Решение тригонометрических неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Рассмотрим пример решения тригонометрического неравенства онлайн на сайте Контрольная Работа РУ.
Этот сайт даёт полное решение тригонометрического неравенства.
Плюс для некоторых неравенств есть решение, изображённое на графике.
Итак, рассмотрим пример:
Требуется решить тригонометрическое неравенство cos(x/4-pi/3) > 1/2 и найти x, при которых выполняется это неравенство.
Для этого переходим на страницу
>>неравенства онлайн<<и нажимаем Решить неравенство!
.
Получаем ответ 8*pi*n<x<1/3*(24*pi*n+8*pi), где n принадлежит N.
А также следующее подробное решение:
Дано неравенство: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$ Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние: $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{1}{2}$$ Решаем:
Это ур-ние преобразуется в $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$ $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$ Или $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$ $$\frac{x}{4} + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$ , где n — любое целое число.
Перенесём $$\frac{\pi}{6}$$ в правую часть ур-ния с противоположным знаком, итого: $$\frac{x}{4} = 2 \pi n$$ $$\frac{x}{4} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$ Разделим обе части полученного ур-ния на $$\frac{1}{4}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ Данные корни $$x_{1} = 8 \pi n$$ $$x_{2} = 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$ являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: $$x_{0} < x_{1}$$ Возьмём например точку $$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n + — \frac{1}{10}$$ = $$8 \pi n — \frac{1}{10}$$ подставляем в выражение $$\cos{\left (\frac{x}{4} — \frac{\pi}{3} \right )} > \frac{1}{2}$$
/8*pi*n - 1/10 pi\ cos|------------- - --| > 1/2 | 1 1| \ 4 3 / /1 pi \ cos|-- + -- - 2*pi*n| > 1/2 \40 3 /
Тогда $$x < 8 \pi n$$ не выполняется, значит одно из решений нашего неравенства будет при: $$x > 8 \pi n \wedge x < 8 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
Простейшие тригонометрические уравнения
Применение тригонометрических уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Тригонометрические уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Тригонометрия вызывает у многих учеников неприятные эмоции из-за того, что формулы кажутся им сложными и непонятными. Но стоит разобраться в теме один раз, как все начинает проясняться. Самые легкие тригонометрические уравнения в большинстве случаев решаются по формулам. Под понятием «легкие» понимают тригонометрические уравнения следующего вида:
* \[sinx = а\]
* \[cosx = а\]
В таких уравнения \[х\] — угол, который необходимо определить, \[а — любое число.\]
Для их решения существуют следующие соответствующие формулы:
* для синуса — \[х = (-1)narcsin a + \pin, n \in Z\]
* для косинуса — \[х = + arccos a + 2\pin, n \in Z\]
Так же читайте нашу статью «Решить линейное уравнение онлайн решателем»
Допустим, дано следующее тригонометрическое уравнение:
\[6cos^2x + 5 sinx-7=0\]
Поскольку \[cos^2x = 1 — sin^x,\] то данное уравнение можно представить в такой форме:
\[6(1 — sin^2x) + 5sinx — 7 = 0\]
Отроем скобки:
\[6\sin^2x — 5sinx + 1 = 0\]
Выполним замену \[t = sinx,\] получим:
\[6t^2 — 5t + 1 = 0\]
Это квадратное уравнение, которое решается следующим образом:
\[D = 25 — 6 \cdot 4 =1\]
\[t_{1,2}= \frac{5\pm}{12}\]
\[t_1=1/2\]
\[t_2=1/3\]
Получим 2 простые уравнения:
\[\in x = 1/2 или \sin x = 1/3 \]
\[x = (-1)^k \pi/6 +\pi k, k /in Z\] или \[x = (-1)^k \arcsin 1/3 +\pi k, k /in Z\]
Ответ: \[ (-1)^k \pi/6 +\pi k ; = (-1)^k \arcsin 1/3 +\pi k\]
Где можно решить тригонометрические уравнения онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Правила ввода математических выражений
Ввод чисел:
Целые числа вводятся обычным способом, например:
4; 18; 56
Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус:
-19; -45; -90
Рациональные числа вводятся с использованием символа
/, например:
3/4;-5/3;5/(-19)
Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей:
4.5;-0.4
Ввод переменных и констант:
Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например:
x; y; z; a; b.
Константы
π
и
e
вводятся как pi и e — соответственно.
Символ бесконечности
∞
вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом
inf.
Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.
Сумма и разность:
Сумма и разность задаются при помощи знаков + и — соответственно, например: 3+a; x+y; 5-4+t; a-b+4; ВНИМАНИЕ! Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод: x + a — неправильный, правильно вводить так: x+a — без пробелов.
Умножение:
Умножение задается знаком
*,
например:
3*t;
x*y;
-5*x.
ВНИМАНИЕ!
Ввод знака
*
необходим всегда, т.е. запись типа:
2x —
недопустима
.
Следует всегда использовать знак
*
, т.е
правильная
запись:
3*x.
Деление:
Деление задается знаком /, например: 15/a; y/x;.
Степень:
Степень задается знаком ^, например: x^2; 4^2; y^(-1/2).
Приоритет операций:
Для указания (или изменения) приоритета операций необходимо использовать скобки (), например:
(a+b)/4
— тут вначале будет произведено сложение a+b, а потом сумма разделится на 4, тогда как без скобок:
— сначала b разделится на 4 и к полученному прибавится a.
ВНИМАНИЕ! В непонятных случаях лучше всегда использовать скобки для получения нужного
результата, например: 2^4^3
— неясно как будет вычислено это выражение: cначала 2^4, а затем результат в степень
3, или сначала 4^3=64,
а затем 2^64? Поэтому, в данном случае, необходимо использовать скобки:
(2^4)^3 или
2^(4^3) — смотря что нужно.
Также распространенной ошибкой является запись вида: x^3/4 -
непонятно: вы хотите возвести x в куб и полученное выражение
разделить на 4, или хотите возвести x в степень
3/4?
В последнем случае необходимо использовать скобки:
x^(3/4).
Ввод функций:
Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв:
sin; cos;
tan; log.
ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки (), например:
sin(4);
cos(x);
log(4+y).
Запись типа:
sin 4;
cos x;
log 4+y
— недопустима. Правильная запись:
sin(4);
cos(x);
log(4+y).
Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так:
(sin(x))^2.
Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x^2), тогда это выглядит вот так:
sin(x^2). Запись типа:
sin^2 x — недопустима.
| Функция | Описание | Пример ввода | Примечания |
|---|---|---|---|
| квадратный корень | sqrt(x) или x^(1/2) | — | |
| корень n-ой степени | x^(1/n) | — | |
| log(x) или ln(x) | натуральный логарифм | log(x) или ln(x) | — |
| log10(x) или lg(x) | десятичный логарифм | lg(x) | — |
| loga(b) | произвольный логарифм | lg(b)/lg(a) | — |
| ex | экспонента | exp(x) | — |
| sin(x) | синус | sin(x) | — |
| cos(x) | косинус | cos(x) | — |
| tan(x) или tg(x) | тангенс | tan(x) или tg(x) | — |
| cot(x) или ctg(x) | котангенс | cot(x) или ctg(x) | — |
| sec(x) | секанс | sec(x) | sec(x)=1/cos(x) |
| csc(x) или cosec(x) | косеканс | csc(x) или cosec(x) | csc(x)=1/sin(x) |
| sin−1(x) или arcsin(x) | арксинус | arcsin(x) или asin(x) | — |
| cos−1(x) или arccos(x) | арккосинус | arccos(x) или acos(x) | — |
| tan−1(x) или arctan(x) | арктангенс | arctg(x) или atan(x) | — |
| cot−1(x) или arcctg(x) | арккотангенс | arcctg(x) или acot(x) | — |
| sec−1(x) или arcsec(x) | арксеканс | arcsec(x) или asec(x) | arcsec(x)=arccos(1/x) |
| csc−1(x) или arccosec(x) | арккосеканс | arccosec(x) или acsc(x) | arcsec(x)=arcsin(1/x) |
| sinh(x) | гиперболический синус | sinh(x) | sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2 |
| cosh(x) | гиперболический косинус | cosh(x) | cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 |
| tanh(x) | гиперболический тангенс | tanh(x) | tanh(x)=sinh(x)/cosh(x) |
| coth(x) | гиперболический котангенс | coth(x) | coth(x)=cosh(x)/sinh(x) |
| sech(x) | гиперболический секанс | sech(x) | sech(x)=1/cosh(x) |
| csch(x) | гиперболический косеканс | cosech(x) или csch(x) | csch(x)=1/sinh(x) |
| sinh−1(x) или arcsinh(x) | гиперболический арксинус | arcsinh(x) или asinh(x) | — |
| cosh−1(x) или arccosh(x) | гиперболический арккосинус | arccosh(x) или acosh(x) | — |
| tanh−1(x) или arctanh(x) | гиперболический арктангенс | arctanh(x) или atanh(x) | — |
| coth−1(x) или arccoth(x) | гиперболический арккотангенс | arccoth(x) или acoth(x) | — |
| sech−1(x) или arcsech(x) | гиперболический арксеканс | arcsech(x) или asech(x) | arcsech(x)=arccosh(1/x) |
| csch−1(x) или arccsch(x) | гиперболический арккосеканс | arccsch(x) или acsch(x) | arccsch(x)=arcsinh(1/x) |
Интернет Репетитор по Физике и Математике
Уравнения, содержащие косинус — cos x.
Уравнение: | РЕШЕНИЯ: | |
Общий вид решения уравнения cos x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (целые числа),
при | a | > 1 уравнение cos x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Уравнения, содержащие синус — sin x.
Уравнение: | РЕШЕНИЯ: | |
Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:
x = (- 1)k arcsin(a) + πk, k ∈ Z (целые числа),
при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.
Уравнения, содержащие тангенс и котангенс — tg x и сtg x
Уравнение: | Уравнение: | РЕШЕНИЯ: |
*** | ||
*** |
Общий вид решения уравнения tg x = a определяется формулой:
x = arctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Общий вид решения уравнения ctg x = a определяется формулой:
x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (целые числа).
Решение тригонометрических уравнений
Мы уже познакомились с формулами корней более простых тригонометрических уравнений
cos x = a, sin x = a, tg x = a. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большей части таких уравнений необходимо использование формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые способы и примеры решения тригонометрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратам
Задача 1.
Решить уравнение sin2 x + sin x – 2 = 0.
Решение.
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Если мы обозначим sin x = у, то наше уравнение примет вид: у2 + у – 2 = 0. Решив это уравнение, мы получаем его корни: у1 = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = -2.
Корнем уравнения sin x = 1 является х = π/2 + 2πn, n € Z; уравнение sin x = -2 не имеет корней.
Ответ. х = π/2 + 2πn, n € Z.
Задача 2.
Решить уравнение 2 cos2x – 5 sin x + 1 = 0.
Решение.
Заменим cos2x на 1 – sin2 x и получим: 2(1 – sin2 x) – 5 sin x + 1 = 0, или 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0.
Обозначив sin x = у, мы получили: 2у2 + 5у – 3 = 0, откуда у1 = -3, у2 = 1/2.
1) sin x = -3 – уравнение не имеет корней, так как |-3|> 1.
2) sin x = 1/2, х = (-1)n arcsin 1/2 + πn = = (-1)n π/6 + πn, n € Z.
Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, n € Z.
2. Уравнения вида а sin x + b cosx = c
Задача 3.
Решить уравнение 2 sin x – 3 cosx = 0.
Решение.
Разделим на cos x обе части уравнения и получим 2 tg x – 3 = 0, tg x = 3/2, х = arctg 3/2 + πn, n € Z.
Ответ. х = arctg 3/2 + πn, n € Z.
При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x – 3 cosx = 0 были разделены на cos x. Мы должны помнить, что в результате деления уравнения на выражение, которое содержит неизвестное, корни могут быть потеряны. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если cos x = 0, то из уравнения 2sin x – 3 cos x = 0 следует, что sin x = 0. Однако sin x и cos х одновременно не могут быть равными нулю, в силу того что они связаны равенством sin2x + cos2x = 1. Следовательно, при делении уравнения а sin x + b cosx = 0, где а ≠ 0, b ≠ 0, на cos x (или sin x) корни этого уравнения не теряются.
3. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие уравнения, в правой части которых располагается 0, решаются путем разложения на множители их левой части.
Задача 4.
Решить уравнение sin 2x – sinx = 0.
Решение.
Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и запишем уравнение в виде 2 sin x cosx – sin x = 0.
Общий множитель sin x вынесем за скобки и получим sin x(2 cosx – 1) = 0.
1) sin x = 0, х = πn, n € Z.
2) 2 cosx – 1 = 0, cosx = 1/2, х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.
Ответ. х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 5.
Решить уравнение cos 3x + sin 5x = 0.
Решение.
Используя формулу приведения sin α = cos (π/2 – α), запишем уравнение в виде cos 3x + cos (π/2 – 5х)= 0.
Воспользуемся формулой для суммы косинусов и получим:
2 cos(π/4 – х) ∙ cos (4х – π/4)= 0.
1) cos(π/4 – х) = 0, х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/4 π + πn, n € Z;
2) cos (4х – π/4)= 0, 4х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/16 π + (πn)/4, n € Z.
Ответ. х = 3/4π + πn, х = 3/16π + (πn)/4, n € Z.
Задача 6.
Решить уравнение sin 7x + sin 3x = 3 cos 2х.
Решение.
Применим формулу суммы синусов и запишем уравнение в виде
2 sin 5x ∙ cos 2х = 3 cos 2х, или 2 sin 5x ∙ cos 2х – 3 cos 2х = 0,
откуда cos 2х(sin 5x – 3/2) = 0.
Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = π/4 + (πn)/2, а уравнение sin 5x = 3/2 не имеет корней.
Ответ. х = π/4 + (πn)/2, n € Z.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.