Треугольная призма все формулы и примеры задач
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Определение
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.
Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.
Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Прямая треугольная призма
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Наклонная треугольная призма
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
или
V=Sосн . h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
или
Sбок=Pосн.h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как Sбок=Pосн.h, то получим:
Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы:
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Призма. Формулы и свойства призмы
Определение.
Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) - параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.![]() |
![]() |
|
Рис.1 | Рис.2 |
Определение. Основы призмы - две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).
Определение. Боковые грани призмы - все остальные грани за исключением основ.
Определение. Боковая поверхность призмы - совокупность всех боковых граней призмы.
Определение. Поверхность призмы - это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.
Определение. Боковое ребро призмы - общая сторона двух боковых граней.
Определение. Высота - это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.
Определение. Диагональ основания призмы - это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.
Определение. Диагональ боковой грани призмы - это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.
Определение. Диагональ призмы (AN) - это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.
Определение. Диагональное сечение - это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.
Определение. Перпендикулярное сечение - это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.
Определение. Прямая призма - это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
Определение. Наклонная призма - это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
Определение. Правильная призма - это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
Определение. Усечённая призма - это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.
Объём призмы
Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:V = SоснH
Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:V = SпL
Формула. Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):Площадь поверхности призмы
Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:Sb = P·h
Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:S = 2Soсн + P·h
Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):Основные свойства призмы
Основы призмы - равные многоугольники.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.
Треугольная призма — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Треугольная призма — призма с тремя боковыми гранями. Этот многогранник имеет в качестве граней треугольное основание, его копию, полученную в результате параллельного переноса и 3 грани, соединяющие соответствующие стороны[en]. Прямая треугольная призма имеет прямоугольные боковые стороны, в противном случае призма называется косой.
Однородная треугольная призма — это прямая треугольная призма с равносторонним основанием и квадратными боковыми сторонами.
Призма является пятигранником, у которого две грани параллельны, в то время как нормали трёх других лежат в одной плоскости (которая не обязательно параллельна основаниям). Эти три грани являются параллелограммами. Все сечения, параллельные основаниям, являются одинаковыми треугольниками.
Полуправильный (однородный) многогранник[править | править код]
Прямая треугольная призма является полуправильным многогранником или, более обще, однородным многогранником, если основание является правильным треугольником, а боковые стороны — квадратами.
Этот многогранник можно рассматривать как усечённый треугольный осоэдр, представленный символом Шлефли t{2,3}. Его также можно рассматривать как прямое произведение треугольника на отрезок, что представляется как {3}x{}. Двойственным многогранником треугольной призмы является треугольная бипирамида.
Группой симметрии прямой призмы с треугольным основанием является D3h порядка 12. Группой вращения служит D3 с порядком 6. Группа симметрии не содержит центральную симметрию.
Объём любой призмы равен произведению площади основания на расстояние между основаниями. В нашем случае, когда основание треугольно, нужно просто вычислить площадь треугольника и умножить на длину призмы:
V=12bhl{\displaystyle V={\frac {1}{2}}bhl} где b — длина стороны основания, h равна высоте треугольника, а l равна расстоянию между треугольниками.
Усечённая прямая треугольная призма имеет одну усечённую треугольную грань[1].
Имеется полная D2h симметрия гранений[en] (удаление части многогранника, не создавая новые вершины, пересечение рёбер новоё вершиной не считается) треугольной призмы. Получающиеся многогранники имеются многогранники с 6 гранями в виде равнобедренного треугольника, один многогранник сохраняет исходные верхний и нижний треугольники, и один сохраняет исходные квадраты. Две симметрии гранения C3v имеют один базовый треугольник, 3 грани в виде боковых самопересекающихся квадратов и 3 грани в виде равнобедренных треугольников.
Варианты симметрии[править | править код]
Этот многогранник топологически является частью последовательности однородных усечённых многогранников с вершинными конфигурациями (3.2n.2n) и имеющими симметрию [n,3] группы Коксетера.
Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *n32 [n,3] |
Сферическая | Евклидова[en]* | Компактная гиперболич. | Параком- пактная |
Некомпактная гиперболич. | ||||||
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
Усечённые фигуры |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||
Конфигурация[en]* | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12[en] | 3.14.14[en] | 3.16.16[en] | 3.∞.∞[en] | 3.24i.24i | 3.18i.18i | 3.12i.12i |
Разделённые фигуры |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
Конфигурация[en]* | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12[en] | V3.14.14[en] | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Этот многогранник топологически является частью последовательности рёберно усечённых[en] многогранников с вершинной фигурой (3.4.n.4), которая продолжается как умощения гиперболической плоскости. Эти вершинно-транзитивные[en] фигуры имеют зеркальную симметрию[en] (*n32).
Составные тела[править | править код]
Имеется 4 однородных составных тела из треугольных призм:
Соты[править | править код]
Существует 9 однородных сот, которые включают треугольные призмы:
Связанные многогранники[править | править код]
Треугольная призма является первой в пространственной серии полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник имеет в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] обнаружил эту серию в 1900 году как содержащую все виды граней правильных многомерных многогранников, содержащую все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В нотации Коксетера[en] треугольной призме соответствует символ −121.
k21[en] в пространстве размерности n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Пространство | Конечное | Евклидово | Гиперболическое | ||||||||
En[en] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Коксетера |
E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇[en] | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
Диаграмма Коксетера |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Симметрия[en] | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
Граф | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
- | - | |||
Обозначение | −121 | 021 | 121 | 221[en] | 321[en] | 421[en] | 521[en] | 621[en] |
Четырёхмерное пространство[править | править код]
Треугольная призма существует как ячейка в большом числе четырёхмерных однородных четырёхмерных многогранников[en], включая:
Правильная треугольная призма | Банк ЕГЭ
Обозначения
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма
- $a$ — длина стороны основания призмы
- $h$ — длина бокового ребра призмы
- $S_{\text{осн.}}$ — площадь основания призмы
- $V_{\text{призмы}}$ — объем призмы
Площадь оснований призмы
В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной $a$. По свойствам правильного треугольника $$ S_{\text{осн.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$.Объем призмы
Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной треугольной призмы находится правильный треугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн.}}\cdot AA_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 \cdot h $$Находим BD
BD является высотой правильного треугольника со стороной $a$, лежащего в основании призмы. По свойствам правильного треугольника $$ BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a $$ Аналогичным образом, приходим к заключению, что длины всех остальных диагоналей оснований призмы равны $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$.Находим $BD_1$
В треугольнике $DBD_1$:- $DB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$ — как мы только что выяснили
- $DD_1=h$
- $\angle BDD_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Находим $BC_1$
В треугольнике $CBC_1$:- $CB=a$
- $CC_1=h$
- $\angle BCC_1=90^{\circ}$ — потому что прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$
Нахождение площади сечения треугольной призмы — «Шпаргалка ЕГЭ»
Решение задачи
В данном уроке показано решение геометрической задачи, которое можно использовать в качестве примера при решении задач С2 при подготовке к ЕГЭ по математике.
Прежде всего, условие задачи изображается схематически на рисунке. Далее выполняется построение сечения. Боковая грань — прямая, по которой плоскость пересекает основание призмы . Так как верхнее основание параллельно нижнему основанию, то прямые, по которым плоскость пересекает данные плоскости, будут параллельны. Так как параллельно , то четырехугольник по определению — трапеция. Площадь трапеции определяется по формуле: . Далее утверждается, что является средней линией и при этом она равна половине стороны . Высота определяется из треугольника . При этом применяется свойство высоты равностороннего треугольника , где — сторона треугольника, а также теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, подставив найденные значения в формулу площади трапеции, определяется искомое значение площади сечения.