Задания с решением — Тригонометрические уравнения

1.       Решить уравнение cos2x = 1/2.

Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:

2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).

Откуда x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = ±π/6 + πn.

2.       Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.

Используем формулу из методов решений, имеем:

3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).

Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

3.       Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.

 

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:

1 — 2sin2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

2y2 + 3y + 1 = 0.

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

4.       Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение

2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

5.       Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.

6.       Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos4

www.sites.google.com

Презентация по математике «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

Решение уравнения

sin x + cos x = 1.

Работа педагога дополнительного образования

МБОУ ДОД ДДТ г.Зверево

Куца Фёдора Ивановича.

1) Метод дополнительного угла.

Обе части уравнения делятся на выражение , вводится дополнительный угол

Пример. sin x + cos x = 1.

a = 1, b = 1: = = .

sin x + cos x = .

cos sinx + sin cosx = , sin(x + ) = .

x + = (- 1) n arcsin + πn, n є Z ; x + = (- 1) n + πn, n є Z ;

x = — + (- 1) n + πn, n є Z .

Ответ. x = — + (- 1)

n + πn, n є Z.

2 ) Использование универсальной тригонометрической подстановки.

sin x = , cos x = .

Пример. sin x + cos x = 1.

+ = 1, 2 + 1 — = 1 + ,

2 — 2 = 0, 2 ( — 1) = 0.

2 = 0 или — 1 = 0.

1) = 0. = πn, n є Z; x = 2πn, n є Z.

2) = 1. = + πk, k є Z ; x = + 2πk, k є Z.

Ответ. x = 2πn, n є Z; x = + 2πk, k є Z.

3) Сведение к однородному уравнению.

Пример. sinx + cosx = 1.

Используя формулы sinx = 2sin cos , cosx = cos 2 — sin 2

и записывая правую часть уравнения в виде 1= cos 2 + sin 2 , получаем:

2sin cos + cos 2 — sin 2 = cos 2 + sin 2 .

2 sin 2 — 2sin cos = 0.

Вынеся общий множитель за скобки, получим равносильное уравнение 2 sin (sin — cos )= 0.

Откуда 2sin = 0 или sin – cos = 0.

1) sin = 0. = πn, n є Z; x = 2πn, n є Z.

2) sin — cos = 0, sin = cos , tg = 1.

= + πn , n є Z; х = +2πn, n є Z.

Ответ. x = 2πn, x = + 2πn, n є Z;

4)Преобразование суммы в произведение.

Пример. sin x + cos x = 1.

Выразим cos x через sinx, используя формулы приведения: cos x = sin ( — x).

sin x + sin ( — x) = 1;

2 sin cos = 1;

2 sin cos (x — ) = 1;

2∙ ∙ cos (x — ) = 1; cos (x — ) = .

x — = ± arccos +2 n, x = ± +2 n.

x = 2 n, х = + 2 n, n є Z.

Ответ. x = 2πn, x = + 2πn, n є Z.

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пример. sin x + cos x = 1.

(sin x + cos x ) 2 = 1; sin 2 x + 2sin x cos x + cos x 2 = 1;

sin 2x + 1 = 1; sin 2x = 0.

2x = πn; x = , n є Z.

При возведении уравнения в квадрат получаем

уравнение – следствие, поэтому проведем проверку.

Учитывая, что период функции y = sin x равен 2π, имеем:

1)При х = 0 + 2πn, n є Z, 0 + 1 = 1 верно.

х = 2πn, n є Z – корни уравнения.

2)При х = + 2πn, n є Z, 1+ 0 = 1 верно.

х = + 2πn, n є Z – корни уравнения.

3)При х = π + 2πn, n є Z, 0 — 1 = 1 неверно. х = π + 2πn, n є Z – не являются корнями уравнения.

4)При х = + 2πn, n є Z, -1+ 0 = 1 неверно.

х = + 2πn, n є Z – не являются корнями уравнения.

Ответ. x = 2πn, x = + 2πn, n є Z.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

Пример. sin x + cos x = 1.

Запишем уравнение в виде: sin x = 1 — cos x .

Сделаем замену: sin x = 2sin cos , 1 — cos x = 2sin 2 .

2sin cos = 2sin 2 ; 2sin cos — 2sin 2 = 0;

2sin (cos — sin ) = 0.

2sin = 0 или cos — sin = 0.

1) 2sin = 0; = πn; x = 2πn, n є Z.

2) cos = sin ; tg = 1, = + πk; x = + 2πk, k є Z.

Ответ. x = 2πn, n є Z; x = + 2πk, k є Z.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

Пример. sin x + cos x = 1.

Из тождества sin 2 x + cos 2 x = 1 имеем cos 2 x = 1 — sin 2 x, откуда

cos x = ± . 

sin x ± = 1; ± = 1 – sin x; 1 — sin 2 x = (1 – sin x) 2 ;

(1- sin x) (1 + sin x) — (1 – sin x) 2 = 0; (1- sin x) (1 + sin x – 1 + sin x) = 0;

(1 — sin x) ∙ 2sin x = 0.

1 – sin x = 0 или 2 sin x = 0.

1) sin x = 1; x = + 2πk, k є Z.

Корни необходимо проверить.

При х = + 2πn, n є Z, 1+ 0 = 1 верно.

х = + 2πn, n є Z – корни уравнения.

2) sin x = 0; x = πn, n є Z.

Корни необходимо проверить.

При х = 0 + 2πn, n є Z, 0 + 1 = 1 верно.

х = 2πn, n є Z – корни уравнения.

При х = π + 2πn, n є Z, 0 — 1 = 1 неверно.

х = π + 2πn, n є Z – не являются корнями уравнения.

Ответ. x = 2πn, n є Z; x = + 2πk, k є Z

8)Графическое решение.

Построим в одной системе координат графики функций: y = sin x и y = 1 — cos x

Из графика видно, что уравнение имеет корни

х = + 2πn, n є Z, х = 2πn, n є Z.

Графический метод требует обязательной проверки.

Ответ. x = 2πn, n є Z; x = + 2πn, n є Z.

videouroki.net

Решите пожалуста уравнение sinx-cosx=1 !!!

Возведём обе части уравнения в квадрат, sinx*sinx+cosx*cosx -2sinx*cosx=1 Первые два слагаемых в сумме дают единицу: 1-2sinx*cosx=1 2sinx*cosx=0 sinx*cosx=0 Теперь, произведение равно 0, когда один из множителей равен 0 Если sin x = 0, то из уравнения получаем cos x = -1 Следовательно, x = pi + 2 pi * к Если cos x = 0, то из уравнение получаем sin x = 1 Следовательно, x = pi/2 + 2 pi * к Общее решение есть объединение этих двух решений х= pi +2 pi*k и х= pi/2 +*2pi*k Другой вариант решения Уравнение sin А- cos А = 1 это уравнение прямой, у-х =1 проходящей через точки (-1;0), (0;1) и не имеющей других общих точек с единичным кругом. Эти две точки — и есть все решения данного уравнения: Уравнение у-х=1 — точка (- 1;0) даёт решения х= pi + 2*pi*k точка (0;1) даёт решения pi/2 + 2*pi*k

В квадрат возводим и решаем. Потом отбрасываем лишние корни (они обязательно будут)

(sinx-cosx)^2=1 sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=1 2sinxcosx=0 x=0, x=pi/2

sin x — cos x = 1 1 способ: Домножим обе части уравнения на 2^(1/2)/2 2^(1/2)/2 * sin x — 2^(1/2)/2 * cos x = 2^(1/2)/2 sin x * cos pi/4 — sin pi/4 * cos x = 2^(1/2)/2 sin (x — pi/4) = 2^(1/2)/2 x — pi/4 = pi/4 + 2 * pi * n или x — pi/4 = 3pi/4 + 2 * pi * n x = pi/2 + 2 * pi * n, x = pi + 2 * pi * n 2 способ: Возведем обе части уравнения в квадрат: (sin x — cos x)^2 = 1^2 sin^2 x — 2 * sin x * cos x + cos^2 x = 1 1 — 2 * sin x * cos x = 1 2 * sin x * cos x = 0 sin x = 0 или cos x = 0 Если sin x = 0, то из уравнения получаем, что cos x = -1 Следовательно, x = pi + 2 * pi * n Если cos x = 0, то из уравнение получаем, что sin x = 1 Следовательно, x = pi/2 + 2 * pi * n Ответ: x = pi/2 + 2 * pi * n, x = pi + 2 * pi * n

Представь синус как cos(pi/2-x) и воспользуйся формулой разности косинусов. Никаких лишних корней.

touch.otvet.mail.ru