§ 4. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений

строк. Аналогичные взаимосвязи имеют место и для столбцов матрицы A.

Приведенные примеры показывают, что всякая матрица, помимо своего порядка m×n должна характеризоваться дополнительным показателем, устанавливающим максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Таким показателем и является ранг.

Рангом r(A) матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным.

Из определения следует, что рангом обладает всякая матрица. Ранг матрицы считается равным нулю только в том случае, если все ее элементы равны нулю. Если в матрице есть хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не менее единицы. В том случае, когда все миноры k-го и выше порядков равны 0, ранг матрицы меньше k.

Пример. Определить ранг матрицы

2	3	7	1	−2
	4	1	4	3
5
A=	8	9	1	5	.
6
	6	14	2
4				−4

Решение. Данная матрица имеет порядок 4×5 . Следовательно, наивысший порядок миноров этой матрицы kmax =min{4, 5}=4 . Число различных миноров четвертого порядка, порождаемых данной матрицей, равно N4 =C54C44 =5 . Эти миноры имеют следующие номера столбцов:

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5).

Можно заметить, что элементы 4-й строки матрицы пропорциональны соответствующим элементам 1-й строки. Значит, все миноры 4-го порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы меньше четырех.

studfile.net

Матричный метод решения системы линейных уравнений

Задана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными,коэффициентами при которых элементы матрицы , а свободными членами являются числа

Обозначим через – матрицу-столбец неизвестных, через –матрицу-столбец свободных членов. Тогда впереди систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

Если квадратная матрица имеет отличный от нуля определитель ,то для нее существует обратная . Умножив слева в этом уравнении на , получим

Учитывая, что и, получим матричный решение системы

Нахождение матричного решения называется матричным способом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

—————————————————————

Пример 1.

Решить СЛАУ матричным методом.

Решение.

Обозначим матрицу и векторы

Матричный решение системы уравнений ищем по формуле

Для нахождения обратной матрицы вычислим определитель

Поскольку , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение.

Найдем транспонированную матрицу

Найдем алгебраические дополнения к элементам заданной матрицы:

Обратную матрицу вычисляем по формуле

Найдем решение СЛАУ

Решение СЛАУ:

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим систему:

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Данную систему можно записать в матричной форме следующим образом:

A*X=B где А- основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных

X – матрица-столбец, составленная из неизвестных

B – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂

a₂₃ , X = x₂ , B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ x₃ b₃

Теорема: Если матрица А невырожденная, т.е. ее определитель А отличен от нуля, то наша система имеет единственное решение, которое можно записать следующим образом:

X=A^-1*B

Доказательство:

Т.к. матрица А имеет определитель отличный от 0, то для нее существует обратная матрица А^-1 . Нашу систему мы записали в матричной форме. Домножим обе части системы слева на матрицу А^-1.

A^-1*A*X=A^-1*B , тогда Е*X= A^-1*B или

X= A^-1*B теорема доказана

Пример:

2*x₁ +3*x₂ = 5 2 3

x₁ — x₂ = 0 X=A^-1*B A = 1 -1 = -5;

A₁₁ = -1 A₁₂=-1 A₂₁=-3 A₂₂=2

-1 -3

A^-1 = -(1/5) * -1 2

-1 -3 5 -5 -0 -5

X = -(1/5) * -1 2 * 0 = -(1/5) * -5 0 = -(1/5) * -5 =

1 x₁ = 1

= 1 ; x₂ = 1

9. Линейные системы общего вида

Рассмотрим систему линейных уравнений с n-неизвестными

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а_1n*х_n=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+….+а_2n*х_n=b₂

_{……………………………………………} (1)

а_m1*х₁+а_m2*х₂+….+а_mn*х_n=b_m

Основной матрицейданной системы является матрица

а₁₁ а_{12 ..…} а_{1n .}

а₂₁ а_{22 ….} а_2n

A = ………………

а_m1 а_{m2 ……}а_mn

Матрица, которая получается из основной матрицы посредством добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:

а₁₁ а_{12 ……} а_1nb₁

а₂₁

а_{22 ……} а_2nb₂

A = ……….…………._.

а_m1 а_{m2 ……}а_mn b_m

Систему (1) можно записать в виде: A*X=B , где:

x₁ b₁

x₂ b₂

X= … B = …

x_n b_m

Определение: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля.

2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число отличное от нуля.

3. Перестановкаместами 2-х уравнений.

При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений те же преобразования производятся над расширенной матрицей системы.

Определение: Эквивалентными системами линейных уравнений называются системы, которые получаются одна из другой посредством элементарных преобразований.

Определение: Минором матрицы называется определитель, образованный элементами этой матрицы, который получается из данной матрицы посредством выделения определенного равного числа строк и столбцов. Порядком минора называется порядок определителя (число строк определителя).

Примеры: 1 2 3 1 2

A = 2 8 9 M₂ = 4 5 — минор 2-го порядка.

4 5 7

M₁ = 1 — минор 1-го порядка.

Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. r(A) – ранг матрицы

Пример: 1 2 3

A = 4 5 6 определим ранг:

2 4 6

1 2 3 1 2

M₃= 4 5 6 =0 M₂= 4 5 =1*5-4*2=-3

2 4 6

т.о. r(A)=2 — ранг матрицы равен 2

Определение: Базисным минором матрицы называется любой ее минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы.

Теорема: При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Определение: Ступенчатой матрицей называется матрица, которая имеет ступеньку из 0 (нулей), удовлетворяющую определенным свойствам (см. пример).

Примеры:

1 2 3

С = 0 1 4 — ступенчатая матрица r(C)=3

0 0 5

1 2 4 5

D = 0 0 1 2 — ступенчатая матрица r(D)=3

0 0 0 4

Теорема: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема: Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатой.

Пример:

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2

А = 2 0 1 3 ~ 0 -6 -1 -1 ~ 0 -6 -1 -1

3 3 2 4 0 -6 -1 -2 0 0 0 -1

При первом преобразовании:

— каждый элемент второй строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-2)

— каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3)

При втором преобразовании:

— каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом второй строки умноженным на (-1)

Теорема (критерий совместности Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна (имеет решения) тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

r(A)=r( A )

Следствие: Если ранги не равны, то системы соответственно не имеют решений.

Теорема (критерий определенности) : Совместная система линейных уравнений будет определенной, если ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных переменных.

Следствие: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. она неопределенная система.

studfile.net

§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.

(1)

Обозначим: – матрица системы,

–матрица-столбец свободных членов

–матрица-столбец неизвестных, —

Найдем .

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

(2) – матричная запись системы линейных уравнений.

Найдем решение этого матричного уравнения. Пусть А – невырожденная матрица, т.е. , значит. Умножим обе части (2) на

.

Поскольку , то.

EX= X, значит

(3)

– решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

–матричная запись системы.

–решение системы.

Пример 7.2

Ответ:

II. Правило Крамера

— определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

, ,— определители, полученные изпутем замены соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы, то система имеетединственное решение: ,,– формулы Крамера;

2. ,или, или, то системане имеет решений;

3. ,, то система или не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. , то система имеетединственное решение: ,;

2. ,или, то системане имеет решений;

3. ,, то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Матрицу системы и расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований можно свести или к треугольному виду или к ступенчатому виду.

(1) (2)

Матрице (1) соответствует система:

Если а₁₁, с₂₂, …с_nn0, то начиная с последнего уравнения найти единственное

решение x_n, x_n-1,…,x₁.

Если условие а₁₁, …, с_nn0 не выполняется, то переставить столбцы.

Матрице (2) соответствует система:

Если a₁₁, c₂₂,…,c_rr0, то r(A)= r() =r<nбесконечное множество решений.

r базисных неизвестных: x₁, x₂,…,x_r, где

(n—r) свободных неизвестных: x_r+1, …, x_n

Выразить x₁,…,x_r через x_r+1,…,x_n.

Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть такая i–я строка, у которой все

c_ij=0, а d_i0 (противоречивое уравнение), то система несовместна, так как r(A)r().

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

Ответ: ,,

§9. Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений.

В матричном виде: , гдеА=;Х=.

–расширенная матрица

А~(вычеркнув нулевой столбец)однородная система всегда совместна.

Возможны два случая:

1. r = n ( когда единственное решениеx₁=…=x_n=0

2. r<n (когда бесконечное множество решенийx₁,…,x_r – базисные неизвестные; x_r+1,…,x_n– свободные неизвестные.

Пример 9.1 Исследовать и решить систему

Ответ: ,,

Пример 9.2 Исследовать и решить систему

Ответ: бесконечное множество решений вида ,,где

18

studfile.net

23. Решение слау методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А-1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

24. Решение слау методом гаусса

Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число, где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть для любых i > r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):

,

где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия:

1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности

Упомянутое выше условие для всехможет быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Теорема Кронекера-Капелли.

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Следствия:

Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.

Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует порядка O(n3) действий.

Этот метод опирается на: Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).

Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

studfile.net