Sinx формула – Как репетитор по математике поясняет формулу корней уравнения SinX=a — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 09.02.202013.01.2020 by alexxlab

Содержание

Уравнение sinx=a

Напомним, что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида , , и , где – переменная, а число , называются

простейшими тригонометрическими уравнениями. На этом уроке мы с вами подробно рассмотрим решение уравнений вида

Вы уже знаете, что синусом угла называется ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол . При этом не забудем отметить, что так как координаты

точек единичной окружности удовлетворяют неравенствам

, то для

справедливо неравенство

. Из этого следует, что уравнение

имеет корни только при

Так как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения: и .

Чтобы найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен синус точки . Для этого нам достаточно вспомнить таблицу значений синуса.

Тогда

. Давайте покажем это на единичной окружности. Отметим точку

. У этой точки, как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из точки

на ось ординат, то попадём в

А теперь вернёмся ко второму уравнению . Чтобы найти х в этом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, синус каких точек равен

Давайте ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А теперь найдём все те точки, у которых ордината равна . Несложно догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать на горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой, равной .

А теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые лежат на единичной окружности и пересекаются горизонтальной прямой, проходящей через точки, имеющие ординату, равную

. Заметим, что наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках –

. Исходя из таблицы значений синуса, точка

получается из начальной точки

поворотом на угол

, а точка

– поворотом на угол

. Тогда решением нашего уравнения будут два корня

. Но ведь в эти точки мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова попадём в эти точки и так далее. Тогда окончательным решением нашего уравнения будет серия корней:

Второй корень мы можем переписать как

. Как правило, эти два корня совмещают и записывают как

Заметим, что если , то из последней формулы получаем: , а если , то из последней формулы получаем: .

Вообще, при решении уравнений вида

возможны четыре случая.

Первый случай: . Раскрывая модуль, имеем . В этом случае на единичной окружности будут располагаться две точки – и , ординаты которых равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и

соответственно. Тогда решения уравнения

можно записать в виде:

, и

. Заметим, что эти точки симметричны относительно оси ординат. Следовательно,

. Чаще всего эти серии решений объединяют в одну формулу:

Например, решим следующие уравнения и . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все корни уравнения можно найти по формуле . При чётном n получим первую серию решений, при нечётном – вторую.

Перейдём ко второму уравнению . Ординату, равную , имеют две точки единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно, все решения уравнения можно найти по формуле .

Обратите внимание, каждое из уравнений и имеет бесконечное множество корней. Однако на отрезке каждое из этих уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень уравнения , а , – это корень уравнения . Число называют арксинусом числа . Записывают так: . Число называют арксинусом числа . Записывают так: .

Кстати, «арксинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «синус». Это обратная функция.

Вообще, уравнение , где , на отрезке имеет только один корень. Если , то этот корень заключён в промежутке ;

если же , то корень располагается в промежутке .

Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают так .

Запомните! Арксинусом числа а, , называется такое число , синус которого равен а.

, если и

Например, , так как , . , так как , .

Возвращаясь к нашему уравнению , где , можно утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .

Запомните! Для любого справедлива формула . Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Например, .

Второй случай: . Раскрывая модуль, имеем и . Поскольку для справедливо неравенство , то понятно, что в этом случае уравнение не будет иметь корней.

Например, уравнения и не имеют корней.

Третий случай (частный): . В этом случае есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют ординату, равную 0. Точка представляет все числа вида , а точка – все числа вида . Заметим, что две записанные серии решений уравнения можно выразить одной формулой: . Так как при получится первая серия решений , а при – .

И последний, четвёртый случай (тоже частный): . Раскрывая модуль, имеем , и . В этом случае горизонтальные прямые, проходящие через точки, имеющие ординаты, равные –1 и 1, будут касаться единичной окружности в точках с координатами (0;1) и (0;–1). Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол и . Тогда уравнение имеет серию решений: . А решением уравнения будет следующее: .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнение .

Решение. Для начала преобразуем уравнение. Единицу перенесём в правую часть, затем разделим обе части равенства на –2. Получим . По формуле нахождения корней уравнения , имеем . . Отсюда . Перенесём 4 в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 3. Отсюда х равен: .

Как репетитор по математике поясняет формулу корней уравнения SinX=a

Известно, что большинство школьных учебников по математике далеко от методического совершенства, к которому так стремятся их авторы. На мой взгляд, многие из них предлагают туманные или совсем точные объяснения сложных теоретических вопросов. Обычно, если репетитор по математике в совершенстве владеет искусством объяснений, то либо меняет логику учебника полностью, либо дополняет тексты адаптированными для детского восприятия комментариями. Я уже давно пересмотрел подходы к изучению многих тем школьной программы по математике, являющиеся классическими. Невнятная логика переходов от одного факта к другому (от формулы к формуле), сухая схематичность выкладок и обилие математических терминов, — далеко не полный список проблем в построении классических объяснений.

Можно ли как-то исправить недосмотры и переписать учебники с учетом этих замечаний? Думаю, что нельзя. Почему? Если аккуратно подходить к каждому проблемному участку и менять «скупую математику» на «живую» и понятную, то размеры учебников возрастут в несколько раз. Почему? Очень трудно передать коротко те мысли, которые помогают прояснить сложные математические процессы. На некоторые из них придется потратить по 0,5-1,5 страниц печатного текста. Если так править каждый параграф, то и без того увесистые портфели учеников можно будет использовать для занятий тяжелой атлетикой.

Поэтому репетитор по математике как всегда «принимает огонь на себя». Отмечу, что индивидуальные занятия с преподавателем создают наилучшие условия для проникновения в глубины предмета, ибо в переполненном классе сложнее настроить ученика на серьезную вдумчивую работую. Репетитору же, как правило, удается донести до его сознания разного рода тонкости.

Толковое подробное объяснение сложного вопроса может отнять весь урок. И даже это не гарантирует 100%-го понимания темы всеми учащимися. Очень трудно удерживать внимание целой аудитории на детальном рассмотрении важных «мелочей». Особенно если оно долгое. Отдельно взятый ученик может в любой момент отвлечься от доски и полностью выключится из процесса. Преподаватель замеввший его потерянный взгляд и повторяющий часть объяснения заново, рискует запутает других учеников, ибо теряется последовательность изложения логических выводов. Сильному ученику станет скучно и он, скорее всего, потеряет концентрацию.

Неравномерность скорости восприятия информации (даже в классе с приблизительно равным уровнем знаний и способностей) делает аккуратные объяснения тем малоэффективными. Поэтому и здесь индивидуальный репетитор по математике оказывается в более выгодных условиях по сравнению со школьным преподавателем. В тихой и спокойной обстановке при полном контроле за пониманием и вниманием ученика репетитору удается объяснить теорему так, как это не удается сделать в классе.

Какую коррекцию проводит репетитор по математике?

Предлагаю вашему вниманию пример одного из моих объяснений при работе с темой «решение простейших тригонометрических уравнений». Напомню, что подготовка к ЕГЭ по математике включает в себя разбор формул для понимания решений задач типа С1. Что предлагает нам базовый учебник математики А.Н. Колмогорова 10-11 класс? Откроем пункт №9.2, стр.72 (17-е издание). В нем описывается построение формулы корней уравнения вида $Sin x=a, a \in [-1;1]$ . Сделан рисунок круга и даны вполне нормальные объяснения формулам для левой и правой точек – концов соответствующей хорды.
где $n \in Z$
Далее следует текст (цитирую): Удобно эти решения уравнения Sinx=a записывать не двумя, а одной формулой:
Нетрудно убедиться, что при четных k=2n из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4), а при нечетных k=2n+1 – решения, записываемые формулой (5).

Ну как Вам, понятно? Можно ли считать переход доказанным? Достаточно ли репетитору по математике повторить этот текст на уроке? Думаю, что нет. И вряд ли поможет прямая подстановка выражений 2n и 2n+1, ибо она точного доказательства не даст. Меня всегда возмущала тактика ухода от рассмотрения тонких вопросов. Как только автор с ним сталкивается, он сразу же прибегает к фразе «нетрудно убедиться» или «нетрудно доказать». Давайте разберемся, что именно здесь требуется вообще доказать и какие пояснения репетитору по математике следует предоставить ученику.

Пояснения репетитора к выводу формулы $x_{1/2}=(-1)^k arcsin a + \pi k$

Лучше строить рассуждения от обратного. Не подставлять 2n и 2n+1, а выделять их в 4-ой и 5-ой формулах. Некоторым ученикам 10 класса репетитор по математике должен объяснить принцип работы самих формул: для каждого целого числа, подставленного вместо буквы n (я использую всегда самые доступные фразы и термины) каждая формула вычисляет соответствующий ему угол. Подставляя в n все целые знания можно вычислить все множество углов (корней уравнения). Естественно, что запись формул может быть совершенно произвольной, когда множество сохраняется. Если замена на 6-ю формулу не приведет ни к потере, ни к приобретению лишних углов, то эта замена будет корректной. Согласно всем математическим правилам репетитору требуется просто показать совпадение множеств. Как это сделать? Лучше всего подготовить (преобразовать) формулы (4) и (5) к виду, максимально близкому к виду (6).

Понятно, что если вместо коэффициента «единица» перед арксинусом в формуле (4) поставить степень $(-1)^{2n}$ , то это не изменит результата при вычислении каждого угла, поскольку 2n – четно. В пятой формуле репетитор по математике переставляет слагаемое $\pi$ в конец выражения и выносит его за скобку. Это тождественное преобразование, также не меняющее результата при любом n. Затем вместо коэффициента -1 перед вторым арксинусом репетитор вставляет степень $(-1)^{2n+1}$ . И в этом случае результат сохранится, ибо при любом целом n значение 2n+1 будет нечетным, а при возведении 2n+1 в нечетную степень получим ту же самую «минус единицу».

Итак, репетитор по математике преобразует формулы к следующему виду:

Множители в последнем слагаемом специально переставляются, дабы обеспечить максимально точное расположение выражений 2n и 2n+1 для формулы (6) к моменту из замены на k. Лучше всего их выделить разным цветом.

Далее – самое важное. Текст репетитора (дословно):
Докажем, что каждый угол, вычисляемый по (4) формуле, можно вычислить по формуле (6). Почему? Допустим, в формулу (4) вставилось какое-нибудь целое число, например n=7. Тогда в зеленой рамке получится 14. Если вставить 14 вместо переменной k в формулу (6), то получим те же действия, что и в (4) и, следовательно, совпадут результаты. Очевидность этого совпадения обеспечивает максимально близкий вид 4-ой формулы к 6-ой. Поэтому ни один угол формулы (4) не будет потерян. Аналогичные рассуждения репетитор по математике проводит с формулой (5). Итак, мы гарантируем, что все углы формул (4) и (5) можно вычислить по формуле (6).

И наоборот, любой угол формулы (6) можно получить или по (4) или по (5). Почему? Допустим, что при каком-нибудь значении мы нашли угол по (6). Если k – четно, например k=10, то вставляя в 4-ю формулу n=5, мы вычислим тот же угол. Если k — нечетно, например $k=13=2 \cdot 6 +1$ (и здесь репетитору по математике лучше использовать примеры с конкретными значениями n), то подставляя n=6 в (5) снова увидим повторение набора действий и, как следствие, ответа. И так для любого числа k. Поэтому ни один угол формулы (6) не будет посторонним $\implies$ а оба множества (4)+(5) и (6) совпадут.

Если проводится подготовка к ЕГЭ по математике, то репетитору следует помнить о том, что в С1 наибольшую частоту появления имеют задачи на отбор корней. В этом случае общая формула, о которой идет речь в статье, не используется вовсе. Абитуриент отмечает точки на круге, удовлетворяющие условию SinX=a, отсекает лишнюю и только после этого записывает ответ. Думаю, что в условиях экспресс подготовки к ЕГЭ по математике не стоит тратить время на отработку навыков работы с «минус единицей в степени эн» и ограничиться сериями (4) и (5). Если абитуриент на ЕГЭ запишет ответ в С1 отдельными формулами, вместо общей, то это не приведет к снижению оценки (балла) за все задание.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Автор подхода.

Доказательства формул sin(x+y) и cos(x+y) для школьников: abs8192 — LiveJournal

…которые почему-то приводятся в современных учебниках для школы без доказательства. У моих родителей доказательства в учебниках были (в 40-е годы). У нас — уже нет.

Тащим отсюда: http://www.jimloy.com/geometry/trig.htm

Иногда нам нужно знать синус или косинус суммы двух углов. Вот диаграмма, которая поможет нам найти, чему они равны. Сначала найдём sin(x+y). Углы x и y имеют центр в точке O. Предположим сперва, что оба угла — острые (acute angles). Возьмём точку B на внешнем луче угла y. Опустим перпендикуляр BA на луч, который является общим для обоих углов. Нарисуем другие перпендикуляры (AD, BE и AC) как показано на рисунке. Вторая диаграмма показывает, как всё это выглядело бы, если б углы x и y были значительно больше.

  sin(x+y) = BE/OB
           = (BC+CE)/OB
           = (BC+AD)/OB
           = AD/OB + BC/OB
           = (AD/OB)×(OA/OA) + (BC/OB)×(BA/BA)
           = (AD/OA)×(OA/OB) + (BC/BA)×(BA/OB)
  sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

Пояснение к первой картинке: угол CAO=x, поскольку CA параллельно OE, а углы при пересечении OA и CE вертикальны.
Тогда угол CBA тоже равен х — поскольку угол OAB прямой (прямоугольные треугольники с общим углом подобны).

Из этого в частности следует, что sin(2x)=2 sin x cos x.
Вывод формулы для cos(x+y) подобен предыдущему. Используем ту же самую диаграмму:

  cos(x+y) = OE/OB
           = (OD-DE)/OB
           = (OD-AC)/OB
           = OD/OB - AC/OB
           = (OD/OB)×(OA/OA) - (AC/OB)×(BA/BA)
           = (OD/OA)×(OA/OB) - (AC/BA)×(BA/OB)
  cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y

Из чего вытекает, что cos(2x)=cos²(x)-sin²(x).
Если взять y = -x, получим 1=cos(0)
cos²(x)+sin²(x)=1 (по теореме Пифагора).
Формула для тангенса tg(x+y) может быть выведена из вышедоказанных формул и того, что tg=sin/cos.
Это приводит к tg(x+y)=(tg x + tg y)/(1-tg x tg y).

Углы больше 90 градусов тоже подходят для этих формул. Это можно проверить разными способами, оставленными читателю для развлечения.

Производная синуса — sin x

Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x.

Доказательство

Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.

Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .

Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.

Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Формула производной синуса доказана.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x; y = sin² x и y = sin³ x.

Пример 1

Найти производную от sin 2x.

Решение

Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .

Ответ

( sin 2x )′ = 2 cos 2x.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Пример 2

Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin² x.

Решение

Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.

.
Здесь .

Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.

Ответ

Пример 3

Найти производную от синуса в кубе:
y = sin³ x.

Решение > > >

Производные высших порядков

Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Докажем это, применяя метод математической индукции.

Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.

Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .

Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).

Формула доказана.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 04-03-2017