Симметрические уравнения как решать – Симметрические уравнения

Симметрические уравнения

1. Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид
ах3 + bx2 + bх + a = 0
.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

а) У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

б) У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Пример.

х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

.
 1
2
2
1
-1
 1
2 – 1 = 1 2 – 1 = 1 1 – 1 = 0

х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: -1.

2. Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени

, если они имеют вид
ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.Симметрические уравнения

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х2. Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду:

а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t2 = x2 +2 + 1/x2. Если теперь выразить x2 + 1/x2, то t2 – 2 = x2 + 1/x2.

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:

аt2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

Пример.

4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:

6t2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х2 – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Способы решения некоторых видов уравнений высших степеней

1. Уравнения, которые имеют вид

(х + а)n + (х + b)n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2. Этот метод называется методом симметризации.

Примером такого уравнения может быть уравнение вида (х + а)4 + (х + b)4 = c.

Пример.

(х + 3)4 + (х + 1)4 = 272.Симметрические уравнения

Решение. 

Делаем подстановку, о которой говорилось выше:

t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.

(t – 2 + 3)4 + (t – 2 + 1)4 = 272.

(t + 1)4 + (t – 1)4 = 272.

Убрав скобки с помощью формул, получим:

t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 + t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 = 272.

2t4 + 12t2 – 270 = 0.

t4 + 6t2 – 135 = 0.

t2 = 9 или t2 = -15.

Второе уравнение корней не дает, а вот из первого имеем t = ±3.

После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.

Ответ: -5; 1.

Для решения подобных уравнений часто оказывается эффективным и метод разложения на множители левой части уравнения.

2. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.

Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

Пример.

(х + 1)(х + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Решение.

Вычисляем: 1 + 4 = 2 + 3. Группируем скобки по парам:

((х + 1)(x + 4))((х + 2)(x + 3)) = 24,

2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 24.

Сделав замену х2 + 5х + 4 = t, имеем уравнение

t(t + 2) = 24, оно является квадратным:

t2 + 2t – 24 = 0.

t = -6 или t = 4.

После выполнения обратной замены, легко находим корни исходного уравнения.

Ответ: -5; 0.

3. Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах2, где аd = cb.

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х2 и решении совокупности квадратных уравнений.

Пример.

(х + 12)(х + 2)(x + 3)(x + 8) = 4х2.

Решение.

Перемножив в левой части первые две и последние две скобки получим:

2 + 14х + 24)(х2 + 11х + 24) = 4х2. Делим на х2 ≠ 0.

(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заменой (х + 24/х) = t приходим к квадратному уравнению:

(t + 14)(t + 11) = 4;

t2 + 25х + 150 = 0.

t = 10 или t = 15.

Произведя обратную замену х + 24/х = 10 или х + 24/х = 15, находим корни.

Ответ: (-15  ± √129)/2; -4; -6.

4. Решить уравнение (3х + 5)4 + (х + 6)3 = 4х2 + 1.Симметрические уравнения

Решение.

Данное уравнение сразу трудно классифицировать и выбрать метод решения. Поэтому сначала преобразуем, используя разность квадратов и разность кубов:

((3х + 5)2 – 4х2) + ((х + 6)3 – 1) = 0. Затем, после вынесения общего множителя, придем к простому уравнению:

(х + 5)(х2 + 18х + 48) = 0.

Ответ: -5; -9 ± √33.

Задача.

Составить многочлен третьей степени, у которого один корень, равный 4, имеет кратность 2 и корень, равный -2.

Решение.

По следствию из теоремы Безу, если у многочлена есть корень кратности 2 равный 4 и есть корень -2, то он без остатка должен поделиться на (х – 4)2(х + 2), значит:

f(x)/((х – 4)2(х + 2)) = q(x) или f(x) = (х – 4)2(х + 2)q(x).

Умножив первые две скобки, и приведя подобные слагаемые, получим: f(x) = (х3 – 6x2 + 32)q(х).

х3 – 6x2 + 32 – многочлен третьей степени, следовательно, q(x) – некоторое число из  R (т. е. действительное). Пусть q(x) есть единица, тогда f(x) = х3 – 6x2 + 32.

Ответ: f(x) = х3 – 6x2 + 32.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0,(1)

где a, b – заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax2 + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.(2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ:Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 +
+ bx + a = 0,
(3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2
– bx
+ a = 0,
(4)

где a, b, c – заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(6)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0.(8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(10)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0.(12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3x2
– 3x + 2 = 0.
(13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(15)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0.(17)

      Решим уравнение (17):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 +
+ 25x + 6 = 0.
(19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(21)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0.(23)

      Решим уравнение (23):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: УУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(25)

где  a, b, c, d  – заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(26)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(29)

      Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2
– 30 x + 8 = 0.
(30)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,      b =– 15,      
c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Поскольку

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(31)

      Преобразуем левую часть уравнения (31):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(32)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0.(34)

      Решим уравнение (34):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (33) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (33) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Материал на тему «Линейные, квадратные уравнения с параметром. Симметрические уравнения»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ОКТЯБРЬСКАЯ ШКОЛА-ГИМНАЗИЯ» КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ТЕМА:

«Решение линейных, квадратных уравнений с параметром.

Решение симметрических уравнений»

Материал для спецкурса

по математике 10-11 класса

подготовила учитель математики

Пашко Наталья Прокофьевна

пгт. Октябрьское

2015год

I.hello_html_m53d4ecad.gifЛинейные уравнения. Схема решения линейного уравнения. Решение линейного уравнения с параметром

Линейным называется уравнение вида hello_html_5cee93ff.gifгде х — неизвестная переменная, hello_html_6c3463d8.gif— коэффициенты.

1.Если a≠0, то уравнение имеет единственное решение hello_html_1459fce3.gif

2.Если a = b = 0, то уравнение примет вид hello_html_3c070e4.gif

которое имеет бесконечно много решений.

3.Если a = 0, b ≠ 0, то уравнение примет вид hello_html_m64a07ab1.gifне имеет решений.

Пример 1: Решить уравнение hello_html_54a18c77.gif

Решение: В данном уравнении hello_html_me5cf6c3.gif Найдём те значения k, при которых hello_html_34af2632.gif

1.Если hello_html_m48043efc.gif то

hello_html_m6d537e70.gif

2.Если k = 1, то уравнение примет вид hello_html_d1689d4.gif т.е. 0∙x=0, х— любое действительное число.

3.Если k = —3, то уравнение примет вид

hello_html_6519ce0e.gifуравнение решений не имеет.

Ответ: при hello_html_533281ae.gif

при hello_html_2d250cc0.gifлюбое действительное число;

при hello_html_4622ca21.gif уравнение решений не имеет.

II. Решение квадратных уравнений. Квадратных уравнений с параметром.

Квадратным называется уравнение вида hello_html_6fd6940b.gif

Замечание: Квадратное уравнение всегда имеет решение на множестве комплексных чисел.

Пример 1: Решить уравнение hello_html_48db3bbc.gif

Ответ: D=1, hello_html_m4cd6706b.gif

ЕСЛИ ВТОРОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЧЕТНОЕ ЧИСЛО, то используется формула:

hello_html_672e40cd.gif

Пример 2: Решить уравнение hello_html_m86c028a.gif

Ответ: hello_html_m72834727.gif

Пример 3: Решить уравнение c параметром hello_html_m6c74f81b.gif

Решение:

Если m2 = 0, то уравнение станет линейным x+1 = 0, которое имеет решение hello_html_m39d6c40b.gif

Если hello_html_225a7210.gif то hello_html_35c73d61.gif

hello_html_m6e9d5d67.gif

Исследуем знак дискриминанта:

hello_html_49ac6a6d.gif

Если hello_html_m8f92a35.gif то hello_html_m22eee1cd.gif т. е. уравнение действительных корней не имеет.

Если hello_html_m347efa3f.gif то hello_html_7b234d7.gif, то уравнение имеет действительные корни hello_html_f93706d.gif

Ответ: при hello_html_5a1a4da.gif

При hello_html_m6db78d91.gif действительных корней нет;

При hello_html_2d2e7d99.gif

Пример 4: Решить уравнение hello_html_183fd50f.gif

Решение: hello_html_m45ae858b.gif

Если hello_html_282f2558.gif т.е. hello_html_633c488c.gif то hello_html_m221c3e13.gif если

hello_html_3b3159cb.gifт.е. hello_html_2b18307d.gifто действительных корней нет.

Ответ: при hello_html_7bf8849a.gif

при hello_html_129c42e2.gif действительных корней нет.

Пример 5: Найти все значения параметра a, для которых квадратное уравнение hello_html_m2dd206dc.gif

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение: Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому hello_html_m795edcc5.gif Рассмотрим дискриминант данного уравнения

hello_html_m70c49461.gif

При hello_html_m3ffb559f.gif данное уравнение имеет два различных корня, так как D>0

При hello_html_m61431c7e.gif уравнение корней не имеет, так как hello_html_448628c8.gif Данное уравнение не может иметь двух равных корней, так как D=0 только при a=-1, а это противоречит условию задачи.

Ответ: а) при hello_html_m3ffb559f.gif

б) при hello_html_61c8928c.gif

в) невозможно.

Пример 6: Решить уравнение hello_html_m125ed51.gif

Решение: При hello_html_m61ab5111.gif получаем линейное уравнение hello_html_3ef1e4f0.gif

которое имеет единственное решение hello_html_57095033.gif

При hello_html_m170a01d8.gif уравнение является квадратным и его дискриминант D=4 – 4a

При hello_html_m6240fa81.gifпоэтому данное уравнение корней не имеет.

При hello_html_684fbccc.gif, hello_html_76a50c8b.gif поэтому данное уравнение имеет два совпадающих корня: hello_html_m466cc8bc.gif

При hello_html_75f7adb3.gif следовательно, данное уравнение имеет два различных корня:

hello_html_3d622b03.gif

Ответ: при hello_html_m6c10409e.gif

при hello_html_m100bb014.gif

при hello_html_6c74165.gif

при hello_html_m20cac80c.gif уравнение не имеет решений.

Пример 7: Найти сумму квадратов и сумму кубов корней квадратного уравнения hello_html_f74d082.gif

Решение: Найдём дискриминант данного уравнения

hello_html_2e7cafa3.gifи поэтому уравнение имеет два различных корня.

По теореме Виета имеем hello_html_40f6a09e.gif Представим сумму квадратов и сумму кубов соответственно в виде

hello_html_m68786c44.gif

Отсюда находим hello_html_m346bfde5.gif

Ответ: hello_html_m738c98fa.gif

Пример 8: Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен hello_html_m33657a38.gif

Решение: Пусть hello_html_m1f85835f.gif рациональные числа, — искомое уравнение.

Поскольку число hello_html_m54763f83.gif является его корнем,

то hello_html_70fc2f14.gif т.е. hello_html_m75bdce90.gif

По условию числа p, q рациональные; поэтому последнее равенство возможно только в том случае, когда одновременно справедливы равенства hello_html_m4cef77bf.gif

Отсюда получаем hello_html_da2d55b.gif

Итак, примером искомого уравнения служит квадратное уравнение

hello_html_4a9b4297.gif

Ответ: hello_html_4a9b4297.gif

Пример 9: Решить уравнение hello_html_m6c071f3a.gif

Решение: hello_html_4b0f9fc.gif

Ответ: hello_html_2d7b340c.gif

Пример10: Решить уравнение hello_html_m20335146.gif

Решение: hello_html_m3cdcfbf1.gif

Ответ: hello_html_m6d49a339.gif

Пример 11: Решить уравнение hello_html_m26b43ae5.gif

Решение: hello_html_4d26176c.gif

Ответ: hello_html_m78cf14a4.gif

Пример 12: Решить уравнение hello_html_m76eb00d4.gif

Решение: hello_html_m1b3333c5.gif

Ответ: hello_html_2e0ad511.gif

Пример 13: Решить уравнение hello_html_m117f9603.gif

Решение: Пусть hello_html_440c0d6d.gif тогда hello_html_m764ec60a.gif

hello_html_18b5f6f2.gif

Имеем hello_html_mce2d0f9.gif

Ответ: hello_html_49538e42.gif

Пример 14: Решить уравнение hello_html_71ebadbf.gif

Решение: Пусть hello_html_440c0d6d.gif тогда hello_html_58c27c4c.gif

hello_html_677cc14f.gif

Имеем hello_html_776fc211.gif

Ответ: hello_html_4d5a7b8c.gif

III. Симметрические уравнения.

Уравнения вида hello_html_6c90f9e2.gif называются симметрическими уравнениями третьей степени.

Поскольку hello_html_m1190a2ad.gif то уравнение равносильно совокупности hello_html_374d3d89.gif

Уравнения вида hello_html_m1eb8a6b0.gif называются симметрическими уравнениями четвёртой степени.

Разделив обе части на hello_html_6a1d1570.gif не является его корнем), получим эквивалентное ему уравнение

hello_html_m75dcb695.gif

Аналогично для второго уравнения получаем эквивалентное ему уравнение hello_html_4e3d83a0.gif

Для решения полученных уравнений положим соответственно

hello_html_e4324c9.gifПоскольку hello_html_m6e30093.gif

то получаем hello_html_40682658.gif Таким образом, если hello_html_m7c196220.gif корни

уравнения первого, а hello_html_7146888a.gifкорни второго уравнения, то исходные уравнения эквивалентны соответственно совокупностям уравнений

hello_html_11a9d39e.gifhello_html_m59255122.gif

Пример 1: Решить уравнение hello_html_m382169ec.gif

Решение:

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив обе его части на x2, получим hello_html_m4a2fcd97.gif,

откуда hello_html_58674d3d.gif

Положив hello_html_m5457bc68.gif получим уравнение hello_html_m26319465.gif

Отсюда находим hello_html_m2f817795.gif Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

hello_html_16ebd9a.gif

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Корнями первого уравнения, а значит и исходного являются числа

hello_html_me61d7b0.gif

Ответ: hello_html_m62c8fa4f.gif

Пример 2: Решить уравнение hello_html_5854856d.gif

Решение: hello_html_7effbbc7.gif

Отсюда hello_html_5814ad49.gifhello_html_m53d4ecad.gifТаким образом, исходное уравнение

эквивалентно совокупности уравнений hello_html_2e83708a.gif

Второе уравнение совокупности решений не имеет. Корнями первого, а значит и исходного являются числа hello_html_m51fbb80d.gif

Ответ: 2 и -3.

Пример 3: Решить уравнение hello_html_m420978d3.gif

Решение: Т.к. 0 не является решением данного уравнения,

Разделим обе части на x2, получим уравнение

hello_html_7db04dd1.gif

Решением этого уравнения являются числа hello_html_m5e12d2ec.gif

Таким образом hello_html_m1779358a.gif

Решив эту совокупность, получим корни

hello_html_41e59502.gif

Ответ: hello_html_m111a0eb9.gif

Уравнения вида

hello_html_25fe15ed.gif

Можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения)

hello_html_m5222de0e.gif

Пример 4: Решить уравнение hello_html_70d87dbe.gif

Решение: Перепишем данное уравнение в виде

hello_html_m552e40a9.gif

Так как hello_html_m4eaff63a.gif то введём новую переменную

hello_html_25b22d90.gif

Подставляя hello_html_ed45713.gif в исходное уравнение, получим

hello_html_m6ad90ba6.gif

Соответствующие корни исходного уравнения равны hello_html_m7d4a70dc.gif

Ответ: hello_html_m7a2e872b.gif

Уравнение вида

hello_html_4f9228eb.gif

сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены hello_html_78e8cfe4.gif

Пример 5: Решить уравнение

hello_html_b21fa17.gif

Решение: Заметим, что hello_html_m49441ae4.gif Перемножив в левой части данного уравнения первую и четвёртую скобки, а также вторую и третью, получим hello_html_m205d9ac.gif

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, поделим обе части этого уравнения на hello_html_7621e3d3.gif Получим уравнение

hello_html_m33b67f68.gifравносильное исходному.

Сделаем замену переменной hello_html_m19ca5fad.gif

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m766cc4d6.gifт. е. hello_html_239e6542.gif

Решив эту совокупность, получаем

Ответ: hello_html_639b308a.gif

Уравнение вида hello_html_63ca55fd.gif

можно решить также, используя метод симметризации, т. е. делая замену hello_html_3773a66c.gif

Пример 6: Решить уравнение hello_html_m69fb515f.gif

Решение: Данное уравнение после замены переменной примет вид hello_html_m72ef9921.gif

Решая это биквадратное уравнение, получим его корни

hello_html_m4c91a664.gif

Ответ: 8; 6.

infourok.ru

Математика. Симметрические уравнения и примеры их решения.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид  ах3 + bx2 + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

— У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,  х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

— У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид  ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х2. Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду: а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t2 = x2 +2 + 1/x2. Если теперь выразить x2 + 1/x2, то t2 – 2 = x2 + 1/x2.

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение: аt2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

 

Пример.

4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:

6t2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

1) x + 1/x = -5/2;

х2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 или х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х2 – 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 или х = 1/3.

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

multiurok.ru

Консультация онлайн преподавателя по математике. Ещё раз о симметрических уравнениях.

Обсудим ещё раз симметрические уравнения и способы их решения.

Рассмотрим уравнение: 4 – 8х3 + 3х2 – 8х + 4 = 0. Возможно ли решить его в рамках школьных программ по математике? Можно ответить нет. Ведь стандартные методы решения уравнений в школе предусматривают решение уравнений не выше второй степени. Но можно вспомнить, что отдельные уравнения более высоких степеней в школе все-таки решались. Правда, способы их решения суть творческое применение известных способов, сведения их к решению одного или нескольких уравнений степени не выше второй.

Чаще всего здесь помогают два способа:

  1. Разложение на множители.
  2. Способ подстановки.

Удачность применения этих способов определяется конкретным видом уравнения.

Предлагаю здесь рассмотреть так называемые симметрические уравнения.

Симметрическим уравнением называется целое алгебраическое уравнение вида

апхп + ап-1хп-1 + … + а1х + а0 = 0 при ап = а0; ап-1 = а1; а2 = ап-2; …

Именно к такому типу уравнений и относится рассматриваемое. Легко понять по внешнему виду примера, как выглядят симметрические уравнения: коэффициенты симметричны относительно среднего.

Рассмотрим решение уравнения.

Р1Решим данное уравнение.

Очевидно, что х = 0 не является его корнем. Тогда деление на х2 приведет к равносильному уравнению:
2 – 8х + 3 – 8/х + 4/х2 = 0. Или иначе (*) 4(х2 + 1/х2) – 8(х + 1/х) + 3 = 0.

И теперь подстановка t = x + 1/x поможет нам получить квадратное уравнение относительно  t.

В самом деле: t2 = (x + 1/x)2 = х2 + 2 + 1/ х2. Или х2 + 1/ х2 = t– 2.

Подставив в (*), получаем: 4(t– 2) – 8t + 3 = 0.

Решив это уравнение, получаем  t1 = 2.5, t2 = -0,5.

Теперь имеем два новых уравнения относительно х: 1) х + 1/х = 2,5 и 2) х + 1/х = -0,5. Решив их и получим искомый ответ: х1 = 2, х2 = 0,5. (Второе уравнение корней не имеет.)

Описанный способ не подведет вас при решении симметричных уравнений четной степени. А вот, если степень уравнения нечетная, то лучше понизить степень уравнения на 1. Это сделать просто, если учесть, что один из корней любого симметричного уравнения нечетной степени равен минус 1 и, следовательно, левую часть такого уравнения можно представить в виде произведения двучлена х + 1 на симметричный многочлен четной степени. Получим два уравнения. Для решения второго применим способ, описанный выше.

Рассмотрим ещё одно уравнение:

Р2Разберем решение этого уравнения х7 + 2х6 – 5х5 – 13х4 – 13х– 5х2 + 2х + 1 = 0. Легко проверить, что один из корней этого уравнения -1. Следовательно, левую часть можно представить в виде произведения двучлена х + 1 на многочлен шестой степени.

В данном случае (х + 1)(х6 + х5 – 6х– 7х3 – 6х2 + х + 1) = 0.

Получить коэффициенты второго многочлена можно используя метод деления многочлена на многочлен «уголком». Если этот метод Вам не подходит, то можно группировать последовательно по два одночлена так, чтобы после вынесения за скобки в скобках оставалось выражение

х + 1: (х7 + х6) + (х6 + х5) – (6х5 – 6х4) – (7х4 – 7х3) – (6х3 – 6х2) + (х2 + х) + (х + 1) = 0.

Для получения всех корней необходимо решить уравнение х6 + х5 – 6х– 7х3 – 6х2 + х + 1 = 0.

Это симметричное уравнение четной степени. Решим его, используя уже описанный выше метод. Делим на х3 и используем подстановку t = x + 1/x.

Учтем, что t3 = (x + 1/x)3 = x3 + 1/x3 + 3(x + 1/x) = x3 + 1/x3 + 3t. Тогда x3 + 1/x3 = t3 – 3t.

Получаем следующее уравнение относительно t: t3 + t2 – 9t – 9 = 0, которое легко решается путем разложения на множители (t – 3)(t + 3)(t + 1) = 0.

Имеем: t1 = 3, t2 = -3, t3 = -1. Теперь необходимо решить 3 уравнения: х + 1/х = 3, х + 1/х = -3 и х + 1/х = -1.

При ближайшем их рассмотрении, замечаем, что только первое и второе из них имеют корни
(3 ± Ѵ5)/2 и (-3 ± Ѵ5)/2. Вспомнив о первых скобках, запишем ответ: (-3 ± Ѵ5)/2; -1; (3 ± Ѵ5)/2.

Примечание: При решении этих уравнений мы можем сразу же отбрасывать те значения t, которые по модулю меньше 2. Так как согласно неравенству Коши |t| = |x + 1/x| ≥ 2Ѵ(x · 1/x) = 2.

Описанный способне является универсальным. Он не дает возможности решить любое симметричное уравнение. Но понижение степени он дает гарантированно. Благодаря этому предоставляется  возможность решить многие уравнения такого типа, не выходя за рамки школьной программы по математике. А это значит, что задачи такого типа на ЕГЭ имеют право на существование.

Хочется заметить, что используемый здесь метод деления имеет применение при решении еще одного класса заданий.

Рассмотрим уравнение 4х/(4х2 – 8х + 7) + 3х/(4х2 – 10х + 7) = 1. Попытка решить его традиционным методом приводит к сложным преобразованиям и высоким степеням. Но спасти положение может удачная подстановка, понижающая степень уравнения.

Убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Тогда есть возможность поделить числитель и знаменатель каждой дроби на х и получить уравнение, равносильное данному.

Получим: 4/(4х – 8 + 7/х) + 3/(4х – 10 + 7/х) = 1.

Спасительная замена t = 4x + 7/x.

Уравнение примет вид: 4/(t – 8) + 3/(t – 10) = 1.

Стандартными преобразованиями приведём его к виду:

(7t – 64) / ((t – 8)(t – 10)) = 1 → 7t – 64 = t2 – 18t + 80 → t– 25t + 144 = 0 → t1 = 32, t2 = 8.

Переходя к переменной х, получаем два уравнения: 4х + 7/х = 32 и 4х + 7/х = 9.

Теперь легко получаем ответ: 2,5 и 5,5.

Во всех этих случаях при решении уравнений целью наших преобразований было понижение степени рассматриваемых уравнений.

Остались вопросы? Не знаете, как решить симметрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

 

 

 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Элективный курс по алгебре (10 класс) по теме: ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

ЭЛЕКТИВНЫЙ ПРЕДМЕТ

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

10 КЛАСС

Учитель математики  МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка  первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

        — расширить знания о видах уравнений;

        — познакомить с методами их решения;

        — учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

  1. Уравнение вида

        ах3  + вх2  + вх + а = 0, а ≠ 0,   (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку ах3  + вх2  + вх + а = а (х3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х2  — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

        х + 1 = 0    и     ах2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

 3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 3 (х3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

         х + 1 = 0    и    3х3 + х + 3 = 0,

        х= — 1                    D< 0 , уравнение решений не имеет.

Ответ: — 1.

  1. Уравнения вида

        ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на   х2   , получим уравнение . равносильное исходному:

ах2 + а/х2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х)2  — 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

        ау2 + ву +с – 2а = 0.

        Если уравнение имеет два корня у1   и у2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х2 — х у1  + 1 = 0   и  х2 — х у2  + 1 = 0.

        Если же уравнение имеет один корень у0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х2 — у0х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

        х4 – 5х3 + 8х2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х2   ,получим равносильное ему уравнение

        х2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х2= 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х2 + 1/ х2)2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

у2 — 5у +6 = 0,

имеющее два корня у1= 2, у2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

        х + 1/х =2   и   х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х1 = 1, а решения второго есть х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х1 = 1, х2 =(3+√5)/2, х3 =(3-√5)/2.

  1. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х3 —  5х2 — 5х + 7 = 0,

Б) 3х3 + 4х2 — 4х — 3 = 0,

С) 3х4 – 4х3 + 2х2 – 4х + 3=0,

Д) х4 +4х3 — 2х2 –+4х + 1=0.

nsportal.ru

Факультативное занятие по матемтаике «Системы симметрических уравнений»

Факультатив по математике

8 класс

Разработка занятия по теме:

Системы симметрических(симметричных) уравнений

Теоретический блок.

Система уравнений называется симметрической (симметричной), если при замене переменной х на переменную у и у на переменную х, уравнения, входящие в систему, не изменятся.

В любой симметричной системе уравнений ответы симметричны, т.е. если пара чисел (х0, у0) – решение системы, то пара чисел (у0, х0) тоже является решением.

Симметричные системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = x+y, v = xy

х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = u2 – 2v

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = u(u2 – 2v – v) = u3 – 3uv и тд

Практический блок.

  1. Решите систему уравнений:

Решение:

пусть x +y = u, xy = v

Произведем обратную замену.

Используя обратную теорему Виета или способ подстановки, получаем

х1 = 1, х2 = 3

у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1;3), (3;1)

  1. Решите систему уравнений:

Решение:

Замена х + у = а, ху = в

9в + 9 – в2 — в = 25

в2 – 8в + 16 = 0

(в – 4)2 = 0

в = 4

Произведем обратную замену.

Ответ: (1;4), (4;1)

Работа в группах.

Решите системы уравнений:

  1. (3;2), (2;3),

  2. (2; — 1), (- 1; 2)

  3. (), ()

Взаимопроверка и разбор спорных заданий.

Рефлексия

videouroki.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *