Задачи на движение по окружности

Движение по окружности

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут

следом за ним отправился мотоциклист.Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/

Решение. Пусть х — скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин, а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.

Дальше выражаем минуты в часах.

0,5х — это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.30+0,5х — проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи. Это же расстояние равно 4х*0,5 км.Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5

30+0,5x=2×1,5x=30

x = 20 км/ч — скорость велосипедиста 4·20 = 80 км/ч — скорость мотоциклиста.

Ответ: 20 и 80.

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях — через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.

За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.

Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у — 112х =L (1)

При движении в противоположных направлениях : 16у + 16х = L (2)

40 — 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин : 12(х + у) = 14 (3)

Вычтем из (1) — (2). Получим 96у -128х = 0 — 3у = 4х — х= 3у/4.

Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30 — скорости тел.

Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 — длина окружности.

Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.

Решение.

Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй — за х+2 минуты. Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.

За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:

60·S/x — 60·S/(x+2) = S, разделим обе части на S.

60/x — 60(x+2) =1 — x2 + 2x — 120 = 0 — x=10 (х=–12 не удовл. усл.)

Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12. Ответ: 12.

Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?

Решение. Пусть длина окружности S.

Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе — за минуту S/ (t+3) за 90 минут первое — 90*S/t, второе 90*S/(t+3).

составим уравнение:90S/t = 90S/(t+3) + S

90/t — 90/(t+3) = 1

t2 +3t — 270 = 0

t=15, t=-18 (не подходит)Ответ: 15.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Решение.Изначально расстояние между мотоциклистами равно 20:2 = 10 км.

Пусть второй догонит первого через t часов (первый раз). У первого скорость х км/ч, а у второго х+12 км/ч.

Разница пройденного пути 10 км. t(x+12) — tx = 10 tx +12t — tx = 10

12t = 10; t=10/12 часа = 10*60/12 минут = 50 минут.

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Решение. Пусть второе тело проходит до встречи х км, тогда первое проходит х+100 км. После встречи первое за 9 минут пройдет х метров со скоростью v1=x/9, а второе за 16 минут пройдет х+100 метров со скоростью v2=(х+100)/16.

До встречи время первого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, время второго до встречи х/v2= 16x/(x+100).

Приравняем 9(х+100)/х = 16х/(х+100)

9(х+100)2 = 16х2

3(х+100)=4х

3х+300=4х х=300

Весь путь равен х+х+100=700 Ответ: 700.

Ответ: 50.

Презентация . Задачи на движение по окружности

ЕГЭ-2014 Решение задач

Движение по окружности (замкнутой трассе)

Школа

ЕГЭ

Фабер Галина Николаевна –

учитель математики высшей категории

КМОУ «Гимназия имени Горького А.М.»

Москаленского муниципального района Омской области

v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 . В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше. Показать В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д. Продолжить»

Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно

(v 1 v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 .

В момент, когда 1-й велосипедист

в первый раз догоняет 2-го,

он проходит расстояние на

один круг больше.

Показать

В момент, когда 1-й

велосипедист во

второй раз догоняет

2-го, он проходит

расстояние на два

круга больше и т.д.

Продолжить

1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?

t ,

S,

v,

ч

км

км/ч

1

2

на 15 км меньше (1 круг)

60

х

60х

1 красный

х

80х

80

2 зеленый

Уравнение:

На слайде приводится алгебраический способ решения. Хотя можно решить задачу и арифметическим способом.

1) 80 – 60 = 20 (км/ч) скорость вдогонку. С этой скоростью 2-й автомобиль должен преодолеть расстояние в 1 круг (15 км).

2) 15:20 = 3/4(ч) = 45 (мин).

х получим в часах.

Не забудь перевести в минуты.

Показать

Ответ: 45

3

2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.

Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

t ,

S,

v,

1

2

км

км/ч

ч

2

2

90

90

1 автомоб.

на 10 км больше (1 круг)

3

3

2

2

х

х

3

3

2 автомоб.

Уравнение:

Задачу можно решить другим способом.

1) 90*(2/3) = 60 (км) проехал первый автомобиль за 40 мин. Это на 1 круг больше, чем расстояние, которое прошел второй автомобиль.

2) 60 – 10 = 50 (км) проехал второй автомобиль за 40 мин.

Чтобы найти скорость второго автомобиля разделим пройденный им путь 50 км на время 40 мин (ч).

3) 50 : (2/3) = 75 (км/ч)

Ответ: 75 км/ч скорость второго автомобиля.

Показать

Ответ: 75

4

v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 . В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на половину круга больше Скорость одного на 21 км/ч больше скорости второго – это означает, что скорость в вдогонку 21 км/ч. Узнаем, за какое время он ликвидирует разницу в 7 км (именно такое расстояние между ними изначально – пол круга от 14 км всей трассы). 7 : 21 = 1/3 (ч) Осталось перевести 1/3 ч в минуты – это 20 мин. Надо понимать, что за эти 20 минут мотоциклист проедет не 7 км(!), а может больше круга. Показать . 4″

Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы со скоростями v 1 и v 2 соответственно

(v 1 v 2 соответственно), то 1-й велосипедист приближается ко 2 со скоростью v 1 – v 2 .

В момент, когда 1-й велосипедист

в первый раз догоняет 2-го,

он проходит расстояние

на половину круга больше

Скорость одного на 21 км/ч больше скорости второго – это означает, что скорость в вдогонку 21 км/ч.

Узнаем, за какое время он ликвидирует разницу в 7 км (именно такое расстояние между ними изначально – пол круга от 14 км всей трассы).

7 : 21 = 1/3 (ч)

Осталось перевести 1/3 ч в минуты – это 20 мин.

Надо понимать, что за эти 20 минут мотоциклист проедет не 7 км(!), а может больше круга.

Показать

.

4

3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного

из них на 21 км/ч больше скорости другого?

t ,

S,

v,

ч

км

км/ч

х

t

на 7 км меньше (половина круга)

tх

1 красный

t

t(х+21)

х+21

2 синий

Уравнение:

t получим в часах.

Не забудь перевести в минуты.

Скорость одного на 21 км/ч больше скорости второго – это означает, что скорость в вдогонку 21 км/ч.

Узнаем, за какое время он ликвидирует разницу в 7 км (именно такое расстояние между ними изначально – пол круга от 14 км всей трассы).

7 : 21 = 1/3 (ч)

Осталось перевести 1/3 ч в минуты – это 20 мин.

Надо понимать, что за эти 20 минут мотоциклист проедет не 7 км(!), а может больше круга.

Сколько кругов проехал

каждый мотоциклист

нам не важно. Важно, что синий проехал до точки встречи на половину круга больше, т.е. на 7 км.

Показать

Ответ: 20

.

6

старт

финиш

4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?

Показать

Пусть полный круг – 1 часть.

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

7

4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?

Это условие поможет ввести х …

t ,

v,

S,

Сначала выразим скорость каждого лыжника. Пусть за х мин 1-й лыжник проходит полный круг. Второй на 2 минуты больше, т.е. х+2.

мин

часть/мин

часть

1

х

1

1 лыжник

х

1

х+2

1

2 лыжник

х+2

t ,

S,

v,

мин

км

круг/мин

1

60

на 1 круг больше

60

1 лыжник

х

х

1

60

60

2 лыжник

х+2

х+2

60

60

– = 1

х

х+2

Ответ: 10

8

5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч , и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

1

2

S,

t ,

v,

км/ч

км

ч

2

2

на 14 км больше (1 круг)

80

80

1 желтый

3

3

2

2

х

х

3

3

2 синий

Уравнение:

1) 80 *(2/3)= 160/3=53(1/3) (км) проехал первый автомобиль за 40 мин. Это на 1 круг больше, чем расстояние, которое прошел второй автомобиль, т.е. на 14 км.

2) 53(1/3) – 14 = 39(1/3) (км) проехал второй автомобиль за 40 мин.

Чтобы найти скорость второго автомобиля разделим пройденный им путь 50 км на время 40 мин (ч).

3) 39(1/3) : (2/3) = 59 (км/ч)

Ответ: 59 км/ч скорость второго автомобиля.

Можно было сначала найти скорость вдогонку: 80 – х

Тогда уравнение будет выглядеть так:

t

=

v

S

Показать

Нажать на кнопку можно несколько раз. Сколько кругов проехал каждый автомобиль нам

не важно. Важно, что желтый автомобиль проехал на 1 круг больше, т.е. на 14 км.

Ответ: 59

9

5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч , и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

1

2

S,

t ,

v,

км/ч

км

ч

2

2

на 14 км больше (1 круг)

80

80

1 желтый

3

3

2

2

х

х

3

3

2 синий

Уравнение:

1) 80 *(2/3)= 160/3=53(1/3) (км) проехал первый автомобиль за 40 мин. Это на 1 круг больше, чем расстояние, которое прошел второй автомобиль, т.е. на 14 км.

2) 53(1/3) – 14 = 39(1/3) (км) проехал второй автомобиль за 40 мин.

Чтобы найти скорость второго автомобиля разделим пройденный им путь 50 км на время 40 мин (ч).

3) 39(1/3) : (2/3) = 59 (км/ч)

Ответ: 59 км/ч скорость второго автомобиля.

Можно было сначала найти скорость вдогонку: 80 – х

Тогда уравнение будет выглядеть так:

t

=

v

S

Показать

Нажать на кнопку можно несколько раз. Сколько кругов проехал каждый автомобиль нам

не важно. Важно, что желтый автомобиль проехал на 1 круг больше, т.е. на 14 км.

Ответ: 59

10

6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость мотоциклиста,

если длина трассы равна 30 км.

Ответ дайте в км/ч.

1 встреча. Велосипедист был до 1 встречи 40 мин (2/3 ч), мотоциклист 10 мин (1/6ч). А расстояние за это время они проехали равное.



v,

t ,

S,

км/ч

км

ч

1

1

х

х

1 мотоцик.

6

6

=

Можно составить уравнение и иначе.

2

2

у

у

3

3

2 велосип.

1 уравнение:

Показать

11

6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км.

Ответ дайте в км/ч.

2 встреча. Велосипедист и мотоциклист были в пути

до 2-й встречи 30 мин (1/2 ч).

А расстояние за это время мотоциклист проехал на 1 круг больше.



v,

S,

t ,

км/ч

км

ч

1

1

х

х

на 30 км больше (1 круг)

1 мотоцик.

2

2

Можно составить уравнение и иначе.

1

1

у

у

2

2

2 велосип.

2 уравнение:

Искомая величина – х

Показать (2)

Ответ 80

12

7. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

В первый раз минутной стрелке надо

пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку.

Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.

В 3-й раз – еще на 1 круг больше.

В 4-й раз – еще на 1 круг больше.

Всего

2

3

1

3

2

3

2

3

на круга больше

3

t ,

S,

v,

круг/ч

круг

ч

2

Минутная стрелка догоняет часовую один раз в час. Последний, четвертый раз догонит в 12:00, т.е. через 4 часа, или 240 минут.

3

1х

х

1

на круга больше

минутная

3

1

1

х

х

12

12

часовая

2

1

1х – =

х

3

3

12

Ответ: 240 мин

13

Проверка

В первый раз минутной стрелке надо

пройти на круга больше, чтобы догнать минутную стрелку.

Во 2-й раз – еще на 1 круг больше.

В 3-й раз – еще на 1 круг больше.

В 4-й раз – еще на 1 круг больше.

Всего

2

3

12

11

1

2

10

2

3

на круга больше

3

3

9

Минутная стрелка догоняет часовую один раз в час. Последний, четвертый раз догонит в 12:00, т.е. через 4 часа, или 240 минут.

4

8

5

7

6

Показать (4)

Другой способ – в комментариях.

14

№ 99599.

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

П. А

Путь мотоциклиста и путь велосипедиста

равны, велосипедист проехал 40 мин,

мотоциклист проехал 10 мин.

Догнал через10 мин

Через 30 мин

30 мин

Решение.

Так как мотоциклист догнал велосипедиста через 10 минут, то их пути равны.

x км/ч – скорость вел., y км/ч – скорость мот.

Длина трассы 30 км, т.к. мотоциклист догнал второй раз велосипедиста , то они за 30 мин прошли S км, тогда путь мотоциклиста за 0,5 ч –( S+30), а у велосипедиста S км.

Значит путь мотоциклиста равен 30+10=40 км .

v(мот)= 40:0,5=80 км/ч

Ответ: 80 км/ч

№ 99596.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Один из них проехал на половину круга

больше, то есть на 7 км больше.

Через сколько минут они

Поравняются в первый раз?

Решение.

Один из них проехал на половину круга больше, то есть

Ответ: 20 минут

Решение задач по теме «Кинематика». Видеоурок. Физика 10 Класс

Первая задача, которую мы рассмотрим, будет посвящена равномерному движению вдоль одной оси. Эта задача будет связана с относительностью движения тел.

Условие:

Из точки  в точку  и обратно движется вертолет. В первый раз из точки  в точку  и обратно он летит в безветренную погоду. А второй раз он летит уже при ветре, направление которого совпадает с направлением первоначального движения, то есть из точки  в точку . В каком случае – в первом, когда безветренная погода, или во втором случае, когда есть ветер – вертолет затратит больше времени на преодоление этого расстояния?

Решение:

Обозначим скорость вертолета как , а скорость ветра – . А расстояние из точки  до точки  обозначим буквой . В результате нам надо исследовать, во сколько раз время  будет больше, чем время . То есть найти отношение .

Чтобы найти время , то есть время, за которое вертолет летит из точки  в точку  и обратно в безветренную погоду, мы запишем следующее выражение:

 – это время полета из точки  в точку , а  – время полета из точки  в точку , когда вертолет летит обратно.

Учитывая, что движение равномерное, можно записать:

Рассмотрим теперь второй случай. Запишем выражение для времени полета  из точки  в точку  и обратно при наличии ветра:

 – это время полета из точки  в точку  при условии, что ветер дует по направлению движения вертолета.  – это время полета при условии, что ветер дует против направления движения вертолета.

Обратите внимание, что время  определяется как , поскольку скорости направлены в одну сторону. А  определяете как . То есть ветер тормозит движение вертолета, замедляет его движение, поэтому в данном случае мы берем разность скоростей (рис. 1).

Рис. 1. Направление скоростей вертолета и ветра

Обратите внимание на то, что если бы скорость ветра была больше скорости вертолета, то время получилось бы отрицательным, а это значит, что вертолет обратно бы никогда не прилетел.

Сложим полученные выражения:

Найдем отношение  к :

Видно, что числитель больше, чем знаменатель, значит, отношение будет больше единицы . Следовательно, можно говорить о том, что время полета в первом случае меньше времени полета во втором случае. Так что при наличии ветра вертолет будет в любом случае двигаться медленнее и затратит большее количество времени.

Также эту задачу можно было решить другим способом, с помощью вычисления средней скорости.

Ответ: .

Вторая задача связана с равнопеременным движением вдоль прямой. То есть движение будет с постоянным ускорением.

Условие:

Материальная точка движется вдоль прямой согласно уравнению . Определите пройденный путь  этой точкой за  секунды.

Решение:

Сравним уравнение Галилея  с уравнением движения данной материальной точки.

Рассматривая эти два уравнения, можно сделать вывод, что . Точка начинает свое движение из начала координат. Начальная скорость – это величина, которая стоит перед буквой . В нашем случае начальная скорость будет равна . Обратите внимание, что эта скорость положительна и, следовательно, тело начинает движение вдоль оси  в том же самом направлении, что и сама ось .

Рассматривая ускорение, мы можем записать следующее: . Это означает, что ускорение равно . В данном случае знак минус говорит о том, что ускорение направлено против оси . Движение является замедленным (рис. 2).

Рис. 2. Направление скорости и ускорения материальной точки

Также мы можем записать уравнение скорости .

Для определения пройденного пути необходимо исследовать траекторию движения.

Итак, для того чтобы исследовать траекторию движения тела, нужно определить, в какой же точке произойдет остановка тела, то есть скорость тела будет равна нулю. Для этого в уравнение скорости подставим конечную скорость, равную нулю, и получим время .

То есть это означает, что тело через 2,5 секунды остановится. Определим координату точки, в которой тело остановится:

То есть, пройдя расстояние 1,25 метра, тело остановилось.

Следующий шаг, который мы должны сделать для исследования траектории, это определить конечную координату, то есть координату тела по истечении 4 секунд движения.

То есть координата точки в конце движения составит .

Обратите внимание на то, что если бы мы сразу определили конечную координату, то, следуя формуле, мы должны были бы сказать, что тело прошло 0,8 метра, хотя это совсем не так. Ведь  – это проекция перемещения. Она совпадает с пройденным путем только в том случае, если направление скорости не изменяется, а в нашей задаче направление скорости через 2,5 секунды меняется на противоположное.

Итак, траектория движения тела является ломаной линией. Тело первые  секунды двигалось в одну сторону, затем оно остановилось и при сохранении ускорения начало движение в противоположную сторону (рис. 3).

Рис. 3. Пройденный путь материальной точки

Пройденный путь определяется:

Ответ: .

Третья задача посвящена равномерному движению по окружности, то есть движению по окружности с постоянной скоростью.

Условие:

Имеется вращающийся с постоянной скоростью диск некоторого радиуса. При этом крайние точки этого диска обладают линейной скоростью . А точки, которые располагаются на  ближе к центру вращения, обладают скоростью . Необходимо определить центростремительное ускорение крайних точек этого диска (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче № 3

Решение:

Угловая скорость всех точек на этом вращающемся теле будет одинакова, поэтому для крайних точек мы записываем уравнение:

Аналогично для точек, которые смещены к центру, можно записать:

Разница радиусов равна:

Отсюда можно выразить :

Исходя из того, что угловая скорость одинакова для всех точек, можно записать:

Решая это уравнение, мы можем найти радиус траектории крайних точек:

Криволинейное движение. Кинематика — 10 класс

Криволинейное движение. Кинематика — 10 класс

Кинематика — это просто!

Описание движения тела считается полным тогда, когда известно, как движется каждая его точка.
В общем случае любое сложное движение твердого (недеформированного) тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного. Поступательное движение — если любая прямая, проведенная внутри тела, движется параллельно самой себе.
При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости, ускорения, перемещения и траектории.
Поступательное движение может быть и криволинейным.

Для описания поступательного движения тела достаточно составить уравнение движения одной из его точек, тогда расчеты упрощаются.

При криволинейном движении тело движется по криволинейной траектории.
В общем случае криволинейная траектория — это совокупность участков дуг окружностей разного диаметра.
При криволинейном движении векторы скорости и ускорения не направлены вдоль одной прямой.

Частным случаем криволинейного движения является равномерное движение по окружности.

Равномерное движение точки по окружности

Движение по окружности является простейшим видом криволинейного движения.

При равномерном движении точки по окружности:
Скорость движения V по окружности называется линейной скоростью,
Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней.

В каждой точке траектории вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности.
Такое ускорение называется центростремительным ускорением.

Модуль центростремительного ускорения равен:

где
а_ц — центростремительное ускорение, [м/с2];
υ — линейная скорость, [м/с];
R — радиус окружности, [м].

Путь, пройденный точкой, равномерно движущейся по окружности, за какой-либо отрезок времени t равен:

За один полный оборот по окружности, т.е. за время, равное периоду Т, точка проходит путь, равный длине окружности
При этом линейная скорость точки равна:

Вектор скорости и вектор центростремительного ускорения всегда взаимно перпендикулярны.
Скорость и ускорение остаются постоянными по модулю, но меняют свое направление.

Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением, так как ускорение непрерывно изменяется по направлению.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

При вращательном движении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности с центром на оси вращения тела.

Каждая точка имеет свою скорость, ускорение и перемещение.

Характеистики вращательного движения

1. Угловая скорость — это отношение угла поворота ко времени, за который он совершается.
Буквенное обозначение угловой скорости — омега.

где единицы измерения

Если тело движется равномерно, то любая точка этого тела за один и тот же отрезок времени поворачивается на один и тот же угол.

2. Частота вращения — это число оборотов в единицу времени.

где

3. Период вращения — это время одного полного оборота.

4. При вращении полный оборот составляет
тогда

5. Линейная скорость — это скорость точки, движущейся по окружности.
Каждая точка вращающегося тела имеет свою линейную скорость.

Связь между угловой и линейной скоростью

6. Ускорение — направлено по радиусу к центру окружности, меняется по направлению.

Чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость и ускорение.

Кинематика — Класс!ная физика

Прямолинейное равномерное движение и решение задач — Закон сложения скоростей и решение задач — Движение с постоянным ускорением и решение задач — Свободное падение — Движение тела, брошенного под углом к горизонту — Решение задач. Тело, брошенное под углом к горизонту — Криволинейное движение