Решите неравенство (x+5)*(2*x^2-x)>0 ((х плюс 5) умножить на (2 умножить на х в квадрате минус х) больше 0)
Дано неравенство:$$\left(x + 5\right) \left(2 x^{2} — x\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 5\right) \left(2 x^{2} — x\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 5\right) \left(2 x^{2} — x\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 5 = 0$$
$$2 x^{2} — x = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x1 = -5
2.
$$2 x^{2} — x = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (2) * (0) = 1
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = -5$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 5\right) \left(2 x^{2} — x\right) > 0$$
/ 2 \ / 51 \ | /-51 \ -51 | |- -- + 5|*|2*|----| - ----| > 0 \ 10 / \ \ 10 / 10 /
-714 ----- > 0 125
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -5 \wedge x
_____ _____
/ \ /
-------ο-------ο-------ο-------
x1 x3 x2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -5 \wedge x $$x > \frac{1}{2}$$
Решите неравенство (x+5)^2
Дано неравенство:$$\left(x + 5\right)^{2} \leq — x^{2} + 25$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 5\right)^{2} = — x^{2} + 25$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$\left(x + 5\right)^{2} = — x^{2} + 25$$
в
$$\left(x + 5\right)^{2} + — -1 x^{2} — 25 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 5\right)^{2} + — -1 x^{2} — 25 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} — — x^{2} + 10 x = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 10$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(10)^2 - 4 * (2) * (0) = 100
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5$$
Данные корни
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 5\right)^{2} \leq — x^{2} + 25$$
2 2 / 51 \ /-51 \ |- -- + 5|-101 1/100
но-101 1/100 >= ----- 100
Тогда
$$x \leq -5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -5 \wedge x \leq 0$$_____ / \ -------•-------•------- x2 x1
Решите неравенство (2*x+5)^2>=(5*x-2)^2 ((2 умножить на х плюс 5) в квадрате больше или равно (5 умножить на х минус 2) в квадрате)
Дано неравенство:$$\left(2 x + 5\right)^{2} \geq \left(5 x — 2\right)^{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(2 x + 5\right)^{2} = \left(5 x — 2\right)^{2}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$\left(2 x + 5\right)^{2} = \left(5 x — 2\right)^{2}$$
в
$$\left(2 x + 5\right)^{2} — \left(5 x — 2\right)^{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(2 x + 5\right)^{2} — \left(5 x — 2\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- 21 x^{2} + 40 x + 21 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -21$$
$$b = 40$$
$$c = 21$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(40)^2 - 4 * (-21) * (21) = 3364
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = — \frac{3}{7}$$
$$x_{2} = \frac{7}{3}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{7}$$
$$x_{2} = \frac{7}{3}$$
$$x_{1} = — \frac{3}{7}$$
$$x_{2} = \frac{7}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{3}{7}$$
$$x_{2} = \frac{7}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{37}{70}$$
=
$$- \frac{37}{70}$$
подставляем в выражение
$$\left(2 x + 5\right)^{2} \geq \left(5 x — 2\right)^{2}$$
$$\left(\frac{-74}{70} 1 + 5\right)^{2} \geq \left(\frac{-185}{70} 1 — 2\right)^{2}$$
19044 4225 ----- >= ---- 1225 196
но
19044 4225 -----
Тогда
$$x \leq - \frac{3}{7}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{3}{7} \wedge x \leq \frac{7}{3}$$_____ / \ -------•-------•------- x1 x2