Решите неравенство 1+x+|x^2-x-3|

Дано неравенство:
$$x + 1 + \left|{x^{2} — x — 3}\right| Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + 1 + \left|{x^{2} — x — 3}\right| = 0$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$- x^{2} + x + 3 \geq 0$$
или
$$x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \wedge — \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \leq x$$
получаем ур-ние
$$x + — x^{2} + x + 3 + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 2 x + 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{5}$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
$$x_{2} = — \sqrt{5} + 1$$

2.
$$- x^{2} + x + 3 или
$$\left(-\infty получаем ур-ние
$$x + — -1 x^{2} — x — 3 + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} — 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = — \sqrt{2}$$
$$x_{4} = \sqrt{2}$$
но x4 не удовлетворяет неравенству

$$x_{1} = — \sqrt{5} + 1$$
$$x_{2} = — \sqrt{2}$$
$$x_{1} = — \sqrt{5} + 1$$
$$x_{2} = — \sqrt{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \sqrt{2}$$
$$x_{1} = — \sqrt{5} + 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=

    ___   1 
- \/ 2  - --
          10

=
$$- \sqrt{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + 1 + \left|{x^{2} — x — 3}\right|

                   |              2                   |    
        ___   1    |/    ___   1 \        ___   1     |    
1 + - \/ 2  - -- + ||- \/ 2  - --|  - - \/ 2  - -- - 3| 
                 2    
     /1      ___\     
-2 + |-- + \/ 2 |  
но
                 2    
     /1      ___\     
-2 + |-- + \/ 2 |  > 0
     \10        /     
    

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt{2} \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Решите неравенство (x+1)*(x-2)*(x+3)

Дано неравенство:
$$\left(x — 2\right) \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 2\right) \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x — 2\right) \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 2 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x1 = 2
2.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x2 = -1
3.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x3 = -3
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -3$$
Данные корни
$$x_{3} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 2\right) \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{31}{10} — 2\right) \left(- \frac{31}{10} + 1\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right) \leq 0$$

-1071      
------ 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -3$$
 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -3$$
$$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$ 

Решите неравенство 2^x+1

Дано неравенство:
$$2^{x} + 1 \leq 3 x$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 1 = 3 x$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3} — \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

            / 3 ___        \     
            |-\/ 2 *log(2) |     
    LambertW|--------------|     
1           \      3       /   1 
- - ------------------------ - --
3              1               10
            log (2)              

=
$$\frac{7}{30} — \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 1 \leq 3 x$$

             / 3 ___        \                                                  
             |-\/ 2 *log(2) |                                                  
     LambertW|--------------|                                                  
 1           \      3       /   1           /            / 3 ___        \     \
 - - ------------------------ - --          |            |-\/ 2 *log(2) |     |
 3              1               10          |    LambertW|--------------|     |
             log (2)                        |1           \      3       /   1 |
2                                  + 1 
                  / 3 ___        \                   / 3 ___        \
                  |-\/ 2 *log(2) |                   |-\/ 2 *log(2) |
          LambertW|--------------|         3*LambertW|--------------|
     7            \      3       / 
но
                  / 3 ___        \                   / 3 ___        \
                  |-\/ 2 *log(2) |                   |-\/ 2 *log(2) |
          LambertW|--------------|         3*LambertW|--------------|
     7            \      3       / >= 7              \      3       /
     -- - ------------------------    -- - --------------------------
     30            log(2)             10             log(2)          
1 + 2                                 

Тогда
$$x \leq \frac{1}{3} - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{3} - \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{\sqrt[3]{2}}{3} \log{\left (2 \right )} \right )}$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1

Решите неравенство (x+1)*(x+2)*(x-3)>=0 ((х плюс 1) умножить на (х плюс 2) умножить на (х минус 3) больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x — 3\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x — 3\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x — 3\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x — 3 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x + 2 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x — 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3$$
Получим ответ: x1 = 3
2.
$$x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1$$
Получим ответ: x2 = -1
3.
$$x + 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -2$$
Получим ответ: x3 = -2
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -2$$
Данные корни
$$x_{3} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x — 3\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} + 1\right) \left(- \frac{21}{10} + 2\right) \left(-3 + — \frac{21}{10}\right) \geq 0$$

-561      
----- >= 0
 1000     

но

-561     
----- 
Тогда
$$x \leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -2 \wedge x \leq -1$$
         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -2 \wedge x \leq -1$$
$$x \geq 3$$