Решение модульных уравнений

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.  Так как  , то  . Если  , то  ,  и  уравнение принимает вид  .

Отсюда получаем  .

Ответ:  .  

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение.  Из уравнения следует, что  .

Поэтому  , , , и уравнение принимает вид  или  .

Так как  , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:  корней нет.

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем   или   .

Ответ:  .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением.

Пример 4. Решить уравнение: |x² + 2x| – |2 – x| = |x² – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х²  + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х²  + 2х положительна на промежутках (–∞; –2 ) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0 ) она отрицательна (см. рисунок).

 

х²  ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х² ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0 ) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1)   х ≤ ‒2:   х²  + 2х – (2 – х) = х²  ‒ х, х²  + 2х – 2 + х = х²  ‒ х, 4х = 2, х = 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

2)   –2 ≤ x <0:   ‒(х²  + 2х) – (2 – х) = х²  ‒ х, ‒х²  ‒ 2х – 2 + х = х² ‒ х, ‒2 х² = 2, х² = ‒1, решений нет.

3)    0 ≤ x <1:   х²  + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х²  ‒ х), х²  + 2х ‒ 2 + х = ‒х²  + х, 2х²  + 2х – 2 = 0, х²  + х – 1 = 0, √D = √5,
х₁ = (‒1 ‒ √5)/2 и х₂ = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4)    1 ≤ x <2:   х² + 2х – (2 – х) = х² ‒ х, х² + 2х – 2 + х = х² ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5)    х ≥ 2:   х² + 2х –(‒(2 – х)) = х² ‒ х, х² + 2х + 2 ‒ х = х² ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2.

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5. Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1)  3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х₁ = 6, х₂ = ‒2.

2)  3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,  
х₃ = 4 , х₄ = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Проект «Решение уравнений с модулем»

«Решение уравнений с модулем»

Математика

Учебный проект

Тема проекта «Решение уравнений с модулем»

Участники проекта: обучающиеся 11 класса Тюхтин Евгений и Яковлева Светлана

Руководитель проекта: учитель математики Олейникова Г.М.

Содержание:

1. Автор проекта

2. Портфолио проекта

3. Предмет

4. Участники проекта

5. Краткая аннотация проекта

6. Вопросы, направляющие проект

7. Публикация учителя

8. Пример продукта проектной деятельности

9. Критерии оценки проекта

10.Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности.

Краткая аннотация проекта

Проект может быть использован при изучении темы «Решение уравнений с модулем» в 10-11 классах. Применяться при подготовке к единому государственному экзамену.

Данная работа позволяет увидеть различные способы решения уравнений с модулем: по определению, возведение в квадрат, с помощью числовой прямой.

Данный проект позволит обучающимся расширить объем знаний по данной теме, развивать специальные и общеучебные умения.

Цель проекта:

• Развивать коммуникативные способности обучающихся, навыки исследовательской работы.

• Учить обобщать и систематизировать, применять на практике.

Что участие в проекте даст его участникам

После завершения проекта обучающиеся смогут

— знать определение модуля, решать уравнения с модулем по определению;

— решать уравнения с модулем способом возведения в квадрат обеих частей уравнения;

— уметь решать уравнения с модулем, использую числовую ось, определяя знак модуля на промежутках;

— уметь раскрывать знак модуля;

— научаться работать по алгоритму;

— приобретут навыки, умения ориентироваться в информационной среде.

Этапы проекта:

1. Планирование проекта.

2. Поиск информации.

3. Оформление материалов исследования.

4. Защита проекта.

5. Рефлексия.

Ход проекта.

Подготовительный этап:

1. Обсуждение темы проекта

2. Подбор литературы.

Основной этап:

1. Подбор материала

2. Последовательность подачи материала

3. Обсуждение форм представления работы

Заключительный этап:

1. Презентация работы.

2. Подведение итогов, оценивание.

Вопросы, направляющие проект

Основополагающий вопрос

Способы решения уравнений с модулем?

Проблемные вопросы

1. Можно ли решить уравнение с модулем используя определение модуля?

2. Можно ли решить уравнение с модулем используя другие способы решения?

3. Можно ли составить алгоритмы решения уравнения с модулем?

Учебные вопросы

Публикации учителя

Буклет

Публикации обучающихся

Презентация обучающихся:

«Решение уравнений с модулем по определению модуля»

«Решение уравнений с модулем способом возведения в квадрат»

«Решение уравнений с модулем с использованием числовой оси»

Наглядность

Карточки с заданиями

Алгоритм решения

Критерии оценки проекта

1. Самостоятельность работы над проектом

2. Актуальность и значимость темы

3. Полнота раскрытия темы

4. Оригинальность решения проблемы

5. Презентация содержания проекта

6. Использование средств наглядности, технические средства

7. Ответы и вопросы

8. Оформление проекта

Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности:

1. С.М. Никольский «Алгебра и начала математического анализа» изд. Просвещение 2009 г

2. Р.Б. Райхмист «Задачник по математике» изд. «Московский лицей» Москва 2003 г.

3. Е.Е. Калугина «Уравнения, содержащие знак модуля» изд. «Илекса» Москва 2010 г.

infourok.ru

Статья по алгебре: «Современные образовательные технологии и компетентностный подход. Решение уравнений с модулем».

---

Необходимость говорить сегодня о модуле объясняется, во-первых, их популярностью на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, во-вторых, традиционной и незаслуженной «нелюбовью» школьников к задачам с модулями. Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Почему важно уделить этой теме внимание…

Во-первых, модуль очень активно используется в высшей математике.

Во-вторых, модуль носит исследовательский характер (учащиеся проводят классификацию (если в примере есть |а|, то при а ≥ 0 модуль раскрывается как |а|=а и пример принимает один вид, при а

В-третьих, модули приучают учащихся критически оценивать полученные результаты.

В-четвертых, использование модуля во многих случаях позволяет более компактно записывать условие задачи.

В-пятых, модуль можно легко включить в условие практически любого примера из алгебры, тригонометрии, начала анализа, что сразу же повышает рейтинг примера.

Теоретический материал

1. При решении уравнений, содержащих абсолютные величины, применяется метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения:

2. Если уравнение содержит алгебраическую сумму абсолютных величин, то уравнение решается методом интервалов:

1. Находят значения переменных, при которых каждая из абсолютных величин обращается в нуль.
2. Определяют интервалы знакопостоянства выражений, стоящих под знаком абсолютной величины.
3. Данное уравнение равносильно совокупности систем для каждого промежутка знакопостоянства.

Примеры:

1. Х2 – 5 |х| + 6 = 0;
2. 2 |х+1| + |2х – 1| = 3;
3. 2|х +2| — |2х+1 – 1| = 2х+1;
4. (3х – 7) |lg (3x – 4,4)|= 4lg (3x – 4,4).

Пример 1

Х2 – 5 |х| + 6 = 0;

Х ≥ 0

Х2 – 5 х + 6 = 0;

Д = 1.

Х1 = 3 € [0;+∞)

Х2 = 2 € [0;+∞)

Ответ: 3; -3; 2; -2.

Пример 2

2 |х+1| + |2х – 1| = 3;

Х + 1 = 0.                2х – 1 = 0.

Х = -1                х = ½

                                                 

        — 1            ½

1)  (-∞;-1]      -2(х+1) – (2х-1) = 3 Х = -1

2)  (-1; 1/2)       2(х+1) – (2х-1) = 3 Х – любое на данном промежутке т.е. (-1;½)

3)  [1/2; +∞)       2(х+1) + 2х-1 = 3 Х = ½

Ответ: [-1; ½ ]

nsportal.ru