Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

• sin² α + cos² α = 1
• tg α · ctg α = 1
• tg α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

• sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
• sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
• cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
• cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)
• tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)
• ctg (α — β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

Формулы двойного угла

• cos 2α = cos² α — sin² α
• cos 2α = 2cos² α — 1
• cos 2α = 1 — 2sin² α
• sin 2α = 2sin α · cos α
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

• sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
• cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
• tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы понижения степени

• sin² α = (1 — cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α — sin 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• sin² α · cos² α = (1 — cos 4α) ÷ 8
• sin³ α · cos³ α = (3sin 2α — sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

• sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α — β))
• sin α · sin β = ½ (cos (α — β) — cos (α + β))
• cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

---

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Формулы двойного аргумента (базовый уровень) — урок. Алгебра, 10 класс.

Формулы  двойного  аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.

Эти формулы устанавливают соотношение между \(sin  2 x\),  \(cos  2 x\),  \(tg  2 x\) и \(sin  x\),  \(cos  x\),  \(tg  x\).

 

Последовательно приведём и докажем формулы  двойного  аргумента для функций синуса,  косинуса   и   тангенса.

 

1. Рассмотрим выражение \(sin  2 x\) — представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\) и воспользуемся известной формулой синуса  суммы  аргументов:

sin(α+β)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ.

Тогда  получим:

sin2x=sin(x+x)=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx.

Итак, 

формула синуса  двойного  аргумента:  sin2x=2sinx⋅cosx.

 

2. Рассмотрим выражение \(cos  2 x\) и аналогично представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), а также воспользуемся известной формулой косинуса  суммы  аргументов:

cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ.

Тогда  получим:

cos2x=cos(x+x)=cosx⋅cosx−sinx⋅sinx=cos2x−sin2x.

Итак, 

формула косинуса двойного аргумента: cos2x=cos2x−sin2x.

 

3. Теперь рассмотрим выражение \( tg 2 x\) и вновь представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), что даст возможность воспользоваться известной формулой тангенса  суммы  аргументов:

 tg(α+β)=tgα+tgβ1−tgα⋅tgβ.

Тогда  получим:

tg2x=tg(x+x)=tgx+tgx1−tgx⋅tgx=2tgx1−tg2x;

 

формула тангенса двойного  аргумента: tg2x=2tgx1−tg2x.

 

Обрати внимание!

Формулы синуса  двойного  аргумента и косинуса  двойного  аргумента справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула тангенса двойного  аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента \(x\), для которых определены функции \(tg x\) и \(tg 2 x\), а также отличен от нуля знаменатель дроби, т. е. 1−tg2x≠0.

Это равносильно одновременному выполнению условий:      

x≠π2+πk,k∈ℤ, x≠π4+πn,n∈ℤ.

 

Разумеется, все полученные формулы применимы и в тех случаях, когда место аргумента \(x\) занимает более сложное выражение, например, справедливы следующие соотношения:  

sin4x=2sin2x⋅cos2x;

 

sinx=2sinx2⋅cosx2 — кстати, эту формулу иногда называют формулой половинного  аргумента;

 

cos48°=cos224°−sin224°;

 

cos(2x+6y)=cos2(x+3y)=cos2(x+3y)−sin2(x+3y);

 

tg(2π3−2t)=tg(2(π3−t))=2tg(π3−t)1−tg2(π3−t)  и т. п.

 

Любую из полученных формул двойного аргумента можно использовать как слева направо, так и справа налево (сворачивать) для решения тригонометрических выражений.

www.yaklass.ru

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Содержание статьи:

Перечень всех формул двойного угла

Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`

Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2\alpha` через функции тангенс и котангенс угла `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Доказательство формул двойного угла

Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.

Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Два другие равенства для косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`.  Так `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и `2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` в виде `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}`. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}` и `ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}`.

В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 \alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac {sin \ 2\alpha}{cos \ 2\alpha}=\frac {2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{cos^2 \alpha}}{\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac {2 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}}{1-\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}`.

`ctg \ 2\alpha=\frac {cos \ 2\alpha}{sin \ 2\alpha}=` `\frac {cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha-sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}}{\frac{2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha}{sin^2 \alpha}}=` `\frac {\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}{2 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}`.

Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:

Примеры использования формул при решении задач

Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.

Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `\alpha=30^\circ`.

Решение. В наших формулах используется два угла `\alpha` и `2\alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2\alpha=60^\circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`,  `cos 30^\circ=\frac {\sqrt 3}2`, `tg  30^\circ=\frac {\sqrt 3}3`, `ctg  30^\circ=\sqrt 3` и

`sin 60^\circ=\frac {\sqrt 3}2`,  `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg  60^\circ=\sqrt 3`, `ctg  60^\circ=\frac {\sqrt 3}3`.

Тогда будем иметь

`sin 60^\circ=2  sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac {\sqrt 3}2=\frac {\sqrt 3}2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac {\sqrt 3}2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac{2  tg 30^\circ}{1-tg^2 30^\circ}=` `\frac{2  \cdot \frac {\sqrt 3}3}{1-(\frac {\sqrt 3}3)^2}=\sqrt 3`,

`ctg  60^\circ=\frac{ctg^2 30^\circ-1}{2 \ ctg 30^\circ}=` `\frac{(\sqrt 3)^2-1}{2 \cdot \sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3`.

Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.

Пример 2. Выразить `sin \frac {2\alpha}3` через тригонометрические функции угла `\frac {\alpha}6`.

Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` \frac {2\alpha}3=4 \cdot \frac {\alpha}6`.  Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.

Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:

` sin\frac {2\alpha}3=2 \cdot sin\frac {\alpha}3 \cdot cos\frac {\alpha}3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos\frac {\alpha}6) \cdot (cos^2\frac {\alpha}6-sin^2\frac {\alpha}6)=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Ответ. ` sin\frac {2\alpha}3=` `4 \cdot sin\frac {\alpha}6 \cdot cos^3 \frac {\alpha}6-4 \cdot sin^3\frac {\alpha}6 \cdot cos \frac {\alpha}6`.

Формулы тройного угла

Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`

Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Заменим в полученной формуле `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` на `1-sin^2\alpha` и получим `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Также и для косинуса тройного угла:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Заменив в конечном равенстве `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` на `1-cos^2\alpha`, получим `cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`.

С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:

`tg \ 3\alpha=\frac {sin \ 3\alpha}{cos \ 3\alpha}=` `\frac {3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}=` `\frac {\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{cos^3 \alpha}}{\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{cos^3 \alpha}}=` `\frac {3 \cdot \frac{ sin \alpha }{cos \alpha}-\frac{ sin^3 \alpha }{cos^3 \alpha}}{1-3\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}=` `\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3tg^2 \alpha}`;

`ctg \ 3\alpha=\frac {cos \ 3\alpha}{sin \ 3\alpha}=` `\frac {cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}=` `\frac {\frac{cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha}{sin^3 \alpha}}{\frac{3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha}{sin^3 \alpha}}=` `\frac {\frac{ cos^3 \alpha }{sin^3 \alpha}-3 \cdot \frac{cos \alpha}{ sin \alpha }}{3\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}-1}=` `ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`.

Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.

Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.

Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

как вывести забытую тригонометрическую формулу?

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb—sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

6. Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cos asin(-b) = sinacosb—cosasinb
7. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)—sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

8. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
9. Косинус двойного угла
   : cos2a = cos(a+a) = cosacosa—sinasina = cos²a—sin²a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

10. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos²a—sin²a)sina = 2sinacos²a+sinacos² a—sin³a = 3sinacos²a—sin³a = 3sina(1-sin²a)-sin³a = 3sina-4sin³a
11. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa—sin2asina = (cos²a—sin²a)cosa-(2sinacosa)sina = cos³a-sin²acosa-2sin²acosa = cos
    ³a-3sin²acosa = cos³a-3(1-cos²a)cosa = 4cos³a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a = 1 и разделим его на cos²

a. Получим:

12. Связь тангенса и косинуса:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

13. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

14. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

15. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos

²a—sin²a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos²a—sin²a+cos²a+sin²a
2cos²a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

16. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos

2a—sin²a—cos²a—sin²a
2sin²a = 1-cos2a

17. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

18. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

19. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

intelmath.narod.ru

Тригонометрические формулы функций, более 100 шт

Тригонометрия в буквальном переводе означает измерение треугольников. Но это надо понимать как решение треугольников, то есть определения их сторон, углов или других элементов. Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительством.

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество

   

   

   

Эти тождества используются для преобразования тригонометрических выражений; позволяют по значению одной из тригонометрических функций найти значения всех остальных.

Знаки тригонометрических функций

Отсюда можем сделать вывод, что значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти положительны (так как ординаты точек в этих четвертях больше нуля), а лежащих в третьей и четвёртой четверти – отрицательны.

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

Формулы, выражающие тригонометрические функции через другие тригонометрические функции

Данные формулы позволяют находить одну тригонометрическую функцию угла если известная какая-нибудь иная функция этого угла. Используются при упрощениях и вычислениях:

   

   

   

   

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента

Эти формулы находят свое широкое применение в интегральном исчислении.

   

   

Формулы двойных и тройных аргументов

Данные формулы довольно легко получить при помощи формул сложения аргументов тригонометрических функций, заменой на Используются при тригонометрических упрощениях и преобразованиях.

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

   

   

   

   

Формулы половинного аргумента

Названные формулы выражают функции половинного аргумента через тригонометрические функции аргумента При меняются в тригонометрических преобразованиях.

   

   

   

   

Формулы сложения и вычитания аргументов

Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов и Данные формулы позволяют по известным тригонометрическим функциям аргументов и определять значения этих функций для сумм или разностей указанных аргументов.

   

   

   

   

   

   

   

   

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма (и разность) тригонометрических функций преобразуется в произведение функций от других аргументов по следующим формулам, которые выводятся из теорем сложения, а также определений тангенса и котангенса:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Формулы для разложения тригонометрических выражений на множители.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Эти формулы получаются из сложения/вычитания соответствующих формул сложения и вычитания аргументов и дальнейшего упрощения:

   

   

   

Используются при тригонометрических преобразованиях.

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Данные формулы используются при различных тригонометрических преобразованиях:

   

   

   

   

   

   

Другие формулы

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

ru.solverbook.com

Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A

Коэффициенты для суммы углов

Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
1. sin(A + B) не является равным sinA + sinB. В этом случае не срабатывает простое раскрытие скобок, как в алгебре.
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).

Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.

Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.

Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)

Нахождение sin(A + B)

Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей. Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).

Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Нахождение cos(A + B)

Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.

Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.

Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).

Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
            cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B

Нахождение tan(A + B)

Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
      tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
            tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]

Коэффициенты для 75 градусов

Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.

Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения и

www.math10.com