Показательные уравнения с разными основаниями примеры. Лекция: «Методы решения показательных уравнений

Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.

В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и… Об этом далее.

Перечислим свойства показателей степени:

Нулевая степень любого числа равна единице.

Следствие из данного свойства:

Ещё немного теории.

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:

f (x ) выражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Тогда применяем свойство:

2. При получении уравнения вида a f ( x ) = b используется определение логарифма, получим:

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Применяется логарифмирование:

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.

Рассмотрим уравнения:

Найдите корень уравнения 4 1–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

4 1–2х = 4 3

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х = – 1

Проверка:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Ответ: –1

Найдите корень уравнения 3 х–18 = 1/9.

Известно, что

Значит 3 х-18 = 3 -2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Найдите корень уравнения:

Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Ответ: 11

Найдите корень уравнения:

Представим 1/3 как 3 –1 , а 9 как 3 в квадрате, получим:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 –8+2х = 3 2

Теперь можем приравнять показатели:

– 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Проверка:

Ответ: 5

26654. Найдите корень уравнения:

Решение:

Ответ: 8,75

Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к реше­нию одного или нескольких простейших. В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• Приложение 1 (слайдовая презентация в PowerPoint) “Методы решения показательных уравнений”
• Приложение 2 (Решение уравнения типа “Три разных основания степеней” в Word)
• Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
• Приложение 4 (раздаточный материал в Word для домашнего задания).

Ход урока

1. Организационный этап

• сообщение темы урока (записана на доске),
• необходимость проведения обобщающего урока в 10-11 классах:

Этап подготовки учащихся к активному усвоению знаний

Повторение

Определение.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (отвечает учащийся).

Замечание учителя. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все

nevelsklib.ru

Урок по теме «Решение показательных уравнений»

Цели урока:

1) образовательные:

– повторить основные способы решений показательных уравнений;
– показать дополнительные методы решения показательных уравнений.

2) развивающие:

– развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности;
– развивать навыки самостоятельности;
– учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

3) воспитательные:

– воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
– воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, взаимопомощи;
– воспитывать средствами математики культуру личности.

Тип урока: комбинированный.

Технологии, используемые на уроке:

– технология дифференцированного и разноуровнего обучения;
– технология обучения в сотрудничестве, индивидуально– групповая технология.

Оборудование: ПК, доска, оценочные листы, компьютерная презентация, индивидуальные карточки с заданиями.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление знаний.
5. Дифференцированная самостоятельная работа.
6. Домашнее задание.
7. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Показательные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. И в современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ эти задания присутствуют, как в первой, так и во второй частях. Поэтому всем необходимо знать основные методы решения показательных уравнений и уметь их применять при решении более сложных уравнений.

Итак, тема урока “ Решение показательных уравнений”/Слайд 1/

А эпиграфом к уроку станут слова С.Коваля: “Уравнения– это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Т.е., другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

Как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке, и какие вы поставите цели? (Повторить и отработать способы решения показательных уравнений).

2. Повторение и актуализация опорных знаний /Слайд 2/

1) Какие уравнения называются показательными? (Уравнения вида a^х=b при a> 0, a1, т.е. содержащие переменную в показателе степени, называются показательными)/Слайд 3/

2) Решите уравнения: /Слайды 4,5/

а) 3^х=27 (3)
б) (1/7)^х= 49 (-2)
в) 6^х·(5/6)^х=1/125 (-3)
г) 10^х+1=0,1 (-2)

д) 6^х= (1/3)
е) (4/9)^х=(3/2)^-5(2,5)
ж) 17^х=1 (0)
з) 2^х=-8 (корней нет)
и) 3^х=1/27 (-3)

3) Взаимопроверка домашнего задания (задания разного уровня) /Слайд 6/

1 уровень “3”

1) (1/2)^14-5х=64 (4)
2) 5^4-х=25 (2)

2 уровень “4”

1) 3^х+2+4·3^х+1=21 (0)
2) 7·5^х– 5^х+1=2·5 (1)

3 уровень “5”

1) 3^2х+2·3^х-3=0 (0)
2) 2^2х+2^х-2=0 (0)

Оценки выставляются в оценочный лист.

4) Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?

(Метод уравнивания показателей, метод вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной) /Слайд 7/

3. Изучение нового материала.

Трое учащихся рассказывают о новых методах решения показательных уравнений:

1) Метод почленного деления /Слайд 8/

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

Пример. Решите уравнение 2^2х+1-7·10^х+ 5^2х+1=0

2^2х·2– 7·2^х·5^х+5^2х·5=0 (:5^2х0)
2·(2/5)^2х– 7·(2/5)^х+5=0
Пусть (2/5)^х=t, t>0
2t²-7t+5=0
Д=49-4·2·5=9
t₁=1, t₂=5/2
(2/5)^х=1, (2/5)^х=5/2
х=0, х=-1

2) Метод группировки /Слайд 9/

Этот метод заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.

Пример. Решите уравнение 3·2^2х+1/2·9^х+1– 6·4^х+1= -1/3·9^х+2

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1/2·9^х+1+1/3·9^х+2=6·4^х+1-3·2^2х

1/2·9^х·9+1/3·9^х·9²=6·4^х·4-3·4^х

4,5·9^х+27·9^х=24·4^х-3·4^х

31,5·9^х=21·4^х (: 9^х0)

31,5= 21·(4/9)^х

(4/9)^х=3/2

(2/3)^2х=(2/3)^-1

2х=-1

х=-0,5

3) Графический метод /Слайд 10/

Пример. Решите уравнение 3^2х=10-х. Построим таблицы значений:

y=3^2х

y=10-х

Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Она и будет корнем уравнения.

Ответ: 1

4. Закрепление знаний /Слайд 11/

М.В.Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”.

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

Посмотрите на доску и укажите, каким способом решаются уравнения:

1) 3·4^х– 5·6^х+2·9^х=0 (метод почленного деления)

2) 2^х=2/х (графический метод)

3) (3^х-81)·=0 (метод разложения на множители)

4) 4^sinх+ 2^5-2sinх=18 (метод введения новой переменной)

5) 4·(1/16)^х-17·(1/4)^х+4=0 (метод введения новой переменной)

6) 5^х+3– 3·5^х+1-10·5^х=4 (метод вынесения общего множителя за скобки)

7) 2^|3х-5||=4·8^·|х+1| (метод уравнивания показателей)

8) х+6=(1/2)^х (графический метод)

9) (метод уравнивания показателей)

Задания группам– решите уравнения: /Слайд 12/

1) 2^х-2=1-х Ответ: 1

2) 9·16^х-7·12^х-16·9^х=0 Ответ: 2

3) (3^х-81)· =0 Ответ: 1 (учесть ОДЗ)

Трое учащихся выходят к доске, объясняют выбранный способ решения, показывают решение.

Оценки в оценочный лист.

5. Дифференцированная самостоятельная работа /Слайд 13/

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что “математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед”. Поэтому будем работать самостоятельно.

1 вариант	2 вариант
1 уровень “3” 1) 4х=64; 2) (2/3)х=1; 3) 5х-2=25; 4) 10х2=10
2 уровень “4” 1) 10х2+х-2=1; 2) 2х-2=3х-2; 3) 32х– 2·3х-3=0; 4) 7·5х-5х-2=-90.	2 уровень “4” 1) (16/25)х+3=(125/64)2; 2) 7х+1-3·7х=28; 3) 2х-3= 3,5х-3; 4) 2·52х-5х-1=0.
3 уровень “5” 1) 22х+14·2х+1-29=0; 2) 6х+1+35·6х-1=71; 3) 2х+2+8х=5·4х; 4)	3 уровень “5” 1) 100х– 80·10-1+х-20=0; 2) ; 3) 7·5х– 5х+1=2·5-3; 4) 2·4х-5·6х+3·9х=0.

Самостоятельно проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на доске, и поставить себе оценку в оценочный лист.

Ключ: /Слайд 14/

1 уровень “3” 1) 3; 2) 0; 3) 4; 4) 1; -1

2 уровень “4” 1 вариант: 1) 1; -2; 2) 2; 3) 1; 4) нет корней.

2 вариант: 1) -6; 2) 1; 3) 3; 4) 0.

3 уровень “5” 1 вариант: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 2; 4) 2.

2 вариант: 1) 1; 2) 1; 3) -3; 4) -1; 0.

6. Домашнее задание /Слайд 15/

Составить тест из 5 уравнений по данной теме.

7. Итог урока 

1) Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой “золотой ключик”, с помощью которого перед вами открывались любые двери.

Достигнуты ли цели урока? Какими методами можно решать показательные уравнения?

2) Оценка работы класса и каждого ученика в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок.

Презентация

urok.1sept.ru

Как решать показательные уравнения | Логарифмы

Рассмотрим, как решать показательные уравнения, содержащие несколько степеней с двумя различными основаниями, у которых в показателях соответственно равны коэффициенты при переменных.

Возможный вариант решения уравнений — вынесение общего множителя за скобки.

   

ОДЗ: x∈R.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее разнести их по разные стороны:

   

Выносим общий множитель — степень с наименьшим показателем — за скобки. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаем:

   

   

   

   

   

   

   

Разделив на 10, получаем однородное показательное уравнение 1-й степени, которое решается делением на одну из степеней

   

   

   

   

   

Ответ: 0.

   

ОДЗ: x∈R.

Группируем степени с разными основаниями в разных частях уравнения

   

Выносим степень с наименьшим показателем за скобки

   

   

   

   

Чтобы избавиться от 2 и 9, разделим уравнение последовательно сначала на одно, потом на другое число (можно, разумеется, сразу разделить на их произведение 18):

   

   

   

   

Получили однородное показательное уравнение 1-й степени

   

   

   

   

   

Ответ: 3.

Такого рода уравнения могут содержать также степени с одинаковыми основаниями, но разными коэффициентами при переменных в показателях.

Пример.

   

   

ОДЗ: x∈R.

   

   

   

   

   

Ответ: -1; 2.

www.logarifmy.ru