Симметрические уравнения

1. Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид
ах³ + bx² + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

а) У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х³ + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах² + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах² + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

б) У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Пример.

х³ + 2x² + 2х + 1 = 0.

Решение.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х³ + 2x² + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

х³ + 2x² + 2х + 1 = (х + 1)(x² + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение x² + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: -1.

2. Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени

, если они имеют вид
ах⁴ + bx³ + сх² + bх + a = 0.

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х². Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду:

а(x² + 1/x²) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t² = x² +2 + 1/x². Если теперь выразить x² + 1/x², то t² – 2 = x² + 1/x².

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:

аt² + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

Пример.

6х⁴ – 5х³ – 38x² – 5х + 6 = 0.

Решение.

6х² – 5х – 38 – 5/х + 6/х² = 0.

6(х² + 1/х²) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x² + 1/x²) = t² – 2, имеем:

6t² – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х² + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х² – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней

1. Уравнения, которые имеют вид

(х + а)ⁿ + (х + b)ⁿ = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации.

Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а)⁴ + (х + b)⁴ = c.

Пример.

(х + 3)⁴ + (х + 1)⁴ = 272.

Решение. 

Делаем подстановку, о которой говорилось выше:

t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.

(t – 2 + 3)⁴ + (t – 2 + 1)⁴ = 272.

(t + 1)⁴ + (t – 1)⁴ = 272.

Убрав скобки с помощью формул, получим:

t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 + t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 = 272.

2t⁴ + 12t² – 270 = 0.

t⁴ + 6t² – 135 = 0.

t² = 9 или t² = -15.

Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3.

После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.

Ответ: -5; 1.

Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.

2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

Пример.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Решение.

Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:

((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,

(х² + 5х + 4)(х² + 5х + 6) = 24.

Сделав замену х² + 5х + 4 = t, имеем уравнение

t(t + 2) = 24, оно является квадратным:

t² + 2t – 24 = 0.

t = -6 или t = 4.

После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.

Ответ: -5; 0.

3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах², где аd = cb.

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х² и решении совокупности квадратных уравнений.

Пример.

(х + 12)(х + 2)(x + 3)(x + 8) = 4х².

Решение.

Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:

(х² + 14х + 24)(х² + 11х + 24) = 4х². Делим на х² ≠ 0.

(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению:

(t + 14)(t + 11) = 4;

t² + 25х + 150 = 0.

t = 10 или t = 15.

Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни.

Ответ: (-15  ± √129)/2; -4; -6.

4. Решить уравнение (3х + 5)⁴ + (х + 6)³ = 4х² + 1.

Решение.

Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов:

((3х + 5)² – 4х²) + ((х + 6)³ – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению:

(х + 5)(х² + 18х + 48) = 0.

Ответ: -5; -9 ± √33.

Задача.

Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2.

Решение.

По следствию из теоремы Безу, если у многочлена есть корень кратности 2 равный 4 и есть корень -2, то он без остатка должен поделиться на (х – 4)²(х + 2), значит:

f(x)/((х – 4)²(х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4)²(х + 2)q(x).

Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х³ – 6x² + 32)q(х).

х³ – 6x² + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из  R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х³ – 6x² + 32.

Ответ: f(x) = х³ – 6x² + 32.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0,

(1)

где a, b – заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax² + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.

(2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

      Ответ:.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 + + bx + a = 0,

(3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2– – bx + a = 0,

(4)

где a, b, c – заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0.

(8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

(10)

      Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0.

(12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3 – x2 – – 3x + 2 = 0.

(13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

(15)

      Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0.

(17)

      Решим уравнение (17):

(18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

      Ответ:

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 + + 25x + 6 = 0.

(19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x². В результате получится уравнение

(20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

(21)

      Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0.

(23)

      Решим уравнение (23):

(24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

      Ответ:

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

(25)

где  a, b, c, d  – заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x². В результате получится уравнение

(26)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

      Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

      Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2 – – 30 x + 8 = 0.

(30)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,      b =– 15,      
c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

      Поскольку

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x². В результате получится уравнение

(31)

      Преобразуем левую часть уравнения (31):

      В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

(32)

      Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0.

(34)

      Решим уравнение (34):

      В первом случае из равенства (33) получаем:

      Во втором случае из равенства (33) получаем:

      Ответ:

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Материал на тему «Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ТЕМА:

«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.

Решение симметрических уравнений»

Материал для спецкурса

по математике 10-11 класса

подготовила учитель математики

Пашко Наталья Прокофьевна

пгт. Октябрьское

2015год

I.Линейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром

Линейным называется уравнение вида где х — неизвестная переменная, — коэффициенты.

1.Если a≠0, то уравнение имеет единственное решение

2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид

которое имеет бесконечно много решений.

3.Если a = 0, b ≠ 0, то уравнение примет вид не имеет решений.

Пример 1: Решить уравнение

Решение: В данном уравнении Найдём те значения k, при которых

1.Если то

2.Если k = 1, то уравнение примет вид т.е. 0∙x=0, х— любое действительное число.

3.Если k = —3, то уравнение примет вид

уравнение решений не имеет.

Ответ: при

при любое действительное число;

при уравнение решений не имеет.

II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.

Квадратным называется уравнение вида

Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.

Пример 1: Решить уравнение

Ответ: D=1,

ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:

Пример 2: Решить уравнение

Ответ:

Пример 3: Решить уравнение c параметром

Решение:

Если m² = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение

Если то

Исследуем знак дискриминанта:

Если то т. е. уравнение действительных корней не имеет.

Если то , то уравнение имеет действительные корни

Ответ: при

При действительных корней нет;

При

Пример 4: Решить уравнение

Решение:

Если т.е. то если

т.е. то действительных корней нет.

Ответ: при

при действительных корней нет.

Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения

При данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0

При уравнение корней не имеет, так как Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.

Ответ: а) при

б) при

в) невозможно.

Пример 6: Решить уравнение

Решение: При получаем линейное уравнение

которое имеет единственное решение

При уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 – 4a

При поэтому данное уравнение корней не имеет.

При , поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня:

При следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:

Ответ: при

при

при

при уравнение не имеет решений.

Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения

Решение: Найдём дискриминант данного уравнения

и поэтому уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде

Отсюда находим

Ответ:

Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен

Решение: Пусть рациональные числа, — искомое уравнение.

Поскольку число является его корнем,

то т.е.

По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства

Отсюда получаем

Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение

Ответ:

Пример 9: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример10: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 11: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 12: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 13: Решить уравнение

Решение: Пусть тогда

Имеем

Ответ:

Пример 14: Решить уравнение

Решение: Пусть тогда

Имеем

Ответ:

III. Симметрические уравнения.

Уравнения вида называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Поскольку то уравнение равносильно совокупности

Уравнения вида называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.

Разделив обе части на не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение

Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение

Для решения полученных уравнений положим соответственно

Поскольку

то получаем Таким образом, если корни

уравнения первого, а корни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений

Пример 1: Решить уравнение

Решение:

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x², получим ,

откуда

Положив получим уравнение

Отсюда находим Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа

Ответ:

Пример 2: Решить уравнение

Решение:

Отсюда Таким образом, исходное уравнение

эквивалентно совокупности уравнений

Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа

Ответ: 2 и -3.

Пример 3: Решить уравнение

Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,

Разделим обе части на x², получим уравнение

Решением этого уравнения являются числа

Таким образом

Решив эту совокупность, получим корни

Ответ:

Уравнения вида

Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)

Пример 4: Решить уравнение

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

Так как то введём новую переменную

Подставляя в исходное уравнение, получим

Соответствующие корни исходного уравнения равны

Ответ:

Уравнение вида

сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Заметим, что Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на Получим уравнение

равносильное исходному.

Сделаем замену переменной

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

т. е.

Решив эту совокупность, получаем

Ответ:

Уравнение вида

можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену

Пример 6: Решить уравнение

Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид

Решая это биквадратное уравнение, получим его корни

Ответ: 8; 6.

infourok.ru

Математика. Симметрические уравнения и примеры их решения.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид  ах³ + bx² + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

— У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х³ + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах² + (b – а)x + а) = 0, поэтому,  х + 1 = 0 или ах² + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

— У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид  ах⁴ + bx³ + сх² + bх + a = 0.

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х². Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду: а(x² + 1/x²) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t² = x² +2 + 1/x². Если теперь выразить x² + 1/x², то t² – 2 = x² + 1/x².

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение: аt² + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

 

Пример.

6х⁴ – 5х³ – 38x² – 5х + 6 = 0.

Решение.

6х² – 5х – 38 – 5/х + 6/х² = 0.

6(х² + 1/х²) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x² + 1/x²) = t² – 2, имеем:

6t² – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х² + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х² – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

multiurok.ru

Консультация онлайн преподавателя по математике. Ещё раз о симметрических уравнениях.

Обсудим ещё раз симметрические уравнения и способы их решения.

Рассмотрим уравнение: 4х⁴ – 8х³ + 3х² – 8х + 4 = 0. Возможно ли решить его в рамках школьных программ по математике? Можно ответить нет. Ведь стандартные методы решения уравнений в школе предусматривают решение уравнений не выше второй степени. Но можно вспомнить, что отдельные уравнения более высоких степеней в школе все-таки решались. Правда, способы их решения суть творческое применение известных способов, сведения их к решению одного или нескольких уравнений степени не выше второй.

Чаще всего здесь помогают два способа:

1. Разложение на множители.
2. Способ подстановки.

Удачность применения этих способов определяется конкретным видом уравнения.

Предлагаю здесь рассмотреть так называемые симметрические уравнения.

Симметрическим уравнением называется целое алгебраическое уравнение вида

а_пх^п + а_п-1х^п-1 + … + а₁х + а₀ = 0 при а_п = а₀; а_п-1 = а₁; а₂ = а_п-2; …

Именно к такому типу уравнений и относится рассматриваемое. Легко понять по внешнему виду примера, как выглядят симметрические уравнения: коэффициенты симметричны относительно среднего.

Рассмотрим решение уравнения.

Решим данное уравнение.

Очевидно, что х = 0 не является его корнем. Тогда деление на х² приведет к равносильному уравнению:
4х² – 8х + 3 – 8/х + 4/х² = 0. Или иначе (*) 4(х² + 1/х²) – 8(х + 1/х) + 3 = 0.

И теперь подстановка t = x + 1/x поможет нам получить квадратное уравнение относительно  t.

В самом деле: t² = (x + 1/x)² = х² + 2 + 1/ х². Или х² + 1/ х² = t² – 2.

Подставив в (*), получаем: 4(t² – 2) – 8t + 3 = 0.

Решив это уравнение, получаем  t₁ = 2.5, t₂ = -0,5.

Теперь имеем два новых уравнения относительно х: 1) х + 1/х = 2,5 и 2) х + 1/х = -0,5. Решив их и получим искомый ответ: х₁ = 2, х₂ = 0,5. (Второе уравнение корней не имеет.)

Описанный способ не подведет вас при решении симметричных уравнений четной степени. А вот, если степень уравнения нечетная, то лучше понизить степень уравнения на 1. Это сделать просто, если учесть, что один из корней любого симметричного уравнения нечетной степени равен минус 1 и, следовательно, левую часть такого уравнения можно представить в виде произведения двучлена х + 1 на симметричный многочлен четной степени. Получим два уравнения. Для решения второго применим способ, описанный выше.

Рассмотрим ещё одно уравнение:

Разберем решение этого уравнения х⁷ + 2х⁶ – 5х⁵ – 13х⁴ – 13х³ – 5х² + 2х + 1 = 0. Легко проверить, что один из корней этого уравнения -1. Следовательно, левую часть можно представить в виде произведения двучлена х + 1 на многочлен шестой степени.

В данном случае (х + 1)(х⁶ + х⁵ – 6х⁴ – 7х³ – 6х² + х + 1) = 0.

Получить коэффициенты второго многочлена можно используя метод деления многочлена на многочлен «уголком». Если этот метод Вам не подходит, то можно группировать последовательно по два одночлена так, чтобы после вынесения за скобки в скобках оставалось выражение

х + 1: (х⁷ + х⁶) + (х⁶ + х⁵) – (6х⁵ – 6х⁴) – (7х⁴ – 7х³) – (6х³ – 6х²) + (х² + х) + (х + 1) = 0.

Для получения всех корней необходимо решить уравнение х⁶ + х⁵ – 6х⁴ – 7х³ – 6х² + х + 1 = 0.

Это симметричное уравнение четной степени. Решим его, используя уже описанный выше метод. Делим на х³ и используем подстановку t = x + 1/x.

Учтем, что t³ = (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x) = x³ + 1/x³ + 3t. Тогда x³ + 1/x³ = t³ – 3t.

Получаем следующее уравнение относительно t: t³ + t² – 9t – 9 = 0, которое легко решается путем разложения на множители (t – 3)(t + 3)(t + 1) = 0.

Имеем: t₁ = 3, t₂ = -3, t₃ = -1. Теперь необходимо решить 3 уравнения: х + 1/х = 3, х + 1/х = -3 и х + 1/х = -1.

При ближайшем их рассмотрении, замечаем, что только первое и второе из них имеют корни
(3 ± Ѵ5)/2 и (-3 ± Ѵ5)/2. Вспомнив о первых скобках, запишем ответ: (-3 ± Ѵ5)/2; -1; (3 ± Ѵ5)/2.

Примечание: При решении этих уравнений мы можем сразу же отбрасывать те значения t, которые по модулю меньше 2. Так как согласно неравенству Коши |t| = |x + 1/x| ≥ 2Ѵ(x · 1/x) = 2.

Описанный способне является универсальным. Он не дает возможности решить любое симметричное уравнение. Но понижение степени он дает гарантированно. Благодаря этому предоставляется  возможность решить многие уравнения такого типа, не выходя за рамки школьной программы по математике. А это значит, что задачи такого типа на ЕГЭ имеют право на существование.

Хочется заметить, что используемый здесь метод деления имеет применение при решении еще одного класса заданий.

Рассмотрим уравнение 4х/(4х² – 8х + 7) + 3х/(4х² – 10х + 7) = 1. Попытка решить его традиционным методом приводит к сложным преобразованиям и высоким степеням. Но спасти положение может удачная подстановка, понижающая степень уравнения.

Убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Тогда есть возможность поделить числитель и знаменатель каждой дроби на х и получить уравнение, равносильное данному.

Получим: 4/(4х – 8 + 7/х) + 3/(4х – 10 + 7/х) = 1.

Спасительная замена t = 4x + 7/x.

Уравнение примет вид: 4/(t – 8) + 3/(t – 10) = 1.

Стандартными преобразованиями приведём его к виду:

(7t – 64) / ((t – 8)(t – 10)) = 1 → 7t – 64 = t² – 18t + 80 → t² – 25t + 144 = 0 → t₁ = 32, t₂ = 8.

Переходя к переменной х, получаем два уравнения: 4х + 7/х = 32 и 4х + 7/х = 9.

Теперь легко получаем ответ: 2,5 и 5,5.

Во всех этих случаях при решении уравнений целью наших преобразований было понижение степени рассматриваемых уравнений.

Остались вопросы? Не знаете, как решить симметрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

 

 

 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Элективный курс по алгебре (10 класс) по теме: ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

ЭЛЕКТИВНЫЙ ПРЕДМЕТ

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

10 КЛАСС

Учитель математики  МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка  первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

        — расширить знания о видах уравнений;

        — познакомить с методами их решения;

        — учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

1. Уравнение вида

        ах3  + вх2  + вх + а = 0, а ≠ 0,   (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку ах3  + вх2  + вх + а = а (х3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х2  — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

        х + 1 = 0    и     ах2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

 3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 3 (х3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

         х + 1 = 0    и    3х3 + х + 3 = 0,

        х= — 1                    D< 0 , уравнение решений не имеет.

Ответ: — 1.

2. Уравнения вида

        ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на   х2   , получим уравнение . равносильное исходному:

ах2 + а/х2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х)2  — 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

        ау2 + ву +с – 2а = 0.

        Если уравнение имеет два корня у1   и у2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х2 — х у1  + 1 = 0   и  х2 — х у2  + 1 = 0.

        Если же уравнение имеет один корень у0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х2 — у0х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

        х4 – 5х3 + 8х2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х2   ,получим равносильное ему уравнение

        х2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х2= 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х2 + 1/ х2)2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

у2 — 5у +6 = 0,

имеющее два корня у1= 2, у2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х + 1/х =2   и   х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х1 = 1, а решения второго есть х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х1 = 1, х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

3. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х3 —  5х2 — 5х + 7 = 0,

Б) 3х3 + 4х2 — 4х — 3 = 0,

С) 3х4 – 4х3 + 2х2 – 4х + 3=0,

Д) х4 +4х3 — 2х2 –+4х + 1=0.

nsportal.ru

Факультативное занятие по матемтаике «Системы симметрических уравнений»

Факультатив по математике

8 класс

Разработка занятия по теме:

Системы симметрических(симметричных) уравнений

Теоретический блок.

Система уравнений называется симметрической (симметричной), если при замене переменной х на переменную у и у на переменную х, уравнения, входящие в систему, не изменятся.

В любой симметричной системе уравнений ответы симметричны, т.е. если пара чисел (х₀, у₀) – решение системы, то пара чисел (у₀, х₀) тоже является решением.

Симметричные системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = x+y, v = xy

х² + у² = (х + у)² – 2ху = u² – 2v

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = u(u² – 2v – v) = u³ – 3uv и тд

Практический блок.

1. Решите систему уравнений:

Решение:

пусть x +y = u, xy = v

Произведем обратную замену.

Используя обратную теорему Виета или способ подстановки, получаем

х₁ = 1, х₂ = 3

у₁ = 3, у₂ = 1

Ответ: (1;3), (3;1)

1. Решите систему уравнений:

Решение:

Замена х + у = а, ху = в

9в + 9 – в² — в = 25

в² – 8в + 16 = 0

(в – 4)² = 0

в = 4

Произведем обратную замену.

Ответ: (1;4), (4;1)

Работа в группах.

Решите системы уравнений:

1. (3;2), (2;3),

2. (2; — 1), (- 1; 2)

3. (), ()

Взаимопроверка и разбор спорных заданий.

Рефлексия

videouroki.net