Задачи на построение сечений. Геометрия 10 класс
Урок геометрии в 10 классе
Аксиомы и теоремы стереометрии
А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В
А
α
Аксиомы и теоремы стереометрии
β
А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
А
a
α
Аксиомы и теоремы стереометрии
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
β
α
γ
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K .
Построение:
S
1 . DE
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4 . FD
5. FD ∩ B С = M
6 . KM
E
D Е K М – искомое сечение
K
F
А
С
M
D
В
Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС.
Построение:
В 1
C 1
1. К P
Р
2. EM ║ К P (К 1 Р 1 )
К
3. EK
4. М N ║ EK
А 1
D 1
5. Р N
N
K Р N М E – искомое сечение
М
В
С
Р 1
А
D
К 1
E
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
C 1
В 1
Выберите верный вариант:
1. НМ
1. МТ
А 1
D 11. Н T
Н
Т
С
В
М
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
C 1
1. НМ
В 1
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
А 1
D 1
Н
Т
В
С
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
C 1
1. М T
В 1
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
А 1
D 1
Н
Т
В
С
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
C 1
В 1
Выберите верный вариант:
2. НТ ∩ B С = Е
А 1
D 1
2. НТ ∩ D С = Е
Н
Т
С
В
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ ВС = Е
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = Е
Выберите верный вариант:
А 1
D 1
3 . ME ∩ AA 1 = F
Н
3 . ME ∩ CC 1 = F
3 . ME ∩ B С = F
Т
Е
В
С
М
DА
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ AA 1 = F
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
E
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ CC 1 = F
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
E
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
Выберите верный вариант:
4. Н F
Н
4. МТ
Т
4. Т F
E
F
В
С
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Н F
Н
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Т
E
F
В
С
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. MT
Н
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Т
E
F
В
С
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
В 1
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
Н
Выберите верный вариант:
5. Т F ∩ А 1 А = K
Т
5. Т F ∩ В 1 В = K
E
F
В
С
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
1. НТ
В 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ А 1 А = K
Н
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Т
E
F
С
В
М
Назад
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
Выберите верный вариант:
Т
6 . Н K ∩ А D = L
6. Т K ∩ А D = L
6. М K ∩ АА 1 = L
E
F
С
В
М
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. Н K ∩ А D = L
Т
E
F
С
В
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
Комментарии:
Данные прямые — скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. T K ∩ А D = L
Т
E
F
В
С
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
Выберите верный вариант:
7. LF
E
7. LT
F
В
С
М
7. LH
L
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
В 1
C 1
Комментарии:
2. НТ ∩ D С = E
Данные точки принадлежат разным граням!
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. L Т
E
F
В
С
L
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
В 1
C 1
Комментарии:
2. НТ ∩ D С = E
Данные точки принадлежат разным граням!
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. LF
E
F
В
С
L
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. L Н
НТ F М L – искомое сечение
E
F
В
С
L
М
D
А
K
Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K .
Построение:
1. KF
2. FE
К
В 1
3. FE ∩ А B = L
C 1
F
4 . LN ║ FK
5 . LN ∩ AD = M
А 1
6 . EM
D 1
7 . KN
E
EFKNM – искомое сечение
N
В
С
Пояснения к построению:
4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам).
А
Пояснения к построению:
3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L .
Пояснения к построению:
2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В.
Пояснения к построению:
1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 .
М
D
L
Пояснения к построению:
6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D .
Пояснения к построению:
7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .
Пояснения к построению:
5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M .
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
Построение:
S
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
3. E Р
4 . ЕР ∩ АВ = F
ЕР ∩ В C = N
К
5 . М F
6 . N К
КМ FN – искомое сечение
М
Е
С
Р
А
F
N
В
Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.
Построение:
1. ML
T
2. ML ∩ D 1 А 1 = E
К
В 1
3. EK
C 1
4 . EK ∩ А 1 B 1 = F
F
5 . LF
E
P
А 1
6 . LM ∩ D 1 D = N
D 1
7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T
8 . NT
9 . NT ∩ DC = G
NT ∩ CC 1 = P
L
В
10 . MG
С
11 . PK
М LFKPG – искомое сечение
G
А
D
М
N
Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L .
В 1
C 1
К
А 1
D 1
L
В
С
А
D
F
Задача 7. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки F, K, L .
Проверка:
В 1
C 1
К
М
А 1
D 1
L
В
С
N
F М KLN – искомое сечение
А
D
F
multiurok.ru
Презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме: Презентация к уроку «Построение сечений многогранников». Геометрия. 10 класс.
Слайд 1
Задачи на построение сеченийСлайд 2
Определения. 1.Секущая плоскость тетраэдра( параллепипеда )-это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра ( параллепипеда ). 2.Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани тетраэдра ( параллепипеда ) называется сечением тетраэдра ( параллепипеда ).
Слайд 3
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Слайд 4
А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K . D E K M F Построение: 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4 . FD 5. FD ∩ B С = M 6 . KM 1 . DE D Е K М – искомое сечение
Слайд 5
Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 2 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K . К L М Построение: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ А B = L EFKNM – искомое сечение F E N 4 . LN ║ FK 6 . EM 5 . LN ∩ AD = M 7 . KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L . Пояснения к построению: 4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: 5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M . Пояснения к построению: 6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D . Пояснения к построению: 7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .
Слайд 6
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML 2. ML ∩ D 1 А 1 = E 3. EK М LFKPG – искомое сечение F E N P G T 4 . EK ∩ А 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9 . NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11 . PK
Слайд 7
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ 1. МТ 1. Н T Выберите верный вариант:
Слайд 8
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4 . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 9
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. М T Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 10
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е 2. НТ ∩ B С = Е Выберите верный вариант:
Слайд 11
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
Слайд 12
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е Е 3 . ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B С = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Выберите верный вариант:
Слайд 13
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ AA 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
Слайд 14
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ CC 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
Слайд 15
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F 4. Т F 4. МТ Выберите верный вариант:
Слайд 16
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 17
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 18
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K 5. Т F ∩ В 1 В = K Выберите верный вариант:
Слайд 19
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
Слайд 20
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L 6 . Н K ∩ А D = L 6. Т K ∩ А D = L Выберите верный вариант:
Слайд 21
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. Н K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
Слайд 22
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. T K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
Слайд 23
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Выберите верный вариант:
Слайд 24
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Т Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 25
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
Слайд 26
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Н НТ F М L – искомое сечение
Слайд 27
А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Построение:
Слайд 28
А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е 3. E Р 4 . ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ В C = N 5 . М F 6 . N К КМ FN – искомое сечение
Слайд 29
Спасибо за внимание!
nsportal.ru
План-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему: Урок геометрии в 10 классе «Задачи на построение сечений»
Елисеева Г.И.,
учитель математики
Урок геометрии в 10 классе «Задачи на построение сечений»
Цели урока:
— формирование у учащихся умений построения сечений тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями; закрепление алгоритма построения сечений и отработка навыков построения сечений многогранников;
— воспитание чувства взаимопомощи, умения работать индивидуально над поставленными задачами, воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний;
— развитие у учащихся пространственного воображения, развитие графической культуры и математической речи.
Задачи урока: научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями.
Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, модели многогранников.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.
Ход занятия:
1.Организационный момент.
Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. Выяснить были ли трудности с выполнением домашней работы.
На предыдущем уроке мы познакомились с двумя видами многогранников: тетраэдром и параллелепипедом, а сегодня мы научимся строить сечения этих многогранников различными плоскостями.
2. Актуализация опорных знаний.
Устная фронтальная работа по вопросам теории данной темы, с целью актуализации знаний учащихся. Повторение изученного материала: аксиом стереометрии, следствий из аксиом, способов задания плоскостей, терминов и определений, связанных с тетраэдром и параллелепипедом.
Вопросы:
1) Какие многогранники вы знаете? Назовите, покажите их модели.
2) Дайте определение тетраэдра.
3) Назовите элементы тетраэдра, показывая их на модели.
4) Дайте определение параллелепипеда.
5) Назовите элементы параллелепипеда, показывая их на модели.
6) Сформулируйте свойства, которыми обладает параллелепипед.
7) Сколько необходимо точек, чтобы провести прямую на плоскости?
8) Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей?
8) Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
9) Сформулируйте свойство параллельных плоскостей.
Демонстрация иллюстраций аксиом стереометрии и свойств параллельных плоскостей в презентации к уроку. (Слайды 2, 3, 4). Презентация.ppt
3. Изучение нового материала.
При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.
1) Определение секущей плоскости.
Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда.
Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.
Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5).
3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.
4) Алгоритм построения сечений многогранников:
а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые;
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую;
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки, и провести через них прямую;
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.
5) Примеры построения сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Демонстрация презентации с решениями задач №1 и №2, где учитель подробно объясняет каждый пункт построения сечений. (Слайд 6. Слайд 7).
Задача №1. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки D, E, К, где D∈AB, E∈SA, K∈SС.
Задача №2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где P∈D1C1, K∈A1D1, М∈ВС.
4. Закрепление изученного материала.
1) Устная работа.
Учащимся предлагается фронтально решить задачу №3, представленную в презентации. На экране в каждом пункте построения сечения появляется несколько вариантов действий, только один из них правильный, если выбран неверный вариант – с помощью гиперссылки возврат назад. (Слайды 8-27).
Задача №3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, где Т∈СС1, Н∈DD1, М∈АВ.
2) Решение задач на построение сечений.
Для решения задач №4, №5, №6 и №7 чертежи тетраэдра и параллелепипеда подготовлены заранее на отдельных листах.
Один учащийся решает задачу №4 с помощью мультимедийного проектора, комментируя и объясняя последовательность построения сечения, а все остальные вместе с ним строят сечение на готовых чертежах. (Слайд 28)
Задача №4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K , где Е∈АА1, F∈А1B1, K∈B1C1 .
Задачи №5 и №6 учащиеся выполняют самостоятельно в парах на готовых чертежах, проверка построения сечений и обсуждение действий осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайды 29, 30)
Задача №5. Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, где К∈SС, М∈SА, Р∈АВС.
Задача №6. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, где К∈B1C1, L ∈АА1, М∈AD .
3) Самостоятельная работа на построение сечения.
Учащиеся самостоятельно выполняют задачу №7, верно выполнившие задания получают оценки.
Задача №7. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L, где F∈AD, K∈D1C1, L∈СС1. (Слайд 31)
Правильность построения сечения в задаче №7 осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайд 32)
5. Подведение итогов урока.
Повторение алгоритма построения сечений. Оценивание работы учащихся.
— Итак, сегодня на уроке мы научились строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями по заданным точкам.
1) Какие многоугольники являются сечениями тетраэдра и параллелепипеда?
2) Какие правила необходимо соблюдать при построении сечений многогранников?
3) Сформулируйте алгоритм построения сечений многогранников.
Выставить и прокомментировать оценки учащихся. Отметить, с чем учащиеся справились, успешно, а на что нужно еще обратить внимание.
6. Домашнее задание.
п.14. №71(а, б), №72 (а), № 81(а, б)
Список литературы:
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М: Просвещение, 2016.
nsportal.ru
Урок геометрии в 10 классе по теме «Решение задач на построение сечений»
МБОУ «Октябрьская средняя общеобразовательная школа»
Курского района Курской области
разработка урока
по математике в 10 классе
по теме
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
Подготовила учитель
ГУДАКОВА Л.Е.
2013-2014 учебный год
Тип урока: Усвоениe новых знаний.
Базовый учебник: Л.С. Атанасян «Геометрия. Базовый и профильный уровень. 10-11 классы».
Цель урока: учить решать задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Планируемые результаты:
Личностные УУД
— аргументировано оценивать свои и чужие поступки;
— ответственное отношение к учению на основе мотивации к учению и познанию
Предметные УУД
— знать понятия секущей плоскости, сечения тетраэдра и параллелепипеда;
— строить сечения тетраэдра и параллелепипеда.
Метапредметные УУД познавательные
— анализировать и обобщать;
— классифицировать;
— устанавливать аналогии (создавать модели объектов).
регулятивные
— выполнять учебное действие в соответствии с планом;
-оценивать степень и способы достижения цели.
коммуникативные
— различать в речи другого мнения, доказательства, факты;
— корректировать своё мнение;
— организовывать работу в паре;
— использовать ИКТ.
Формы работы обучающихся: фронтальная, парная.
Необходимое техническое оборудование: Интерактивная доска ActivInspire, программа KOMPAS-3D V13 Home; проектор, модель тетраэдра, раздаточный материал, учебник.
ХОД УРОКА
1. Организационный этап.
Готовность к уроку.
2. Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности.
— Здравствуйте, дети. Какие фигуры мы рассматривали на прошлом уроке?
О: На прошлом уроке мы рассматривали тетраэдр и параллелепипед. Учились изображать эти многогранники на плоскости.
— Сегодня мы будем учиться решать задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Для этого сначала узнаем, что такое сечение, как строить сечения и параллельно проведём небольшую классификацию возможных сечений тетраэдра и параллелепипеда.
На листочках (раздаточный материал) запишем число, классная работа и тема урока – Задачи на построение сечений.
2. Актуализация знаний
Рассматривая чертёж ответьте на вопросы:
1. (тетраэдр) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости
АВС и АDС; АВК и СDB.
2. Точки пересечения DК и АВС; КSи АВС.
3. Каким граням принадлежит точка К.
4. (Параллелепипед) Пересечение плоскостей АА1В1 и АСD; РВС и А1D1С1
5. Точки пересечения РМ и АВС; СМ и А1D1С1.
6. Каким граням принадлежит точка М.
3. Первичное усвоение новых знаний.
— Что же такое сечение? Проведём секущую плоскость, т.е. плоскость, по обе стороны от которой есть точки многогранника.
— Эта секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по каким фигурам?
О: секущая плоскость пересекает грани по отрезкам
— Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).
Многоугольник. А у нас на модели четырёхугольник. Что это значит? – значит в зависимости от того, сколько граней многогранника пересечёт секущая плоскость, столько сторон будет у многоугольника в сечении.
У тетраэдра сколько граней? Значит, в сечении могут получиться только треугольник и четырёхугольник.
У параллелепипеда шесть граней значит, в сечении может получиться только треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.
Давайте рассмотрим все возможные случаи построения. Перейдём к изображениям.
Ф1. Даны три точки. Построить сечение тетраэдра плоскостью.
— Достаточно ли данных для построения?
О: Да, через три точки, не лежащие на одной прямой …
Знаем, что секущая плоскость пересечёт эту грань по отрезку. Две точки этого отрезка известны. Как построить линию пересечения?
О: соединить точки.
NB: две точки сечения лежат в одной грани, значит соединяем их отрезком.
Наш треугольник изображён некорректно.
Как изображаются отрезки, лежащие на невидимых гранях?
О: Они изображаются пунктирными линиями.
Ф2. Параллелепипед. Даны три точки. (Ученик у доски. Проводит аналогичные рассуждения).
Ф4. Провести сечение через три точки. Точка Р лежит в нижней невидимой грани параллелепипеда.
Точка Р и отрезок ОК лежат в параллельных плоскостях. Т.е. секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости. Что произойдёт?
О: Секущая плоскость пересечёт параллельные плоскости по параллельным отрезкам. Получили по две точки в каждой грани. Их можно соединить.
Ф5. Соединяем точки А и С, А и В. Надо построить ещё одну точку, принадлежащую двум граням, содержащим точки и плоскости сечения. Эта точка лежит на линии пересечения граней. Продолжаем…
Ф6. При построении сечений параллелепипеда помним всегда свойство линий пересечения параллельных плоскостей с секущей плоскостью. В нашем случае это секущая плоскость. Найдём ещё одну точку пересечения секущей
плоскости и нижней грани. Эти точки лежат в одной плоскости. Соединяем
их…
Физминутка. Поухаживаем за своим зрением.
Посмотреть на переносицу и задержать взор на счёт 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счёт 1-6. Повторить ещё раз.
Ф7. Аналогичные рассуждения.
5. Первичная проверка понимания и закрепление.
Ф3. Провести сечение через ребро АВ и точку С. Достаточно ли данных для построения? Выполняют самостоятельно.
— Какой теоретический материал поможет строить сечения тетраэдра и параллелепипеда?
О: аксиома стереометрии об общей точке двух плоскостей;
свойстве линий пересечения параллельных плоскостей с секущей плоскостью.
— какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра и параллелепипеда?
О: треугольники, четырёхугольники. А у параллелепипеда ещё пятиугольник и шестиугольник.
4. Информация о домашнем задании, инструктаж.
— На следующем уроке продолжим работать над этой темой.
— Д.З. п.14, № 69, 82 (1)
7. Рефлексия.
Анализ анкеты карты рефлексии. Подведение итогов урока.
РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
infourok.ru
«Задачи на построение сечений». 10-й класс
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- Знакомство с понятием сечения многогранника.
- Определение видов многоугольников, являющихся сечениями тетраэдра и параллелепипеда.
- Классификация задач на построение сечений по способу задания секущей плоскости.
- Рассмотрение примеров решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Ход урока
Изложение нового материала.
Назовем секущей плоскостью многогранника плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки называется сечением многогранника. Поскольку тетраэдр имеет четыре грани, его сечением могут быть только треугольники и четырехугольники (учитель показывает Слайд 1 из презентации 1). Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть только треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (Слайд 2 из презентации 1).
Типы задач на построение сечений.
(Слайд 3 из презентации 1)
В задачах на построение сечений секущая плоскость может быть задана:
- Двумя пересекающимися прямыми.
- Двумя параллельными прямыми.
- Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
- Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Поскольку прямая задается двумя точками, то все задачи на построение сечений можно свести к построению сечения плоскостью, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Эти точки могут быть расположены: А) в вершинах; Б) на ребрах; В) на гранях.
В соответствии с вышесказанным можно сформулировать следующие типы задач, в зависимости от того где расположены три точки, задающие секущую плоскость:
1) ААА; 2)ААБ; 3)ААВ; 4)АББ; 5)АБВ; 6)АВВ; 7)БББ; 8)ББВ; 9)БВВ; 10)ВВВ.
Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, после чего останется провести отрезки соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
Рассмотрим решение задачи 1 из текста учебника. (Презентация 2, ученики выполняют построение в тетрадях.)
На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение.
Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ искомое сечение.
Закрепление нового материала.
Решение задачи Т-ББВ (один из учеников решает на доске, остальные решают в тетради).
Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки Е и F, лежащие на ребрах DC и BD соответственно, и точку G, лежащую на грани ABC.
Решение задачи П-ББВ (один из учеников решает на доске, остальные решают в тетради).
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Е и F, лежащие на ребрах АВ и DD1 соответственно и точку G, лежащую на грани BCC1.
Домашнее задание.
Задачи Т-ААБ, Т-АБВ, П-ААА, П-БББ
(Учитель раздает распечатки с текстом задач из Приложения 1.)
urok.1sept.ru
Методическая разработка (геометрия, 10 класс) по теме: Построение сечений многогранников. Урок 10 класс.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
«Решение задач на построение сечений многогранников».Сообщение на РМО учителей математики….
Презентация к уроку «Построение сечений многогранников». Геометрия. 10 класс.Презентация к уроку по геометрии «Построение сечений многогранников», выполнена с элементами объяснения нового материала с последующей самостоятельной работой, затем проверкой в форме игры. Геометрия …
разработка урока по геометрии по теме «Построение сечений многогранников».данная разработка знакомит учащихся с различными способами решения геометрических задач при помощи построения сечений геометрических фигур…
Презентация к уроку «Построение сечения многогранника»Фрагмент урока построение сечения многогранников…
Методическая разработка урока по теме «Построение сечений многогранников»В материале представлен конспект урока с использованием современных технологий. А также добавлено приложение к уроку для оценки результатов обучения учениками….
Методическая разработка урока по теме «Построение сечений многогранников»В материале представлен конспект урока с использованием современных технологий. А также добавлено приложение к уроку для оценки результатов обучения учениками….
урок геометрии 10 класс»Построение сечений многогранников»Урок геометрии 10 класса «Построение сечений многогранников» содержит презентацию к уроку, конспект урока, рабочие листы для учащихся….
nsportal.ru
Построение сечений , геометрия 10 класс
И.Н.Семёновых, МБОУ «Низовская СОШ»
Урок
Тема: « Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда».
Предмет: геометрия
Класс: 10
Используемые педагогические технологии:
технология проектного обучения, информационные технологии.
Тема урока: Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда
Тип урока: урок закрепления и развития знаний.
Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная
Список используемых источников и программно-педагогических средств:
Л.С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2006г.
В. Н. Литвиненко. Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1991.
Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс. ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» 31/2001.
А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». Математика. 3/94.
Мультимедийный интерактивный курс «Открытая математика. Стереометрия.» Физикон
«Живая геометрия»
Цели:
Образовательные:
Проверить знание теоретического материала о многогранниках (тетраэдр, параллелепипед).
Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.
Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников.
Развивать графическую культуру и математическую речь.
Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.
Развивающие:
Развивать познавательный интерес учащихся.
Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.
Воспитательные:
Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.
Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Техническое обеспечение:
Компьютер с установленными программами «Живая геометрия», Power Point, мультимедиапроектор.
Раздаточный материал:
Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами для взаимопроверки, опоры – памятки, презентация по теме «Аксиомы стереометрии, следствия из них», презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда», цветные карандаши.
Структура урока.
1. | Приветствие. Организационный момент. | 1 мин |
2. | Постановка цели и задачи урока. | 2 мин |
3. | Повторение изученного материала с использованием презентации. | 5 мин |
4. | Актуализация опорных знаний. | 12мин |
5. | Практическая работа на построение сечений. | 15мин |
6. | Взаимопроверка. | 5 мин |
7. | Домашнее задание | 2 мин |
8. | Рефлексия. | 2 мин |
9. | Итоги | 1 мин |
Ход урока:
1)Приветствие. Организационный момент.
2) Постановка цели и задачи урока.
— Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани.
3) Повторение изученного материала с использованием презентации.
— Давайте повторим некоторые вопросы теории.
Что такое секущая плоскость?
Как можно задать секущую плоскость?
Что такое сечение тетраэдра (параллелепипеда)?
Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?
А какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда?
Давайте повторим аксиомы стереометрии, следствия из них и способы задания плоскости (презентация 1, слайды 1-10)
4) Актуализация опорных знаний.
Презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда».
— Теперь давайте вспомним алгоритм построения сечения тетраэдра на примере двух задач (презентация 1, слайды 11-12). (построение комментируется пошагово учителем).
— Пащенко Алексей с помощью своей презентации напомнит нам об алгоритмах построения сечений параллелепипеда (презентация 2, слайды 1-5) (ученик демонстрирует слайды, комментируя последовательность построения)
—
А сейчас с помощью программы «Живая геометрия» мы «оживим» пространство на примере сечения куба. Программа позволяет вращать многогранник, что позволит вам увидеть сечение со всех сторон.
5) Практическая работа на построение сечений с последующей взаимопроверкой.
Ученики получают бланки-карточки для практической работы (приложение 1) Малая наполняемость класса (5 человек), достаточно большое количество посадочных мест, а также последующая взаимопроверка позволяет выполнение работы одного варианта.
На бланках также расположено несколько различных примеров построения сечений. У каждого ученика на парте опора-памятка (приложение 2).
Практическая работа состоит из 12 заданий разного уровня сложности. 5-7 правильно выполненных заданий – оценка «3», 8-10 заданий — оценка «4», 11-12 заданий — оценка «5»
6) Взаимопроверка.
Ученики меняются листами с практической работой, получают для проверки бланки с ответами (приложение 3). Проверяют работы друг друга, отмечая правильно построенные сечения.
7) Домашнее задание.
— В качестве домашнего задания я попрошу вас решить задачи, аналогичные задачам в практической работе, но на построение сечений тетраэдра. Каждому предлагается выполнить по 4 задания (приложение 4) Задания имеют три уровня сложности.
8) Рефлексия.
— Итак, подведем итог, чему мы научились сегодня на уроке?
— Какие теоретические положения нам часто приходилось использовать?
— Какие ошибки были допущены при решении задач? Как вы их устранили?
— Кому приходилось возвращаться к задаче несколько раз?
— Где в практической деятельности вам пригодится сегодняшний урок?
На этапе рефлексии деятельности учащиеся анализируют, где и почему были допущены ошибки, каким способом они были исправлены, повторяют алгоритмы, вызвавшие затруднения, оценивают свою деятельность на уроке.
9) Итог урока.
В завершение урока учащиеся с помощью учителя фиксируют степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности. Выставляются оценки.
Практическая работа по построению сечений параллелепипеда. Приложение 1
Приложение 2
Опора-памятка
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Следствия из аксиом:
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Способы задания плоскости:
Приложение 3
Ответы к практической работе.
Приложение 4
multiurok.ru