Графики линейных уравнений 2 x + 3 y = 6 и 4 x + 9 y = 15

Из графиков видно, что две линии действительно пересекаются в координатах x = 1,5, y = 1, так что есть единственное решение для этой конкретной линейной системы.Другой способ выразить это — сказать, что набор решений (набор всех возможных решений) состоит из единственной точки, определяемой координатами {1.5, 1}). Теперь рассмотрим следующую пару линейных уравнений:

3 x + 2 y = 6 [1]

3 x + 2 y = 12 [2]

Если линейная система имеет единственное решение, которое работает для всех уравнений в ней, то говорят, что уравнения согласованы друг с другом.В уравнениях [1] и [2] выше левая часть уравнения в обоих случаях равна 3 x + 2 y , что означает, что правая часть обоих уравнений также должна быть равна для другого. Если бы уравнения согласовывались друг с другом, было бы верно следующее утверждение:

6 = 12

Ясно, что здесь есть проблема, поскольку шесть не равно двенадцати.Эти два уравнения явно не согласованы друг с другом, что означает, что у этой конкретной линейной системы нет решения. В этом случае мы ожидаем увидеть, что, когда мы рисуем график обоих уравнений на одной и той же паре осей, результирующие линии будут параллельны. Вот графики для уравнений [1] и [2]:

Графики линейных уравнений 3 x + 2 y = 6 и 3 x + 2 y = 12

Системы с тремя уравнениями и двумя переменными

Предположим на мгновение, что нас попросили решить трех уравнений с двумя переменными ( x и y ) одновременно.На первый взгляд, это сложнее, чем решение двух уравнений, но все не всегда так, как кажется. Мы ищем значения x и y , которые удовлетворяют всем трем уравнениям одновременно, как и раньше. С точки зрения графики, система будет иметь решение только в том случае, если графики всех трех уравнений пересекаются друг с другом в общей точке. Однако, если подумать, нам нужны только два уравнения, чтобы найти значения для x и y . Мы начнем с рассмотрения линейной системы, включающей три уравнения с двумя переменными, имеет ли решение, а затем исследуем систему, в которой его нет.Рассмотрим следующие уравнения:

x — 2 y = -1 [1]

3 x + 5 y = 8 [2]

4 x + 3 y = 7 [3]

Глядя на любые два этих уравнений по отдельности, мы можем сказать, что они независимы друг от друга, потому что одно уравнение не может быть выведено из другого алгебраически.Однако обратите внимание, что уравнение [3] на самом деле является суммой уравнений [1] и [2], что означает, что любое одно уравнение в этой линейной системе может быть получено из двух других с помощью сложения или вычитания. Факт остается фактом: если существует единственное решение линейной системы, включающей три уравнения с двумя переменными, мы всегда можем найти его, используя только два уравнения, хотя необходимо будет обеспечить, чтобы значения x и y Найденное также будет удовлетворять третьему уравнению.Если они этого не сделают, значит, у системы нет решения. Чтобы решить указанную выше линейную систему с использованием уравнений [1] и [2], мы начнем с переписывания уравнения [1], чтобы получить выражение, которое мы можем заменить на x в уравнении [2]:

x = -1 + 2 y

Теперь перепишем уравнение [2], подставив вместо x :

3 (-1 + 2 y ) + 5 y = 8

Теперь умножьте скобки и соберите похожие термины:

-3 + 6 y + 5 y = 8 ⇒ 11 y = 11 ⇒ y = 1

Теперь замените y в уравнении [2]:

3 x + 5 = 8 ⇒ 3 x = 8-5 = 3 ⇒ x = 1

Чтобы проверить, удовлетворяется ли уравнение [3] значениями, которые мы получили для x и y , подставьте эти значения ( x = 1, y = 1) в уравнение [3]:

4 + 3 = 7

Поскольку «четыре плюс три равно семи» является математически правильным утверждением (в математических терминах, тождество ), мы нашли набор решений.Это единственная точка, определяемая координатами x = 1, y = 1. Чтобы подчеркнуть этот результат, вот графики всех трех уравнений, нарисованные на общем наборе осей:

Графики линейных уравнений x — 2 y = -1, 3 x + 5 y = 8 и 4 x + 3 y = 7

Теперь рассмотрим следующую систему уравнений:

x + y = 1 [1]

2 x + y = 1 [2]

3 x + 2 y = 3 [3]

Линейная система, определяемая уравнениями [1], [2] и [3], здесь не имеет решения.Кажется очевидным несоответствие между уравнениями [1] и [2], поскольку x + y и 2 x + y оба равны одному , но имейте в виду, что это факт возможен, если x равно ноль . Если мы сложим уравнения [1] и [2] вместе, мы получим следующее:

3 x + 2 y = 2 [4]

Если теперь вычесть уравнение [4] из уравнения [3], мы получим:

0 = 1

Ясно, что это утверждение не может быть верным (с математической точки зрения, это не тождество ).Поэтому говорят, что линейная система несовместима с и не имеет решения. Чтобы доказать свою точку зрения, мы представляем ниже графики всех трех уравнений, начерченные на общей оси. Есть одно решение для каждой пары уравнений, но нет решения для системы в целом.

Графики линейных уравнений x + y = 1, 2 x + y = 1 и 3 x + 2 y = 3

Системы с тремя уравнениями и тремя переменными

Здесь мы рассмотрим решение систем линейных уравнений, включающих три уравнения и три переменные ( x , y и z ).Линейные системы могут включать большое количество уравнений, а система, состоящая из четырех уравнений, может быть решена одновременно с использованием ручных методов. Кроме того, обычно требуется помощь компьютера. Эта страница предназначена для базового введения в линейные уравнения, поэтому мы не будем рассматривать линейные системы, включающие более трех линейных уравнений или трех переменных (однако следует отметить, что довольно сложные системы, включающие нелинейных уравнений часто можно моделировать с помощью систем линейных уравнений).Предположим, у нас есть три линейных уравнения, каждое из которых включает переменные x , y и z . Наша цель — найти значения x , y и z , которые удовлетворяют всем трем уравнениям одновременно. Рассмотрим следующие уравнения:

x + y — z = 4 [1]

x — 2 y + 3 z = -6 [2]

2 x + 3 y + z = 7 [3]

Наша основная цель должна заключаться в уменьшении сложности проблемы за счет уменьшения количества уравнений и количества переменных до тех пор, пока мы не получим одно линейное уравнение, которое мы сможем решить стандартными методами.Обычно мы можем достичь этого путем исключения. Выбор того, с чего начать, часто бывает несколько произвольным, поскольку обычно существует несколько возможностей. В этом случае мы можем заметить, что в уравнении [1] мы имеем — z , а в уравнении [3] мы имеем + z . Таким образом, мы можем исключить переменную z из этих уравнений, просто сложив их вместе, чтобы получить:

3 x + 4 y = 11 [4]

Мы можем снова использовать уравнение [1], на этот раз, чтобы исключить z из уравнения [2].Во-первых, мы должны умножить уравнение [1] на три, чтобы получить:

3 x + 3 y — 3 z = 12 [1a]

Мы обозначили это уравнение [1a], потому что оно получено из уравнения [1] и по существу эквивалентно ему. Теперь мы можем сложить уравнение [2] и уравнение [1a] вместе, чтобы получить:

4 x + y = 6 [5]

Теперь у нас есть два уравнения вместо исходных трех, и мы удалили переменную z .Теперь мы можем исключить y из уравнений [4] и [5]. Сначала нам нужно умножить уравнение [5] на минус четыре (-4), чтобы получить:

-16 x + -4 y = -24 [5a]

Затем мы складываем уравнение [4] и уравнение [5a] вместе, чтобы избавиться от y :

-13 x = -13 ⇒ x = 1

Теперь мы можем решить уравнение [4] для y , подставив одно вместо x :

3 + 4 y = 11 ⇒ 4 y = 11 — 3 = 8 ⇒ y = 2

Теперь у нас есть значения x и y ( x = 1, y = 2), поэтому мы можем решить для z , подставив эти значения в одно из исходных уравнений.Просто потому, что это первое уравнение в списке и ни по какой другой причине, мы будем использовать уравнение [1]:

x + y — z = 4 ⇒ 1 + 2 — z = 4 ⇒ — z = 4 — 3 ⇒ z = -1

Таким образом, набор решений равен x = 1, y = 2, z = -1. Однако, поскольку у нас есть три переменных, мы не можем представить графики трех уравнений на двухмерной плоскости.Каждый из трехмерных графиков уравнений будет описывать различных плоскостей , а решением линейной системы будут координаты x , y и z точки, в которой пересекаются все три плоскости. На иллюстрации ниже показано трехмерное представление плоскостей и точки, в которой они пересекаются (обратите внимание, что плоскости, описывающие три уравнения, могут быть расширены до бесконечности, но мы ограничили представление здесь плюс и минус десять единиц по всем осям) .Обратите внимание, что пересечение любых двух плоскостей будет прямой линией. Также обратите внимание, что любые две плоскости, если их удлинить, в конечном итоге пересекут друг друга, если они не параллельны друг другу.

Графики линейных уравнений x + y — z = 4, x — 2 y + 3 z = -6 и 2 x + 3 y + z = 7

Решите одновременный набор двух линейных уравнений

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные числа, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, целые числа, наибольшие общие факторы, наименьшие общие фракции, добавление фракций, сравнение фракций, преобразование фракций, преобразование в десятичные дроби, дробление фракций, умножение фракций, уменьшение дробных фракций, умножение фракций , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика многочленов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Пример Правые треугольники, Ветер, рисунок

Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

Если, и — действительные числа, график уравнения вида

— прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений в переменных называется системой линейных уравнений в этих переменных. Следовательно,

— линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

, то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

Система может вообще не иметь решения, или она может иметь уникальное решение, или она может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованная .

Покажите, что для произвольных значений и

— это решение системы

Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой систем уравнений (если — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные, задаются в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если оба они не равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

• Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе будет уникального решения , соответствующего этой точке.
• Линии параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
• Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному на каждую точку на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

, встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

называется матрицей коэффициентов системы, а
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентными , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь Эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

1. Поменяйте местами два уравнения.
2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда полученная система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично выполняется вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются элементарными операциями со строками матрицы.

1. Поменять местами два ряда.
2. Умножить одну строку на ненулевое число.
3. Добавить кратное одной строки в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

Далее вычтите строку 1 из строки 3. Результат:

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

Теперь вычтите временную строку 3 из строки 1, а затем прибавьте умноженную строку 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Матрица, как говорят, находится в форме рядов (и будет называться матрицей рядов , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Все нулевых строк (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
3. Каждый ведущий находится справа от всех ведущих в строках над ним.

Матрица строка-эшелон называется сокращенной формой строки-эшелона (и будет называться сокращенной матрицей строки-эшелон, если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «лестницы», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие идут «вниз и вправо» через матрицу. Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что алгоритм Гаусса является рекурсивным: после получения первого интервала процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица —

Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенная матрица} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу «строка-эшелон», используя элементарные операции со строками.
2. Если возникает строка, система несовместима.
3. В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные назначаются как параметры, как и раньше. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

Рейтинг

Можно доказать, что уменьшенная строка-эшелонированная форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу с эшелонированием строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Тем не менее, — это , правда, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц эшелонов строк (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

Решение:

Приведение к строительной форме

Так как эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Кроме того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

Проба:

Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, и решений бесконечно много. Если нет параметров и поэтому единственное решение.

Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система непоследовательна.
2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
3. Бесконечно много решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

2. Что можно сказать о решениях, исходя из графика? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

4. Для следующей линейной системы:

Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, глядя на график?

Многие важные проблемы включают линейных неравенств , а не линейных уравнений Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и — фиксированные константы.

Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием в решении параметра. Это связано с тем, что существует не ведущая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что здесь четыре переменные и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

Проба:

Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, у нее не должно быть больше переменных, чем у уравнений (система имеет нетривиальные решения, но.)

Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

Решение:

Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

Линейные комбинации и базовые решения

Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

Решение:

Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

, что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз существует , нет решения, которое читатель может проверить, так что , а не , является линейной комбинацией, и.

Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в
Пример 1.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы могли бы выразить это как
, говоря, что общее решение -, где произвольно.

Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе есть, и предположим, что

, являются решениями. Потом и
.
Следовательно, это тоже решение, потому что

Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

Примечательно то, что каждые решений однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

Решение:

Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —

, поэтому решениями являются,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждые решений как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и таким образом исключить дроби.

По этой причине:

Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

Таким же образом гауссовский алгоритм производит базовые решения для в каждой однородной системе, по одному для каждого параметра (есть нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

Решение:

Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

, поэтому общее решение:,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

Отсюда базовые решения —

Система линейных уравнений | Нет уникального решения | GMAT Math Practice Questions

Приведенный ниже примерный вопрос GMAT в количественном выражении представляет собой вопрос о линейных уравнениях и проверяет концепции, связанные с типами решений для системы линейных уравнений. Эта концепция обычно проверяется в GMAT как вопрос о достаточности данных, а не как вопрос для решения проблемы.Практический вопрос GMAT уровня ниже 600 в системе линейных уравнений.

Вопрос 3 : Для каких значений ‘k’ пара уравнений 3x + 4y = 12 и kx + 12y = 30 НЕ будет иметь единственное решение?

1. 9
2. 12
3. 3
4. 7,5
5. 2,5

Достичь Q51 в GMAT Quant

Онлайн-курс GMAT

Видео Объяснение

Онлайн-классы GMAT

Начало вт, 27 апреля 2021 г.

Пояснительный ответ

Условие однозначного решения линейных уравнений

Система линейных уравнений ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 будет иметь уникальное решение, если две линии, представленные уравнениями ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 пересекаются в точке.
то есть, если две линии не параллельны и не совпадают.
По сути, наклон двух линий должен быть разным.

Что это означает?

ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 будут пересекаться в одной точке, если их наклоны различны.
Выразите оба уравнения в стандартизированном формате y = mx + c, где m — наклон линии, а c — точка пересечения с y.

ax + by + c = 0 можно записать как y = \ — \ frac {a} {b} x — \ frac {c} {a} \\)
И dx + ey + g = 0 можно записать как y = \ — \ frac {d} {e} x — \ frac {g} {e} \\)
Наклон первой линии равен \ — \ frac {a} {b} \\), а наклон вторая строка — \ — \ frac {d} {e} \\)
Для уникального решения наклон линий должен быть другим.
∴ \ — \ frac {a} {b} \ neq — \ frac {d} {e} \\)
или \\ frac {a} {d} \ neq \ frac {b} {e} \\)

Условие, чтобы уравнения НЕ имели единственного решения

Наклоны должны быть равны
Или \\ frac {a} {d} = \ frac {b} {e} \\)

Примените условие в данном уравнения для нахождения k

В приведенном выше вопросе a = 3, b = 4, d = k и e = 12.
Следовательно, \\ frac {3} {k} = \ frac {4} {12} \ \)
Или «k» должно быть равно 9, чтобы система линейных уравнений НЕ имела единственного решения.

Вопрос: «Какое значение k?»
Когда k = 9, система уравнений будет представлять собой пару параллельных линий (их пересечения по оси Y разные). Таким образом, этого НЕТ решения. система линейных уравнений с двумя переменными.

Правильный ответ — вариант A.

Система линейных уравнений Facts for Kids

В математике система линейных уравнений (или линейная система ) представляет собой набор линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Описание

Математики показывают взаимосвязь между различными факторами в форме уравнений. «Линейные уравнения» означают, что переменная появляется только один раз в каждом уравнении без возведения в степень. «Система» линейных уравнений означает, что все уравнения верны одновременно.Итак, человек, решающий систему уравнений, ищет значения каждой переменной, которые сделают все уравнения истинными одновременно. Если никакие такие значения не могут удовлетворить все уравнения в системе, то уравнения называются «несовместимыми».

Например,

— это система трех уравнений с тремя переменными,,. «Решение» линейной системы — это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения выполнялись одновременно.Решение системы выше дается

, поскольку он делает все три уравнения действительными:

В математике теория линейных систем — это раздел линейной алгебры, предмет, который является фундаментальным для современной математики. Компьютерные алгоритмы нахождения решений являются важной частью численной линейной алгебры, и такие методы играют важную роль в инженерии, физике, химии, информатике и экономике.Система нелинейных уравнений часто может быть аппроксимирована линейной системой (см. Линеаризация), что является полезным методом при создании математической модели, компьютерной модели или компьютерного моделирования относительно сложной системы. Для сложных систем существует множество уравнений и много переменных, а не только две или три. Во многих случаях количество уравнений и переменных в системе одинаково. В некоторых случаях переменных больше, чем уравнений, и решение будет представлять собой диапазон различных значений, а не одно точное решение.

Простой пример

Простейшая линейная система включает два уравнения и две переменные:

Один из методов решения такой системы заключается в следующем. Сначала решите верхнее уравнение относительно:

Теперь подставьте это выражение для x в нижнее уравнение:

В результате получается одно уравнение, включающее только переменную. Решение дает и подставляет это обратно в уравнение для урожайности:

Этот метод распространяется на системы с дополнительными переменными.

Использование матриц

Очень часто все коэффициенты записываются в виде матрицы A, которая называется матрицей коэффициентов.

Примерно так же переменные можно записать в виде вектора:

.

Это позволяет записать

.

Математически определенный выше вектор представляет собой матрицу размером 1 на n. Затем система уравнений может быть решена с помощью операции умножения, определенной для матриц.A, x и b — все части одного алгебраического поля.

Решение системы линейных уравнений

При поиске решений системы линейных уравнений возможны три случая:

• Нет решения
• Есть ровно одно решение
• Есть много решений; точное количество зависит от свойств поля. Во многих случаях решений будет бесконечное количество.

Существует две категории методов решения системы линейных уравнений.Итерационные методы используют много шагов для получения решения, прямые методы требуют только одного шага:

• Примером прямого метода является решение системы для одной переменной; эту переменную можно исключить и заменить выражением, в котором используются только другие переменные, или числом. Выполнение этого для всех переменных уравнения приведет к решению системы, если оно существует.
• Другой метод — преобразовать два уравнения так, чтобы одна из сторон уравнений была одинаковой в обоих случаях; тогда можно написать другое уравнение, которое заменяет два уравнения и сокращает количество уравнений на одно.
• Исключение по Гауссу
• QR-разложение
• Разложение Холецкого
• Правило Крамера

Примеры итерационных методов:

• Релаксация, включая методы Гаусса-Зейделя и Якоби
• Многосеточный метод
• Метод Крылова

Есть примеры, такие как геодезия, где измерений намного больше, чем неизвестных. Такая система почти всегда переопределена и не имеет точного решения.Каждое измерение обычно неточно и включает некоторую погрешность. Поскольку измерения неточны, невозможно получить точное решение системы линейных уравнений; такие методы, как наименьшие квадраты, могут использоваться для вычисления решения, которое наилучшим образом соответствует переопределенной системе. Это решение методом наименьших квадратов часто можно использовать в качестве замены для точного решения.

Решение системы линейных уравнений имеет сложность не более O (n ³ ). Для решения общей системы из n линейных уравнений необходимо не менее n ² операций.Лучший алгоритм, известный на сегодняшний день, был разработан Доном Копперсмитом и Шмуэлем Виноградом и датируется 1990 годом. Его сложность n ^2.376 К сожалению, практического применения он не имеет.

использует

Использование компьютеров для решения систем линейных уравнений используется каждый день.