Решите неравенство (x-3)*(2*x+3)

Дано неравенство:
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
в
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 x^{2} — 3 x — 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) $$\left(-3 + — \frac{3}{5}\right) \left(\frac{-6}{5} 1 + 3\right)

-162      
----- 
но
-162      
----- > -7
  25      

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1
 

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x-3)*(2*x+3)>-7 ((х минус 3) умножить на (2 умножить на х плюс 3) больше минус 7)

Дано неравенство:
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) > -7$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
в
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 x^{2} — 3 x — 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 3\right) \left(2 x + 3\right) > -7$$
$$\left(-3 + — \frac{3}{5}\right) \left(\frac{-6}{5} 1 + 3\right) > -7$$

-162      
----- > -7
  25      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 3*x^6-7*x^3+2>0 (3 умножить на х в степени 6 минус 7 умножить на х в кубе плюс 2 больше 0)

Дано неравенство:
$$3 x^{6} — 7 x^{3} + 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x^{6} — 7 x^{3} + 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3 x^{6} — 7 x^{3} + 2 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{3}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$3 v^{2} — 7 v + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -7$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (3) * (2) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 2$$
$$v_{2} = \frac{1}{3}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{3}$$
то
$$x_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$3 x^{6} — 7 x^{3} + 2 > 0$$

      6         3        
3*7/30  - 7*7/30  + 2 > 0

464508649    
--------- > 0
243000000    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство |x+3|+2*|x-1|

Дано неравенство:
$$2 \left|{x — 1}\right| + \left|{x + 3}\right| \leq \left|{x}\right| + 7$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \left|{x — 1}\right| + \left|{x + 3}\right| = \left|{x}\right| + 7$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение «>= 0» или «решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
$$x — 1 \geq 0$$
или
$$1 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$- x + 2 \left(x — 1\right) + x + 3 — 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x — 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 3$$

2.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
$$x — 1 или
$$0 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$- x + 2 \left(- x + 1\right) + x + 3 — 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x — 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -1$$
но x2 не удовлетворяет неравенству

3.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 $$x — 1 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x \geq 0$$
$$x + 3 $$x — 1 Неравенства не выполняются, пропускаем

5.
$$x $$x + 3 \geq 0$$
$$x — 1 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

6.
$$x $$x + 3 \geq 0$$
$$x — 1 или
$$-3 \leq x \wedge x получаем ур-ние

$$- -1 x + 2 \left(- x + 1\right) + x + 3 — 7 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии

7.
$$x $$x + 3 $$x — 1 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

8.
$$x $$x + 3 $$x — 1 или
$$-\infty получаем ур-ние
$$- -1 x + — x — 3 + 2 \left(- x + 1\right) — 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x — 8 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -4$$

$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \left|{x — 1}\right| + \left|{x + 3}\right| \leq \left|{x}\right| + 7$$
$$\left|{- \frac{41}{10} + 3}\right| + 2 \left|{- \frac{41}{10} — 1}\right| \leq \left|{- \frac{41}{10}}\right| + 7$$

113    111
--- 
но
113    111
--- >= ---
 10     10

Тогда
$$x \leq -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 3$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x-3)*(x+2/7)>=0 ((х минус 3) умножить на (х плюс 2 делить на 7) больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$\left(x — 3\right) \left(x + \frac{2}{7}\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x — 3\right) \left(x + \frac{2}{7}\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x — 3\right) \left(x + \frac{2}{7}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} — \frac{19 x}{7} — \frac{6}{7} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = — \frac{19}{7}$$
$$c = — \frac{6}{7}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-19/7)^2 - 4 * (1) * (-6/7) = 529/49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = — \frac{2}{7}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = — \frac{2}{7}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = — \frac{2}{7}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{2}{7}$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{27}{70}$$
=
$$- \frac{27}{70}$$
подставляем в выражение
$$\left(x — 3\right) \left(x + \frac{2}{7}\right) \geq 0$$
$$\left(-3 + — \frac{27}{70}\right) \left(- \frac{27}{70} + \frac{2}{7}\right) \geq 0$$

237     
--- >= 0
700     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq — \frac{2}{7}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq — \frac{2}{7}$$
$$x \geq 3$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 3*x^2+4*x+1

Дано неравенство:
$$3 x^{2} + 4 x + 1 Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x^{2} + 4 x + 1 = \left(x + 7\right)^{2}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 x^{2} + 4 x + 1 = \left(x + 7\right)^{2}$$
в
$$- \left(x + 7\right)^{2} + 3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- \left(x + 7\right)^{2} + 3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 x^{2} — 10 x — 48 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -10$$
$$c = -48$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10)^2 - 4 * (2) * (-48) = 484

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 x^{2} + 4 x + 1 $$1 + \frac{-124}{10} 1 + 3 \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}

1743   1521
---- 
но
1743   1521
---- > ----
100    100 

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -3 \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru