1.11 1) 0; 2) 8; 3) 83; 4) -71; 5) -37; 6) 42; 7) 100; 8) 0; 9) -48; 10) -39; 11) -88; 12) 92. | В-1.12 1) 0; 2) 8; 3) 83; 4) -71; 5) -37; 6) 42; 7) 100; 8) 0; 9) -48; 10) -39; 11) -88; 12) 92. | В-1.13 1) 54; 2) -97; 3) 0; 4) 3; 5) -98; 6) 25; 7) 0; 8) -46; 9) 100; 10) -41; 11) -84; 12) 26. | В-1.14. 1) -90; 2) 0; 3) -36; 4) 3; 5) -74; 6) 66; 7) -11; 8) 0; 9) 100; 10) -32; 11) 22; 12) 77. | В -1.15. 1) -29; 2) 0; 3) 86; 4) 49; 5) -32; 6) 0; 7) -92; 8) -27; 9) 100; 10) 50; 11) -68; 12) 3. | В-1.16. 1) -25; 2) -37; 3) 76; 4) 0; 5) 32; 6) -24; 7) 0; 8) -92; 9) 6; 10) -63; 11) 45; 12) 100. | В-1.10. 1) 54; 2) -86; 3) 100; 4) -64; 5) 1; 6) 27; 7) 34; 8) 0; 9) 0; 10) -37; 11) -26; 12) -39. | В-1.18. 1) 58; 2) 85; 3) 100; 4) 52; 5) 6; 6) 0; 7) -30; 8) 0; 9) -52; 10) -14; 11) -82; 12) -26. | В-1 .19. 1) 86; 2) 42; 3) -37; 4) 100; 5) -57; 6) -86; 7) 0; 8) -51; 9) 46; 10) 5; 11) 0; 12) -58 | В-1.20. 1) 100; 2) 30; 3) 25; 4) -69; 5) 78; 6) -55; 7) 7; 8) -94; 9) -88; 10) 0; 11) -45; 12) 0. | В-1.21. 1) 52,92; 2) -12,6; 3) 60; 4) 9,8; 5) 3; 6) 0; 7) -3,6; 8) -101,41; 9) -8,8; 10) -49,74; 11) 79,23; 12) 69,55. | В-1.22. 1) -125,7; 2) -23,42; 3) 4; 4) 5,95; 5) 28,9; 6) -20,3; 7) 97,41; 8) 0; 9) 13,92; 10) -137,68; 11) 50; 12) -10,2. | В-1.23. 1) -7,3; 2) 32,4; 3) -18,8; 4) -142,35; 5) -103,2; 6) 0; 7) 10,95; 8) 5,73; 9) 50; 10) 97,14; 11) 7; 12) -25,7. | В-1.24. 1) -106,2; 2) -65,18; 3) 80; 4) -12,58; 5) 3,48; 6) -2,1; 7) -47,6; 8) 3,9; 9) 99; 10) 77,71; 11) 0; 12) 85,99. | В-1.25. 1) -19,3; 2) 47,17; 3) 107,95; 4) -75,68; 5) 5,9; 6) -8,02; 7) -22,4; 8) 9; 9) 20; 10) 0; 11) -4,4; 12) 1,55. | В-1.26. 1) 30; 2) -26,7; 3) -24,72; 4) 6,52; 5) -10,4; 6) 9; 7) -288,1; 8) -77,38; 9) 0; 10) 5,83; 11) 4,41; 12) 21,3. | В-1.27. 1) 30; 2) -26,7; 3) -24,72; 4) 6,52; 5) -10,4; 6) 9; 7) -288,1; 8) -77,38; 9) 0; 10) 5,83; 11) 4,41; 12) 21,3. | В-1.28. 1) 60; 2) -62,6; 3) 96; 4) 3,83; 5) -53,36; 6) 7,09; 7) 12,54; 8) -122,8; 9) 67,3; 10) 0; 11) -3,4; 12) -166,18. | В-1.29. 1) 3; 2) -6,4; 3) 5,26; 4) -155,6; 5) -23,34; 6) -27,9; 7) 4,87; 8) 80; 9) 0; 10) 96,79; 11) 28,6; 12) -66,12. | В-1.30. 1) 63,1; 2) 0; 3) 95,93; 4) -152,4; 5) -14,8; 6) -71,1; 7) 3,82; 8) 40; 9) -94,37; 10) 8,94; 11) 4; 12) -13,7. |
Урок 10: Действия с отрицательными числами
План урока:
Сложение отрицательных чисел
Сложение чисел с разными знаками
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.
Источник
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.
В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали жить на свободе. Актеры тяжело работали, но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?
Источник
Возвращаемся к решению задачи.
Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.
Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.
Источник
Рассмотрим еще одно задание.
Найдите результат сложения -24 и -16.
Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».
-24+(-16)=-(24+16)=-40.
Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».
Сложение чисел с разными знаками
Рассмотрим ситуацию.
Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?
Источник
Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.
Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.
Суммируем-3 и 10. Для этого:
- определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
- сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
- от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
- так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.
Записывается в таком виде:
-3+10=10 – 3=7.
Выходит, у мальчика стало 7 яблок.
Источник
Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.
Вычислите сумму -28 и 11.
Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.
-28=|28|;
11=|11|;
28>11.
Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:
-28+11=-(28-11)=-17.
Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:
любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.
Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.
Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:
-150+50=-(150-50)=-100.
Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:
При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.
-150=|150|;
-100=|100|.
150>100;
-150<-100.
Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
Мы уже знаем, как выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, но хочется сказать, что именно в этом разделе математики, большую роль играют противоположные числа. Для тех, кто забыл, напоминаем, какие числовые значения называются противоположными:
Если два числа отличаются только знаком, то они являются противоположными:-13 и 13, 141 и -141, 1000 и -1000.
Чтобы понять, какие правила необходимо соблюдать при выполнении вычитания чисел с разными знаками, давайте разберем задание.
Определите, чему будет равно значение выражения: от -510 отнять +210.
На первый взгляд задание очень простое и не вызывает никаких проблем. Но стоит записать разность в виде выражения:
-510-(+210)
сразу возникает вопрос «Как вычитать, если уменьшаемое со знаком «минус», а вычитаемое со знаком «плюс»?».Чтобы решение подобных выражений не вызывало у вас трудностей, возьмите на заметку правило:
Чтобы выполнить вычитание чисел с разными знаками, нужно уменьшаемое оставить без изменений и прибавить к нему число, противоположное вычитаемому.
Например: -5-(+2).
Минус пять оставляем без изменений. Вычитаемое +2, а противоположное ему -2. Складываем уменьшаемое(-5) и число противоположное вычитаемому(-2): -5+(-2).
По правилу сложения отрицательных чисел, складываем модули(5+2) и ставим знак «-»:
-5+(-2)=-(5+2)=-7
Учитывая данное правило, получается, что к уменьшаемому(-510) необходимо прибавить значение,противоположное вычитаемому(210), таким числом будет -210:
Запишем выражение:
-510-(+210)=-510+(-210). Чтобы вычислить полученное выражение нужно сложить отрицательные значения, согласно правилу сложения отрицательных чисел:
-510-(+210)=-510+(-210)=-(510+210)=-720.
Вычисления окончены.
Источник
Рассмотрим следующее задание.
Найдите значение выражения: -248+248.
Используем правило сложения значений с разными знаками.
-248=|248|;
248=|248|;
248 – 248=0.
Следовательно,
при сложении противоположных числовых значений в результате всегда будет 0.
Зная правило вычитания отрицательных чисел, можем сделать вывод, что знаки, стоящие перед скобками, могут менять знак числа, находящегося в скобках.
К примеру, в выражении 19-(-4), при вычислении используем правило, согласно которого, к уменьшаемому прибавляем, число противоположное вычитаемому, то есть знак вычитаемого «-» меняем на противоположный «+». Получим:
Запомни! Если перед скобкой в математическом выражении стоит знак «минус», то знак числа в скобках меняется на противоположный.
Ну а сейчас, разберем задание, в котором перед скобкой стоит знак «плюс».
Вычисли: -36+(-7).
В этом задании воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел– сложим модули числовых значений, а перед суммой поставим знак «минус»:
Мы видим, что «плюс» перед скобкой никак не повлиял на знак числа, стоящего в скобках. Запомни! Если перед скобками стоит «плюс», то знак числового значения, стоящего в скобках никак не меняется.
В выполнении рассматриваемых действий нет ничего сложного. Главное запомнить основные требования и придерживаться их в процессе любых вычислений! Если сразу запомнить все правила не получается, заходи на сайт 100уроков.ru и мы всегда с удовольствием напомним нужное правило или алгоритм.
Минутка истории
История математики утверждает, что человечество длительное время не принимало ряд отрицательных числовых значений. Данный вид чисел, казался непонятным и ненужным. Привычных нам знаков «плюс» и «минус» просто не существовало. Если возникала необходимость в записи отрицательно числа, то его записывали следующим образом «долг в 30 монет». И лишь математики Древней Индии и Китая, выполняли записи отрицательных чисел без употребления слова «долг», а просто использовали черные чернила, вместо синих.
Только в 3 веке греческий ученый Диофант, стал обозначать знак «минус» вот таким символом .
Привычные нам знаки «+» и «-» появились в Германии в конце 15 века. Чешский ученый Ян Видман, отразил данные знаки в своей книге-пособии, помогающей подсчитывать прибыль и убытки чешским купцам. Стоит заметить, что данная книга была написана от руки и имела огромную популярность среди богатых людей того времени.
В-1 1) 0; 2) -84; 3) -58; 4) 4; 5) 18; 6) -90; 7) -19; 8) -16; 9) 56; 10) -78; 11) -55; 12) 0. | В-2. 1) 0; 2) -57; 3) 0; 4) -48; 5) 5; 6) -92; 7) -68; 8) -46; 9) 40; 10) -66; 11) -75; 12) 24. | В-3 1) 0; 2) -22; 3) 0; 4) -93; 5) -68; 6) 97; 7) -87; 8) -70; 9) -61; 10) 12; 11) -28; 12) 2. | В-4. 1) 3; 2) 0; 3) -62; 4) 0; 5) -42; 6) -94; 7) -42; 8) 14; 9) 61; 10) -33; 11) -73; 12) -60 | В-5. .1) -51; 2) 11; 3) -87; 4) 73; 5) -73; 6) 2; 7) -95; 8) -96; 9) -38; 10) -52; 11) 0; 12) 0. | В-6. 1) 0; 2) -14; 3) -78; 4) -95; 5) 0; 6) -44; 7) 7; 8) -53; 9) 19; 10) -47; 11) -29; 12) 11. | В-7. 1) 0; 2) -61; 3) 0; 4) -86; 5) 98; 6) -13; 7) -35; 8) 3; 9) -42; 10) 15; 11) -69; 12) -99. | В-8 1) 0; 2) -7; 3) -98; 4) -84; 5) 48; 6) -58; 7) -27; 8) -99; 9) 4; 10) 68; 11) -60; 12) 0. | В-9 1) 0; 2) -78; 3) 57; 4) 16; 5) -57; 6) -49; 7) -51; 8) 3; 9) 0; 10) -58; 11) -43; 12) -57. | В-10. .1) -99; 2) 4; 3) -33; 4) 0; 5) 34; 6) 0; 7) -85; 8) -87; 9) 27; 10) -21; 11) -35; 12) -42. | В-11 1) -59; 2) -17; 3) 7; 4) 91; 5) 44; 6) 0; 7) -78; 8) 0; 9) -28; 10) -79; 11) -19; 12) -99 | В-12 1) -83; 2) 13; 3) 0; 4) 0; 5) -48; 6) -71; 7) -64; 8) -99; 9) 2; 10) -42; 11) 64; 12) -47. | В-13 1) 0; 2) -85; 3) 23; 4) -65; 5) -65; 6) -95; 7) -99; 8) 5; 9) -46; 10) -68; 11) 0; 12) 45. | В-14 1) -55; 2) 0; 3) -65; 4) 52; 5) -49; 6) -44; 7) 0; 8) 4; 9) -72; 10) 11; 11) -63; 12) -89. | В-15 1) -64; 2) -86; 3) 51; 4) -63; 5) 0; 6) -59; 7) 3; 8) -96; 9) -91; 10) 15; 11) 0; 12) -41. | В-16 1) -88; 2) -89; 3) 0; 4) 0; 5) -45; 6) -83; 7) 2; 8) 15; 9) -13; 10) 69; 11) -40; 12) -64. | В-17 1) 11; 2) -4; 3) 0; 4) 36; 5) -70; 6) -58; 7) 3; 8) 0; 9) -88; 10) -32; 11) -99; 12) -35 | В-18. 1) -83; 2) 87; 3) 0; 4) -56; 5) -99; 6) 0; 7) -79; 8) -57; 9) 16; 10) -68; 11) -88; 12) 5 | В-19. 1) 2; 2) -47; 3) -96; 4) -26; 5) 63; 6) 0; 7) 0; 8) -64; 9) -51; 10) -85; 11) 24; 12) -35 | В-20. 1) -53; 2) -77; 3) -50; 4) -29; 5) 11; 6) 79; 7) -27; 8) 0; 9) -93; 10) 4; 11) 0; 12) -80 | В-21 1) 24,3; 2) -6,9; 3) 61,86; 4) -90,8; 5) -3; 6) -165; 7) -13,57; 8) -25,99; 9) -15,9; 10) -27; 11) 0,15; 12) -0,56. | В-22 1) -68,6; 2) -4; 3) 101,91; 4) 550; 5) -0,21; 6) -101,4; 7) 9,75; 8) -1,98; 9) -20; 10) 30,2; 11) -10,2; 12) -90,72. | В-23 1) -12; 2) -104,25; 3) 29,3; 4) 18,3; 5) 0,65; 6) -38,45; 7) 88,03; 8) -4; 9) -25,5; 10) -18,2; 11) -0,48; 12) -114. | В-24 1) -92,5; 2) -95,01; 3) 124,2; 4) 4,85; 5) -16,18; 6) -4; 7) -6; 8) -1,97; 9) 97,61; 10) -32,9; 11) -0,36; 12) 25,2. | В-25 1) 8,62; 2) -90,9; 3) 50,62; 4) -0,28; 5) -3; 6) -10,56; 7) -27,5; 8) -2; 9) -14,91; 10) 8,3; 11) -55; 12) 6,3. | В-26 1) -126,16; 2) 10,92; 3) -18; 4) 0,45; 5) -96; 6) -1,4; 7) -0,09; 8) -32,5; 9) 4,6; 10) 40,2; 11) -88,34; 12) -42,1. | В -27 1) 12,2; 2) 0,18; 3) -15,3; 4) 26,78; 5) -71; 6) -59,88; 7) -0,32; 8) -35,4; 9) -48; 10) -8; 11) -107,48; 12) -15,9. | В-28 1) -0,6; 2) 74,19; 3) 88,6; 4) 4,42; 5) -18; 6) -88; 7) -7,58; 8) 2,58; 9) -0,18; 10) -102,55; 11) 20,2; 12) -260. | В-29 1) -205; 2) 14,64; 3) -0,72; 4) 410; 5) -19,2; 6) 32,4; 7) -94,04; 8) -15; 9) -15,3; 10) -120,12; 11) 0,85; 12) 5,5. | В-30 .1) -149,49; 2) 37,48; 3) 96; 4) 13,43; 5) 0,32; 6) -0,24; 7) -14; 8) -480; 9) -7,5; 10) 56,4; 11) -6,4; 12) -77,08. |
Сложение и вычитание целых чисел
В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел расстраивают обучающихся больше всего.
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
5 − 3 = 2
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
5 + (−3)
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
(+3) − (+7)
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Приведём выражение к понятному виду:
(−4) − (+5)
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
−50 + 40
Решение
−50 + 40 = −10
Задание 2. Найдите значение выражения:
25 + (−5)
Решение
25 + (−5) = 20
Задание 3. Найдите значение выражения:
−20 + 60
Решение
−20 + 60 = 40
Задание 4. Найдите значение выражения:
20 + (−8)
Решение
20 + (−8) = 12
Задание 5. Найдите значение выражения:
30 + (−50)
Решение
30 + (−50) = −20
Задание 6. Найдите значение выражения:
27 + (−19)
Решение
27 + (−19) = 8
Задание 7. Найдите значение выражения:
−17 + (−12) + (−8)
Решение
Задание 8. Найдите значение выражения:
−6 − 4
Решение
−6 − 4 = −6 + (−4) = −10
Задание 9. Найдите значение выражения:
−6 − (−4)
Решение
−6 − (−4) = −6 + 4 = −2
Задание 10. Найдите значение выражения:
−15 − (−15)
Решение
−15 − (−15) = −15 + 15 = 0
Задание 11. Найдите значение выражения:
−11 − (−14)
Решение
−11 − (−14) = −11 + 14 = 3
Задание 12. Найдите значение выражения:
−3 + 2 − (−1)
Решение
Задание 13. Найдите значение выражения:
−5 − 6 − 3
Решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже