Решение задач с помощью кругов эйлера 7 класс – Творческая работа учащихся по алгебре (7 класс) на тему: Исследовательская работа «Решение логических задач с помощью кругов Эйлера» Булгаковой Кристины , 7-б класс МАОУ «СОШ с УИОП № 14» — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 12.09.202031.12.2019 by alexxlab

Содержание

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давыдова В.А. 1

1ГБОУ СОШ № 5 «ОЦ «Лидер» г. о. Кинель

Маеренкова В.В. 1

1ГБОУ СОШ № 5 «ОЦ «Лидер» г. о. Кинель

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

1. Введение

Во все времена представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов.

Выбор объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав [3].

Гипотеза: показать, что решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера имеет практическое применение.

Проблема: как решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера помогают в изучении математики и в жизни.

Цель работы: показать широту применения решений комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера для привития интереса учащихся к математике.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения науки комбинаторики;

Научиться составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера;

Применять полученные знания в дальнейшем обучении;

Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни;

Работать с научно-познавательной литературой, анализировать, делать выводы;

Создать собственный банк задач.

Актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения комбинаторных задач на уроках математики, применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни. Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

2. Основная часть

2.1 Решение задач с помощью кругов Эйлера

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью [4].

Круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстри-рует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы [3].

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна

[2].

Задача №1

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки и по русскому языку. Сколько людей учатся без «троек»? Сколько людей имеют «тройки» по двум из трёх предметов? [1] Приложение1, Рис. 1

Дальнейшие расчёты не составляют труда.

40-(4+4+11+4+6+2+5)=4 человек учатся без «троек»

6+4+2=12 человек имеют «тройки» по двум предметам

Ответ: 4 человек учатся без «троек», человек имеют «тройки» по двум предметам.

Задача №2

В небольшом городке NN живут 10000 человек. Недавно среди них был проведён опрос «какие машины вам нравятся больше всего?». Результат был таким: 5 000 людям нравятся отечественные машины, 6 000 людям иностранные машины, а 7 тысяч довольны и общественным транспортом. 2000 людям нравятся отечественные машины, но при этом готовы поездить на автобусах. 4000 предпочитаю иностранные машины и автобусы. 2500 людей любят и отечественные и иностранные машины. И только 1000 человек всем довольны. Сколько человек участвовало в опросе? [1]

Решение:

2000 – 1000 = 1000 людей любят только отечественные машины и автобусы

4000 – 1000 = 3000 людей любят только иностранные машины и автобусы

2500 – 1000 = 1500 людей любят и отечественные, и иностранные машины

5 000 людям нравятся отечественные машины, но при этом 1000+1500+1000=3500 людей предпочитают и другие машины, следовательно только отечественные авто любят 500 человек. Также иностранные машины предпочитают 500 людей, а автобусы – 2000 человек. Теперь находим общее количество людей.

3000+1000+500+2000+1000+500+1000=9000 человек

Ответ: 9000 человек участвовали в опросе.

Приложение 1, РИС. 2

Задача №3

На стройке работают 30 рабочих. 17 рабочих строят обувной магазин, 20 рабочих строят парикмахерскую. Сколько рабочих работают на обоих объектах?

Решение:30 – 17= 13 людей строят только обувной магазин. Теперь от 20 отнимем 13 и найдём, что и там, и тут работают только 7 человек. [1] Приложение 1, Рис.3

Задача № 4

Часть туристов разговаривает на английском, а часть на немецком. Английский – 90%, немецкий — 60%. Сколько учеников в классе изучают сразу два языка.

Решение: от всего класса (100%) отнимем английских туристов (90%), получим туристов говорящих только по-английски (10%). А теперь от всех, изучающих немецких (60%), отнимем эти 10%. Получим говорящих на обоих языках (50%).[1]

Приложение 2, Рис.4

Задача №5

В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику.

Сколько человек не посещают кружки?

Решение:

19-1=18

10-1=9

30-(18+9+1)=2 человека не посещают ни математику, ни русский.

Приложение 2, Рис.5

Задача № 6

Из 90 детей на футбол ходят 35 детей, на волейбол 28 и на баскетбол 27 детей. На футбол и волейбол ходят одновременно 10 детей, на футбол и баскетбол – 8 детей, на волейбол и баскетбол — 5, на все три – 4. Сколько детей никуда не ходят? [1]

Решение:

10-4=6 ходят на футбол и волейбол

8-4=4 ходят на футбол и баскетбол

5-4=1 ходят на волейбол и баскетбол

На футбол ходят 35 детей, но 4+4+6=14 из них ходят и на другие секции, следовательно, только на футбол ходят 21 ребёнок. Аналогично получаем, что на волейбол ходят 17, а на баскетбол 18. По условию задачи всего 90 детей. 21+17+18+1+4+6+4=71 детей ходят хотя бы на одну секцию, следовательно, 19 детей никуда не ходят.

Приложение 2, Рис. 6

Задача № 7

100 шестиклассников участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие пирожки нравятся им нравятся больше: с мясом, с капустой и картошкой. В результате 20 опрошенных выбрали с мясом, 28-с капустой, 12 с картошкой. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение пирожкам с мясом и капустой, 6-учеников-с мясом и картошкой, 4 ученика с капустой и картошкой, а 9 ребят совершенно равнодушны к пирожкам. Некоторые из школьников ответили, что одинаково любят и мясом, и картошкой, и капустой. Сколько таких ребят? [1]

Решение:

Пусть X – искомое число учеников, любящие все виду пирожков. Тогда: 20+28+12+13+6+4+9+Х=100 Х=6 Приложение 3, Рис. 7

Задача №8

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. [1]

Приложение 3, Рис. 8

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4– равнозначны и ответы на них совпадают.

Задача №9.

Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%? [1]

Решение.

Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.

Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.

Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.

Задача №10.

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? [1] Приложение 3, Рис. 9

Решение.

Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.

в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задача №11.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта? [1]

Решение.

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Приложение 4, Рис. 10

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом – (10 – х) человек, только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Я проводила опрос среди учащихся 7-х классов. В опросе принимали участие 87 человек.

Результаты социологического опроса представлены на диаграмме. Приложение 5.

Из результатов диаграммы видно, что хотели научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера около 80 % учащихся.

2.3 Сборник задач по комбинаторике

Жена попросила своего мужа купить лук, капусту и морковь. Какими различными способами муж мог совершить покупку?

Записанный номер телефона из пяти цифр (5, 3, 4, 7, 2) оказался неверным. Необходимо определить варианты номера телефона.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,8 используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Сколько всевозможных вариантов pin-кода надо перебрать, чтобы среди них наверняка был и забытый?

Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Иванов, Петров, Сидоров и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составьте все возможные трёхзначные числа из указанных цифр,

используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

1, 3, 6, 8.

У Арины пять подруг: Катя, Юля, Лиза, Алёна и Таня. Она решила пригласить двух из них в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

В школьных кружках занимаются 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

58 человек ежедневно добираются на работу общественным транспортом: на автобусе, на трамвае или на метро. Каждый пользуется хотя бы одним из видов транспорта. 42 человека из них используют метро, 32 – трамвай, 44 – автобус. 21 человек из них используют метро и трамвай, 31 – метро и автобус, 22 – трамвай и автобус. Сколько среди них человек, которые используют все три вида транспорта, чтобы добраться на работу?

В 6 А классе 15 человек. В кружок «Эрудит» ходят 5 человек, в кружок «Путь к слову» 13 человек, спортивную секцию посещают 3 человека. Причем 2 человека посещают кружок «Эрудит» и кружок «Путь к слову», «Эрудит» и спортивную секцию, спортивную секцию и «Путь к слову». Сколько человек посещают все три кружка?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 — и микроволновку, и телевизор, 15- холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

В поход ходили 80 % учеников класса, а на экскурсии было 60 %, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?

В нашем классе 24 ученика. Все они хорошо провели зимние каникулы.10 человек катались на лыжах, 16 ездили на каток, а 12 — лепили снеговиков. Сколько учеников смогли покататься и на лыжах, и на коньках, и слепить снеговика?

9 моих друзей любят бананы, 8 – апельсины, а 7 – сливы, 5 – бананы и апельсины, 3 – бананы и сливы, 4 – апельсины и сливы, 2 – бананы, апельсины и сливы. Сколько у меня друзей?

В пионерском лагере «Дубки» в смене актива отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. 10 человек были и отличниками и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличники, и спортсмены, и победители олимпиад. Сколько ребят отдыхали в лагере?

У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро — собак. И только у двоих есть и те и другте. Угадайте, сколько у меня подруг?

В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

Во дворе стоят машины. Некоторые из них — москвичи, а остальные — жигули. Некоторые из машин красные, а остальные белые. Некоторые из машин новые, а остальные — старые. Известно, что красных москвичей — 3, новых москвичей — 4, а новых красных машин — 5. При этом старых белых москвичей — 2, новых белых жигулей — 1, а старых красных москвичей вообще ни одного. Сколько во дворе новых красных москвичей, если всего машин 21, а старых белых жигулей — 6.

В результате выполнения проектной работы был создан задачник, который состоит из 23 задач и по теории вероятности, и по комбинаторике.

Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из множества данных. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что решение задач подчиняется одному и тому же способу. Для решения задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, был составлен алгоритм, состоящий из следующих этапов:

• Записываем краткое условие задачи.

• Выполняем рисунок.

• Записываем данные в круги (или в диаграмму Эйлера).

• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.

• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы).

• Записываем ответ.

Логические задачи заставляют думать, рассуждать, составлять цепочку действий, последовательность, учат алгоритмизации, что немаловажно в современной жизни. А исследовательские работы учат искать информацию из различных источников (включая и интернет) и обрабатывать её, учат находить из большого материала лишь тот, который необходим.

На уроках математики мы решали эти задачи, некоторые из них вызывали у нас затруднение.

3. Заключение

Диаграммы Эйлера — это общее название целого ряда способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях математики: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки, и др. Применение кругов Эйлера позволяет даже пятикласснику легко решать задачи, которые обычным путем решаются только в старших классах.

Моя работа заключалась в том, чтобы узнать подробнее об одном из разделов математики — комбинаторике. Я постаралась выяснить, какие комбинаторные методы применяются в наше время. Научилась составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера. В школьных учебниках мало комбинаторных задач. А ведь они включены в олимпиадные задания, ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому мне захотелось помочь учителям и ребятам в изучении данной темы. Я надеюсь продолжить работу над этой темой, разработать уже задачи для учащихся старших классов. Самое главное я считаю, что своей работой я заинтересовала и учащихся нашей школы, и учителей. Ведь придумывая самостоятельно задачи, ребята будут развивать в себе еще логическое мышление и творческие способности.

Список использованной литературы

Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. М.: Просвещение, 1984– 286с

Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989. – 352с.

http://ru.wikipedia.org

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Задачи № 1, № 2, № 3

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Задачи № 5, № 6

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Задачи № 7, № 8, № 10

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Задача № 11

Рис. 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Результаты социологического опроса

Просмотров работы: 2000

school-science.ru

Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера Венна

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты?Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение задачи №1

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги = А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800

Задача №2

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Пироженое & Выпечка

5100

Пироженое

9700

Пироженое | Выпечка

14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка = А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400

Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

спаниели | (терьеры & овчарки)

спаниели | овчарки

спаниели | терьеры | овчарки

терьеры | овчарки

Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастанияколичества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

барокко | классицизм | ампир

барокко | классицизм & ампир

классицизм & ампир

барокко | классицизм

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

infourok.ru

Разработка урока по тему «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Задачи занятия:

Образовательные:

рассмотреть решение логических задач с помощью кругов Эйлера.

Развивающие:

развитие логического мышления;

развитие поисковой, творческой, познавательной деятельности;

развитие познавательного интереса к предмету;

Воспитывающие:

формирование эстетического наслаждения от выполненной работы;

формирование навыков само- и взаимоконтроля.

Оборудование:

набор задач каждому ученику;

компьютер, проектор;

презентация.

Ход занятия:

Организационный момент.
Всё то что мы изучили раннее используем при решении задач. ( слайд 2—5)
Зачем нужны круги Эйлера? (слайд 6)

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера

Изучение нового материала.

Задача 1. (слайд 7,8)

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают

Задача №2: (слайд 9,10)

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3.

Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек.

В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек

В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2.

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.

Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.

Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком

Задача 3.( слайд 11,12) ( самостоятельно парами)

Решение.

Пусть
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.

Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек

Задача 4°

Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?

Получим уравнение: 75+83-х=90

158-х=90

х=68

Задача 4. (слайд 16,17,18)

Решение.

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Отрабатывание навыков решения задач.

Решение примеров

Урок 1: №

Урок 2: №

Д/З: Урок 1: п. 9.3, №

Урок 2: №

infourok.ru

Логические задачи и круги Эйлера.

Логические задачи и круги Эйлера.

Бородовицына Татьяна Константиновна

МБОУ СОШ №44, 8 класс

Введение.

Как узнать количество учащихся класса, посещающих одновременно две или три секции, если известны количества участников каждой секции отдельно? Можно ли научиться решать такие задачи? Конечно, можно. И помогут в этом круги Эйлера. Применение кругов Эйлера придает задачам алгебры наглядность и простоту. Круги Эйлера с успехом применяются в логических задачах. Логические задачи позволяют использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, такие задачи труднее, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, упрощает и облегчает путь к её решению. Данная тема расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении различных задач. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, часто предлагаются в математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. «Изучение трудов Эйлера остается лучшей школой в различных областях математики и не может быть заменено ничем другим» говорил Карл Гаусс. Поэтому я считаю данную тему весьма актуальной. Актуальность работы состоит в том, что задачи имеют практический характер

Леонард Эйлер – великий математик.

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившей в швейцарском городке Базеле. Начальное обучение Эйлер получил под руководством отца, который готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой. В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет был удостоен ученой̆ степени магистра. В 19 лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики.

В 1726 был приглашён в Петербургскую Академию наук. В 20 лет стал членом Петербургской̆ академии наук. В 23 года — профессор физики, в 26 — Леонард Эйлер получает кафедру высшей̆ математики в должности академика. За этот период написал более 90

крупных научных работ по математике, гидравлике, архитектуре, навигации, картографии, механике. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

Летом 1741 Леонард Эйлер переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический̆ класс в Берлинской̆ Академии наук и словесности в должности директора Математического департамента, где проработал около 25 лет, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии наук.

1766 г. Леонард Эйлер по приглашению Екатерины II снова возвращается в Россию, в Петербург. Вскоре после возвращения Эйлер перестал видеть. Но это не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. Эйлер активно трудился до последних дней. В1783году был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет.

Великий̆ ученый ̆Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. Автор множества работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других работ, оказавших значительное влияние на развитие всемирной науки. С точки зрения математики, XVIII век это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Немного о множествах

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, набор и т.д. Формулировка Бертрана Расселла: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или являются его элементами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множество может быть задано перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Такое множество называют конечным. Мы будем рассматривать только конечные множества. Множество, в котором нуль элементов, называют пустым.

Часто множество изображают кругами, эти круги называют «кругами Эйлера». А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги

очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна. Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим некоторые из них: пересечение, объединение и разность.

Пересечение множеств — новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно нескольким множествам.

Возьмем множество А, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество В, состоящее из букв г, д, е, ж: Эти множества имеют общие элементы гид. Множества А и В называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств и обозначают: .

Пусть множество С = {р, м, к}. Множества А и С не имеют ни одного общего элемента. В этом случае множества А и С называются непересекающимися множествами.

Объединение множеств — новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначают с помощью знака: .

Разность множеств — это множество всех элементов из А, не являющихся элементами из В. Разность обозначают:

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.

Задача. «Дано множество: А = {–2; 0,8; 15; –36; 0; 4; -2,1}. Нарисуйте круги Эйлера множеств N, Z, Q и отметьте элементы множества А».

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера.

1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств.

Задача1. «Некоторые ребята из нашего класса посещают спортивные секции. Известно, что 12 ребят занимаются плаванием, 9 человек – футболом, из них 6 занимаются плаванием и футболом. Сколько человек в классе спортом?»

Сначала заполняем пересечение: П Ф = 6. Потом заполняем множество ребят, которые занимаются плаванием. Это будет число 6. После заполняем множество ребят, занимающихся футболом. Это будет число 3. Всего: 6+6+3=15 человек. П Ф = 15.

Ответ: 15 человек занимаются спортом.

Задача2. «Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой?»

П К = 100.

100-87=13 человек смотрели только комедию.

63-13=50 человек смотрели комедию и приключенческий фильм.

Ответ: 50 человек.

Задача3. «Английский язык знают 20 человек нашего класса, немецкий язык – 10 человек, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько всего человек в классе?»

С помощью «Кругов Эйлера» А Н = 5.

1) 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;

2) 10 – 5 = 5 (чел.) – знают только немецкий язык;

3) 15+5+5 = 25 (чел.) – всего. А Н = 25.

Ответ: 25 человек в классе.

Задача4. «На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и прямоугольник площадью 55 см2. Площадь их пересечения равна 30 см2. Не занятая часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа».

К П = 30 см2; К \ П = 48 см2; П \ К = 25 см2;

150+48+30+25= 253

Ответ: площадь листа 253 см2.

2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств

Задача1. «Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на лыжах умеют 30 ребят, на коньках — 28, на роликах — 42. На лыжах и на коньках умеют кататься 8 ребят, на лыжах и на роликах — 10, на коньках и на роликах — 5, а на всех трех — 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на коньках, ни на лыжах, ни на роликах?»

9+12+24 = 45 детей катаются только на лыжах, коньках, роликах.

8+10+5=23 человека катаются на двух видах.

45+23+3= 71 человек умеет кататься.

100-71=29 детей не умеют кататься.

Ответ: 29 ребят не умеют кататься ни на коньках, ни на лыжах, ни на роликах

Задача2. «В классе 32 человек. Из них 10 играют в баскетбол, 15 — в хоккей, 20 — в футбол. Увлекаются двумя видами спорта — баскетболом и хоккеем — четверо, баскетболом и футболом — трое, футболом и хоккеем — пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?»

Большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Фигура А, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним видом спорта – баскетболом занимаются: 10 — (4 + а + 3) = 3 — а;

только хоккеем: 15 — (4 + а + 5) = 6 — а;

только футболом: 20 — (3 + а + 5) = 12 — а;

Составляю уравнение, зная, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе показаны на рисунке:

3 + (3 — а) + (6 — а) + (12 — а) + 4 + 3 + 5 + а = 32,

а = 2.

Всеми тремя видами спорта увлекаются двое ребят.

Складывая числа 3 — а, 6 — а и 12 — а, где а = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 15 человек.

Ответ: Тремя видами спорта увлекаются двое ребят, одним видом спорта: 15 человек.

Задач 3. «В классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает один язык?»

При решении удобно применить составление уравнения по условию задачи, а круги Эйлера наглядно показывают решение.

Н = 6, А + Н = 34, Ф + Н = 25, Ф + Н = а, А + Н = а + 3

Изучают только английский: 25 — 2а, только французский: 16 -2а.

Составлю уравнение: 25 — 2а + 6+ 16 — 2а + а + 3 + а = 40;

а=5

Ответ: английский язык – 15 человек, французский язык – 6 человек.

Алгоритм решения логических задач определённого вида с помощью кругов Эйлера

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок, он делает решение простым и наглядным. Использование кругов Эйлера удобно, потому что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными становятся проще. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы.

Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из следующих этапов:

Записать краткое условие;
Выполнить рисунок;
Записать данные в круги Эйлера;
Анализировать, рассуждать и записывать результаты в части круга;
Записать ответ;

Подобные задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Последовательность действий при решении задач

на пересечение и объединение двух множеств с помощью кругов Эйлера

Начертить два пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B.
Начертить большой круг, в котором окажутся два маленьких. Это общее количество объектов – множество D.
Начертить отдельное множество –множество С. Это те, кто не является элементом множеств А, В.
Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и записать данные.
Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:

№2 = А – №1, №3 = В – №1 .

Должно выполняться: №1 + №2 + №3 + С= D
Записываем ответ на вопрос задачи.

Последовательность действий при решении задач

на пересечение и объединение трёх множеств с помощью кругов Эйлера

Начертить три пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B, C.
Начертить большой круг, в котором окажутся три маленьких. Это общее количество объектов – множество Е.
Начертить отдельное множество D – подмножество множества E. Это те, кто не является элементом множеств А, В и С.
Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и записать данные.
Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №2) и записать данные в №2.
Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №3) и записать данные в №3.
Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №4) и записать данные в №4.
Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:

№5 = А – (№1 + №2 + №4), №6 = В – (№1 + №2 + №3), №7 = С – (№1 + №3 + №4).

Должно выполняться: №1 + №2 + №3 + №4 + №5 + №6 + №7 + D = E
Записываем ответ на вопрос задачи.

Результаты работы.

Поиск готовых способов решения выделенных логических задач, самостоятельное описание способа действий при использовании кругов Эйлера для их решения, а также попытки рассмотрения другой формы представления данных условия позволили решить поставленные задачи.

В процессе изучения данной темы, я научилась грамотно оперировать такими понятиями как «множество», «объединение множеств», «пересечение множеств», «разность множеств» и использовать их при решении задач. В процессе решения задач я расширила свои знания по математике, познакомилась с ещё одним способом решения задач, который был мне мало знаком, поэтому я никогда не применяла его на практике. Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из нескольких этапов. Теперь мои одноклассники решают такие задачи, используя памятку со способом действий.

Способ решения задач с использованием «кругов Эйлера» показался мне удобным и надежным, так как он упрощает путь к решению задачи, делая его наглядным.

Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы составлением сложных уравнений. Моя гипотеза подтвердилась. Решения задач с громоздкими условиями и со многими данными просты и не требуют особых умозаключений. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту. Данная тема, расширяет математический кругозор учащихся, обогащает возможности, используемые в решении разнообразных задач.

Практическая значимость заключается в расширении возможностей при решении логических задач. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике. Материал, используемый в работе, пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать и анализировать.

Теоретическая значимость заключается в разработке способа действий при решении логических задач с помощью кругов Эйлера в общем виде.

Список используемой литературы и других источников

Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006.
Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: «Баласс», «Ювента», 2004.
Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. / И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.
Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.
Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса.: СПб: СМИО Пресс, 2009.
Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001.
Увлекательные логические задачки, которые будут интересны детям и взрослым. http://logika.vobrazovanie.ru

infourok.ru

Технологическая карта урока «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Тема: «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Учебник: Босова Л.Л. Информатика: Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015

Форма проведения: урок — практическая работа

Формы работы: фронтальная, беседа, индивидуальная

Технические средства обучения: компьютерный класс, интерактивная доска, мультимедийный проектор

Личностные (Л): объясняют самому себе свои наиболее заметные достижения, проявляют познавательный интерес к изучению предмета, дают адекватную оценку результатов своей учебной деятельности

Предметные (Пр): моделируют несложные схемы с помощью кругов Эйлера; решают простейшие логические задачи.

№

Этапы урока

Время (мин)

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Планируемые результаты УУД

Организационный момент

Организация начала урока, самоопределение к деятельности

Приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку, организует доброжелательный настрой учащихся

Слушают учителя, настраиваются на урок

Актуализация опорных знаний

Создать ситуацию, успеха, путем проверки владения материала прошлых уроков

1.Устная работа (сл.2).

— Что такое множество?

— Какие бывают множества?

— Какое множество называют пустым?

— В каком случае множество А называют подмножеством множества В? Приведите пример.

— Какое множество называют пересечением множеств А и В? Проиллюстрируйте свой ответ рисунком и приведите примеры.

2. Проверка домашнего задания — сл.3,4

К Л

Целеполагание

Определение темы урока, формулирование цели урока

Соотношения между множествами можно проиллюстрировать с помощью кругов.

Историческая справка (о Л. Эйлере) – сл.5,6

Формулируют тему и цели урока

Пр П

Изучение нового материала

Дать представление о методе кругов Эйлера. Рассмотреть решение простейших логических задач с помощью кругов Эйлера

1. Понятие кругов Эйлера. Типы кругов.(сл.7,8)

2. Решение простейших логических задач с помощью кругов Эйлера.

Задача 1 — сл.9,10

Задача 2.(способ 1 –сл.11, способ 2 –сл.12)

3. Составьте алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера – сл.13.

Составляют алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера.

Пр П

Динамическая пауза

сл. 14

Выполняют физминутку

Здоровьесберегающая методика

Закрепление нового материала

Закрепить умение решать задачи с помощью кругов Эйлера.

Предлагает выполнить следующие задания – сл.15

Ответьте на вопрос № 11 на стр.30

Выполняют задания в тетради и у доски

Л П К

Домашнее задание

Обеспечить понимание содержания домашнего задания

Предлагает записать домашнее задание, комментирует его выполнение – сл.16

§1.3, №12

Записывают домашнее задание

Рефлексия

Подвести итог проделанной работы на уроке

Предлагает учащимся ответить на следующие вопросы:

— Что нового узнали на уроке?

— Что такое круги Эйлера?

— Какие умения закрепляли на уроке?

Оцените свою работу на уроке.

Удовлетворены ли вы результатом своей работы?

Отвечают на вопросы

pril3

infourok.ru

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

5 класс

Факультативные занятия

«Математика после уроков»

Занятие № 17

ЦЕЛЬ:

познакомить учащихся с решением логических задач с помощью кругов Эйлера;
организовать деятельность, направленную на отработку умений решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера, производить безошибочно математические вычисления; повышать уровень математического развития школьников в результате углубления и систематизации знаний по основному курсу;
содействовать усвоению учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и систематизации; содействовать формированию устойчивого интереса школьников к предмету.

ТИП ЗАНЯТИЯ: изучение нового материала с первичным закреплением

ФОРМА ЗАНЯТИЯ: практикум

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП:

записать на доске: 1) тему занятия; 2)ключевые слова: круги Эйлера ; 3)ответы примеров заданий «Подумай в свободное время»;
подготовить презентацию по теме урока.

Организационный момент

Соображалка

Какой высоты получится столб, если поставить один на другой все сантиметровые кубики, заключенные в одном кубическом метре?

Решение: 1м=100см, значит в 1м³ — 100∙100∙100 кубиков со стороной 1см , т. Е. высота столба будет 10км. ОТВЕТ: 10км

Гномик обманывает в субботу, воскресенье и среду, а в остальные дни говорит правду. В какие дни он может точно сказать: «Я обманул вчера»?

Решение: Гномик может точно сказать: «Я обманул вчера» не только в понедельник, в четверг, но и в среду, и в субботу. ОТВЕТ: Понедельник, среда, четверг, суббота.

Ничего себе!

16 951 889 100 554∙1 000 000 000 000 вариантов первых десяти ходов. Чтобы сделать столько ходов, все человечество должно было бы непрерывно передвигать фигуры в течение 217 миллиардов лет!

Разгадай

Можно ли так бросить мяч, чтобы он, пролетев некоторое расстояние, остановился и начал двигаться в обратном направлении?

Определение совместной цели деятельности.

Цель сегодняшнего занятия – познакомиться с одним из способов решения логических задач с помощью кругов Эйлера; научиться безошибочно проводить математические вычисления.

Сообщение биографических данных. Леонард Эйлер (1707-1783) – один из величайших ученых всех времен и народов. Его именем названы более 10 (!) формул математики. В день его 200-летия со дня рождения этого великого математика было издано на его родине в Швейцарии все его наследие, которое состояло из 72 томов по 600 страниц каждый. 30 томов посвящено математике, 31 – механике и астрономии, остальные физике и другим предметам. Применение кругов Эйлера при решении задач придает им наглядность и простоту.

ТЕМА

Познакомимся с методом решения логических задач кругами Эйлера на примерах.

Задача 1. В группе зарубежных туристов, состоящей из 100 человек, 10человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий, 83 знали французский. Сколько туристов знали оба языка?

Решение: Всего владело иностранными языками 100-10=90 туристов. Пусть х –число туристов, владеющих двумя иностранными языками.

(75-х)+(83-х)+х=90;

Немецкий французский 158-х=90;

75-х Х 83-х х=158-90;

Х=68.

ОТВЕТ: 68 туристов владеют двумя иностранными языками.

Ф И З К У Л Ь Т М И Н У Т К А

Задача 2. В классе 35 учеников, каждый из которых любит футбол, волейбол или баскетбол. 24из них любят футбол, 18 – волейбол, 12 — баскетбол. Дело в том, что 10 учеников одновременно любят и футбол, и волейбол, 8 – футбол и баскетбол,5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

Решение: Всего в классе 35 учеников. Пусть п- число учеников, которые любят все три вида спорта.

(6+п)+(3+п)+(п-1)+910-п)+(8-п)+(5-п)+п=35;

Футбол-24 10-п волейбол- 18 (8+3п)+(23-3п)+п=35;

6+п 3+п п=4.

8-п 5-п ОТВЕТ: 4 ученика любят все три вида спорта.

П-1

Баскетбол -12

Задача 3. В классе 38 учеников. Каждый из них занимается хоть одним видом спорта из числа следующих: легкая атлетика, волейбол, плавание. Легкой атлетикой занимается 19 человек, волейболом – 21 человек, плаванием – 12, причем легкой атлетикой и волейболом – 7 человек, волейболом и плаванием – 3 человека, легкой атлетикой и плаванием – 6 человек. Сколько учеников занимаются всеми тремя видами спорта?

Решение:

1способ: (19+21+12)-(6+7+3)=36, а не 38. Расхождение вызвано тем, что трижды вычли число учащихся, занимающихся тремя видами спорта. Их 38-36=2 человека.

ОТВЕТ: 2 человека занимаются всеми тремя видами спорта.

2 способ: Воспользуемся кругами Эйлера и придем к уравнению, где х- количество учеников, занимающихся всеми тремя видами спорта.

Волейбол -21 плавание – 12 (11+х)+(3+х)+(6+х)+

+(3-х)+(7-х)+(6-х)+х=38;

3-х х=2.

11+х 3+х

Х ОТВЕТ: 2 человека занимаются всеми тремя видами спорта.

7-х 6-х

6+х

Легкая атлетика — 19

Подумай в свободное время

ОТВЕТ: 687538+13863=701401.

ОТВЕТ: 96431+6116=102547.

Подведение итогов занятия

infourok.ru

План-конспект урока (алгебра, 5 класс) по теме: Решение задач с помощью кругов Эйлера

Урок математики в 5 «Б» классе. Провела: учитель I категории Астапова Н.Г

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Цели:

Обучающая – познакомить учащихся со способом решения логических задач с помощью кругов Эйлера — Венна
Развивающая – способствовать развитию логического мышления, памяти, самостоятельности и инициативы при выполнении групповых и индивидуальных заданий.
Воспитывающая – способствовать формированию информационной культуры учащихся, ответственности в групповой и индивидуальной работе.

Ход урока:

1) Орг. момент.

— Какие геометрические фигуры вы знаете?

— Как вы думаете, как мы их будем сегодня использовать при решении задач?

— Такое применение геометрических фигур, в основном кругов, при решении логических задач ввел Леонардо Эйлер. Тема нашего сегодняшнего урока «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

2) Сообщение исторического материала: сообщение делает учащийся из 6 класса.

Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома.

Леонард Эйлер

(1707 – 1783)

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже диктовал ученикам, которые проводили за него громоздкие вычисления.

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

3) Пример решения задач:

Задача 1. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два множества (можно вводить обозначения их не только кругами), так как два вида спорта. В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то квадраты нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2. В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16 − 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12 − 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей.

Ответ: 26 друзей.

Задача 2. Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задача 3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

4) Работа в группах. Самостоятельное решение задач, с последующей проверкой.

1 группа: Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

2 группа: Экстрим

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

3 группа: «троечники»

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.

Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» — по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» — по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» — по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

4 группа: Любители физики

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана. Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

4) Итог урока.

— Чем был для вас полезен сегодняшний урок?

5) Домашнее задание: В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, ителевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?	В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

1 группа: Пионерский лагерь

2 группа: Экстрим

3 группа: «троечники»

4 группа: Любители физики

nsportal.ru

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера Венна

Разработка урока по тему «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Логические задачи и круги Эйлера.

Технологическая карта урока «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

План-конспект урока (алгебра, 5 класс) по теме: Решение задач с помощью кругов Эйлера

Добавить комментарий Отменить ответ