Построение сечений многогранника на примере призмы

Слайд 1

Построение сечений многогранников на примере пр измы ® Создатели : Антон Дмитриев, Киреев Александр. При содействии: Гудковой Ольги Викторовны

Слайд 2

План урока Алгоритмы построения сечений Самопроверка Демонстрационные задачи Задачи для закрепления материала

Слайд 3

Алгоритмы построения сечений следов параллельных прямых параллельного переноса секущей плоскости внутреннего проектирования комбинированный метод дополнения n -угольной призмы до треугольной призмы Построение сечения методом :

Слайд 4

Построение сечения методом следов Основные понятия и умения Построение следа прямой на плоскости Построение следа секущей плоскости Построение сечения

Слайд 5

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Слайд 6

Построение сечения призмы Двух точек принадлежащих одной грани нет. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: — KQ ∩K1Q1=T1, T1R- след сечения. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведем NK. NK ∩AA1=M. 6. Соединяем M и R . Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Слайд 7

Метод параллельных прямых В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Основные умения и понятия Построение плоскости параллельной данной Построение линии пересечения плоскостей Построение сечения

Слайд 8

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q ) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α . Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q . Через точку R проводим прямую а параллельную PQ . Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

Слайд 9

(ПРИЗМА) Строим проекции точек P и Q на плоскости верхнего и нижнего оснований. Проводим плоскость P1Q1Q2P2. Через ребро, содержащее точку R, проводим плоскость α параллельную P1Q1Q2. Находим линии пересечения плоскостей ABB1 и CDD1 с плоскость α . Через точку R проводим прямую a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – искомое сечение. Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Слайд 10

Метод параллельного переноса секущей плоскости Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: оно параллельно секущей плоскости; в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

Слайд 11

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Построим вспомогательное сечение AMQ1 ||RPQ. Проведем AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1- проекция точек Р и М на АВС. Проведем Р1В и Р1С. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Через точку Р проведем прямые m и n соответственно параллельные МО1 и МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – искомое сечение Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1 .

Слайд 12

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Слайд 13

Построение вспомогательных сечений. ПРИЗМА Параллельное проектирование .

Слайд 14

Построение следа сечения на ребре

Слайд 15

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β . В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q . Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α . Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности. 1. Построение сечения многогранника плоскостью α , проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q .

Слайд 16

ПРИЗМА Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через прямую PQ параллельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведем плоскость через прямую AE1 и точку P. 2. В плоскости AE1P через точку P проведем прямую q’ параллельную AE1. q’∩E1S’=K. 3. Пересекающимися прямыми PQ и PK определяется искомая плоскость α. 4. P1 и K1- проекции точек Р и К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-искомое сечение.

Слайд 17

Метод дополнения n -угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Слайд 18

Основные понятия и умения Построение вспомогатель- ных сечений Построение следа сечения на ребре Построение сечения Центральное проектирование Параллельное проектирование

Слайд 19

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Достраиваем призму до треугольной. Для этого продлим стороны нижнего основания: AE, BC, ED и верхнего основания: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1∩B1C1=L1. Строим сечение полученной призмы KLEK1L1E1 плоскостью PQR , используя метод внутреннего проектирования. Это сечение является частью искомого. Строим искомое сечение.

Слайд 20

Правило для самоконтроля Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Слайд 21

Базовые задачи на построение сечений многогранников Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей. M є AD, N є DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

Слайд 22

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD=F1 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Соединяем A1,P и C.

Слайд 23

V. Если прямая лежит в плоскости сечения, то точка ее пересечения с плоскостью грани многогранника является вершиной трехгранного угла, образованного сечением, гранью и вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- параллелепипед. 1 . Вспомогательная плоскость MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина трехгранного угла образованного плоскостями : α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Слайд 24

Задачи . На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC ? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? Какие аксиомы и теоремы вы применяли? Сделайте вывод, как построить сечение в кубе? Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба). Какие многоугольники могут при этом получиться?

nsportal.ru

Примеры построения сечений многогранников

Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах,  встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Примеры построения сечений многогранников

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить

сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2).

 Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Разработка урока геометрии»Сечения призмы»

Сечение призмы плоскостями

Цели урока:

Образовательные:

рассмотреть основные простейшие виды сечений призмы, рассмотреть теорию метода следов и применить ее для построения более сложных сечений.

Воспитательные: воспитание самостоятельности, умения слушать, анализировать и делать выводы

Развивающие: развитие пространственного воображения, навыков самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, обобщать и делать выводы.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, доска и мел.

Ход урока:

Организационный момент (сообщение темы урока, актуальности темы и целей урока)

Учитель: Прежде чем говорить об актуальности темы, давайте ответим себе на несколько вопросов:

1. Что такое многогранник?

Ответ: Многогранник это тело, поверхность которого состоит из нескольких многоугольников.

2. Что такое призма?

Ответ: призма это многогранник, состоящий из двух многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

3. Что такое сечение?

Ответ: Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и состоящая из точек принадлежащих как секущей плоскости так и из точек самой поверхности данного тела.

Вот теперь поговорим, для чего нужны сечения и где они встречаются?

В математике нет ни одной темы, которая бы не находила своего широкого применения на практике. Так вот, построение сечений не является исключением. Очень часто с сечение различных геометрических тел встречаются в инженерии, в строительстве итд. Более того, порой недостаточно уметь просто строить эти сечения, а также необходимо уметь вычислять например площадь или периметр этого сечения. Так же задания на построение сечений и вычисление его элементов встречаются в программе профильного уровня ЕГЭ в рамках задачи №16, и как показывает практика, эти задания вызывают большие трудности у выпускников. Именно поэтому, изучение данной темы необходимо на достаточно углубленном уровне.

Итак, перейдем к рассмотрению темы и следующий вопрос будет такой:

4. Каким способом можно задать секущую плоскость?

Ответ:

• Через три точки можно провести плоскость и притом только одну

• Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну

• Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

• Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

А сейчас рассмотрим самые простейшие виды сечений призмы:

.

Это сечение параллельное основаниям. В сечении получается многоугольник, равный основаниям.

На этом чертеже построено сечение призмы плоскостью, параллельной боковой грани. Оно представляет собой параллелограмм.

А на этом чертеже построено так называемое диагональное сечение. Это сечение, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащие одной грани. Оно представляет собой параллелограмм.

Для построения более сложных сечений призмы может и пользоваться метод следов, где основа всего метода в следе секущей плоскости.

Определение:

Следом секущей плоскости называется прямая пересечения секущей плоскости и плоскости основания призмы.

Суть метода следов состоит в применении ряда правил построения сечений:

1. Пусть дана пятиугольная призма, точка А, принадлежащая верхнему основанию призмы и секущей плоскости и след а секущей плоскости, принадлежащий плоскости нижнего основания.

Тогда пересечение секущей плоскости верхнего основания будет представлять собой отрезок СД, проходящий через точку А, параллельный следу а.

2. Пусть снова дана пятиугольная призма. Если точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью, проходящей через точку А строится так:

• Строим точку В, в которой плоскость грани, пересекает след а

• Затем проводим прямую АВ. Она пересекает грань по отрезку СД.

• Отрезок СД и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью, проходящей через точку А

3. Если грань, содержащая точку А параллельна следу а, то секущая плоскость, пересекающая эту грань и проходящая через точку А,пересекает эту грань по отрезку СД, параллельному следу а.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. Таким образом можно получить многоугольник, который и окажется сечением призмы. В использовании этих трех правил и состоит суть метода следов для построения сечения призмы.

Рассмотрим задачу.

Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а, лежащей в плоскости нижнего основания и точку Н, принадлежащей боковому ребру.

Очевидно, что прямая а это и есть след секущей плоскости.

Точка Н принадлежит грани (АВВ₁), поэтому строим точку Р, в которой плоскость этой грань пересекает след а.а именно след пересекает прямая АВ. затем строим прямую РН, которая пересечет данную грань по отрезку НМ.

Далее, так как точка М принадлежит грани (ВСС₁),то проводим ВС, которая пересечет след в точке Q. Проводим QM, пересекающую грань по отрезку MN.

Точка N принадлежит грани (СДД₁), поэтому проводим СД пересекающую след а в точке Z, затем проводим ZN, пересекающую грань призмы по отрезку NV.

Точки Nи V лежат в одной грани, поэтому проводим прямую NV.

Четырехугольник HVNV – искомое сечение.

Теперь попробуйте выполнить аналогичное задание.

Постройте сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на одном из боковых ребер и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.( ученик выходит к доске для решения задачи)

Теперь рассмотрим еще одну задачу.

Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точку А, лежащую в плоскости верхнего основания и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.

По данному чертежу попробуйте сделать описания хода решения, используя правило №1. (для описания ученик выходит к доске и по чертежу расписывает пошагово ход решения)

Понятно ли вам как строить сечения призмы методом следов?

В чем состоит сложность этого метода именно для вас?

Как вы считаете, всегда ли след плоскости дается в условии?

Так вот, оказывается, что след плоскости в условии дается далеко не всегда. В этом случае этот след необходимо построить, что естественно значительно осложняет решение задачи. Но когда след будет построен, то дальнейшее построение сечения выполняется по общей методике,т.е именно так как мы сегодня строили. Такие задачи мы с вами будем решать на следующем уроке. Не останутся без нашего внимания также и простейшие сечения. например, диагональные. Мы научимся находить площади и периметры таких сечений, а также разберем основные типы задач №16 из бланков профильного уровня ЕГЭ. Но это все на последующих уроках. А сегодня нам было необходимо рассмотреть метод следов. Запишите домашнее задание:

1. Изучить теоретический материал, котрый мы сегодня рассмотрели.

2. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку М на боковом ребре и прямую лежащую в плоскости нижнего основания.

3. Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точку в плоскости верхнего основания и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.( используйте правило №1)

Спасибо. Урок окончен. До свидания.

infourok.ru

Конспекты уроков по геометрии для 10-11 классов по теме «Построение сечений многогранников и тел вращения»

К учебнику «Геометрия 10-11 классы» А.В. Погорелов:

Тема: Изображение призмы и построение ее сечений

Цели:

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями (рис.1).

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис.2).

На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению.

IV Закрепление изученного материала

Рассмотрим примеры построения сечений призмы.

Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис.3, а).

Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 3, б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью.

На рисунке 4 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

V Подведение итогов

Тема: Построение пирамиды и ее плоских сечений

Цели:

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 1 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 2). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 3).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится
так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке 4. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.

Если точка А лежит на грани пирамиды, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

На рисунке 5 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.

IV Закрепление изученного материала

V Подведение итогов

Тема: Сечения цилиндра плоскостями

Цели:

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 1, а). Две его стороны — образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды оснований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 1, б).

Теорема:

Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Доказательство:

Пусть β — плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра (рис. 2). Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость Р с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью Р с окружностью основания. Теорема доказана.

IV Закрепление изученного материала

Задача:

Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.

Решение:

Сторона квадрата равна IQ . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна:

V Подведение итогов

Тема: Сечение конуса плоскостями

Цели:

• рассмотреть сечения конуса, проходящие через вершину, в том числе осевые

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 1).

В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это — сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 2).

Теорема:

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Доказательство:

Пусть β — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис. 3). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость β с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью β с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

IV Закрепление изученного материала

Задача:

Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.

Решение:

Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии .

Поэтому радиус круга в сечении

.

Следовательно, площадь сечения

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 4).

V Подведение итогов

Тема: Сечение шара плоскостью

Цели:

Время реализации занятия: 45 минут

Ход урока

I Организационный момент

II Проверка домашнего задания

III Изучение нового материала

Теорема:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство:

Пусть α — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 1). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра.

Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора ОХ² = ОО’² + О’Х². Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х ≤√R²-OO’², т. е. любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки О’ на расстоянии, не большем √R²-OO’², следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 2), а сечение сферы — большой окружностью.

IV Закрепление изученного материала

Задача:

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

Если радиус шара R, то радиус круга в сечении будет

.

Отношение площади этого круга к площади большого круга равно

.

V Подведение итогов

infourok.ru

План-конспект занятия по технологии по теме: «Сечение геометрических тел (призмы) плоскостью»

Урок инженерной графики в группе М – 24
по теме:

«Сечение геометрических тел (призмы) плоскостью» 

Цель урока:

Формирование навыков построение сечения призмы и определение его натуральной величины.

Воспитание культуры труда, формирование познавательного интереса к предмету, инженерному делу.

Развитие пространственных представлений, пространственного мышления.

Методы: Рассказ, беседа, демонстрация, самостоятельная работа.

Оборудование: Учебник,  чертёжные инструменты, оформленные чертежи для демонстрации, компьютер, мультимедиа, карточки – задания.

Тип урока: Комбинированный.

План урока:

I. Этап организационный — приветствие, проверка присутствующих на занятии.	3 мин
II. Этап актуализации знаний -основные геометрические тела.	7 мин
III. Этап мотивационный — объявление темы занятия, постановка целей и задач занятия.	3 мин
IV. Этап объяснения нового материала и первичного закрепления — понятие о сечениях,  — сечение призмы плоскостью.	45 мин
V. Процессуально – исполнительский этап — графическая работа №5 «Построение комплексных чертежей и аксонометрических проекций усеченных геометрических тел».	30 мин
VI. Рефлексионный этап	2 мин

Ход занятия

1. Этап организационный 

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. Организация внимания учащихся.

 

2. Этап актуализации знаний

Форма многих технических деталей представляет собой сочетание простых геометрических тел . Поэтому для выполнения чертежей изделий необходимо знать, как правильно изображаются различные геометрические тела.

Вспомним основные геометрические тела:

• Тела вращения: цилиндр, конус, сфера, тор.
• Многогранники: пирамида, призма.

• Сегодня мы рассмотрим многогранники, а в частности усеченную призму. Так давайте вспомним,  какой многогранник называют призмой?

Призмой называется многогранник, у которого 2 грани (основания) — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а боковые грани – прямоугольники (у прямой призмы) или параллелограммы (у наклонной).

Мы рассмотрим прямую призму.

• Назовите элементы прямоугольной призмы?

Элементы призмы: вершины, ребра (боковые и основания), грани (2 основания и боковые).

А теперь вспомним  построение комплексного чертежа призмы .

Рассмотрим 3 проекции 6-угольной призмы. На главном виде – это прямоугольники, боковые ребра – это горизонтально проецирующие прямые, 6-угольник на виде сверху представляет собой проекцию обоих оснований.

3. Этап мотивационный

Сегодня на уроке мы продолжим разговор о геометрических телах и рассмотрим комплексные чертежи и аксонометрические проекции усеченных тел. Тема сегодняшнего урока «Сечение геометрических тел секущей плоскостью».

Цель урока:

• Познакомиться с методами построения  усечённых геометрических тел.

• Изучить способы, позволяющие определять на чертеже действительную величину отрезка прямой и плоской фигур.

4. Этап объяснения нового материала и первичного закрепления

Понятие о сечениях геометрических тел плоскостью

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности, рассеченные плоскостями .

Построения прямоугольных и аксонометрических проекций усеченных тел, а также определение истинного вида сечений и разверток поверхностей геометрических тел вы часто будете использовать на практике. В силу вашей будущей профессии вы должны знать правила выполнения и чтения конструкторской и технологической документации и уметь их оформлять. .

«Сечение – изображение фигуры, получающеёся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями». (ГОСТ 2.305-68). 

На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости; что расположено за секущей плоскостью, не показывают.

Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой для того, чтобы отличить на детали мысленно образованные поверхности от существующих. Штриховку наносят тонкими линиями. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45 к линиям рамки чертежа.

Сечение широко применяется в техническом черчении для выявления формы и внутреннего устройства предметов.

Сечением поверхности геометрических тел плоскостью называется плоская фигура, точки которой принадлежат и поверхности тела, и секущей плоскости.

Т.е. рассекая геометрическое тело плоскостью, получают сечение — ограниченную замкнутую линию, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела. 

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника .

При пересечении плоскостью тел вращения (например, цилиндра, конуса) фигура сечения часто ограничена кривой линией . Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий — прямых или окружностей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сечения.

Рассмотрим несколько случаев сечения плоскостью Р геометрического тела — куба, лежащего на горизонтальной плоскости проекции Н.

В первом случае  куб усечен фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фигурой сечения является прямоугольник. При построении двух проекций такого сечения следует иметь в виду, что фронтальная проекция фигуры сечения совпадает с фронтальным следом секущей плоскости Рv. Горизонтальная проекция фигуры сечения — прямоугольник.

Во втором случае куб усечен горизонтально-проецирующей плоскостью Р. Фигура сечения — прямоугольник. На слайде приведено построение проекций этого сечения. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальным следом Рн секущей плоскости. Фронтальной проекцией сечения будет прямоугольник, одной стороной которого является линия пересечения плоскости Р с плоскостью передней грани куба.

В третьем случае куб пересечен плоскостью общего положения , то полученная фигура сечения в данном случае (треугольник) проецируется на плоскости проекций V и Н с искажением.

Элементы деталей, наклонные к плоскостям проекций, проецируются на них с искажением размеров. Однако в некоторых случаях требуется получить на чертеже натуральную величину отрезков прямых линий или плоских фигур, в частности при построении разверток.

Натуральные размеры отрезков линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой они расположены. Следовательно, чтобы определить натуральную величину отрезка линии или фигуры, необходимо, чтобы плоскость проекции была параллельна изображаемому элементу. Для этого применяют способ вращения или способ перемены плоскостей проекций.

Способ вращения. Способ вращения заключается в том, что отрезок прямой линии или плоскую фигуру вращают вокруг выбранной оси до положения, параллельного плоскости проекций .

Способ перемены плоскостей проекций. Этот способ отличается от способа вращения тем, что проецируемая линия или фигура остается неподвижной, а одну из плоскостей проекций заменяют новой дополнительной плоскостью, на которую и проецируют изображаемый элемент.

Сечение призмы плоскостью

Сегодня мы с вами подробно рассмотрим и построим сечение призмы и ее аксонометрическую проекцию, и остановимся на первом случае, т.е. сечение призмы фронтально-проецирующей плоскостью и определим натуральную величину отрезка фигуры способом перемены плоскостей проекций.

В сечении многогранника плоскостью образуется многоугольник. Вершины многоугольника – это точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, стороны – это линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Построение комплексного чертежа усеченного многогранника состоит из решения следующих задач :

• Построение проекций фигуры сечения.
• Определение натуральной величины сечения.

• Построение аксонометрического изображения усеченного многогранника.

Рассмотрим все поставленные задачи.

Задача 1. Построение проекций фигуры сечения .

Для построения трех проекций усеченной призмы выполняем следующие операции:

• Строим 3 проекции правильной 6-угольной призмы.
• Проводим фронтально-проецирующую секущую плоскость А-А.
• На горизонтальной проекции плоскость сечения совпадает с проекцией основания ABCDEF, на профильной проекции сечение строится путем определения профильных проекций точек 1,2,3,4,5,6 и их последовательного соединения.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Задача 2. Определение натуральной величины сечения .

Решение задачи 2 проводится с использованием чертежа, полученного при решении задачи 1. Для определения натуральной величины сечения используем метод вспомогательных секущих плоскостей. Для решения задачи выполняем следующие операции:

• На произвольном расстоянии и параллельно секущей плоскости А-А проводим прямую. От фронтальных проекций точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 проводим прямые, которые будут перпендикулярны плоскости сечения. Прямые проводим до пересечения с новой плоскостью проекций.
• Новые проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаем перенося горизонтальные проекции данных точек в новую систему координат.
• Полученный 6-и угольник в новой системе плоскостей проекций и будет являться натуральной величиной сечения 6-угольной призмы.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Задача 3. Построение аксонометрического изображения усеченного многогранника 

Для решения задачи выполняем следующие операции:

• Строим шестиугольник АВСDЕF в изометрии.
• Из вершин шестиугольника проводим ребра призмы. Высоты A1, B2, C3, D4, E5, F6 – берем с фронтальной проекции усеченной призмы.

А теперь рассмотрим эти этапы подробно при построении

Мы подробно рассмотрели случай, когда секущая плоскость пересекает боковую поверхность прямоугольной призмы и фигурой сечения является шестиугольник.

Но есть и другие случаи, когда секущая плоскость пересекает не только боковую поверхность,  но и основание.

Как вы думаете, какой же тогда фигурой будет являться сечение?

(семиугольник или пятиугольник).

Мы только что с вами познакомились с методами построения  усечённых геометрических тел и изучили методы, позволяющие определять на чертеже действительную величину отрезка прямой и плоской фигуры. А теперь мне бы хотелось посмотреть на сколько вы усвоили этот материал. И сейчас мы проведем небольшой тест. На экране будут появляться вопросы с ответами, и вы в тетради будете фиксировать на ваш взгляд правильные ответы. А потом мы проанализируем их вместе.  

Тест 

1.Сечение – это

а) Изображение предмета, получающегося при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

б) Изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

в) Изображение проекции, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

2.Сечение применяют для…  

а) Выявления внешней формы предмета;

б) Выявления конструктивных элементов детали;

в) Выявления формы и внутреннего устройства предметов;

3. Что показывает сечение?

        а) На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости;

        б) На сечениях показано то, что находится в самой секущей плоскости и за секущей плоскостью;

        в) На сечениях показано лишь то, что находится за секущей плоскости;

4.Сечение выделяют…

а) Штриховой линией         под углом 45;

б) Штриховкой под углом 45;

в) Штрих – пунктирной линией под углом 45;

5. Какая фигура получается при пересечении плоскостью многогранника?

а) Овал;

б)  Треугольник;

в)  Многоугольник.

А теперь проверим, какие же ответы у вас получились?  

5. Процессуально – исполнительский этап

А теперь вам предстоит выполнить графическую работу № 5 «Построение комплексных чертежей и аксонометрических проекций усеченных геометрических тел», которая состоит из двух частей. Сегодня и на следующей паре вы будете выполнять первую часть этой работы – сечение призмы.

В таблице 19 на карточках: первая колонка обозначает № варианта, вторая – расстояние А (т.е. расстояние от центра фронтальной проекции призмы до точки Рх – начала секущей плоскости) и третья – α (угол наклонна секущей плоскости).

Например: для варианта 4, А равно 52, α – 250.

6. Рефлексионный этап

Итоги урока:

• Что вам понравилось на сегодняшнем уроке?
• Трудная – ли была работа на сегодняшнем уроке?
• Добились ли вы поставленных целей?
• Чему вы сегодня научились?

nsportal.ru

Призма и её виды. Сечение призмы плоскостью. Поверхность призмы.

Призма – многогранник, две грани которого в n-угольнике расположены в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммы.

Основание призмы, боковые ребра, ребра основания-стороны основания, боковые грани, вершины призмы-вершины оснований.

Высота призмы – это расстояние между основаниями.

Виды призм:

1. Прямая призма. Призма прямая, если боковые ребра перпендикулярны основанию.

2. Наклонная призма. Призма наклонная, если боковые ребра не перпендикулярны

3. Правильная призма. Призма правильная если призма прямая и в основании призмы лежит правильный n-угольник.

Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащей ни к одной грани.

Диагональное сечение – это сечение, содержащее диагональ призмы.

Перпендикулярное сечение– это сечение, проходящее перпендикулярно боковым ребрам призмы.

Объем наклонной призмы:

Объем прямой призмы:

 

Параллелепипед. Его виды. Свойства граней и диагоналей. Поверхность параллелепипеда.

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм

Виды параллелепипеда:

1. Наклонный – это наклонная призма, в основании которой лежит параллелограмм

2. Прямой – это прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм

3. Прямоугольный– это прямая призма, в основании которого прямоугольник

Свойства граней и диагоналей:

1. В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

3. Длины трех непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его критериями. Сумма квадратов этих измерений равна квадрату диагоналей.

Объем прямоуг. парал-да:

Пирамида. Правильная пирамида. Поверхность пирамиды. Объем пирамиды.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань который произвольный n-угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие одну вершину

Высота пирамиды – длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется правильной, если в основании пирамиды лежит правильный n-угольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (описанной вписанной окружности). В ней все боковые грани равнобедренные треугольники. Все ребра и грани наклонены под одним углом.

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды.

Диагональное сечение пирамиды – сечение, проходящее через диагональ, вершину.

Те пирамиды, которые не являются правильными, называются произвольными.

Треугольная призма называется тетраэдром.

Объем пирамиды:

 

Усеченная пирамида. Нахождение полной поверхности и объема.

Усеченная пирамида – это многогранник, расположенный между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельному основанию.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему (высоту боковой грани). S_б = 1/2 *P_осн*ha

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды нужно к площади боковой поверхности прибавит площадь основания S_полн. = S_б+S_осн

Для произвольной пирамиды площадь боковой поверхности равна сумме боковых гранейS_б= S_sac+S_scb+ S_sab. Чтобы найти полную: S_полн. = S_б+S_осн

Объем усеченной пирамиды:

 

Понятие о правильных многогранниках.

Правильный многогранник— это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани являются равными правильными многоугольниками; В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

 

Цилиндр. Его поверхность. Объем.

Состоит из радиуса основания, оси вращения и образующей.

Цилиндр– фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

S_б=2π*r*h;h-высота цилиндра, hr-радиус основания

S_полн. = Sб+2S_осн ; S_осн= π*r²

Осевое сечение цилиндра– это сечение, проходящее через диаметр основания и ось цилиндра.

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Сечение призмы плоскостью пример. Развертка призмы.

Необходимо было выполнить сечение призмы плоскостью. Для этого воспользуемся дополнительной линией.

По заданию дана геометрическая фигура, необходимо было начертить секущую плоскость, проходящую по виду спереди и перенести полученный результат на остальные видовые проекции, также отобразить, путем выноски, сечение в натуральную величину. Выполнить развертку и аксонометрию уже усеченной фигуры.

При выполнении этой задачи, секущую плоскость располагали на свое усмотрение, т.е. сами выбирали под каким углом на каком расстоянии. Точки находились методом переноса на все три вида фигуры с последующим обозначением.

Натуральная величина определялась исходя из принятых результатов разреза, вводилась дополнительная проецирующаяся X1.

Развертка и изометрия выполнялись посредством переноса размерных составляющих детали после разреза.

Навигация по записям

chertegik.ru