Решите неравенство 1/|3*x+1|>=1-x (1 делить на модуль от 3 умножить на х плюс 1| больше или равно 1 минус х)

Дано неравенство:
$$\frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} \geq — x + 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} = — x + 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} = — x + 1$$
преобразуем
$$x — 1 + \frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} = 0$$
$$- -1 x — 1 + \frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{3 x + 1}\right|$$
Дано уравнение:
$$- -1 x — 1 + \frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = |1 + 3*x|

a2 = 1

b2 = 1/(1 - x)

зн. получим ур-ние
$$\frac{1}{- x + 1} = \left|{3 x + 1}\right|$$
$$\frac{1}{- x + 1} = \left|{3 x + 1}\right|$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

1/1+1/x = |1 + 3*x|

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\left|{3 x + 1}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.548583770355$$
$$x_{3} = 0.666666666667$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.548583770355$$
$$x_{3} = 0.666666666667$$
Данные корни
$$x_{2} = -0.548583770355$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = 0.666666666667$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$-0.648583770355$$
=
$$-0.648583770355$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{\left|{3 x + 1}\right|} \geq — x + 1$$

           1                                  
----------------------- >= 1 - -0.648583770355
|3*-0.648583770355 + 1|                       

1.05736041631696 >= 1.64858377035500

но

1.05736041631696 
Тогда
$$x \leq -0.548583770355$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
 $$x \geq -0.548583770355 \wedge x \leq 0$$
         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -0.548583770355 \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 0.666666666667$$ 

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (1/10)^x+1>100 ((1 делить на 10) в степени х плюс 1 больше 100)

Дано неравенство:
$$1 + \left(\frac{1}{10}\right)^{x} > 100$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$1 + \left(\frac{1}{10}\right)^{x} = 100$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$1 + \left(\frac{1}{10}\right)^{x} = 100$$
или
$$1 + \left(\frac{1}{10}\right)^{x} — 100 = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{10}\right)^{x} = 99$$
или
$$\left(\frac{1}{10}\right)^{x} = 99$$
— это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{10}\right)^{x}$$
получим
$$v — 99 = 0$$
или
$$v — 99 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 99$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{10}\right)^{x} = v$$
или
$$x = — \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (10 \right )}}$$
$$x_{1} = 99$$
$$x_{1} = 99$$
Данные корни
$$x_{1} = 99$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{989}{10}$$
=
$$\frac{989}{10}$$
подставляем в выражение
$$1 + \left(\frac{1}{10}\right)^{x} > 100$$
$$\left(\frac{1}{10}\right)^{\frac{989}{10}} + 1 > 100$$

                                                   10____                                                     
                                                   \/ 10                                                      
1 + ---------------------------------------------------------------------------------------------------- > 100
    1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000      
      

Тогда
$$x не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 99$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство |x+1|+|x-1|

Дано неравенство:
$$\left|{x — 1}\right| + \left|{x + 1}\right| Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x — 1}\right| + \left|{x + 1}\right| = 3$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x — 1 \geq 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
или
$$1 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$x — 1 + x + 1 — 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x — 3 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$

2.
$$x — 1 \geq 0$$
$$x + 1 Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x — 1 $$x + 1 \geq 0$$
или
$$-1 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$- x + 1 + x + 1 — 3 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии

4.
$$x — 1 $$x + 1 или
$$-\infty получаем ур-ние
$$- x — 1 + — x + 1 — 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x — 3 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$

$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x — 1}\right| + \left|{x + 1}\right| $$\left|{- \frac{8}{5} + 1}\right| + \left|{- \frac{8}{5} — 1}\right|

16/5 
но
16/5 > 3

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{3}{2} \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru