Система неравенств с квадратным уравнением: Квадратные неравенства. – Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства? — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 19.01.202123.03.2020 by alexxlab

Содержание

Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?

Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду $ax^2+bx+c$ $⋁$ $0$, где $a$,$b$ и $с$ — любые числа (причем $a≠0$), $x$ – неизвестная переменная, а $⋁$ – любой из знаков сравнения ($>$,$<$,$≤$,$≥$).

Проще говоря, такие неравенства выглядят как квадратные уравнения, но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:

$x^2+2x-3>0$
$3x^2-x≥0$
$(2x+5)(x-1)≤5$

Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов. Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

Приведите неравенство к виду $ax^2+bx+c⋁0$.
Примеры:

$x^2-6x-16<0$ $-9x^2+x+8≤0$
Разложите выражение слева на множители. Для этого приравняйте его к нулю и решите получившееся уравнение, найдя корни $x_1$ и $x_2$. Затем запишите исходное выражение в виде $a(x-x_1 ) (x-x_2 )$ Подробнее об этом можно почитать здесь.

$x^2-6x-16=0$ $-9x^2+x+8=0$
$D=36-4 \cdot 1 \cdot (-16)=100=10^2$ $D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289$
$x_1=\frac{6-10}{2}=-2$ $x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}$ $x_2=\frac{6+10}{2}=8$ $x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1$
$(x-8)(x+2)<0$ $-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0$
Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком $<$ или $>$) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком $≤$ или $≥$), то точки должны быть закрашены.
Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
$-$ знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
$-$ знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.
Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
$-$ со знаком «$+$», если в неравенстве стояло «$>0$» или «$≥0$»
$-$ со знаком «$-$», если в неравенстве стояло «$<0$» или «$≤0$»
Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
Внимание! При строгих знаках неравенства ($<$ или $>$) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде $(x_1;x_2)$ – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства ($≤$ или $≥$) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде $[x_1;x_2]$, с квадратными скобками на точках.

Ответ: $(-2;8)$ Ответ: $(-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)$

Пример. Решите квадратное неравенство $\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}$$≥$ $\frac{8}{15}$
Решение:

$\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}$$≥$ $\frac{8}{15}$		Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенство на $15$.
$3x^2+10x≥8$		Перенесем $8$ влево.
$3x^2+10x-8≥0$		Вот мы и привели неравенство к виду $ax^2+bx+c⋁0$. Запишем квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.
$3x^2+10x-8=0$		Решим полученное квадратное уравнение.
$D=100+4⋅3⋅8=196=14^2$ $x_1=\frac{-10-14}{6}=-4$ $x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}$		Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.
$3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0$		Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
		Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства $≥$, то нам нужны интервалы со знаком $+$, при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Ответ: $x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)$

Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет $2$ корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

$1) x^2+2x+9>0$	$2) x^2+6x+9≤0$	$3)-x^2-4x-4>0$	$4) -x^2-64<0$
$D=4-36=-32<0$	$D=36-36=0$	$D=16-16=0$	$D=-4 \cdot 64<0$

Если $D<0$, то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента $a$ (тем, что стоит перед $x^2$).

То есть, выражение:
$x^2+2x+9$ – положительно при любых $x$, т.к. $a=1>0$
$-x^2-64$ — отрицательно при любых $x$, т.к. $a=-1<0$

Если $D=0$, то квадратный трехчлен при одном значении $x$ равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента $a$.

То есть, выражение:
$x^2+6x+9$ — равно нулю при $x=-3$ и положительно при всех остальных иксах, т.к. $a=1>0$
$-x^2-4x-4$ — равно нулю при $x=-2$ и отрицательно при всех остальных, т.к. $a=-1<0$.

Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:

1) $x^2+2x+9>0$ $D=4-36=-32<0$		Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких $x$ выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых $x$», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики.
Ответ: $x∈(-∞;∞)$
2) $x^2+6x+9≤0$ $D=36-36=0$		Вопрос от неравенства: «при каких $x$ выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение.
$x^2+6x+9=0$		Давайте соберем наше выражение по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
$(x+3)^2=0$		Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем — какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю.
$x+3=0$ $x=-3$		Это число и будет ответом.
Ответ: $-3$
3)$-x^2-4x-4>0$ $D=16-16=0$		Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» — $∅$.
Ответ: $x∈∅$
4) $-x^2-64<0$ $D=-4 \cdot 64<0$		Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых $x$.
Ответ: $x∈(-∞;∞)$

Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства

Скачать статью

Квадратичные неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике

Покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

Квадратичная функция, или парабола, — это функция вида

Вспомним свойства этой функции:

Координаты вершины параболы:

Если , ветви вверх

Если , ветви вниз

Точки пересечения с осью X: и

где и — корни квадратного уравнения

Точка пересечения с осью Y: М (0; с).

Вспомним также, как выражение раскладывается на множители.

где и — корни квадратного уравнения

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? 🙂

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

Запомним: извлекать корень из неравенства нельзя. Такого действия просто нет.

2. Следующее неравенство:

Переносим всё в левую часть неравенства. Раскладываем левую часть на множители.

Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках — 4 и 4. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

3. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x² − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right).$
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

4. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right).$
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

5. Следующее квадратичное неравенство:

Разложим его левую часть на множители.

Получим:

И больше ничего не пишем. Рисуем ось X. Рисуем параболу с ветвями вверх.

Эта парабола пересекает ось X в точках 1 и 5. Отмечаем знаки выражения в левой части на каждом интервале.

Записываем ответ:

6. Еще неравенство:

Квадратное уравнение не имеет решений — его дискриминант отрицателен. Это значит, что парабола нигде не пересекает ось X. Ветви этой параболы направлены вверх. Все значения функции положительны. Неравенство выполняется для всех действительных X.

Соберем в одну таблицу примеры решения различных квадратичных неравенств.

$x^2-6x+10 \textgreater 0$

Квадратные неравенства — урок. Алгебра, 8 класс.

Общий вид квадратных неравенств — это ax2+bx+c>0(<0,≤0,≥0),гдеa≠0.

Множество решений квадратного неравенства легко определить, приблизительно начертив график функции y=ax2+bx+c (параболу).

Шаги решения квадратного неравенства:

1. определяются точки пересечения параболы и оси $x$ с помощью решения уравнения ax2+bx+c=0.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

D=b2−4ac;x1=−b+D2a,x2=−b−D2a.

Если $D > 0$,

у уравнения — два разных корня,

парабола пересекает ось $x$ в двух точках

Если $D = 0$,

у уравнения — два одинаковых корня,

вершина параболы находится на оси $x$

Если $D < 0$,

у уравнения нет реальных корней, парабола не пересекает ось $x$

2. Учитывая количество корней и знак коэффициента $a$, чертится график параболы.

Обрати внимание!

Если $a > 0$, то ветви параболы устремлены вверх, если $a < 0$, то вниз.

Совет: если хочешь, чтобы ветви параболы всегда были уcтремлены вверх, в случаях, когда $a < 0$, сначала обе части неравенства перемножь на ($-1$).

Не забудь, что на противоположный поменяется также знак неравенства.

3. Выбираются пустые или закрашенные точки, в зависимости от вида знака неравенства:

•, если стоит знак нестрогого неравенства — ≤ или ≥;

о, если стоит знак строгого неравенства — $<$ или $>$.

4. Закрашивается правильный интервал.

5. Записывается ответ.

Пример:

решить квадратное неравенство −2×2+4x−5≤0.

Решение:

−2×2+4x−5≤0|⋅(−1)2×2−4x+5≥0;D=16−4⋅2⋅5=−24;парабола не пересекает осьOx.

По рисунку видно, что график положителен любому значению $x$.

Ответ: x∈−∞;+∞, илиx∈R

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – «ОТ и ДО». В этой статье мы с вами рассмотрим решение квадратных неравенств что называется до тонкостей. Изучать материал статьи рекомендую внимательно ничего не пропуская. Осилить статью сразу не получится, рекомендую сделать это за несколько подходов, информации много.

Содержание:

Вступление. Важно!
Алгоритм решения квадратного неравенства. Метод интервалов. Примеры.
Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!
Решение квадратного неравенства. Все случаи…

Вступление. Важно!

Рекомендую повторить формулы для решения квадратного уравнения и научиться быстро его решать. Без этого о решении квадратных неравенств речи быть не может.

Квадратное неравенство – это неравенство вида:

Если взять квадратное уравнение и заменить знак равенства на любой из указанных выше, то получится квадратное неравенство. Решить неравенство — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х данное неравенство будет верно. Примеры:

10x²– 6x+12 ≤ 0

2x²+ 5x –500 > 0

– 15x²– 2x+13 > 0

8x²– 15x+45≠ 0

Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде, например:

10x²– 6x+14x² –5x +2≤ 56

2x² > 36

8x²<–15x²– 2x+13

0> – 15x²– 2x+13

В этом случае необходимо выполнить алгебраические преобразования и привести его к стандартному виду (1).

*Коэффициенты могут быть и дробными и иррациональными, но в школьной программе такие примеры редкость, а в заданиях ЕГЭ не встречаются вообще. Но вы не пугайтесь, если, например, встретите:

Это тоже квадратное неравенство.

Сначала рассмотрим простой алгоритм решения, не требующий понимания того, что такое квадратичная функция и как её график выглядит на координатной плоскости относительно осей координат. Если вы способны запоминать информацию крепко и надолго, при этом регулярно подкрепляете её практикой, то алгоритм вам поможет. Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство «наразок», то алгоритм вам в помощь. Следуя ему вы без труда осуществите решение.

Если же вы учитесь в школе, то настоятельно рекомендую вам начать изучение статьи со второй части, где рассказывается весь смысл решения (смотрите ниже с пункта – использование графика квадратичной функции). Если будет понимание сути, то не учить, не запоминать указанный алгоритм будет не нужно, вы без труда быстро решите любое квадратное неравенство.

Конечно, следовало бы сразу начать разъяснение именно с графика квадратичной функции и oбъяснения самого смысла, но решил «построить» статью именно так.

Ещё один теоретический момент! Посмотрите формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:

где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

*Для того, чтобы решить квадратное неравенство, необходимо будет квадратный трёхчлен разложить на множители.

Представленный ниже алгоритм называют ещё методом интервалов. Он подходит для решения неравенств вида f(x)>0, f(x)<0, f(x)≥0 и f(x)≤0. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

(х–10)(х+5)(х–1)(х+104)(х+6)(х–1)<0

Алгоритм решения. Метод интервалов. Примеры.

Дано неравенство ax²+ bx + с > 0 (знак любой).

1. Записываем квадратное уравнение ax²+ bx + с = 0 и решаем его. Получаем х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения.

2. Подставляем в формулу (2) коэффициент a и корни. Записываем неравенство в виде:

a (x – x₁)(x – x₂)>0

3. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы):

4. Определяем «знаки» на интервалах (+ или –) путём подстановки произвольного значения «х» из каждого полученного интервала в выражение:

a (x – x₁)(x – x₂)

и отмечаем их.

5. Остаётся лишь выписать интересующие нас интервалы, они отмечены:

— знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0».

— знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0».

Далее записываем ответ.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!! Сами знаки в неравенстве могут быть:

строгими – это «>», «<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Как это влияет на результат решения?

При строгих знаках неравенства границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x₁;x₂) – скобки круглые.

При нестрогих знаках неравенства границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x₁;x₂] – скобки квадратные.

*Это касается не только квадратных неравенств. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение.

На примерах вы это увидите. Давайте разберём несколько, чтобы снять все вопросы по этому поводу. В теории алгоритм может показаться несколько сложным, на самом деле всё просто.

ПРИМЕР 1: Решить x²– 60x+500 ≤ 0

Решаем квадратное уравнение x²–60x+500=0

D = b²–4ac = (–60)²–4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:

x²–60x+500 = (х–50)(х–10)

Записываем неравенство в виде (х–50)(х–10) ≤ 0

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:

Мы получили три интервала (–∞;10), (10;50) и (50;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–50)(х–10) произвольных значений их каждого полученного интервала и смотрим соответствие полученного «знака» знаку в неравенстве (х–50)(х–10) ≤ 0:

при х=2 (х–50)(х–10) = 384 > 0 неверно

при х=20 (х–50)(х–10) = –300 < 0 верно

при х=60 (х–50)(х–10) = 500 > 0 неверно

Решением будет являться интервал [10;50].

При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили квадратные скобки.

При х = 10 и х = 50 неравенство также будет верно, то есть границы входят в решение.

Ответ: x∊[10;50]

Ещё раз:

— Границы интервала ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак ≤ или ≥ (нестрогое неравенство). При этом на эскизе принято полученные корни отображать ЗАШТРИШОВАННЫМ кружком.

— Границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак < или > (строгое неравенство). При этом на эскизе принято корень отображать НЕЗАШТРИХОВАННЫМ кружком.

ПРИМЕР 2: Решить x²+ 4x–21 > 0

Решаем квадратное уравнение x²+ 4x–21 = 0

D = b²–4ac = 4²–4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:

x²+ 4x–21 = (х–3)(х+7)

Записываем неравенство в виде (х–3)(х+7) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим их на числовой прямой:

*Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней НЕзаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–7), (–7;3) и (3;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–3)(х+7) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству (х–3)(х+7)> 0:

при х= –10 (–10–3)( –10 +7) = 39 > 0 верно

при х= 0 (0–3)(0 +7) = –21 < 0 неверно

при х=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 верно

Решением будут являться два интервала (–∞;–7) и (3;+∞). При всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили круглые скобки. При х = 3 и х = –7 неравенство будет неверным – границы не входят в решение.

Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ПРИМЕР 3: Решить –x²–9x–20 > 0

Решаем квадратное уравнение –x²–9x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b²–4ac = (–9)²–4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:

–x²–9x–20 =–(х–(–5))(х–(–4))= –(х+5)(х+4)

Записываем неравенство в виде –(х+5)(х+4) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим на числовой прямой:

*Неравенство строгое, поэтому обозначения корней незаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–5), (–5; –4) и (–4;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение –(х+5)(х+4) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству –(х+5)(х+4)>0:

при х= –10 – (–10+5)( –10 +4) = –30 < 0 неверно

при х= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 верно

при х= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 < 0 неверно

Решением будут являться интервал (–5;–4). При всех значениях «х» принадлежащих ему неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что границы не входят в решение. При х = –5 и х = –4 неравенство будет неверным.

ЗАМЕЧАНИЕ!

При решении квадратного уравнения у нас может получится один корень или корней не будет вовсе, тогда при использовании данного метода вслепую могут возникнуть затруднения в определении решения.

Небольшой итог! Метод хорош и использовать его удобно, особенно если вы знакомы с квадратичной функцией и знаете свойства её графика. Если нет, то прошу ознакомиться, приступим к следующему разделу.

Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!

Квадратичная это функция вида:

Её графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх, либо вниз:

График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось х в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может не пересекать. Об этом подробнее в дальнейшем.

Теперь рассмотрим этот подход на примере. Весь процесс решения состоит из трёх этапов. Решим неравенство x²+2x –8 >0.

Первый этап

Решаем уравнение x²+2x–8=0.

D = b²–4ac = 2²–4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Находим корни:

Получили х₁=2 и х₂ = – 4.

Второй этап

Строим параболу у= x²+2x–8 по точкам:

Точки – 4 и 2 это точки пересечения параболы и оси ох. Всё просто! Что сделали? Мы решили квадратное уравнение x²+2x–8=0. Посмотрите его запись в таком виде:

0 = x²+2x – 8

Ноль у нас это значение «у». При у = 0, мы получаем абсциссы точек пересечения параболы с осью ох. Можно сказать, что нулевое значение «у» это есть ось ох.

Теперь посмотрите при каких значениях х выражение x²+2x – 8 больше (или меньше) нуля? По графику параболы это определить несложно, как говорится, всё на виду:

1. При х < – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x²+2x –8 будет положительным.

2. При –4 < х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x²+2x –8 будет отрицательным.

3. При х > 2 ветвь параболы лежит выше оси ох. При указанных х трёхчлен x²+2x –8 будет положительным.

Третий этап

По параболе нам сразу видно, при каких х выражение x²+2x–8 больше нуля, равно нулю, меньше нуля. В этом заключается суть третьего этапа решения, а именно увидеть и определить положительные и отрицательные области на рисунке. Сопоставляем полученный результат с исходным неравенством и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение x²+2x–8 больше нуля. Мы это сделали во втором этапе.

Остаётся записать ответ.

Ответ: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Подведём итог: вычислив в первом шаге корни уравнения, мы можем отметить полученные точки на оси ох (это точки пересечения параболы с осью ох). Далее схематично строим параболу и уже можем увидеть решение. Почему схематично? Математически точный график нам не нужен. Да и представьте, например, если корни получатся 10 и 1500, попробуй-ка построй точный график на листе в клетку с таким разбегом значений. Возникает вопрос! Ну получили мы корни, ну отметили их на оси ох, а зарисовать расположение самой парабола – ветвями вверх или вниз? Тут всё просто! Коэффициент при х² вам подскажет:

— если он больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.

— если меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере он равен единице, то есть положителен.

*Примечание! Если в неравенстве будет стоять знак нестрогий, то есть ≤ или ≥, то корни на числовой прямой следует заштриховать, этим условно обозначается, что сама граница интервала входит в решение неравенства. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое (стоит знак «>»). При чем в ответе, в данном случае, ставятся круглые скобки, а не квадратные (границы не входят в решение).

Написано много, кого-то запутал, наверное. Но если вы решите минимум 5 неравенств с использованием парабол, то восхищению вашему предела не будет. Всё просто!

Итак, кратко:

1. Записываем неравенство, приводим к стандартному.

2. Записываем квадратное уравнение и решаем его.

3. Рисуем ось ох, отмечаем полученные корни, схематично рисуем параболу, ветвями вверх, если коэффициент при х² положителен, или ветвями вниз, если он отрицателен.

4. Определяем визуально положительные или отрицательные области и записываем ответ по исходному неравенству.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1: Решить x²–15x+50 > 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение x²–15x+50=0

D = b²–4ac = (–15)²–4∙1∙50 = 225–200 = 25

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х² положительный:

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Знак U обозначает объёдинение решение. Образно можно выразиться так, решением является «этот» И « ещё этот» интервал.

ПРИМЕР 2: Решить –x²+x+20 ≤ 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение –x²+x+20=0

D = b²–4ac = 1²–4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х² отрицательный (он равен –1):

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;–4] U [5;∞).

*Указаны квадратные скобки – это обозначает, что границы интервала входят в решение. Ось оу мы на эскизах не указали, так как она в данной ситуации не играет никакой роли, то есть при построении эскиза ось оу строить необязательно.

Теперь ещё один важный момент! Мы рассмотрели примеры, в которых при решении квадратного уравнения получается два корня, то есть парабола пересекает ось ох в двух точках. Процесс решения понятен. Но возникают вопросы: а если при решении квадратного уравнения получится один корень или вообще не будет корней (дискриминант отрицательный), то как это осмыслить и как определить есть ли решение?

Некоторые ответы очевидны:

— Если получится один корень (дискриминант равен нулю), то парабола будет касаться оси ох в одной точке, а именно своей вершиной.

— Если решения квадратного уравнения нет (дискриминант отрицательный), то парабола вообще не будет касаться оси ох.

Тогда возникает вопрос, что делать в этих ситуациях и как определять ответ?

И вот тут прошу вас обратить внимание на один ключевой момент, который уже оговаривался в этой статье! В неравенстве при х² у нас может стоять положительный или отрицательный коэффициент. При положительном коэффициенте ветви параболы направлены вверх, при отрицательном вниз. А теперь переходим к следующему разделу статьи.

Решение квадратного неравенства. Все случаи!

Ниже для вас представлены все варианты расположения парабол, которые могут иметь место при решении квадратных неравенств:

Первая группа графиков

(коэффициент а > 0, то есть ветви параболы направлены вверх)

Вторая группа графиков

(коэффициент а < 0, то есть ветви параболы направлены вниз)

Что касается оговоренных выше вопросов по поводу случая, когда квадратное уравнение не имеет решения, обратите внимание на рисунки 9,10,11,12, 21,22,23,24 и всё поймёте. Подробнее:

Например, при решении квадратного уравнения вы обнаружили, что дискриминант отрицательный, то есть коней нет. Что это означает? А то, что ветви параболы не пересекают ось ох, то есть она расположена либо выше оси ох и её ветви направлены вверх, либо ниже оси и её ветви направлены вниз. И тут нам необходимо разобраться куда в вашем случае направлены ветви. Смотрим на коэффициент при х²:

— если он положительный, то схематично рисуем параболу выше оси ох с ветвями направленными вверх.

— если он отрицательный, то схематично рисуем параболу ниже оси ох с ветвями направленными вниз.

Далее только остаётся сопоставить наш рисунок с данным неравенством и учитывая знак в нём просто записать ответ. Всё!!!

Пример: х² +2х+16 < 0

Решаем квадратное уравнение x²+2x+16=0

D = b²–4ac = 2²–4∙2∙16 = 4–128 = –124

Дискриминант отрицательный, коней нет. Значит парабола не пересекает ось ох.

Коэффициент при х² положительный (равен 1), значит парабола расположена следующим образом – её ветви направлены вверх и расположена она выше оси ох (как на рис. 12).

Нам необходимо записать значения х, при которых х² +2х+16 отрицательно. Таких «х» нет, это видно по графику (рис 12).

Ответ: x∊∅ (решения нет).

*Если бы знак в этом неравенстве был «>», то решением были бы все действительные числа (рис. 10).

Теперь завершающий момент который стороной никак обойти нельзя, мы ещё не рассматривали решение неравенства вида:

Тут всё просто. Если вы детально изучили материал изложенный выше в статье и пропустили информацию, что называется, через себя, то здесь на эти вопросы вы ответите без труда.

Возможны три случая, если при решении aх²+bх+c = 0 получаем:

1. Два корня, то решением неравенства будет x∊(–∞;х₁) U (х₁;х₂) U (х₂;+∞).

2. Один корень, то решением будет x∊(–∞;х) U (х;+∞).

3. Нет корней, то решением будет вся числовая ось x∊(–∞;+∞).

Получить материал статьи в PDF

Понравилась статья — делитесь с коллегами и друзьями, социальные кнопки к вашим услугам. Также можете скачанный файл свободно распространять в сети.

На этом всё, благодарю за внимание. Ёмкая получилась статейка.

С уважением, Александр крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

Квадратные неравенства . Решение квадратных неравенств

Квадратные неравенства

Ключевые слова: квадратные неравенства, решение квадратных неравенств, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.5. Квадратные неравенства.

☑ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенство вида ах² + bх + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.

Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤.

Множество решений квадратного неравенства легко найти, используя график функции у = ах² + bх + с.

На рисунке изображён график функции у = х²– 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны –1 и 3, т. е. при х = –1 и х = 3 значения функции у = х²– 2х – 3 равны нулю.

При –1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток –1 < х < 3.
При x < –1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х²– 2х – 3 > 0 выполняется при х < –1 и х > 3.

При решении квадратных неравенств можно ограничиться схематическим рисунком, показывающим положение графика относительно оси х, так как координаты вершины в данном вопросе значения не имеют; можно также не изображать ось у.

Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на –1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х² ≤ 0 решать неравенство х²– 4х – 5 ≥ 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Решим неравенство х²– x – 6 > 0.

Выясним, пересекает ли график функции у = х²– х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х²– x – 6 = 0. Его корни x₁ = –2 и х₂ = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами –2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х.

Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < –2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x² – x – 6 > 0.

Ответ можно записать по–разному:
1) x < –2; х > 3;
2) (–оо; –2) U (3; +оо).

Пример 2. Решим неравенство х(3 – 2х) > 2.

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: –2x² + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на –1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х²– 3х + 2 < 0.

Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х²– 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х²– 3х + 2, a именно: D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически:

При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х²– 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х²–Зх + 2 < 0 решений не имеет.

Ответ можно записать по–разному:
1) неравенство решений не имеет;
2) ∅.

Пример 3. Воспользуемся этим же рисунком, чтобы решить неравенство –2х² + 3х – 2 < 0. Заменим его равносильным неравенством 2х²– 3х + 2 > 0. В этом случае любое число является решением неравенства, так как при всех значениях х функция у – 2х²– 3х + 2 принимает положительные значения.

Ответ можно записать по–разному:
1) х – любое число;
2) (–оо; +оо).

Если неравенство нестрогое, то не надо забывать включить в множество решений значения переменной, при которых квадратный трёхчлен обращается в нуль.

Пример 4. Найдём область определения выражения:

Область определения выражения задаётся условиями:

Решив каждое из неравенств, получим:

Сделаем схематический рисунок:

Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать по–разному:

Это конспект по алгебре на тему «Квадратные неравенства». Выберите дальнейшие действия:

Урок 3. квадратные уравнения, неравенства и их системы — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Урок Конспект Дополнительные материалы

Квадратные уравнения, неравенства и их системы

Установите соответствие между элементами:

Квадратные уравнения
Дано уравнение $х^{2} − 16х + 64 = 0$. Впишите в таблицу коэффициенты квадратного уравнения.
Квадратные уравнения
Рассортируйте элементы по категориям.
Приведенные
Неполные
$x^{2} − 7х + 1 = 0$
$1 + х + x^{2} = 0$
$−x^{2} + 3х = 0$
$15x^{2} − 2 = 0$
Квадратные неравенства
Соотнесите неравенства с ответами.
Квадратные неравенства
На рисунке изображен график функции $у = −х^{2}+ 2x$. Используя рисунок, решите неравенство $–х^{2}+ 2x \gt 0$. Выберите верное решение.

Квадратные неравенства
Выделите неравенство, решением которого является число −1.
$х^{2}+3х+2\gt 0$
$х^{2}−x−2\leq 0$
$−х^{2}+3х+2\geq 0$
$−х^{2}+х+3\gt 0$
Квадратные уравнения, неравенства и их системы
Решите квадратные уравнения и укажите корни.
Применение метода интервалов при решении неравенств
Решите неравенство методом интервалов и укажите правильный ответ: $(х+2)(х−3)\gt 0$.
$−2\lt x\lt 3$
$−3\leq x\leq 2$
$x\lt −3$ и $x\gt 2$
$x\lt −2$ и $x\gt3$
Применение метода интервалов при решении неравенств
Каждому неравенству поставьте в соответствие его решение:
Квадратные уравнения, неравенства и их системы
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Квадратные уравнения, неравенства и их системы
Дано уравнение: $х^{2}− 12х + 35$.
Выражение с неизвестным
Укажите трёхчлен, который принимает только положительные значения.
$6х − х^{2} − 9$
$x^{2} − 12x + 38$
$12х − х^{2} − 34$
$9x^{2} − 12x − 1$
Квадратные уравнения, неравенства и их системы
Решите уравнение: $5х^{2} − 3х + 9 = 3х^{2} + х + 9$.
Укажите ответы в порядке возрастания.
Квадратные уравнения, неравенства и их системы
При каких значениях параметра а квадратное уравнение $2x^{2}− 5х + 5а = 0$ имеет только один корень?
Квадратные неравенства и их решение
Определение и формулы квадратных неравенств
Чтобы решить квадратное неравенство, нужно знать количество корней соответствующего квадратного уравнения . Сделать это можно с помощью дискриминанта: если дискриминант , то уравнение имеет два корня, — один корень, — действительных корней нет.
Знак старшего коэффициента определяет направление ветвей параболы : если , то ветви параболы направлены вверх, если — вниз. В зависимости от знаков и возможны такие варианты расположения параболы относительно оси абсцисс.
Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит выше оси абсцисс.
Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит ниже оси абсцисс.
Если неравенство нестрогое, то концы промежутка включаются, если строгое, то не включаются.
Примеры решения квадратных неравенств

\(\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}\)\(≥\) \(\frac{8}{15}\)		Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенство на \(15\).
\(3x^2+10x≥8\)		Перенесем \(8\) влево.
\(3x^2+10x-8≥0\)		Вот мы и привели неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\). Запишем квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\).
\(3x^2+10x-8=0\)		Решим полученное квадратное уравнение.
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\) \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)		Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.
\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)		Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.
		Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

\(1) x^2+2x+9>0\)	\(2) x^2+6x+9≤0\)	\(3)-x^2-4x-4>0\)	\(4) -x^2-64<0\)
\(D=4-36=-32<0\)	\(D=36-36=0\)	\(D=16-16=0\)	\(D=-4 \cdot 64<0\)

1) \(x^2+2x+9>0\) \(D=4-36=-32<0\)		Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики.
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)
2) \(x^2+6x+9≤0\) \(D=36-36=0\)		Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение.
\(x^2+6x+9=0\)		Давайте соберем наше выражение по формуле \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
\((x+3)^2=0\)		Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем — какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю.
\(x+3=0\) \(x=-3\)		Это число и будет ответом.
Ответ: \(-3\)
3)\(-x^2-4x-4>0\) \(D=16-16=0\)		Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» — \(∅\).
Ответ: \(x∈∅\)
4) \(-x^2-64<0\) \(D=-4 \cdot 64<0\)		Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)