Решите неравенство -sin(x)+1/2
Дано неравенство:$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Перенесём 1/2 в правую часть ур-ния
с изменением знака при 1/2
Получим:
$$- \sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на -1
Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \frac{\pi}{6} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n — \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2}
/pi 1 \ 1 - sin|-- + 2*pi*n - --| + -1 / 1 pi \ - - sin|- -- + -- + 2*pi*n|
но1 / 1 pi \ - - sin|- -- + -- + 2*pi*n| > 0 2 \ 10 6 /
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \frac{\pi}{6} \wedge x_____ / \ -------ο-------ο------- x1 x2
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)>b*1/2 (синус от (х) больше b умножить на 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\sin{\left (x \right )} > \frac{b}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{b}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{b}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{b}{2}$$
$$\sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} + — \frac{1}{10} \right )} > \frac{b}{2}$$
/ 1 /b\\ b sin|- -- + 2*pi*n + asin|-|| > - \ 10 \2// 2
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{b}{2} \right )} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)^2>1 (синус от (х) в квадрате больше 1)
Дано неравенство:$$\sin^{2}{\left (x \right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- - -- 2 10
=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} > 1$$
2/ pi 1 \
sin |- -- - --| > 1
\ 2 10/ 2
cos (1/10) > 1
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x
_____ _____
/ \ /
-------ο-------ο-------ο-------
x1 x2 x3Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x $$x > \frac{3 \pi}{2}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x+pi*1/4)
Дано неравенство:$$\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} = \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n — любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = 2 \pi n — \frac{\pi}{12}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- + 2*pi*n - -- 12 10
=
$$2 \pi n — \frac{\pi}{12} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} \leq \frac{1}{2}$$
/ pi 1 pi\ sin|- -- + 2*pi*n - -- + --|/ 1 pi \ sin|- -- + -- + 2*pi*n|
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$_____ _____ \ / -------•-------•------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sqrt(1-2*sin(x))>=sin(x)+1 (квадратный корень из (1 минус 2 умножить на синус от (х)) больше или равно синус от (х) плюс 1)
Дано неравенство:$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} \geq \sin{\left (x \right )} + 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} = \sin{\left (x \right )} + 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} = \sin{\left (x \right )} + 1$$
преобразуем
$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} + — \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
$$\sqrt{- 2 w + 1} = w + 1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 2 w + 1 = \left(w + 1\right)^{2}$$
$$- 2 w + 1 = w^{2} + 2 w + 1$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- w^{2} — 4 w = 0$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -4$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4)^2 - 4 * (-1) * (0) = 16
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = -4$$
$$w_{2} = 0$$
Т.к.
$$\sqrt{- 2 w + 1} = w + 1$$
и
$$\sqrt{- 2 w + 1} \geq 0$$
то
$$w + 1 \geq 0$$
или
$$-1 \leq w$$
$$w Тогда, окончательный ответ:
$$w_{2} = 0$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{- 2 \sin{\left (x \right )} + 1} \geq \sin{\left (x \right )} + 1$$
__________________ \/ 1 - 2*sin(-1/10) >= sin(-1/10) + 1
_________________
\/ 1 + 2*sin(1/10) >= 1 - sin(1/10)
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 0$$
_____
\
-------•-------
x1www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)^2
Дано неравенство:$$\sin^{2}{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- - -- 2 10
=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )}
2/ pi 1 \ sin |- -- - --|2 cos (1/10)
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ \ / \ -------ο-------ο-------ο------- x1 x2 x3
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\pi}{2} \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)>v3*1/2 (синус от (х) больше v3 умножить на 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\sin{\left (x \right )} > \frac{v_{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{v_{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = \frac{v_{3}}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + — \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (x \right )} > \frac{v_{3}}{2}$$
$$\sin{\left (2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} + — \frac{1}{10} \right )} > \frac{v_{3}}{2}$$
/ 1 /v3\\ v3 sin|- -- + 2*pi*n + asin|--|| > -- \ 10 \2 // 2
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{v_{3}}{2} \right )} \wedge x
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2www.kontrolnaya-rabota.ru