Сечение в стереометрии: Построение сечений

Содержание

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве”.

 

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

 

3. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

\circ\).

 

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

 

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

 

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости.


 

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\).


 

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

 

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

 

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\). Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\), не лежащей на прямой \(l\), то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.


 

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\). Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\). Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.


 

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.


 

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA’\) и \(BB’\) (точки \(A’, B’\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A’B’\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\). Точка \(M=a\cap A’B’\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\).

 

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

 

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(A’P=\dfrac 14AA’, \ KC=\dfrac15 CC’\). Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\).

 

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA’, CC’\) перпендикулярны \((ABC)\), то точки \(A\) и \(C\) — проекции точек \(P\) и \(K\). \circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\), то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\), высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\), считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\), считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

 

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). Т.к. \(DO\perp (ABC)\), то и \(NO\perp (ABC)\). Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\).
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\), то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\), то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\), следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\).


 

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). \(L\) – точка пересечения этих прямых.

 

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\), хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

 

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\). \circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\), значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\).

 

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)).

 

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\).

 

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\). Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\).


 

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\), она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\). Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\). Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\), получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\). Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

 

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\), то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\). Но \(SB=SD\), значит и \(SK=SP\). Таким образом, можно найти только \(SP:PD\).

 

Рассмотрим \(\triangle ASC\).

\circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), следовательно, \(AD=CD\), следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\).

 

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\); наклонная \(BK\perp AC\), значит и проекция \(HK\perp AC\). Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\). Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\).


 

Соединив точки \(A\) и \(H\), получим отрезок \(AN\), по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\). Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\).

 

Обозначим \(AB=CB=DB=x\). Тогда \(BK\), как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\), равна \(\frac12 AC\), следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\).

 

Рассмотрим \(\triangle BKD\). Найдем отношение \(DH:HK\).


 

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\), то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\). Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]


 

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\). Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\).

Математика — Геометрия — Стереометрия

Построение сечений объемных фигур при решении геометрических задач по стереометрии часто вызывает у абитуриентов определенные сложности. При этом на ЦТ и ЕГЭ по математике иногда приходится выполнять такую процедуру. Далее представлен алгоритм построения простейших сечений пространственных фигур и объемных тел.

 

Алгоритм построения простейших сечений:

  1. Соединяем точки сечения, лежащие на одной грани прямыми. При этом участки получающихся прямых, заключенные между ребрами, становятся отрезками сечения. Повторяем этот процесс до тех пор, пока не исчерпаем все подобные возможности, и только потом переходим ко второму пункту.
  2. Продлеваем какой-нибудь отрезок сечения и какое-либо ребро, лежащее с ним в одной грани до пересечения.
  3. Смотрим, какой грани принадлежит точка пересечения. Если в этой грани есть точки сечения, то соединяем полученную ранее точку пересечения и имеющуюся точку сечения прямой. При этом участки получающихся прямых, заключенные между ребрами (но не их продолжениями), становятся отрезками сечения.
  4. Затем повторяем процесс (начиная с первого пункта), пока сечение не замкнется.

ЗАМЕЧАНИЕ: Пересекаются только прямые, лежащие в одной плоскости (осознание этого факта для правильного построения сечений важнее знания самого алгоритма построения этих самых сечений).

ЗАМЕЧАНИЕ: Приведенный алгоритм не универсальный. Вы должны быть готовы к тому, что он не сработает, а Вам придется проявить смекалку. Универсального алгоритма построения сечений многогранников, к сожалению, не существует.

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Задачи на построение сечений. Аксиомы и теоремы стереометрии (урок геометрии в 10 классе)

2015-2016
УЧЕБНЫЙ ГОД
Аксиомы и теоремы стереометрии
В
А
α
А2. Если две точки
прямой лежат в
плоскости, то все точки
прямой лежат в этой
плоскости.
Аксиомы и теоремы стереометрии
β
А
α
a
А3. Если две плоскости
имеют общую точку, то
они имеют общую
прямую, на которой
лежат все общие точки
этих плоскостей.
Аксиомы и теоремы стереометрии
Если две параллельные
плоскости пересечены
третьей, то линии их
пересечения
параллельны.
β
α
γ
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки D, Е, K.
Построение:
S
1. DE
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
5. FD ∩ BС = M
6. KM
DЕKМ – искомое сечение
E
K
А
С
M
D
В
F
Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей
через точки Р, К, М, М∈ВС.
Построение:
В1
К
А1
C1
Р
D1
N
М
В
А
С
Р1
E
К1
D
1. КP
2. EM ║ КP (К1Р1)
3. EK
4. МN ║ EK
5. РN
KРNМE – искомое сечение
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
1. НМ
1. МТ
1. НT
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
Выберите верный вариант:
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
1. НМ
Комментарии:
Данные точки
принадлежат разным
граням!
С
D
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
1. МT
Комментарии:
Данные точки
принадлежат разным
граням!
С
D
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
C1
1. НТ
Выберите верный вариант:
2. НТ ∩ BС = Е
А1
D1
2. НТ ∩ DС = Е
Н
Т
М
А
В
С
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
1. НТ
2. НТ ∩ ВС = Е
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = Е
C1
Выберите верный вариант:
А1
D1
3. ME ∩ AA1 = F
3. ME ∩ CC1 = F
3. ME ∩ BС = F
Н
Т
М
А
В
С
D
Е
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ AA1 = F
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ CC1 = F
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
Выберите верный вариант:
D1
4. НF
Н
4. МТ
Т
М
А
В
F
С
D
4. ТF
E
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. НF
D1
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
D1
4. MT
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
Выберите верный вариант:
Н
5. ТF ∩ А1 А = K
Т
М
А
В
F
С
D
5. ТF ∩ В1В = K
E
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ А1 А = K
Н
Т
М
А
В
F
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые скрещивающиеся!
Пересекаться не
могут!
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
Выберите верный вариант:
Т
6. НK ∩ АD = L
6. ТK ∩ АD = L
М
F
В
А
С
D
K
E
6. МK ∩ АА1= L
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
В1
Построение:
1. НТКомментарии:
Данные
2. НТ
∩ DС = Eпрямые скрещивающиеся!
3. ME
∩ ВС = F
Пересекаться не
4. ТF
5. ТF ∩ В1Вмогут!
=K
C1
А1
D1
Н
6. НK ∩ АD = L
Т
М
F
В
А
С
D
K
E
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
В1
Построение:
1. НТКомментарии:
Данные
2. НТ
∩ DС = Eпрямые скрещивающиеся!
3. ME
∩ ВС = F
Пересекаться не
4. ТF
5. ТF ∩ В1Вмогут!
=K
C1
А1
D1
Н
6. TK ∩ АD = L
Т
М
F
В
А
С
D
K
E
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
6. МK ∩ АА1= L
Т
Выберите верный вариант:
7. LF
М
L
F
В
А
С
D
K
E
7. LT
7. LH
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
А1
Комментарии:
3. ME ∩ ВС = F
Данные точки
4. ТF
5. ТFпринадлежат
∩ В1В = K
6. разным
МK ∩ АА1= Lграням!
D1
Н
Т
F
В
L
С
7. LТ
E
М
А
D
K
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
А1
Комментарии:
3. ME ∩ ВС = F
Данные точки
4. ТF
5. ТFпринадлежат
∩ В1В = K
6. разным
МK ∩ АА1= Lграням!
D1
Н
Т
F
В
L
С
7. LF
E
М
А
D
K
Назад
Задача 3. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В1
1. НТ
C1
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
А1
4. ТF
D1
5. ТF ∩ В1В = K
Н
6. МK ∩ АА1= L
Т
F
В
L
С
М
А
D
K
7. LН
E
НТFМL – искомое сечение
Задача 4. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки Е, F, K.
Построение:
В1
F
А1
К
C1
D1
E
С
А
L
EFKNM – искомое сечение
N
В
1. KF
2. FE
3. FE ∩ АB = L
4. LN ║ FK
5. LN ∩ AD = M
6. EM
7. KN
М
Пояснения к построению:
4.
Проводим
LN параллельно FK (если
Пояснения
кпрямую
построению:
Пояснения
к построению:
Пояснения
Пояснения
кккпостроению:
построению:
секущая
плоскость
3.DПрямые
FE
и АВ,пересекает
лежащие
в принадлежащие
одной
плоскости
Пояснения
построению:
1. Соединяем
2.
точки
K и E,
F
F,
принадлежащие
7.
6.
Соединяем
точки
точкиграни,
КЕииN,
М,ребро
принадлежащие
принадлежащие
противоположные
она
пересекает
их
АА1В1одной
В,LN
пересекаются
вАА
L .в точке M.
5.Соединяем
Прямая
пересекает
AD
плоскости то
А1точке
В1В

1В.
1D1.
одной
одной
плоскости
плоскости ВСС
АА
по параллельным
отрезкам).
1D

1D.
1.
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей
через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
Построение:
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
3. EР
4. ЕР ∩ АВ = F
ЕР ∩ ВC = N
5. МF
6. NК
КМFN – искомое сечение
S
К
М
Е
А
F
С
Р
N
В
Задача 6. Построить сечение плоскостью,
проходящей через точки К, L, М.
Построение:
T
К
В1
C1
F
E
А1
L
А
D1
В
P
С
G
D
М
N
1. ML
2. ML ∩ D1А1 = E
3. EK
4. EK ∩ А1B1 = F
5. LF
6. LM ∩ D1D = N
7. ЕK ∩ D1C1 = T
8. NT
9. NT ∩ DC = G
NT ∩ CC1 = P
10. MG
11. PK
МLFKPG – искомое сечение
Задача 7. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки F, K, L.
В1
К
А1
C1
D1
L
В
С
А
F
D
Задача 7. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки F, K, L.
Проверка:
В1
М
А1
К
C1
D1
L
В
N
С
FМKLN – искомое сечение
А
F
D

Построение сечений многогранников — презентация онлайн

1. Построение сечений многогранников

Урок геометрии
в 10 классе
Учитель математики СОШ №115 г Перми
Арапова Т.А.

2. Основные методы построения сечений

Метод,
основанный на
использовании
аксиом и теорем
стереометрии
Метод
внутреннего
проектирования
Метод
следов
Х
Учитель математики Арапова Т. А.

3. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
В
α
А
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

4. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
а
А
А3. Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих
плоскостей.
α
β
Учитель математики Арапова Т.А.

5. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
Т3. Если две параллельные
плоскости пересечены третьей,
линии их пересечения
параллельны.
α
β
γ
Учитель математики Арапова Т.А.

6. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 1. Построить сечение через точки К,Р,М.
В1
Р
C1
М
А1
Построение:
1. РК
2. МК
3. МР
D1
МРК – искомое сечение
Комментарии:
В
А
К
С
Точки М
Р ии КР
К лежат
лежат вв плоскости
плоскости CDD
АDD
А1В111С
C
А11D, 1 ,
искомое сечение пересекает правую
переднюю
верхнюю
грань
грань
грань
по
РК по МК
МР
D
Учитель математики Арапова Т.А.

7. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 2. Построить сечение, проходящее через точку Р и параллельное ВDD1В1 .
В1
Р
C1
Р1
А1
Построение:
1. РР1║ D1В1
2. РР2║ D1D
D1
3. Р1Р3║ D1D
4. Р2Р3║ DВ
РР1Р3Р2 – искомое сечение
В
А
Р2
Р3
D
Комментарии:
Искомое сечение ║ плоскости ВDD1В1 ,
С
значит линии пересечений нижней
верхней
левой
передней
грани
грани
грани
грани
и ии
и данных
данных
плоскостей
плоскостей
должны
должны
быть
быть
параллельны.
Учитель математики Арапова Т.А.

8. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 3. Построить сечение, проходящее через точки МРК .
Построение:
В1
C1
А1
D1
М
Р
О1
А
В
К О
3
О4
С
О2
D
1. МР
2. РК
3. МР∩АD=О1
4. О1К∩СВ=О2
5. РК∩ВВ1=О3
6. О2О3∩СС1=О4
7. МО4
РКО2О4М – искомое сечение
Комментарии:
Точки О
Прямые
М2ииРК
К
иО
РРО
илежат
лежат
лежат
вввплоскости
в
плоскости
плоскости
плоскости
на левой
АА
АВCD
D
грани

1лежат
4 ВВ
1 лежат
11В
11ВА
искомое
С
искомое пересекает
сечение
переднюю
левую
нижнюю
1В1ВС , сечение
грань по КО
пересекает
МРзаднюю
КР
грань по О2О4
2
Учитель математики Арапова Т.А.

9. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РК
РМ
КМ
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Учитель математики Арапова Т.А.

10. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Точки М и Р лежат на правой грани ,
искомое сечение пересекает грань
по МР
Учитель математики Арапова Т.А.

11. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на правой грани
Учитель математики Арапова Т. А.

12. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на нижней
грани. Искомое сечение пересекает
грань по КО3
Учитель математики Арапова Т.А.

13. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Точки М и О3 лежат на задней грани
искомое сечение пересекает грань
по МО3
Учитель математики Арапова Т.А.

14. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
М О3 и DD1 лежат на задней грани
Учитель математики Арапова Т.А.

15. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
K О4 и AA1 лежат на левой грани.
Искомое сечение пересекает
грань по КО5
Учитель математики Арапова Т.А.

16. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
О1 РМО КО М– искомое сечение
3
5
К
А
В
Комментарии:
О4
Учитель математики Арапова Т.А.

17. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

18. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
СВЕРИМСЯ!
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

19. Метод следов

След секущей плоскости –
это прямая, по которой
А1
секущая плоскость
пересекает плоскость
какой-либо грани
многогранника.
В1
C1
D1
α
В
Плоскость сечения α
пересекает
плоскость основания АВСD
по прямой а
А
а – след секущей плоскости α
Учитель математики Арапова Т.А.
С
D
а

20. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
В1
C1
О
А1
D1
Р
К
В
С
Р1
А
Х
D
К1
У
Комментарии: ХСпроецируем
насекущей
плоскость
АВСD.
Упринадлежит
принадлежитР,К,О
следу
следу
секущей
плоскости.
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

21. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
D1
C1
О
А1
B1
Р
О1
К
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии: ХУ
Искомая
— след секущая
секущей плоскость
плоскости пересекает левую
грань по ОО
переднюю
грань
по
КОматематики
Учитель
Арапова Т. А.
1
1

22. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
8. РО2∩СС1=О3
9. О2О
D1
C1
О
О3
А1
B1
Р
О1
К
ОО3О2О1– искомое сечение
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии:
Искомая секущая плоскость пересекает правую
грань по О3О2
Учитель математики Арапова Т.А.

23. Метод внутреннего проектирования

Пример
Построить
сечение
через точкисечений
К,Р,О.
Метод5.удобен
при
построении
в тех случаях,
1.
АА1РР
когда
почему-либо
неудобно находить след секущей
1
плоскости.
2. DD1ОО1
В1
О
C1
А1
D1
К
Р
В
Комментарии: Плоскость АА
DD11РР
ОО1,1,
определяется параллельными
прямыми АА
DD11 ии РР
OO11
О1
С
Р1
А
Учитель математики Арапова Т. А.
D

24. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
М
А1
D1
К
Р
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

25. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
А1
D1
К
Р
М2
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

26. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии: Точка S принадлежит
искомому сечению
А
Учитель математики Арапова Т. А.
О1
С
М1
Р1
D

27. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки S и Р лежат
на правой грани , искомое сечение
пересекает грань по SР
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

28. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
6. SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
М
H
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки O и H лежат
на задней грани , искомое сечение
А
пересекает грань по OH
Учитель математики Арапова Т. А.
О1
С
М1
Р1
D

29. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
В
Комментарии:
Точки К и S лежат
на передней грани , искомое
сечение пересекает грань по SK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

30. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
В
Комментарии:
Точки K и L лежат
на левой грани , искомое сечение
пересекает грань по VK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т. А.
Р1
D

31. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
6. SP ∩ CC1=H
7. OH∩ BB1=L
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
L О
М
H
А1
D1
К
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
10. OV
KVOHS-искомое сечение
В
Комментарии:
Точки O и V лежат
на верхней грани, искомое сечение
А
пересекает грань по VO
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

32. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РК
РМ
РМ
C1
А1
Р
В1
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т.А.

33. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
РМ и DС – скрещивающиеся
прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

34. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

35. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т. А.

36. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

37. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

38. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
О5
Учитель математики Арапова Т.А.

Презентация по построению сечений методом параллельного. Презентация по стереометрии «Построение сечений многогранников»(10 класс). Каким образом строится сечение тетраэдра

Построение сечений многогранников

Слайд 2

Определение сечения.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Слайд 3

Секущая плоскость А В С D M N K α

Слайд 4

Секущая плоскость сечение A B C D M N K α

Слайд 5

На каких рисунках сечение построено не верно?

B А А А А А D D D D D B B B B C C C C C N M M M M M N Q P P Q S

Слайд 6

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

P N Построение: А В С D P M N 2. Отрезок PN А В С D M L 1. Отрезок MP Построение: 3. Отрезок MN MPN – искомое сечение 1. Отрезок MN 2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L 3. Отрезок ML MNL –искомое сечение

Слайд 7

Построение: А С В D N P Q R E 1. Отрезок NQ 2. Отрезок NP Прямая NP пересекает АС в точке Е 3. Прямая EQ EQ пересекает BC в точке R NQRP – искомое сечение

Слайд 8

Построение: А B C D M N P X K S L 1. MN; отрезок МК 2. MN пересекает АВ в точке Х 3. ХР; отрезок SL MKLS – искомое сечение

Слайд 9

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрахили гранях фигуры.

Слайд 10

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B А Z Y X M N P S F

Слайд 11

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B Z Y X M N P S А F

Задачи на построение сечений

Определения. 1.Секущая плоскость тетраэдра(параллепипеда)-это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллепипеда). 2.Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани тетраэдра (параллепипеда) называется сечением тетраэдра (параллепипеда).

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K . D E K M F Построение: 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4 . FD 5. FD ∩ B С = M 6 . KM 1 . DE D Е K М – искомое сечение

Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 2 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K . К L М Построение: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ А B = L EFKNM – искомое сечение F E N 4 . LN ║ FK 6 . EM 5 . LN ∩ AD = M 7 . KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L . Пояснения к построению: 4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: 5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M . Пояснения к построению: 6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D . Пояснения к построению: 7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML 2. ML ∩ D 1 А 1 = E 3. EK М LFKPG – искомое сечение F E N P G T 4 . EK ∩ А 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9 . NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11 . PK

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ 1. МТ 1. Н T Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4 . Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. М T Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е 2. НТ ∩ B С = Е Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е Е 3 . ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B С = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ AA 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ CC 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F 4. Т F 4. МТ Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K 5. Т F ∩ В 1 В = K Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L 6 . Н K ∩ А D = L 6. Т K ∩ А D = L Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. Н K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. T K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые — скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Выберите верный вариант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Т Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Н НТ F М L – искомое сечение

А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Построение:

А В С S Задача 5 . Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е 3. E Р 4 . ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ В C = N 5 . М F 6 . N К КМ FN – искомое сечение

Спасибо за внимание!

«Пять платоновых тел» — Тетраэдр. Куб. А сфера — пустота. Октаэдр. Многие многогранники име­ют «двойников». Куб, являясь полностью закрытой фигурой, символизирует ограничение. Во-первых, все грани такого тела равны по размерам. Поэтому порожденный разверткой куба крест так­же обозначает ограничение, страдание. Додекаэдр и икосаэдр.

«Задачи по многогранникам» — Прямоугольный треугольник. Треугольник. Многогранник. Октаэдр. Основание прямой призмы. Невыпуклый многогранник. Равнобедренный треугольник. Сумма площадей всех граней. Диагональ прямоугольного параллелепипеда. Стороны основания прямого параллелепипеда. Призма. Стороны основания. Боковое ребро. Сечение.

««Многогранники» стереометрия» — Эпиграф урока. Великая пирамида в Гизе. Сечение многогранников. Звездный час многогранников. Исправить логическую цепочку. Историческая справка. «Игра со зрителями». Многогранник. Соответствуют ли геометрические фигуры и их названия. Цели урока. Архимедовы тела. Платоновы тела. Укажите правильное сечение.

«Геометрическое тело многогранник» — Землетрясение разрушило Мавзолей. Расстояние между плоскостями. Элементы пирамиды. Призмы. Великая пирамида. Слово. Ученые и философы Древней Греции. Телесная фигура. Применение. Боковые грани. Пепел царственной четы. Свойства призмы. Основание пирамиды Хеопса. Восьмигранник. Квадрат любой диагонали.

«Понятие многогранника» — Четырехугольная призма. Определение. Прямая призма называется правильной. Ребра — стороны граней. Что такое прямоугольный параллелепипед. Призма. Теорема. Сумма площадей всех ее граней. Понятие многогранника. Что такое параллелепипед. Многогранники. Грани. Высота призмы – это перпендикуляр. Что такое тетраэдр.

«Звёздчатые формы многогранников» — Звездчатые кубооктаэдры. Большой звездчатый додекаэдр. Звездчатый усеченный икосаэдр. Ответ. Многогранник, изображенный на рисунке. Звездчатые икосаэдры. Вершины большого звездчатого додекаэдра. Звездчатый додекаэдр. Многогранник. Многогранник, полученный усечением звездчатого усеченного икосаэдра. Большой икосаэдр.

Всего в теме 29 презентаций



Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты. Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков Это интересно!

Жос де Мей «Такое может нарисовать только тот, кто делает дизайн, не зная перспективы…»


«Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет». Леонардо да Винчи




Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.




АКСИОМЫ планиметрия стереометрия 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Характеризуют взаимное расположение точек и прямых Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.












А В С D А1А1 D1D1 С1С1 B1B1 N H K Простейшие задачи D Р О М А В С

О А В С D О А В С D

А В С D А1А1 D1D1 С1С1 B1B1 Диагональные сечения А В С D А1А1 D1D1 С1С1 B1B1


Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

A B C D K L M N F G Проводим через точки F и O прямую FO. O Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

A B C D K L M N F G Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. O Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. Аналогичным образом получим точку R. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. H R Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

E S A B C D K L M N F G Шаг 3: делаем разрезы на других гранях Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. O Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. H R Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC). Почему мы уверены, что все делаем правильно?


A1A1 А В В1В1 С С1С1 D D1D1 M N 1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1, М, N O К Е P Правила 1. MN 2.Продолжим MN,ВА 4. В 1 О 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 9. В 1 E 5. В 1 О А 1 А=К 8. MN BD=E 10. B 1 Е D 1 D=P, PN 3. MN BA=O

Правила для самоконтроля: Вершины сечения находятся только на ребрах. Стороны сечения находятся только на грани многогранника. Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.

44 1.Атанасян Л.С., и др. Геометрия – М.: Просвещение, Литвиненко В.Н., Многогранники. Задачи и решения. – М.: Вита-Пресс, Смирнов В.А., Смирнова И. М., ЕГЭ 100 баллов. Геометрия. Сечение многогранников. – М.: Экзамен, Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика». Федотова О., Кабакова Т. Интегрированный урок «Построение сечений призмы», 9/ Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М., Просвещение, Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум» 7. ml

Чудаева Елена Владимировна, учитель математики,

МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1»,

г. Инсар, Республика Мордовия

Построение сечений многогранников

Учебно-методическое обеспечение: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 10-11 класс.

Оборудование и материалы для урока : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.

Цель урока: углубление, обобщение, систематизация, закрепление полученных знаний и развитие их в перспективе (изучить метод следов)

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Знания, умения, навыки и качества, которые закрепят ученики в ходе урока:

    умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;

    умение выделять существенные признаки и делать обобщения;

    навыки творческого подхода к решению задач на построение сечений

План урока:

1. Сформирование у школьников мотивации к изучению данной темы.

2. Проверка домашнего задания. Исторические сведения.

3. Повторение опорных знаний (аксиоматика, способы задания плоскости).

4. Применение знаний в стандартной ситуации.

5. Изучение и закрепление нового материала: метод следов.

6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

Ход урока: I этап – Вводная беседа.

Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1.Мотивация

Вводная беседа (1 мин)

Слушают учителя

2. Проверка домашнего задания

Комментирует мини-выступления учащихся

Слушают выступления товарищей, задают вопросы

II этап Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Повторение аксиом стереометрии

2. Повторение: взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей

3. Обобщение теории

Вывод о способах задания плоскости

Запись вывода в тетрадь

4. Повторение понятия многогранника и сечения многогранника плоскостью

Опрос учащихся

Устные ответы на вопросы учителя

III этап Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

Решение типовых задач по готовым чертежам (каждому ученику выдается рабочий листок с условием задачи и чертежом для построения сечения).

Совместное решение первой задачи (подробное комментирование шагов решения и записи оформления в рабочий лист).

Изучение условия задачи, работа по готовым чертежам, с последующим разбором решения по слайдам.

IV этап С войства параллельных плоскостей (6 мин)

Формы и методы работы учителя

Виды деятельности учащихся

1. Повторение темы «Параллельность плоскостей».

2. Решение задач

Работа по готовым слайдам (фронтальный опрос учащихся)

Проверка правильности выполнения задания

Устные ответы на вопросы учителя

Построение сечений в рабочем листе.

Ответы у доски.

V этап — Выход на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Изучение нового материала

2. Закрепление нового материала

Объяснение нового материала. Показ учебного фрагмента учебного фильма «Как построить сечение куба?»

Работа по готовым чертежам у доски (с последующим комментированием этапов построения сечения по слайду)

Слушают объяснение учителя. Просмотр учебного фильма.Анализ видеофрагм., запись образца решения.

Двое учащихся решают у доски, остальные в рабочем листе

VI этап — Самостоятельная работа (4-5 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

Самостоятельная работа обучающего характера

Объяснение предстоящей работы.

Проверка выполнения задания.

Выполнение самостоятельной работы (по готовым чертежам).

Самопроверка по готовым слайдам.

VII этап подведение итогов урока (4 мин)

Формы и методы работы

Виды деятельности

учащихся

1. Подведение итогов

2. Творческое домашнее задание

Беседа по итогам урока с использованием слайдов

Проецируется на экран

Устные ответы на вопросы учителя

Запись в дневники

ХОД УРОКА

    Вступительная беседа. Исторические сведения.

Учитель : Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Построение сечений многогранников на основе аксиоматики». На уроке мы обобщим и систематизируем пройденный теоретический материал, и применим его к практическим задачам на построение сечений, с выходом на новый более сложный уровень трудности задач.

Главная цель нашего урока в углублении, систематизации, закреплении полученных знаний и развитии их в перспективе .

В качестве домашнего задания вам было предложено написание рефератов или небольших выступлений об истории развития геометрии, о жизни великих математиков, об их знаменитых открытиях и теоремах. Доклады и рефераты получились очень интересные, но на уроке мы заслушаем только три мини-выступления, отвечающие на вопрос, что изучает стереометрия, как возникла и развивалась и где находит своё применение?

1 ученик. Понятие стереометрии, что изучает. (2 мин)

2 ученик. Евклид – основоположник геометрии, греческая архитектура. (2 мин)

3 ученик. Математическая теория живописи. «Золотое сечение» — формула совершенного человеческого тела по Леонардо да Винчи. (2 – 3 мин)

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве. « Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», — писал архитектор Корбюзье.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по прежнему остается «грамматикой архитектора». Геометрические формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве.

Математическая теория живописи – это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силой линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приёмы проекционных изображений. Архитекторы и скульпторы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков удаляющихся в глубь картины, кладет начало панорамной перспективе, указывает правила распределения теней, высказывает уверенность в существовании некой математической формулы красоты отношения размеров человеческого тела – формулы «золотого сечения».

Таким образом мы плавно подошли к теме нашего урока, и мостиком в его следующий этап будут слова Леонардо да Винчи:

«Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет».

Это высказывание определяет следующий этап нашего урока: повторение теоретического материала.

II . Актуализация знаний (повторение теоретического материала)

2.1. Аксиомы стереометрии (таблицы остаются учащимся для работы).

а) разъяснить содержание аксиом и иллюстрировать на модели;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

2.2. Следствия из аксиом стереометрии.

2.3. Взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей.

а) двух прямых (прямые параллельны, пересекаются, скрещиваются)

б) прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает плоскость, параллельна плоскости)

в) двух плоскостей (плоскости пересекаются либо параллельны).

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

б) Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плос­кости, то эти плоскости параллельны.

Учитель: Обобщая все сказанное, приходим к выводу о способах задания плоскости.

2.5. Понятие многогранников. Сечение.

Многогранником называется тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.

М
ногоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью .

III . Применение знаний в стандартной ситуации.


Используя полученные знания, применим их к построению сечений многогранников на основе аксиоматики.

Примеры и их решение приводят учащиеся (под руководством учителя).

IV . Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей.

Учитель: Для решения следующей группы задач нам необходимо повторить свойства параллельных плоскостей.

V . Выход на получение новых знаний: «Метод следов».

Просмотр учебного фильма.

Электронное издание

Применение полученных знаний (решение учащимися двух задач у доски с последующим просмотром правильного решения и записи оформления).

VI — Самостоятельная работа

с последующей взаимопроверкой (по слайду с готовым решением).

VII . Подведение итогов урока
  1. Что нового вы узнали на уроке?
  2. Каким образом строится сечение тетраэдра?
  3. Какие многоугольники могут быть сечением тетраэдра?
  4. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?
  5. Что вы можете сказать о методе следов?
Творческое домашнее задание.
Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Использованные источники

Прототипом данного урока послужил авторский урок Легкошур Ирины Михайловны , изменения дополнения и презентация к уроку выполнены с её разрешения в 2008 г. Ссылка:

    Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.

    Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

    Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов . Полный курс за 7-11 классы»

Построение сечений тетраэдра онлайн. Учимся строить сечения

Тема: « Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда».

Предмет : геометрия

Класс: 10

Используемые педагогические технологии:

технология проектного обучения, информационные технологии .

Тема урока : Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Тип урока : урок закрепления и развития знаний.

Формы работы на уроке : фронтальная, индивидуальная

Список используемых источников и программно-педагогических средств:

1. . Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2006г.

2. . Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1991.

3. Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс . ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» 31/2001.

4. А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». Математика. 3/94.

5. Мультимедийный интерактивный курс «Открытая математика. Стереометрия.» Физикон

6. «Живая геометрия»

Образовательные:

Проверить знание теоретического материала о многогранниках (тетраэдр, параллелепипед).

Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.

Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников.

Развивать графическую культуру и математическую речь.

Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.

Развивающие:

Развивать познавательный интерес учащихся.

Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитательные:

Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Техническое обеспечение:

Компьютер с установленными программами «Живая геометрия», Power Point, мультимедиапроектор.

Раздаточный материал:

Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами для взаимопроверки, опоры – памятки, презентация по теме «Аксиомы стереометрии, следствия из них», презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда», цветные карандаши.

Структура урока.

Приветствие. Организационный момент.

Постановка цели и задачи урока.

Повторение изученного материала с использованием презентации.

Актуализация опорных знаний.

Практическая работа на построение сечений.

Взаимопроверка.

Домашнее задание

Рефлексия.

Ход урока:

1)Приветствие. Организационный момент.

2) Постановка цели и задачи урока.

Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений являет­ся основой изучения почти всех тем курса стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани.

3) Повторение изученного материала с использованием презентации.

Давайте повторим некоторые вопросы теории.

    Что такое секущая плоскость? Как можно задать секущую плоскость? Что такое сечение тетраэдра (параллелепипеда)? Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра? А какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда? Давайте повторим аксиомы стереометрии, следствия из них и способы задания плоскости (презентация 1, слайды 1-10)

4) Актуализация опорных знаний.

Презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда».

Теперь давайте вспомним алгоритм построения сечения тетраэдра на примере двух задач (презентация 1, слайды 11-12). (построение комментируется пошагово учителем).

Пащенко Алексей с помощью своей презентации напомнит нам об алгоритмах построения сечений параллелепипеда (презентация 2, слайды 1-5) (ученик демонстрирует слайды, комментируя последовательность построения)

https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif»>

Практическая работа по построению сечений параллелепипеда. Приложение 1

Приложение 2

Опора-памятка

    Аксиома 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна. Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

, слайды 1-2)

    научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;

    научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;

    освоить методы построения этих сечений

    формировать познавательную активность, умения логически мыслить;

    создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

    Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).

    Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).

    Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).

    Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).

    Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

    КМ = α ∩ АДС

    МЕ = α ∩ ВДС

    Х = КМ ∩ АС

    Р = ХЕ ∩ АВ

    РЕ = α ∩ АВС

    КР = α ∩ АДВ

    КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

    М → М 1 N → А

    Х = NМ ∩ АМ 1

    L = КХ ∩ ВС

    H = КХ ∩ АВ

    НL = α ∩ АВC, К є НL

    НN = α ∩ АВД,

    LQ = α ∩ ВДС, М є LQ

    NQ = α ∩ АДС

    HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

Решение

    1. М → М 1 , N → N 1

    Х = NМ ∩ N 1 М 1

    R = КХ ∩ АВ

    RL = α ∩ АВД, М є RL

    КР = α ∩ ВДС, N є КР

    LP = α ∩ АДС

    RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.

Решение

    КМ = α ∩ АВД,

    МN = α ∩ АВС,

    КN = α ∩ АДС

    KMN – искомое сечение

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

    MN = α ∩ АВД

    NK = α ∩ ВДС

    Х = NК ∩ ВС

    Р = АС ∩ МХ

    РК = α ∩ АДС

    MNKP – искомое сечение

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

    KN = α ∩ ДВС

    Х = КN ∩ ВС

    Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС

    РТ = α ∩ АВС, М є РТ

    PN = α ∩ АДС

    ТР N K – искомое сечение

VI. Итог урока.

(слайд 8)

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Классная работа. Тема урока: Построение сечений тетраэдра. 29.10.

А В С Д ТЕТРАЭДР — ДАВС Тетраэдр « tetra »- четыре, « hedra »- грань.

Цель урока: Задачи урока: Формирование умения строить сечения тетраэдра с плоскостью, проходящей через три заданные точки. Обучающие: — ввести определение секущей плоскости и сечения тетраэдра плоскостью; — сформулировать алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости; — сформулировать алгоритм построения сечение тетраэдра плоскостью. Развивающие: — продолжить формирование пространственного воображения и математической речи; — развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечение многогранников. Воспитывающие: — вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью; — воспитание культуры общения.

Аксиомы и теоремы стереометрии. 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 5. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. А Б В Г Д

Задание: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью М NK .

2. Задание: Построить прямые, проходящие через точки M , N , K .

Сечение A B C D M N K

А В С D M N K α

A B C D M N K Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. MK – след плоскости MNK на плоскости ABC MN — … NK — …

Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продол- жим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2 . Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . 1 способ 2 способ

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.

Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку.

А В С D N K M X P T Проверь себя Решение 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K — искомое сечение

Точка М является внутренней точкой грани ВС D тетраэдра DABC . Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВ D . С D А В М К L N

Задание Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку R параллельно грани BCD . 2. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку S параллельно грани ABC . 3. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку T параллельно грани ACD . 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВС D .

А D B C  S 2 . А D B C  R 1 . А D B C T  3 . 4.

Домашнее задание Изучить п.14 2. № 73 (стр. 29) 3. Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

Предварительный просмотр:

МБОУ «Кимовская средняя общеобразовательная школа

Спасского муниципального района

Республики Татарстан»

Тема урока :

«Построение сечений тетраэдра»

10 класс

Разработала

Мамонова Евгения Геннадьевна,

Учитель математики первой квалификационной категории

Октябрь, 2013г.

Образовательные задачи:

  • обеспечить в ходе урока усвоение алгоритма решения задач на построение сечений тетраэдра.
  • обеспечить усвоение понятий тетраэдра, систематизировать знания, связанные с аксиомами стереометрии, определениями, свойствами, понятием взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
  • формировать навыки изображения рассматриваемых объектов на плоскости и “чтение” предлагаемых изображений, графической грамотности;
  • формировать умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения.

Развивающие задачи:

  • развитие умения применять полученные знания по стереометрии на практике,
  • формирование умения анализировать и обобщать знания в процессе решения задач на построение сечений тетраэдра.
  • уметь выполнять различные вычисления, связанные с определением площади сечения.

Воспитательные задачи:

  • воспитание осознанной потребности в знаниях,
  • совершенствование учебных умений и навыков,
  • воспитывать познавательный интерес к предмету через приобретение пространственного воображения и умения видеть красоту окружающего мира.

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Методы обучения:

Беседа;

Фронтальный опрос;

Иллюстративно-наглядный;

Практический;

Метод сравнения, обобщения.

Учебно-методическое оснащение:

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Материально-техническое оснащение:

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Структура урока :

  1. Орг. момент (1 мин).
  2. Актуализация ранее приобретенных знаний (3 мин).
  3. Подготовка к восприятию нового материала (3 мин).
  4. Создание проблемной ситуации (3 мин).
  5. Объяснение нового материала (10 мин).
  6. Закрепление изученного материала (5 мин).
  7. Самостоятельная работа с последующей проверкой (3 мин).
  8. Практикум (5 мин).
  9. Решение задачи (8 мин)
  10. Это интересно (1 мин).
  11. Постановка домашнего задания (1 мин).
  12. Подведение итогов урока, рефлексия (2 мин).

Ход урока:

Этапы

урока

Деятельность учителя

Деятельность

обучающихся

Время

1. Орг. момент

Здравствуйте, ребята. Садитесь.

» Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг — геометрия». (Слайд №2) Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука. Поэтому я предлагаю вам с еще большим усердием заняться изучением геометрии.

Приветствуют учителя. Садятся.

1 мин

2.Актуализация ранее приобретенных знаний

Устная работа. Вопросы:

С каким многогранником мы познакомились на прошлом уроке?

Дайте определение тетраэдра.

(Слайд №3)

Покажите элементы тетраэдра на модели.

Тема сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра» (Слайд №4). Запишите тему в тетрадях.

Нам предстоит узнать какая плоскость называется секущей, способы и методы построения сечений, научиться строить сечения тетраэдра (Слайд №5). В течение урока вы будете работать с конспектами и строить сечения тетраэдра в них.

С тетраэдром.

Поверхность, составленная из четырех треугольников, называется тетраэдром.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми гранями. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Записывают число и тему урока в тетради.

3 мин

3. Подготовка к восприятию нового материала

Для этого нам нужно вспомнить несколько аксиом и теорем.

Задание: Соотнести чертеж с формулировкой теоремы или аксиомы. (Слайд 6)

Формулируют аксиомы и теоремы, соотносят их с рисунками.

Ответ:

Д-1

В-2

Б-3

А-4

Г-5

3 мин

4. Создание проблемной ситуации.

1. Задание: (Слайд 7)

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью МNK.

Вопросы:

Какой плоскости принадлежит прямая АВ? Постройте ее.

Каким плоскостям принадлежит прямая MN? Продолжите ее.

Вы получили точку пересечения прямых АВ и MN. Обозначьте ее.

Какой плоскости принадлежит эта точка?

Сделайте вывод.

2. Задание: (Слайд 8)

Построить прямые, проходящие через точки M, N, K.

Какая фигура получается при пересечении прямых?

Какой особенностью обладает данный треугольник?

Записывают задание в тетрадь :

Отвечают на вопросы:

АВ є MDN.

MN = MDN ∩ MКN.

Р = MN ∩ АВ

Р є MКN

Р = АВ ∩ МNK.

Строят прямые MK, KN, MN.

Аргументируют свой ответ.

При пересечении прямых получается треугольник MNK.

Треугольник делит тетраэдр на две части. Каждая сторона треугольника принадлежит грани многогранника.

3 мин

5. Объяснение нового материала.

Итак, мы с вами построили сечение тетраэдра. Треугольник, образованный прямыми MK, MN, KN, называется сечением (Слайд 9 ), а плоскость MKN – секущей. (Слайд 10)

Каковы особенности секущей плоскости? (Слайд 9,10)

Основные понятия (Слайд 11 )

При построении сечения мы использовали метод следов. (Слайд 12)

Сейчас вы вспомните, как мы построили сечение и сформулируете алгоритм построения сечений методом следов.

Проверим алгоритмы.

Какие многоугольники могут получить в сечении тетраэдра? (Слайд 13)

Решение задачи. (Слайд 14)

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через сторону основания тетраэдра и данную точку на противолежащем ребре.

Построение сечения, проходящего через точки E, F, K. (Слайд 15, 16)

Как расположены точки E, F, K. Какие прямые можно построить?

Для построения сечения нам нужна дополнительная точка. EF ∩ AC =М.

Проводим МК. MK ∩ AB = L. Проводим EL. EFKL – искомое сечение.

1.Это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2.Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Читают определение следа.

Продолжают фразы.

Алгоритм.

1.Отыскать в одной грани две точки сечения.

2.Построить след сечения на плоскости тетраэдра.

3.Повторить п.1-2 еще 2 раза.

4.Заштриховать полученное сечение.

Конспектируют

Треугольники и четырехугольники.

E, F є ADC, F, K є BDC.

Можно построить прямые КF, FЕ.

10 мин

6. Закрепление изученного материала.

Построение сечений на интерактивной доске.

Два способа. (Слайд 17)

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. (Слайд 18)

Каким условием мы должны дополнить наш алгоритм, чтобы построить сечение методом следов.

Подумайте и допишите алгоритм.

Проверим.

Задание: Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку. (Слайд 19)

Строят сечения тетраэдра двумя способами.

Найти дополнительную точку сечения на ребре тетраэдра

Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую

Отметить точки пересечения прямой с ребрами грани.

Ошибки:

1.Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам (в грани АВК такого отрезка нет, а в грани ВКС – таких отрезков 2)

2. Сечением тетраэдра не могут быть пятиугольники.

5 мин

7.Самостоятельная работа с последующей проверкой

(Слайд 20)

Выполняют самостоятельную работу

(-Если возникнут проблемы, можете посоветоваться с товарищем по парте)

3 мин

8.Практикум

Еще один метод, применяемый при построении сечений – это метод параллельных прямых.

Задание: (Слайд 21 ) Точка М является внутренней точкой грани ВСД тетраэдра ДАВС. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВД.

Вспомните название метода и предложите способ построения сечения.

Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости АВД, то она параллельна прямым АД, АВ, ДВ. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВД. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку ВД, и обозначим буквами L и N точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами ДВ и ДС. Затем через точку L проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой К точку пересечения этой прямой с ребром АС. Треугольник LKN – искомое сечение.

Задание . Построить сечение на интерактивной доске

Задание: (Слайд 22) Построить сечения.

Сверим ответы (Слайд 23)

5 мин

9 Решение задачи

Приложение 1

8 мин

10.Это интересно

Сечение в рисунке, при моделировании одежды, в жизни. (Слайды 24-26)

1 мин

11. Постановка домашнего задания

Изучить п.14, №73 (стр. 29) (Слайд 27)

Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

1 мин

12. Рефлексия, итог урока

  1. О каком многограннике шла речь сегодня на уроке?
  2. Какие задачи мы научились сегодня решать? (задачи на построение сечений)
  3. Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей)

(Слайд 29)

2 мин


Домашний Урок

25 мая 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержанием на выплаты неравными платежамиМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
21 мая 2020 г.
Алгебра. Построение графика функции, содержащей модульМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Использование подобия треугольников при решении задачМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
13 мая 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Задачи с экономическим содержаниемМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Объемы шара, конуса и цилиндраМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
7 мая 2020 г.
Геометрия. МногоугольникиМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Алгебра. Построение графика кусочно-заданной функцииМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
5 мая 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Теория вероятностейМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Площадь поверхности цилиндра и конусаМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
4 мая 2020 г.
Геометрия. ОкружностьМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Алгебра. Решение уравнений, неравенств и их систем. ПрактикумМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
24 апреля 2020 г.
Алгебра и начала математического анализа. Решение задач с параметромМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Многогранники. Площади боковых поверхностей призмы и пирамидыМатематика 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
22 апреля 2020 г.
Алгебра. Теория вероятностей. Комбинаторика при решении задач теории вероятностейМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Геометрия. Решение задач о равновеликих фигурахМатематика 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
10 апреля 2020 г.
Правильные многогранникиСтереометрия 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Функционально-графический метод решения задач с параметромАлгебра и начала математического анализа 11 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
8 апреля 2020 г.
Площади треугольников и четырехугольниковГеометрия 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО
Теория вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностейАлгебра 9 класс30 минутШайкина Виктория Николаевна, старший преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин, ГБУ ДПО ЧИППКРО

Геометрия Киселева, Книга II: Стереометрия

Адаптировано с русского А. Гивенталя, Стереометрия — вторая часть легендарной Геометрия Киселева . Впервые он появился в 1892 году как вторая половина одного учебника, и долгое время они сосуществовали под одними и теми же обложками. Действительно, идея плоскости была представлена ​​на странице 1, а последняя глава книги (следующая за стереометрической частью) была посвящена геометрическим построениям в двух измерениях. Геометрия Киселева продемонстрировала необыкновенную живучесть, находясь в непрерывном обращении уже добрую часть века. (Исторический очерк см. в рецензии на первую часть.) На самом деле первая часть книги встретила более жесткую конкуренцию, так что, хотя в 1960-е годы ее господство ослабло, в учебнике царила вторая часть. рынке вплоть до 1970-х гг.

Объединенное издание 1980 года вышло под названием Элементарная геометрия для педагогических вузов с предисловием А.Н. Тихонова, заметившего, хотя и с некоторыми оговорками, что педагогическое мастерство, с которым написана книга, простота и последовательность изложения не позволили ей устареть.

В 1980-е годы в России начались грандиозные потрясения, кульминацией которых стала Перестройка и, в конечном счете, распад СССР. Система образования стала децентрализованной, либерализация рынка привела к созданию и распространению частных школ, каждая из которых имела возможность выбирать и даже издавать собственные тексты. В том поколении тоже была своя доля талантливых авторов. Выдающийся геометр и педагог покойный И. Ф. Шарыгин написал десяток учебников и задачников по геометрии для всех ступеней школы. К 2004 г. «Геометрия » Киселева стала библиографической редкостью (хотя существовало издание 1998 г.) и снова была переиздана в качестве учебника для педагогических вузов. В последнем рекламном материале говорится: «Дальнейшее улучшение преподавания математики невозможно, если учителя не познакомятся с бывшими основами математического образования.»

Тот же аргумент применим и к англоязычному рынку. Хороший учитель должен иметь глубокое понимание предмета, основанное на знакомстве с многочисленными педагогическими взглядами и подходами. «Геометрия Киселева » — бесценный источник вдохновения для учителей геометрии.

Краткость Киселева печально известна. Предложения были отшлифованы путем множества исправлений и усердного прислушивания к советам поколений рецензентов, учителей и студентов. В этом отношении у меня есть только небольшая претензия. В обеих частях книги всякий раз, когда речь идет о параллельности линий или плоскостей, автор последовательно добавляет к фразе «…не пересекаются друг с другом» избыточное выражение «как бы далеко они ни простирались», вероятно, пытаясь апеллировать к к силе зрительного восприятия. Эта практика, на мой взгляд, может привести к путанице: возможно ли , а не продлить «сколь угодно далеко» прямую линию (в отличие от отрезка)? Может ли линия быть непродлённой? (Однако я верю, что это употребление не является оговоркой, а, вероятно, имеет педагогическую причину, подкрепленную опытом.)

Стремление к краткости проявляется также в превосходном балансе между тем, что действительно доказано в тексте, тем, что остается доказать читателю, и тем, что предполагается. Киселев никогда не бывает догматиком. Его книги являются воплощением логической структуры, а доказательство является основным средством построения материала, как и в « элементах » Евклида. Диаграммы, недавно созданные переводчиком, многочисленны. В целом, экономия презентации просто замечательна.

Вот один пример: Принцип Кавальери . Киселев справедливо замечает (стр. 45), что для ее обоснования нужны методы, выходящие за пределы элементарной математики. Тем не менее, этот принцип элегантен и полезен, и его упоминание обеспечивает увлекательный исторический фон наряду с реальной демонстрацией непрерывности эволюции математики во времени. Итак, на основе теории пределов, развитой в первой части («Планиметрия»), Киселев доказывает (хотя и не употребляя символа lim ) принцип для треугольных пирамид и пользуется случаем упомянуть о третьей проблеме Гильберта.Позже он применяет принцип для определения объема шара (но теперь без доказательства) и использует возможность упомянуть работу Архимеда и восстановление его гробницы Цицероном.

Книга состоит из трех оригинальных глав (Линии и плоскости, Многогранники, Круглые тела) и одной (Векторы и основания), добавленных переводчиком, который также написал послесловие. Дополнительная глава представляет собой отличное введение в векторные пространства и пространственное измерение, которое идеально вписывается в текст и стиль Киселева.Глава из 50+ страниц (фактически треть книги) развивает прочную основу для киселевской геометрии и образует дополнительную связь между частями планиметрии и стереометрии. Например, здесь мы встречаемся с понятиями материальной точки и барицентра , которые приводят к плоским теоремам Чевы и Менелая. В главе также приведено несколько примеров мнений, выраженных далее в послесловии. Одна из них касается роли аксиом: в настоящее время аксиомы используются в целях унификации, для одновременного изучения похожих статей.Например, аксиомы скалярного произведения лежат в основе геометрии как евклидовых пространств, так и пространств Минковского. Глава также включает введение в другие неевклидовы геометрии: сферическую и гиперболическую.

Каждый раздел книги сопровождается продуманным подбором упражнений (около 250 из которых добавлены в перевод). Многие проблемы решены в основной части книги, но упражнения не содержат решений. Главы о пространственных симметриях и правильных многогранниках расширены переводчиком; это единственная известная мне книга по стереометрии, в которой обсуждается симметрия относительно линии, а также центральная и зеркальная симметрии в пространстве.

В послесловии Гивенталь излагает свои мысли об изменении роли аксиоматики (со ссылкой на главу 4) в современной математике и современной идеологии математического образования по отношению к преподаванию геометрии. Его анализ модели van Hiele и вспомогательных исследований замечателен. Модель ван Хиле предполагает, что способность учащегося обрабатывать геометрические знания определяется уровнем геометрической абстракции, достигнутым учащимся. Предпосылкой для попытки перехода на следующий уровень является освоение предыдущего.Пять уровней

  1. Визуализация : учащийся определяет фигуры.
  2. Анализ : учащийся приписывает свойства фигурам.
  3. Абстракция : учащийся выводит отношения между свойствами фигур.
  4. Дедукция : учащийся развивает понимание логической структуры, которая отслеживает свойства фигур до аксиом.
  5. Строгость : ученик способен использовать любой аксиоматический подход, не полагаясь на интуицию.

С момента своего появления в 1957 году теория ван Хиле была подтверждена исследованиями и многочисленными полевыми исследованиями. Гивенталь отмечает, что теория ван Хиле состоит из четырех независимых утверждений о возможности четырех переходов между пятью уровнями. Утверждения относительно последних двух переходов содержат логически , из определения просто потому, что многие больше одного . Умение обращаться с аксиоматическим подходом вообще (уровень 4) подразумевает умение обращаться с одним из них (уровень 3).Точно так же способность выводить всех свойств форм из аксиом (уровень 3) подразумевает способность выводить некоторых из них (уровень 2).

Можно, пожалуй, обосновать необходимость исследования первых двух переходов: теория утверждает, что способность к абстрагированию может быть достигнута только после двух предварительных этапов. Гивенталь, однако, утверждает, что любое осмысленное исследование или деятельность, в которую дети вовлекаются в школе или где-либо еще, принесут тот же результат, подразумевая, что неформальная геометрия не обязательно должна предшествовать более строгому изучению.Этот вывод подкрепляется тем фактом, что обычный подход к неформальной геометрии в основном связан с именованием объектов и тавтологическими вопросами об их именах. Гивенталь приводит несколько убедительных примеров, иллюстрирующих это положение.

Хочу закончить обзор общим замечанием. Хотя английским изданием «Геометрии Киселева » мы обязаны частной инициативе одного человека, его появление следует рассматривать в более широком контексте изменений в школьных программах, которые в очередной раз сотрясают истеблишмент математического образования США.

Какой бы хорошей или теоретически оправданной ни была та или иная реформа, ее провал практически предрешен, если ее массово навязывают неподготовленному населению студентов и преподавателей. История реформы математического образования в США в 20 -м веке представляет собой череду неудачных нововведений. Настолько, что американские педагоги начали искать успешные практики в других местах. Сингапурские учебники теперь широко используются отдельными репетиторами и толпами учителей в независимых школах. «Уроки геометрии » Жака Адамара готовятся Центром развития образования и должны выйти в декабре 2008 года. «Геометрия » Киселева была одним из краеугольных камней советской школы математического образования — по общему признанию, одной из лучших в мире. На протяжении поколений это влияло на преподавание геометрии в Восточной Европе и Китае. Его появление в США должно быть воспринято каждым учителем и педагогическим колледжем: текст хорошо зарекомендовал себя у поколений советских мальчиков и девочек и их учителей. Его представление американскому пользователю не за горами.


 

Обратите внимание, что, несмотря на то, что прейскурантная цена книги составляет 30 долларов, ее можно приобрести непосредственно в сумиздате за 20 долларов. Обе книги продаются по цене 45 долларов.

 


Алекс Богомольный — разработчик программного обеспечения для бизнеса и образования, который живет с женой и маленьким сыном в Ист-Брансуике, штат Нью-Джерси. Его популярный веб-сайт Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles готов принять 30 000 000 посетителей.


 

Боковая область: определение, формула и примеры — видео и расшифровка урока

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра

Найдем боковую поверхность прямого кругового цилиндра.

В этом примере нам дан цилиндр высотой 6 см и диаметром 10 см. Помните, что в правильном круговом цилиндре основания — это круги. Чтобы найти площадь боковой поверхности, находим периметр, которым в данном случае является длина окружности (расстояние по окружности), затем умножаем его на высоту цилиндра.

Длина окружности находится по следующей формуле:

C обозначает длину окружности, d обозначает диаметр, а число «пи» округляется до 3,14. Итак, мы находим длину окружности основания, 3,14 * 10 = 31,4, а затем умножаем ее на высоту, 6.

Причина, по которой мы используем длину окружности при нахождении площади боковой поверхности, заключается в том, что когда мы открываем круглый цилиндр и складываем стороны из квартиры, мы в конечном итоге с прямоугольником.Представьте себе бумажное полотенце. Рулон бумажных полотенец представляет собой цилиндр, но когда вы снимаете бумажное полотенце с рулона, вы получаете прямоугольник. Длина – это окружность, а ширина – это высота рулона.

Чтобы найти площадь сторон этого цилиндра, мы должны умножить длину окружности на высоту. Итак, мы имеем формулу площади боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности правильного кругового цилиндра = длина окружности

Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы

Давайте попробуем другой пример, на этот раз с прямоугольной призмой.

Как видите, указаны длина, ширина и высота. Итак, боковые поверхности — это все поверхности по бокам. Нам нужно найти площадь каждой из четырех сторон… но есть более быстрый способ — вы его видите? Если бы мы нашли периметр основания, а затем умножили его на высоту, то получили бы площадь боковой поверхности.

У нас есть две длины и две ширины. Как и в предыдущем примере, основная формула для площади боковой поверхности:

Как и в случае с круглым цилиндром, если бы мы положили прямоугольную призму, она выглядела бы так:

Итак, сложите длину и ширину и умножьте на высоту, чтобы найти площадь боковой поверхности.Мы можем написать это более кратко:

Площадь боковой поверхности прямого круглого цилиндра и прямоугольной призмы в основном одинакова; найди периметр основания и умножь на высоту фигуры.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Далее мы собираемся найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида — это фигура с многоугольным основанием и множеством сторон, называемых гранями, которые соединяются вместе в одной точке, называемой вершиной. Чтобы найти площадь боковой поверхности, найдем половину периметра основания и умножим ее на высоту наклона боковых треугольников. Каждый треугольник имеет наклонную высоту. Наклонная высота — это высота каждого треугольника, а не высота пирамиды. Почему, спросите вы, мы находим половину периметра? Это потому, что каждая из сторон пирамиды представляет собой треугольник, а формула площади треугольника равна половине основания, умноженной на высоту.

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, вы можете найти площадь каждого треугольника, A = 1/2 bh или A = 1/2 lw , затем умножить на количество треугольников , который будет основываться на количестве сторон основания; или можно взять половину периметра и умножить на наклонную высоту.

Давайте попробуем оба способа на этой пирамиде:

Нахождение площади боковой поверхности путем нахождения площади каждого треугольника и умножения на количество треугольников: l обозначает высоту наклона:

Нахождение площади боковой поверхности по формуле: LSA = 1/2, умноженная на периметр, умноженный на наклонную высоту:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется так же, как и пирамиды, за исключением того, что основанием является круг, поэтому мы используем половину длины окружности круга, умноженную на наклонную высоту. Итак, допустим, у нас есть конус с наклонной высотой 12.

Резюме урока

Площадь боковой поверхности — это площадь сторон любой трехмерной фигуры. Каждая фигура может иметь разное основание, но площадь боковой поверхности находится одинаково. Найдите периметр основания и умножьте его на высоту любой трехмерной призмы.

При нахождении площади боковой поверхности пирамиды или конуса формула:

Программное обеспечение по геометрии cabri 3D в обучении стереометрии

ПОКАЗЫВАЕТСЯ 1-10 ИЗ 24 ССЫЛОК

СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантность Наиболее влиятельные статьиНедавность

Изучение геометрических понятий с использованием программного обеспечения динамической геометрии

Анализ данных, полученных в результате продольного исследования учащихся младших классов средней школы изучение аспектов геометрии в конкретном DGE указывает на то, что, хотя использование программного обеспечения для динамической геометрии может помочь учащимся в продвижении к более математическому объяснению, «динамический» характер программного обеспечения влияет на форму объяснения, особенно на ранних этапах. Expand

Intelligent Learning Environments: The Case of Geometry

Эта книга основана на семинаре НАТО для исследователей, занимающихся проектированием интеллектуальных учебных сред для геометрии, и центральной темой является моделирование учащихся, которое имеет три аспекта: моделирование предметной области, моделирование знания учащихся, а также разработка дидактического взаимодействия и контроля учащихся. Expand
  • Посмотреть 1 отрывок, справочная информация

Визуализация в средней школе по математике.

Гальтон писал в 1880 году: «Сверхготовность к восприятию ясных мысленных образов антагонистична приобретению навыков высокообобщенного и абстрактного мышления, и если способность производить их… Раскрыть

Техническая невербальная связь [Technická Neverbálna Komunikácia] (Словацкий)

47
  • Nitra: PF UKF V NITRE,

  • 2013

  • 2013

  • 2013
  • 0

    Факторы с воздействием на геометрическое воображение учеников

    • [Faktory ovplyvňující geometrickou ] (чеш. ), ин.ACTA Mathematica 13A, Nitra: FPV UKF V NITRE, Prírodovedec 423, 2010, PP. 197-202

    • 2010
    • 2010

    Будущие преподаватели и развитие геометрического воображения учеников

    • [Budoucí učitelé a Rozvoj Geometricke цианова) ] (чеш.), in. Acta Mathematica 13A Nitra: FPV UKF v Nitre: Prírodovedec 423, 2010, pp. 177-182 ve Stereometrii] (Чешский), Olomouc

      • Univerzita Palackého,

      • 2009

      стереометрия — определение и значение

    • Примечание 183: Согласно Оксфордскому словарю английского языка, стереометрия — это «искусство или наука измерения твердых тел», тогда как стереотомия — это «искусство резки камней или других твердых тел в измеренные формы, как в каменной кладке.»

      Архитектура и память: Ренессанс Студиоли Федерико да Монтефельтро

    • Хотя Пачоли был очарован такими процессами математического и геометрического воплощения, как стереометрия и стереотомия183, интерес монаха к божественной пропорции (или «золотой середине») не был сосредоточен на ее инструментализации. 184 Преподаватель теологии, Пачоли был озабочен не столько переводом божественного в мирское, сколько перемещением человеческого интеллекта — посредством чувств — к созерцанию тайн, недоступных человеческому пониманию.

      Архитектура и память: Ренессанс Студиоли Федерико да Монтефельтро

    • Первый Платон выделяет группу из пяти, а не четырех наук и осуждает пренебрежение предложенной им пятой наукой, стереометрией (телесной геометрией), с вероятным намеком на Архита

      Архитас

    • Это происходит в случае задач, относящихся друг к другу как второстепенные и высшие, например, когда оптические задачи подчиняются геометрии, механические задачи — стереометрии , гармонические задачи — арифметике, данные наблюдений — астрономии.

      Апостериорная аналитика

    • Так намного проще были математика (которой было на удивление много: алгебра, анализ, тригонометрия, стереометрия ), физика и химия.

      Герардус ‘т Хофт — Автобиография

    • Я лишь вскользь упомяну логарифмическую спираль паутины, точные изгибы, осуществляемые жесткокрылыми и перепончатокрылыми без каких-либо инструментов при разрезании листьев, стереометрию тлей.

      Лола, или Мысль и речь животных

    • В предыдущих главах мы видели, как К.Г. Карус попытался разработать геометрию организма, и как Бронн скромно попытался основать стереометрическую морфологию, но имел благодать не продвигать свою стереометрию _à l’outrance_, очень мудро осознавая, что большая часть органических форма функционально детерминирована.

      Форма и функция Вклад в историю морфологии животных

    • (530d), и его обсуждения науки стереометрии незадолго до этого, вероятно, имеют некоторую связь с работами Архита в области объемной геометрии (528d).

      Архитас

    • Математические упражнения и математические задачи: стереометрия

       

       

      Найдите объем и площадь поверхности куба, если площадь одной его грани равна 40 см 2 .

       

      Найдите объем и площадь поверхности куба, если известна длина его пространственной диагонали d = 216 см.

       

      Квадратная призма имеет основание а = 7.длиной 1 см и боковым ребром h = 18,2 см. Определить его объем и площадь поверхности.

       

      Найдите объем и площадь поверхности треугольной призмы с прямоугольным основанием, если длины катетов основания равны 7,2 см и 4,7 см, а высота призмы 24 см.

       

      Найти объем и площадь поверхности столба в форме призмы с основанием в виде ромба, диагонали которого равны d 1 = 102 см, d 2 = 90,004 64 см.Высота столба 1,5м.

       

      Бассейн глубиной два метра имеет форму призмы с дном в виде равнобедренной трапеции. Размеры оснований трапеции 10 м и 18 м, длина катетов 7 м. Во время генеральной уборки мы должны покрасить дно и боковые стенки бассейна. Сколько m 2 нам нужно покрасить?

       

      Цилиндрическая ваза высотой 28 см. Его внутренний диаметр равен d = 1,1 дм. Сколько литров воды наполнит вазу, если толщина ее дна равна 1.5 см?

       

      Цилиндрический сосуд диаметром 1,8 м содержит 2000 л воды. До какой высоты доходит вода?

       

      Дорожный каток имеет диаметр 1,2 м и ширину 180 см. Сколько м 2 дороги выровняет, если повернется 35 раз?

       

      Чему равна 1000 м медной проволоки диаметром 5 мм, если плотность меди ρ = 8,8 г / см 3 ?

       

      Найдите объем и площадь поверхности квадратной пирамиды, длина основания которой равна 45 см, а высота пирамиды 7 см.

       

      Пирамида имеет прямоугольное основание с размерами а = 6 см, b = 8 см. Все боковые ребра имеют одинаковую длину с = 12,5 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

       

      В куб с длиной ребра 12 дм вписана пирамида с вершиной в центре верхней грани куба. Определить объем и площадь поверхности пирамиды.

       

      Сколько литров воздуха находится под крышей башни замка, имеющей форму правильной шестиугольной пирамиды с длиной ребра основания 3.6 м и высотой 2,5 м, если опорные столбы занимают около 7% подкровельного пространства?

       

      Конус и цилиндр имеют одинаковый объем 180 см 3 и одинаковую высоту h = 15 см. Какое из этих двух тел имеет большую площадь поверхности?

       

      Найти объем и площадь поверхности конуса с радиусом основания r = 2,3 дм, если высота конуса h = 46 мм.

       

      Нам нужно покрасить без основы снаружи сорок одинаковых дорожных конусов с диаметром основания d = 36 см и высотой h = 46 см.Сколько евро мы заплатим за цвет, если нам нужно 500 см 3 цвета краски, чтобы покрасить 1 м 2 и 1 литр краски стоит 8 €?

       

      Михаил слепил из пластилина пирамиду высотой 15 см с прямоугольным основанием и размерами а = 12 см и b = 8 см. Джейн переделала пирамиду Майкла в конус с диаметром основания 90 003 d = 90 004 10 см. Какова была высота конуса Джейн?

       

      Чайник высотой 35 см имеет форму усеченной пирамиды с длиной ребра квадратного основания а = 50 см и верхних ребер прямоугольного основания б 1 = 20 см и б 2 = 30 см.Сколько литров воды может вместить чайник?

       

      Щель глубиной 2 м имеет форму усеченной пирамиды с прямоугольными основаниями. Длина и ширина верхнего основания 3х1,5 м, нижнего 1х0,5 м. Для покраски одного квадратного метра поверхности зазора нам понадобится 0,25 литра зеленой краски. Сколько литров краски нам понадобится, если мы хотим покрасить только боковые стенки и дно щели?

       

      В коллекции Мишель две вазы.Первая ваза имеет форму конуса с диаметром основания d = 20 см, вторая — форму усеченного конуса с диаметром основания d 1 = 25 см и диаметр верхней базы d 2 = 15 см. Какая ваза может вместить больше воды, если высота обеих ваз равна 0,5 м?

       

      20 деревянных чаш в форме усеченного конуса должны быть окрашены внутри и снаружи лаком для дерева.Для покраски 200 см 2 нам потребуется 0,1 л лака. Сколько литров лака нам нужно купить, если чаши высотой 25 см, дно чаш имеет диаметр 20 см, а верхнее дно имеет диаметр 30 см?

       

      Газгольдер

      имеет форму шара диаметром 14 м. Сколько м 3 газа влезет в него?

       

      Какой процент от объема куба с ребрами длиной 6 м занимает объем сферы, вписанной в куб?

       

      Какой процент площади поверхности сферы радиусом 12 см занимает площадь поверхности куба, вписанного в сферу?

       

       

       

      Вас также может заинтересовать:

      Solid Geometry on SAT Math: полное руководство

      Геометрия — это раздел математики, изучающий точки, линии, формы и углы. Вопросы по геометрии SAT проверят ваши знания о формах, размерах и объемах различных фигур, а также об их положении в пространстве.

      25-30% задач SAT Math будут связаны с геометрией , в зависимости от конкретного теста.

      Поскольку геометрия в целом охватывает так много различных математических понятий, существует несколько различных подразделов геометрии (включая плоскую, объемную и координатную). Мы рассмотрим каждую область геометрии в отдельных руководствах с пошаговым подходом к вопросам и примерам задач.

      Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по объемной геометрии на SAT . Мы познакомим вас со значением объемной геометрии, формулами и пониманием, которые вам необходимо знать, и как решить некоторые из самых сложных задач объемной геометрии, связанных с кубами, сферами и цилиндрами на SAT.

       

      Прежде чем вы продолжите, имейте в виду, что обычно на каждом заданном SAT будет только 1-2 вопроса по объемной геометрии, , поэтому вам следует в первую очередь изучать планарную (плоскую) геометрию и координатную геометрию. Оставьте изучение этого руководства напоследок с точки зрения подготовки к SAT по математике.

       

      Прежде чем окунуться в царство объемной геометрии, убедитесь, что вы хорошо разбираетесь в планиметрии и координатной геометрии!

       

      Что такое объемная геометрия?

      Объемная геометрия — это название геометрии, выполненной в трех измерениях. Это означает, что к планарной (плоской) геометрии, которая использует только высоту и длину, добавляется еще одно измерение — объем.

      Вместо плоских фигур, таких как круги, квадраты и треугольники, объемная геометрия имеет дело со сферами, кубами и пирамидами (наряду с любыми другими трехмерными формами). И вместо того, чтобы использовать периметр и площадь для измерения плоских форм, твердотельная геометрия использует площадь поверхности и объем для измерения своих трехмерных форм.

       

      Круг — это плоский объект. Это плоскостная геометрия.

      Сфера — трехмерный объект.Это сплошная геометрия.  

       

      В SAT большинство задач по объемной геометрии расположены в конце каждого раздела. Это означает, что задачи 90 678 по объемной геометрии считаются одними из самых сложных вопросов 90 679 (или теми, которые занимают больше всего времени, поскольку их часто нужно решать несколькими частями). Используйте эти знания, чтобы сосредоточить свое внимание на обучении на наиболее продуктивных направлениях.

      Если вы неправильно ответили на несколько вопросов в начале и в середине каждого раздела по математике, возможно, вам будет более продуктивно потратить время на то, чтобы сначала обновить свое общее понимание математических концепций, охватываемых SAT.Вы также можете узнать, как улучшить свой балл по математике или обновить свое понимание всех формул, которые вам понадобятся.

      Примечание: большинство формул SAT Math по объемной геометрии даются вам на тесте либо в поле формул, либо в самом вопросе. Если вы не уверены, какие формулы даны, а какие нет в математическом разделе, освежите свои знания о формулах.

       

      Это поле с формулами, которое вы получите на всех математических разделах SAT.Вам даны формулы для объема прямоугольного тела и объема цилиндра. Другие формулы часто будут даваться вам в самом вопросе.

       

      Но хотя многие формулы уже даны, вам все же важно понять, как они работают и почему . Так что не беспокойтесь о том, чтобы их запомнить, но сделайте обратите на них внимание, чтобы углубить свое понимание принципов пространственной геометрии на SAT.

      В этом руководстве я разделил подход к объемной геометрии SAT на три категории:

      #1: Типичные вопросы SAT по объемной геометрии

      #2: Типы геометрических тел и их формулы

      #3: Как решить задачу SAT по объемной геометрии с помощью наших математических стратегий SAT

       

      Геометрическое приключение, вот и мы!


      Типичные вопросы по объемной геометрии на SAT

      Прежде чем мы перейдем к формулам, которые вам понадобятся для обучения объемной геометрии, важно ознакомиться с видами вопросов, которые SAT задаст вам о твердых телах. Вопросы SAT по объемной геометрии будут представлены в двух форматах: вопросы, в которых вам дается диаграмма, и вопросы со словами.

      Независимо от формата, каждый тип вопросов SAT по объемной геометрии существует для проверки вашего понимания объема и/или площади поверхности фигуры. Вас спросят, как найти объем или площадь поверхности фигуры, или вас попросят определить, как смещаются и изменяются размеры фигуры.

       

      Проблемы с диаграммой

      В задаче на диаграмму объемной геометрии вам будет предоставлен рисунок геометрического тела и вам будет предложено найти недостающий элемент изображения.Иногда вас попросят найти объем фигуры, площадь поверхности фигуры или расстояние между двумя точками на фигуре. Вас также могут попросить сравнить объемы, площади поверхности или расстояния между несколькими разными фигурами.

      Это типичный вопрос SAT о сравнении твердых веществ. Мы рассмотрим, как решить это позже в руководстве.

       

      Проблемы со словами

      Текстовые задачи по объемной геометрии обычно требуют сравнить площади поверхностей или объемы двух фигур.Они часто дают вам размеры одного твердого тела, а затем просят сравнить его объем или площадь поверхности с твердым телом с другими размерами.

      На сколько кубических футов ящик высотой 2 дюйма, шириной 6 дюймов и глубиной 1 дюйм больше, чем цилиндр высотой 4 дюйма и диаметром 6 дюймов?

      Это типичный вопрос со словами, который может появиться в разделе таблицы SAT по математике

      Другие проблемы со словами могут попросить вас включить одну фигуру в другую.Это просто еще один способ заставить вас задуматься об объеме фигуры и способах его измерения.

      Каков минимально возможный объем куба в кубических дюймах, в который можно вписать сферу радиусом 3 дюйма?

      А) 12√3$ (примерно 20,78$)

      B) 24√3$ (примерно 41,57$)

      C) 36√3$ (примерно 62,35$)

      Г) 216$

      $

      E) 1728$$                                           

      Это типичная задача на вписывание твердых тел. Мы рассмотрим, как решить это позже в руководстве.

      Текстовые задачи по объемной геометрии могут сбивать с толку многих людей, потому что без картинки бывает сложно представить себе вопрос.

      Как всегда со словесными задачами, описывающими формы или углы, рисуйте сами! Простое видение того, что описывает вопрос, может творить чудеса, помогая прояснить вопрос.

       

      Общий стиль вопросов по объемной геометрии

      Каждый вопрос по объемной геометрии в SAT связан либо с объемом, либо с площадью поверхности фигуры, либо с расстоянием между двумя точками на фигуре.Иногда вам придется комбинировать площадь поверхности и объем, иногда вам придется сравнивать два твердых тела друг с другом, но в конечном итоге все вопросы по геометрии твердого тела сводятся к этим понятиям.

      Итак, теперь давайте рассмотрим, как найти объемы, площади поверхности и расстояния для всех различных геометрических тел на SAT.

       

      Прекрасный пример геометрических тел в дикой природе

       

      Призмы

      Призма представляет собой трехмерную форму, которая имеет (как минимум) два конгруэнтных параллельных основания. По сути, вы можете взять призму и носить ее, прижав противоположные стороны к ладоням.

          

       

      Некоторые из многих видов призм.

       

      Прямоугольные тела

      Прямоугольное твердое тело по существу представляет собой коробку. Он имеет три пары противоположных сторон, которые конгруэнтны и параллельны.

      Том

      $\объем = lwh$

      Объем фигуры – это мера ее внутреннего пространства.

      • $l$ длина фигуры
      • $w$ — ширина фигуры
      • $h$ высота цифры

      Обратите внимание, что эта формула аналогична нахождению площади квадрата ($A = lw$) с добавленным измерением высоты, так как это трехмерная фигура

      Во-первых, определите тип вопроса — это объем или площадь поверхности? Вопрос касается внутреннего пространства твердого тела, поэтому это вопрос объема.

      Теперь нам нужно найти прямоугольный объем, но этот вопрос несколько сложен. Обратите внимание, что мы выясняем, сколько воды в конкретном аквариуме, но вода не заполняет весь аквариум. Если мы просто сосредоточимся на воде, мы обнаружим, что она имеет объем:

      $V = lwh$ => $(4)(3)(1) = 12\кубических\футов$

      (Почему мы умножили количество футов и ширину на 1 вместо 2? Потому что вода доходит только до 1 фута, она не заполняет все 2 фута высоты резервуара)

      Теперь мы собираемся налить эти 12 кубических футов воды во второй резервуар.Этот второй бак имеет общий объем:

      $V = lwh$ => $(3)(2)(4) = 24\кубических\фута$

      Хотя второй бак может вместить 24 кубических фута воды, мы наливаем только 12. Таким образом, 12/24 = 1/2$.

      Вода будет подниматься ровно на половину высоты второго резервуара, что означает ответ D , 2 фута.

       

        В любом случае, эти рыбы не будут очень счастливы в половине бака воды

       

      Площадь поверхности

      $\Поверхность\площадь = 2lw + 2lh + 2wh$

      Чтобы найти площадь поверхности прямоугольной призмы, нужно найти площади всех плоских прямоугольников на поверхности фигуры (граней), а затем сложить эти площади.

      У прямоугольного тела снаружи фигуры шесть граней. Они разделены на три конгруэнтные пары противоположных сторон.

      Если вам трудно представить площадь поверхности, помните, что у игральной кости шесть граней.

       

      Итак, вы находите площади трех комбинаций длины, ширины и высоты (lw, lh и wh), которые затем умножаете на два, потому что у каждой из этих комбинаций есть две стороны.2]$

      Диагональ прямоугольного тела – это самая длинная внутренняя линия тела. Он касается от угла одной стороны призмы до противоположного угла другой.

      Вы можете найти эту диагональ, используя приведенную выше формулу или разбив фигуру на два плоских треугольника и применив теорему Пифагора для обоих. Вы всегда можете это сделать, если не хотите запоминать формулу или боитесь неправильно запомнить формулу в день экзамена.3 = 216$

      Или вы можете использовать формулу, чтобы найти объем любого прямоугольного тела:

      $\Volume = lwh$ => $(6)(6)(6) = 216$

      Теперь найдите объем одного из меньших прямоугольных тел:

      $\Volume = lwh$ => $(3)(2)(1) = 6$

      И разделите большее прямоугольное тело на меньшее, чтобы узнать, сколько меньших прямоугольных тел может поместиться внутри большего:

      216 долларов/6 = 36

      долларов

      Итак, ваш окончательный ответ: D , 36

       

      Площадь поверхности

      $\Поверхность\площадь = 6s^2$

      Это та же формула, что и для площади поверхности прямоугольного твердого тела ($SA = 2lw + 2lh + 2hw$). 2$


      Длина по диагонали

      $\Диагональ = с√3$

      Как и в случае с прямоугольным телом, вы можете разбить куб на два плоских треугольника и использовать теорему Пифагора для обоих в качестве альтернативы формуле.

      Это точно такой же процесс, как нахождение диагонали прямоугольного тела.

      Сначала найдите длину диагонали (гипотенузы) основания тела, используя теорему Пифагора.

      Затем используйте эту длину как одну из меньших сторон нового треугольника с диагональю прямоугольного тела в качестве новой гипотенузы.

      Найдите диагональ, снова используя теорему Пифагора.

      Цилиндры

      Цилиндр представляет собой призму с двумя круглыми основаниями на противоположных сторонах

      Обратите внимание, что эта задача требует, чтобы вы знали только основную форму цилиндра. Нарисуйте фигуру, которую они описывают.

      Если диаметр его круглых оснований равен 4, это означает, что его радиус равен 2. Теперь у нас есть две длины сторон прямоугольного треугольника.2ч$

      • $π$ — универсальная константа, также представленная как 3,14(159)
      • .
      • $r$ — радиус круглого основания. Это любая прямая линия, проведенная от центра круга к окружности круга.
      • $h$ — высота круга. Это прямая линия, соединяющая два круглых основания.

      Эта задача требует, чтобы вы поняли, как получить объем прямоугольного тела и объем цилиндра, чтобы сравнить их.2)(4) = 16π$ или 50,27$

      Объемы прямоугольных тел находятся по формуле:

      $V = lwh$

      Итак, объем твердого тела A равен $(3)(3)(3) = 27$

      Solid B имеет объем $(4)(3)(3) = 36$

      Solid C имеет объем $(5)(4)(3) = 60$

      Solid D имеет объем $(4)(4)(4) = 64$

      И твердое тело E имеет объем $(4)(4)(3) = 48$

      Итак, ответ E , 48

       

      Площадь поверхности

      $\Поверхность\площадь = 2πr^2 +2πrh$

      Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нужно сложить объем двух круглых оснований ($2πr^2$) плюс поверхность трубы, как если бы она была развернута ($2πrh$).

      Поверхность трубы также можно записать как $SA = πdh$, потому что диаметр в два раза больше радиуса. Другими словами, поверхность трубы — это формула длины окружности с дополнительным измерением высоты.


      Непризматические тела

      Непризматические тела — это фигуры в трех измерениях, не имеющие параллельных конгруэнтных сторон. Если вы возьмете эти фигуры рукой, максимум одна сторона (если таковая имеется) будет плоско прилегать к вашей ладони.

      Конусы

      Конус подобен цилиндру, но имеет только одно круглое основание вместо двух. Его противоположный конец заканчивается точкой, а не кругом.

      Есть два вида конусов — прямые конусы и косые конусы. Для целей SAT вам нужно заботиться только о правильных конусах. Наклонные конусы ограничены предметными тестами по математике I и II.

      Правильный конус имеет вершину (конечная точка сверху), которая находится непосредственно над центром круглого основания конуса. 2$) и площади боковой поверхности ($πrl$)

      Поскольку прямые конусы образуют прямоугольный треугольник с длинами сторон: $h$, $l$ и $r$, для решения задач часто можно использовать теорему Пифагора.

       

      Пирамиды

      Пирамиды — это геометрические тела, похожие на конусы, за исключением того, что они имеют многоугольник в качестве основания и плоские треугольные стороны, сходящиеся в вершине.

      Существует много типов пирамид, определяемых формой их основания и углом их вершины, но ради SAT вам нужно заботиться только о правильных квадратных пирамидах.

      Прямоугольная пирамида имеет квадратное основание (каждая сторона имеет одинаковую длину) и вершину прямо над центром основания.2h$, так как основание квадратное, поэтому длины сторон одинаковы.

       

      Сферы

      Сфера — это трехмерный круг. В круге любая прямая линия, проведенная из центра в любую точку на окружности, будет равноудалена. 3$

      Вписанные тела

      Наиболее распространенными вписанными телами на SAT будут: куб внутри сферы и сфера внутри куба.Вы можете получить совершенно другую форму, но основные принципы работы с вписанными формами все равно будут применяться. Чаще всего этот вопрос является тестом Вам часто приходится знать принципы и формулы объемной геометрии для каждой формы в отдельности, чтобы иметь возможность собрать их вместе.

      Когда имеешь дело с вписанными фигурами, рисуй по схеме, которую они тебе дают. Если вам не диаграмму дадут, сделайте свою! Рисуя свои собственные линии, вы сможете лучше преобразовать трехмерные объекты в серию двухмерных объектов, которые чаще всего приведут вас к вашему решению.

      Поймите, что когда вам дают тело внутри другого тела, это не просто так. Это может показаться вам запутанным, но SAT всегда даст вам достаточно информации для решения проблемы.

      Например, одна и та же линия будет иметь разное значение для каждой формы, и это часто является ключом к решению проблемы.



      Итак, у нас есть вписанное тело и нет рисунка. Итак, первым делом сделайте свой рисунок!

      Теперь, поскольку у нас есть сфера внутри куба, вы можете видеть, что радиус сферы всегда равен половине длины любой стороны куба (поскольку у куба по определению все стороны равны).3$.

      Для подавляющего большинства вопросов о вписанных телах радиус (или диаметр) круга будет ключом к решению вопроса. Радиус сферы будет равен половине длины стороны куба, если куб внутри сферы (как в вопросе выше). Это означает, что диаметр сферы будет равен одной стороне куба, потому что диаметр в два раза больше радиуса. .

      Но что произойдет, если у вас есть сфера внутри куба? В этом случае диаметр сферы фактически становится диагональю куба.

      Каков максимально возможный объем куба в кубических дюймах, который может быть вписан в сферу радиусом 3 дюйма?

      А) 12√3$ (примерно 20,78$)

      B) 24√3$ (примерно 41,57$)

      C) 36√3$ (примерно 62,35$)

      Г) 216$

      $

      E) 1728$$                                           

      Сначала нарисуйте свою фигуру.

      Вы можете видеть, что, в отличие от случая, когда сфера была вписана в куб, сторона куба не в два раза больше радиуса круга, потому что между сторонами куба и окружностью сферы есть зазоры.3 = 12 √ 12 = 24 √ 3 $

       

      Хотя поначалу объемная геометрия может показаться запутанной, практика и внимание к деталям помогут вам найти правильный ответ

       

      Еда на вынос

      Вопросы по объемной геометрии на SAT всегда будут касаться объема, площади поверхности или расстояния между точками на фигуре. Они усложняют задачу, заставляя вас сравнивать элементы разных фигур или заставляя выполнять несколько шагов для каждой задачи.

      Но вы всегда можете разбить любой вопрос SAT на более мелкие части.

       

      Шаги к решению задачи объемной геометрии

      #1: Определите, что проблема просит вас найти.

      Проблема связана с кубами или сферами? Обе? Вас просят найти объем или площадь поверхности фигуры? Обе?

      Убедитесь, что вы понимаете, какие формулы вам понадобятся и с какими элементами геометрического тела (тел) вы имеете дело.

       

      #2: Вытяните

      Нарисуйте изображение каждый раз, когда они описывают твердое тело, не предоставляя вам изображение. Это часто позволяет легче увидеть, какая именно информация у вас есть, и как вы можете использовать эту информацию, чтобы найти то, что вопрос просит вас предоставить.

       

      #3: Используйте свои формулы

      После того, как вы определили формулы, которые вам понадобятся, часто достаточно просто ввести предоставленную информацию.

      Если вы не можете вспомнить свои формулы (например, формулу для диагонали), используйте альтернативные методы, чтобы найти ответ, например, теорему Пифагора.

       

      № 4: следите за чистотой информации и дважды проверяйте свою работу

      Вы пометили свою работу? Создатели теста знают, что учащиеся легко могут стать неряшливыми в условиях высокого стресса, и соответственно подбрасывают ответы-приманки. Поэтому убедитесь, что объем вашего цилиндра и объем вашего куба помечены соответствующим образом.

      И не забудьте перепроверить свой ответ, если у вас есть время! Имеет ли смысл говорить, что ящик высотой 20 футов может поместиться в ящик объемом 15 кубических футов? Точно нет! Убедитесь, что все элементы вашего ответа и вашей работы находятся в правильном месте, прежде чем вы закончите.

       

      Следуйте инструкциям по решению задач по объемной геометрии, и вы получите это золото

       

      Твердотельная геометрия часто не так сложна, как кажется; это просто плоская геометрия, перенесенная в третье измерение.Если вы сможете понять, как каждая из этих форм меняется и соотносится друг с другом, вы сможете справиться с этим разделом SAT с большей легкостью, чем когда-либо прежде.

       

      Что дальше?

      Теперь, когда вы хорошо разобрались с объемной геометрией, было бы неплохо просмотреть все математические темы, протестированные на SAT, чтобы убедиться, что вы хорошо усвоили их. Хотите получить высший балл? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как получить 800 баллов по математике SAT идеальным оценщиком SAT.

      Текущий результат на среднем уровне? Не хватает времени на математический раздел?  Нет ничего интересного в наших статьях о том, как улучшить свой балл, если ваш текущий балл ниже диапазона 600 и как остановить нехватку времени на SAT по математике.

       

      Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

      Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег, если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

      Наша программа полностью онлайн, и она настраивает то, что вы изучаете, в соответствии с вашими сильными и слабыми сторонами. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится и наша программа.  Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач SAT Math, организованных по отдельным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую программу, чтобы вы никогда не запутались в том, что изучать дальше. 3 =8V=s3=23=8 см3.2V=s2, чтобы найти объем куба, вы получите неверный ответ.

      (D)
      Если вы разделите объем коробки на длину ребра куба, вы получите неверный ответ.

      (E)
      Совет: внимательно прочитайте весь вопрос.
      Если вы думаете, что длина ребра каждого куба равна 1, вы получите неверный ответ.

      Какова площадь поверхности треугольной призмы выше?

      (A)   120\ \ 120  120
      (B)   128\ \ 128  128
      (C)   150\ \ 150  150
      (D)   180\ \ 180  180
      (E)   240\ \ 4090 2400


      Правильный ответ: D

      Решение:

      Совет: Теорема Пифагора: a2+b2=c2.2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12,132−52​=169−25​=144​=12.

      У нас есть:

      Треугольник=12bh=12⋅12⋅5=30A_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30Atriangle​=21​ чч=21​⋅12⋅5=30

      Abase=lw=4⋅12=48A_{\text{base}} = lw = 4 \cdot 12 = 48Abase​=lw=4⋅12=48

      Aside=lw=5⋅4=20A_{\text{side}} = lw = 5 \cdot 4 = 20Aside​=lw=5⋅4=20

      Диагональный прямоугольник=lw=4⋅13=52A_{\text{диагональный прямоугольник}} = lw = 4 \cdot 13 = 52Адиагональный прямоугольник​=lw=4⋅13=52

      Площадь поверхности всей формы

      SA=2⋅Треугольник+Вниз+В сторону+Диагональный прямоугольник=2⋅30+48+20+52=180. SA = 2 \cdot A_{\text{треугольник}} + A_{\text{основание}} + A_{\text{сторона}} + A_{\text{диагональный прямоугольник}} = 2 \cdot 30 + 48 + 20 + 52= 180.SA=2⋅Треугольник​+Abase+Aside​+Диагональный прямоугольник​=2⋅30+48+20+52=180.



      Неверный выбор:

      (A)
      Совет: внимательно прочитайте весь вопрос.
      Если вы найдете объем данной фигуры, вы получите неверный ответ.

      (B)
      Совет: Внимательно прочитайте схемы.
      Если вы забудете учесть диагональ прямоугольника (размеры 4 на 13), вы получите неверный ответ.

      (C)
      Совет: Внимательно прочитайте схемы.
      Если вы найдете площадь только одного треугольника и трех прямоугольников, то вы получите неверный ответ.

      (E)
      Совет: внимательно прочитайте весь вопрос.
      Если вы найдете объем прямоугольного тела с размерами 5×12×4,5 \× 12 \× 4,5×12×4, то вы получите неверный ответ.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск